最值问题之几何问题-中考数学最值问题

最值问题之几何问题 几何最值 易错点1:点的路径长 一、点的运动轨迹 点的运动轨迹是解题的基础，常见的轨迹有线段、折线和圆弧。需要根据题目条件，分析动点的运动规律，确定其轨迹类型。 1.线段轨迹：当动点到某条直线或线段的距离相等或不变时，其运动轨迹为线段。 2.折线轨迹：动点在运动过程中可能来回运动，形成折线轨迹。 3.圆弧轨迹：当动点在运动过程中到某一个定点的距离不变时，其运动轨迹为圆弧。此时，需要确定圆弧的圆心、半径和圆心角，以便后续计算路径长。 二、路径长的计算 1.线段路径长：直接利用线段长度公式进行计算。 2.圆弧路径长：利用弧长公式进行计算，即弧长=圆心角×π×半径/180。 3.复杂路径长：对于包含多种轨迹的复杂路径，需要分段计算后求和。 三、解题技巧 1.利用几何图形性质：如平行四边形的对边相等、三角形的中位线性质等，简化计算。 2.构造辅助线：通过构造辅助线，揭示隐藏条件，帮助确定动点轨迹。 3.利用函数关系：在某些情况下，可以通过建立线段长的函数关系，从函数的角度求解轨迹长度。 易错提醒：（1）轨迹判断错误（2）圆心角和半径确定不准确（3）忽视题目中的隐藏条件 易错点2:相切最大 一、相切的定义 相切是平面上的圆与另一个几何形状（如圆、直线、多边形等）的一种特殊位置关系。当两者只有一个公共点时，称它们相切，这个公共点称为切点。 1. 圆与直线相切：直线与圆有且仅有一个交点，即直线是圆的切线，该交点为切点。 2. 圆与圆相切：两个圆有且仅有一个交点，分为外切和内切两种情况。外切时，圆心距等于两圆半径之和；内切时，圆心距等于大圆半径减小圆半径。 2、 相切的性质 1. 切线与半径垂直：圆的切线垂直于过切点的半径。 2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且切点连线平分该点与圆心的连线（即连心线）。 3. 相切与最值问题：在特定条件下，当两个图形相切时，某些量（如角、面积等）会取得最大值或最小值。这通常与图形的性质、位置关系以及给定的条件有关。 易错提醒：（1）对相切定义的理解不准确（2）忽视切线的性质（3）对最值问题的理解不深入（4）忽视图形的特殊情况 易错点3:瓜豆原理 瓜豆原理主要涉及初中数学中的动点轨迹问题，特别是动点轨迹为直线和圆的情况。其核心考点在于理解主动点、从动点、定点、旋转角和放缩比例这五个关键要素。解题时，往往会用到全等三角形和相似三角形的性质。 知识点： 瓜豆原理本质上描述了一个“跟随者”与一个“领导者”的关系。在这个模型中，“跟随者”以“领导者”为参考点，跟随其运动路径移动，且移动速度与“领导者”保持一致。通过这个原理，可以解决一系列与距离和速度相关的问题，如相遇问题、追及问题等。此外，瓜豆原理还与“四点共圆”和“三点共圆”问题密切相关，是解决这类几何问题的重要工具。 易错提醒：（1）对瓜豆原理的本质理解不够深入（2）在确定参考点时出错（3）忽视实际因素的影响（4）在建立数学模型时遇到困难（5）对计算结果的不确定性处理不当。 易错点4:面积最值 一、明确问题条件，确定需要求解的是面积的最大值还是最小值。 二、将几何图形的面积转化为数学表达式。这通常需要将几何图形的面积分解为三角形面积的和或差，并利用坐标轴上的点或平行于坐标轴的线段来简化计算。 三、利用函数知识求解面积表达式的最值。这可能涉及到二次函数、一次函数或其他类型的函数。需要根据函数的性质，如开口方向、顶点坐标等，来确定面积的最大值或最小值。 四、验证解的正确性。在求解最值问题后，需要回到原问题中验证解是否满足所有条件，并检查是否存在其他可能的解。 易错提醒：（1）忽视题目条件（2）面积表达式错误（3）函数性质理解不清（4）解验证不足。 例1．如图，在等边中，于点分别是上的动点，且，点M在的右上方，且．当P从点A运动到点B时，点M的运动路径长为 ． 例2．如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为 ． 例3．如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为 ． 例4．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)写出、、的坐标； (2)当时，求函数值的取值范围； (3)若点是第四象限内抛物线上一动点，连接、、，求的面积的最大值． 变式1．如图，正方形的边长为8，P为边上的动点，连接，作交边于点．当点从B运动到C时，线段的中点M所经过的路径长为 ． 变式2．如图，点B在线段上，点D，E在同侧，，，，，点P为线段上的动点，连接，作，交直线于点Q，当点P从A点运动到的中点时，线段的中点所经过的路径（线段）长为 ． 变式3．如图，是的直径，，与相切于点，，点在切线上，则当最大时， ．    变式4．如图，等边△ABC的边长为6，三角形内部有一个半径为1的，若含与△ABC边相切的情况，则点P可移动的最大范围（最大面积）是 ． 变式5．如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接，点为的中点，连接，若，则的最小值为 ． 变式6．如图，点D在等腰直角三角形内，，，，E、F分别在和上满足，则的最小值为 ． 变式7．如图1，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且．点为抛物线第二象限上一动点． (1)直接写出该二次函数的表达式为 ___________； (2)连接，求四边形面积的最大值； (3)如图2，连结交于点，过点作轴的平行线交于点．当为等腰三角形时，求出点的坐标． 变式8．如图1，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数的图象交于另一点，射线与y轴交于点C，，轴于点D． (1)填空： ①k的值为__________． ②_________；直线的函数解析式为__________． (2)如图2，M是线段上方反比例函数图象上一动点，过点M作直线轴，与交于点N，连接．求面积的最大值． 答案解析 例1．如图，在等边中，于点分别是上的动点，且，点M在的右上方，且．当P从点A运动到点B时，点M的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】如图1中，作于于，连接．首先证明平分，推出点的在射线上运动，求出的最大值和最小值，根据点的运动路径求解即可． 【详解】解：如图1中，作于于，连接． ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ∴点的在射线上运动． 如图2中，由题意，， 当时，的值最大，最大值， 当落在上时，得到的值最小，最小值， 设交于， 点的运动路径是， ∴点的运动路径的长． 故答案为：． 【点睛】本题考查轨迹，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 例2．如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为 ． 【答案】 【分析】连接OP，OM，根据切线长定理可知，因为，故当OP最小（即OP垂直AC时），最大，此时最大，由此得到P点，再求出OP长，在Rt△PMO中求出PM即可解答． 【详解】解：连接OP，OM， ∵PM、PN相切于点M、N， ∴，， ∴， 又∵在矩形ABCD中，CD=AB=4，CD是⊙O直径， ∴， ∴故当OP最小（即OP垂直AC时），最大， 延长DC交直线AE于点G， ∵E是BC的中点，BC=6， ∴BE=EC=3, ∵在矩形ABCD中，， ∴， ∵在矩形ABCD中，， ∴， ∴， ∴EG=5，CG=3， ∴OG=OC+CG=2+4=6， 又∵OP垂直AC时，最大， ∴， 在Rt△PMO中，， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了几何的最值问题，综合性强，涉及了圆的切线性质，矩形性质、解三角形、点到直线的距离垂线段最小等知识，解题关键是切线长定理可知，然后关键在Rt△PMO中最大，此时最大，得出OP垂直AC时，最大． 例3．如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的性质以及三角形三边关系等知识，延长到，使，连接，证明，求得，由三角形三连关系可得结论． 【详解】解：延长到，使，连接，如图， ∴ 又， .∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：. 例4．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)写出、、的坐标； (2)当时，求函数值的取值范围； (3)若点是第四象限内抛物线上一动点，连接、、，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）分别令，进行求解即可； （2）根据二次函数的增减性进行求解即可； （3）连接，分割法表示出的面积，利用二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，解得：， ∴； （2）∵， ∴对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴当时，； （3）连接， ∵， ∴， 设点， ∴ ， ， ∵点P是第四象限内抛物线上一动点， ∴， ∴当时，S有最大值，最大值为． 变式1．如图，正方形的边长为8，P为边上的动点，连接，作交边于点．当点从B运动到C时，线段的中点M所经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、中位线的性质定理、二次函数求最值等问题； 本题先连接，取的中点，连接，由中位线的性质得，且，所以点的运动路径是一条线段，求运动路径就是求的最大值的一半．设，，建立，的函数关系式，讨论函数的最大值． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图： ， ∵点和点分别是线段和线段的中点， ∴由中位线的性质得，且， ∵， ∴点运动路径是经过点且平行于的一条线段， 设，， ∵ 四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴当时，的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 变式2．如图，点B在线段上，点D，E在同侧，，，，，点P为线段上的动点，连接，作，交直线于点Q，当点P从A点运动到的中点时，线段的中点所经过的路径（线段）长为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的运动、相似三角形判定与性质、勾股定理等知识点．设线段的中点为点O，线段的中点为点G，过点G作于点H，连接，得到线段的中点G在线段的垂直平分线上运动，当点P与点O重合时，则此时线段的长就是线段中点G经过的路径长，再利用相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：设线段的中点为点O，线段的中点为点G，过点G作于点H，连接， ， ， 垂直平分， ∴线段的中点G在线段的垂直平分线上运动， 如解图①，当点P与点A重合时，则点G与点H重合， 如解图②，当点P与点O重合时，则此时线段的长就是线段中点G经过的路径长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故线段的中点G经过的路径长为． 故答案为：． 变式3．如图，是的直径，，与相切于点，，点在切线上，则当最大时， ．    【答案】/30度 【分析】本题主要考查了切线，圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键．连接，，由圆周角定理的推论得，从而得当的度数最大时，和重合，，再由直角三角形的两锐角互余求得，从而即可得解． 【详解】解：连接，,交于点M，    ∵直线与以线段为直径的圆相切于点， ∴， ∵,当点P与点M重合时，等号成立， ∴，当和重合，等号成立， 当时， ∵， ∴， ∴当的度数最大时，的度数为， 故答案为：． 变式4．如图，等边△ABC的边长为6，三角形内部有一个半径为1的，若含与△ABC边相切的情况，则点P可移动的最大范围（最大面积）是 ． 【答案】/ 【分析】如图，当与△ABC的边相切时，圆心P可移动的范围为，过点作，过点作，有，进而．同理可得，，则，由此求解即可． 【详解】如图，当与△ABC的边相切时，圆心P可移动的范围为， 根据题意可知，即，，，且三边到△ABC三边的距离相等． 过点作，过点作，有，进而有．同理可得，， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确得到圆心P可移动的范围为． 变式5．如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接，点为的中点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】连接，过点作于点M，过点G作于点H，根据题意可证明，得到，根据勾股定理可求出，证明，由为的中点，，可得，可得，在与直线相距的直线上运动，为与轨迹的交点，则，当共线时，，，此时最小，再进一步求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点M，过点G作于点H， ∴， ，，， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴在与直线相距的直线上运动，为与轨迹的交点，则， 当共线时，，，此时最小， 此时，， 过作于，则四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：，四边形为矩形， ∴， ∴， 的最小值为9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，最值问题，勾股定理，三角形的中位线的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，解题的关键是作出合适的辅助线． 变式6．如图，点D在等腰直角三角形内，，，，E、F分别在和上满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定性质，勾股定理，三角形三边关系求最值，难度较大，解题的关键在于构造相似三角形进行转化． 过点C作，使，连接，证明，推出，则，可知当点D，F，H在同一条直线时，取最小值，最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，而 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点D，F，H在同一条直线时，取得最小值，最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 变式7．如图1，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且．点为抛物线第二象限上一动点． (1)直接写出该二次函数的表达式为 ___________； (2)连接，求四边形面积的最大值； (3)如图2，连结交于点，过点作轴的平行线交于点．当为等腰三角形时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为：或 【分析】（1）根据二次函数与y轴的交点可得，，则，将点的坐标代入抛物线表达式，运用待定系数法即可求解； （2）根据点的坐标可得直线的解析式，由二次函数与坐标轴的交点的计算可得点的坐标，如图所示，过点作轴的垂线，交于点，可得，由此可得四边形面积，代入计算，再根据二次函数求最值的计算方法即可求解； （3）设点，则点，可得直线的表达式为：，根据两直线的交点的计算可得点的坐标为：，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，则点在的中垂线上；当时，即；由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数中，令时，， ∴， ∴， ∴点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 故答案为：； （2）解：，， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的表达式为：， 在二次函数中，当时，， 解得，， ∴，则， 如图所示，过点作轴的垂线，交于点， ∵点为抛物线第二象限上一动点， ∴设点，则点， ∴， ∴四边形面积 ， ∵， 故四边形面积存在最大值， 当时，四边形ABCP面积的最大值为； （3）解：设点，则点， 设直线的解析式为：，， ∴， 解得，， ∴直线的表达式为：， 联立上式和直线的表达式得：， 解得：，则点的坐标为：， 由直线的表达式知，其和轴正半轴的夹角为， 如果，则，则，故不存在， 则， 而， 当时， 则点在的中垂线上，则， ∴， 解得：（舍去）或， 即点； 当时，即， 解得：（舍去）或， 即点， 综上，点P的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数图象的性质，二次函数与几何图形的综合，等腰三角形的定义及性质，掌握二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 变式8．如图1，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数的图象交于另一点，射线与y轴交于点C，，轴于点D． (1)填空： ①k的值为__________． ②_________；直线的函数解析式为__________． (2)如图2，M是线段上方反比例函数图象上一动点，过点M作直线轴，与交于点N，连接．求面积的最大值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题考查了待定系数法确定反比例函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二次函数的最大值，锐角三角函数，坐标与图形等知识点．综合性比较强．掌握待定系数法及二次函数最大值的求法是关键． （1）①由点在反比例函数图象上，用待定系数法确定反比例函数的解析式； ②由反比例函数解析式先求出点的坐标，过作于，可得到、间的长度关系，从而得到的度数，再根据的度数求出，从而得到的值，根据的值及线段的和差关系，求得点的坐标，从而确定一次函数的解析式； （2）设的横坐标为，可知道、点的坐标，利用三角形的面积公式得到关于的二次函数，利用二次函数的性质，得到的最大面积． 【详解】（1）①解：∵反比例函数的图象经过点， ， ． 故答案为：． ②解：∵，所以反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， 过作于， 则． ， 又， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：；． （2）解：设， 则， 则， ∴， ∵，， ∴当时，的面积有最大值，最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$