最值问题之代数最值及规律问题-中考数学最值问题

最值问题之代数最值及规律问题 ：代数最值 易错点5:二次函数配方法最值 配方法是一种基于二次函数的最值问题的解决方法，它的基本思想是将一个二次函数通过配方化为顶点式，从而找到函数的最值。对于一个二次函数，可以通过以下步骤将其配方为顶点式，并找到最值： 1、 确定二次函数的一般式： 二、求出二次函数的顶点横坐标。 三、判断二次函数的开口方向和对称轴位置：若Δ=b2-4ac>0，则抛物线开口向上，对称轴为直线x=x1或x2；若Δ=b2-4ac<0，则抛物线开口向下，对称轴不存在。 四、根据对称轴的位置，确定函数的最值。当抛物线开口向上时，函数在对称轴处取得最小值；当抛物线开口向下时，函数在对称轴处取得最大值。 五、若自变量x的取值范围有限制，则需比较端点和顶点的函数值来确定最值。 易错提醒：（1）记忆错误或计算错误导致顶点坐标求解不准确。（2）混淆左右平移和上下平移对h和k的影响，导致函数图像变换错误，进而影响最值的求解（3）在求解最值时，忽视定义域限制，未结合定义域和顶点坐标综合考虑，导致最值求解错误（4）无法准确地将一般式转化为顶点式或完全平方形式，导致配方失败，无法找到最值（5）仅凭开口方向判断单调区间和最值，未考虑对称轴位置，导致判断错误。 易错点6:二次函数的增减性最值 一、增减性 1 二次函数的增减性取决于其开口方向和对称轴位置。当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴左侧递减，右侧递增；当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴左侧递增，右侧递减。 二、最值 1 对于开口向上的抛物线（a>0），函数有最小值，且最小值出现在顶点处，y有最小值。 2 对于开口向下的抛物线（a<0），函数有最大值，且最大值出现在顶点处，y有最大值。 易错提醒：（1）忽视x的取值范围导致最值求解错误。在求解最值时，需结合x的取值范围和顶点坐标综合考虑。若x的取值范围有限制，则需比较端点和顶点的函数值来确定最值（2）混淆左右平移和上下平移对函数图像的影响，从而误判最值位置。向左平移h个单位，向右平移-h个单位；向上平移k个单位，向下平移-k个单位。平移会改变顶点的坐标，从而影响最值的位置。（3）仅凭开口方向判断单调区间，未考虑对称轴位置。应综合开口方向和对称轴位置来判断函数的单调区间。（4）在求解顶点坐标和最值时，计算错误导致结果不准确。应熟练掌握并正确应用顶点坐标公式和最值公式。 例5．抛物线有（   ） A．最小值3 B．最大值3 C．最大值 D．最小值 例6．已知二次函数（为常数）的图像经过点和． (1)求二次函数的表达式． (2)若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图像上，求的值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围． 变式1．已知非负数x，y，z满足，设的最大值为a，最小值为b，则的值为（  ） A．4 B．9 C．16 D．19 变式2．如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第个图案由个小正方形组成，第个图案由个小正方形组成……依此规律，第个图案由个小正方形组成，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式3．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)点，在抛物线上，其中，． ①若的最小值是，求的值 ②若对于，，都有，求t的取值范围． 变式4．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如二次函数 的图象上，存在一点，则点为二次函数 图象上的“互反点”． (1)分别判断 ，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标； 如果不存在，请说明理由． (2)设函数 ，图象上的“互反点”分别为，，过点作 轴，垂足为点，当 的面积为4时，求的值． (3)若二次函数的图象上有且只有一个“互反点”． ①求该二次函数的表达式； ②当时，二次函数 的最小值为 ，最大值为0，求的取值范围． 找规律问题 易错点7:点坐标规律问题 一、点的坐标与距离 点P(x,y)到x轴的距离等于|y|，到y轴的距离等于|x|。这是确定点位置的重要性质。 二、象限点与轴上点的坐标特征 1.第一象限：x>0, y>0 2.第二象限：x<0, y>0 3.第三象限：x<0, y<0 4.第四象限：x>0, y<0 轴上点： 1.x轴上：y=0 2.y轴上：x=0 三、与坐标轴平行的直线及象限角平分线上的点的坐标特征 1.平行于x轴的直线上的点纵坐标相等。 2.平行于y轴的直线上的点横坐标相等。 3.第一、三象限角角平分线上的点：x=y 4.第二、四象限角角平分线上的点：x+y=0 易错提醒：（1）忽略点坐标是有序实数对（2）混淆点的坐标与点到坐标轴的距离（3）关于坐标轴对称的点的坐标规律混淆（4）平行于坐标轴的直线的点的坐标特征理解错误 易错点8:图形规律问题 一、图形排列规律 1 数字阶梯型规律：数字按照一定的规律排列成阶梯状，需要观察阶梯上数字的差值，找出相邻数字之间的规律。 2 数字交错型规律：数字在不同的位置交错出现，需要观察数字交错的顺序，找出相邻数字之间的规律。 3 数字镜像型规律：数字沿着某个轴对称出现，需要找出对称轴，观察对称轴两侧的数字，找出相邻数字之间的规律。 4 图形旋转型规律：图形围绕某个点旋转出现，需要观察图形旋转的方向和角度，找出相邻图形之间的规律。 5 图形平移型规律：图形在平面上沿着某个方向平移出现，需要观察图形的平移方向和距离，找出相邻图形之间的规律。 6 图形变形型规律：图形在变形中出现，需要观察图形的变形规律，找出相邻图形之间的关系。 二、图形组合与周期规律 1 图形组合规律：将不同图形规律结合在一起，需拆分图形，找出各个部分的规律并进行组合。 2 图形周期规律：观察图形变化特点，找到重合点即为一个周期，利用数形结合思想求解。 三、等差规律 将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，若后一项与前一项的差均相等，即为等差规律。 易错提醒：（1）观察不细致（2）分类讨论不全（3）忽视图形数量变化的规律（4）混淆不同规律类型 例7.函数在有最大值6，则实数的值是 ． 例8.我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图： 用含n的式子表示第n个图的钢管总数． 【分析思路】 图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法，从图形排列中找规律；把图形看成几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律． 如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用表示第n个图形钢管总数）． 【解决问题】 (1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗？像的情形那样，在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律． ， ___________． (2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像（1）那样对每一个所给图形添加分割线，提供与（1）不同的分割方式；并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律： ___________， ___________， ___________， ___________． (3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数为___________． 变式1．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，按这样的运动规律经过第次运动后，动点的坐标是 ． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 变式3．【问题背景】图中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，图A、B都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请参照下面的探究过程，完成相应的问题． (1)【观察发现】当内部有1个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表． C D E F 边上的点数x 4 8 8 9 多边形面积S 2 4 4 请完成表格，并归纳S与x之间的关系式为：______． (2)当多边形内部有2个点时，在如图的格点图中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边上的点数和面积填写在下面的表格中． 图1 图2 边上的点数x 多边形面积S 归纳S与x之间的关系式为：______． (3)【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，格点多边形的面积为S．试用含x，y的代数式表示S，并用所得规律求出【问题背景】中图形A的面积． (4)【拓展应用】一个格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，求出x与y的值．在图中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形． 变式4．观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法…，据此解答下面的问题． (1)填写下表： 图形 挖去三角形的个数 图形1 1 图形2 1＋3 图形3 1＋3＋9 图形4 ___________________ (2)根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数（用含n的代数式表示）； (3)若图中挖去三角形的个数为，求． 答案解析 例5．抛物线有（   ） A．最小值3 B．最大值3 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据二次函数顶点式知，当二次项系数为负时，函数有最大值，据此即可求解． 【详解】解：对于， 二次项系数为负，从而函数有最大值3； 故选：B． 例6．已知二次函数（为常数）的图像经过点和． (1)求二次函数的表达式． (2)若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图像上，求的值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数关系式即可得到答案； （2）根据抛物线的对称性可求出，再由点的平移得到，由点在抛物线上，将点代入表达式解方程即可得到答案； （3）利用二次函数图象与性质，根据二次函数的最大值与最小值的和为，分情况列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得， 二次函数的关系式为； （2）解：由题意可得， 抛物线对称轴为直线，、关于抛物线的对称轴对称， 则， 再向左平移个单位长度后的点为， 点恰好落在的图象上， ， 解得，． ， ； （3）解：二次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为， 当时，二次函数的最小值为，最大值为7， 则，解得，不合题意，舍去； 当时，二次函数的最小值为，最大值为7， 则，符合题意； 当时，最大值大于7，则最大值与最小值的和不可能为，不合题意； 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象对称性、点的平移、二次函数最值及解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 变式1．已知非负数x，y，z满足，设的最大值为a，最小值为b，则的值为（  ） A．4 B．9 C．16 D．19 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的最值问题，用x表示出y、z并求出x的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s关于x的函数关系式． 用x表示出y、z并求出x的取值范围，再代入S整理成关于x的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出a、b的值，再相减即可得解． 【详解】 解：∵， ， ∵y，z都是非负数， ， 解不等式①得，， 解不等式得，， ， 又 ∵x是非负数， ， ， ∴对称轴为直线， ∴时，最小值， 时，最大值， ． 故选：B． 变式2．如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第个图案由个小正方形组成，第个图案由个小正方形组成……依此规律，第个图案由个小正方形组成，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据规律归纳出第个图形中小正方形的数量解题的关键．根据前面几个图形可得到第个图形中小正方形的数量为，即可求解． 【详解】解：第个图案由个小正方形组成， 第个图案由个小正方形组成， 第个图案由个小正方形组成， 第个图案由个小正方形组成， 第个图形由小正方形组成， 第个图案由个小正方形组成， 故选：C． 变式3．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)点，在抛物线上，其中，． ①若的最小值是，求的值 ②若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】(1)； (2)； 或． 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，利用配方法求顶点坐标，对称轴，最值，根据函数值的关系求参数的范围，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案； （2）先确定出当时，的最小值为t，进而求出t，从而求得解析式，再根据求得，代入解析式即可求出答案； 先由求得抛物线的开口方向和对称轴，再分两种情况，根据题意，利用，，得到关于t的不等式组，解不等式组即可求出答案． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线开口向上， ， 当时，的最小值为， 的最小值是， ， ， 抛物线表达式为：， ； 抛物线抛物线的对称轴为， 关于对称轴的对称点为：， 点，在抛物线上， 其中，，对于，，都有， 当在对称轴的右侧时，则，解得， 当在对称轴的左侧时，则，解得， 即满足条件的t的取值范围为或． 变式4．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如二次函数 的图象上，存在一点，则点为二次函数 图象上的“互反点”． (1)分别判断 ，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标； 如果不存在，请说明理由． (2)设函数 ，图象上的“互反点”分别为，，过点作 轴，垂足为点，当 的面积为4时，求的值． (3)若二次函数的图象上有且只有一个“互反点”． ①求该二次函数的表达式； ②当时，二次函数 的最小值为 ，最大值为0，求的取值范围． 【答案】(1) (2)4或 (3)①；② 【分析】（1）根据定义将代入方程，解方程判断即可； （2）同（1）先求得“互反点”、，得到，利用，解方程即可得到答案； （3）①把代入得，根据题意可知二次函数的图象与直线有且只有一个交点，利用，得到方程解之得到值，即可得到解析式；②将①得到的解析式化为顶点式，得到其对称轴和最小值，再求得其与轴的两个交点坐标，即可判断出的取值范围． 【详解】（1）解：函数的图象上存在“互反点”． 根据题意，得：， 解得： 函数的图象上“互反点”的坐标为 函数的图象上存在“互反点”． 根据题意，得： 解得：， 函数的图象上“互反点”的坐标为． （2）解：在函数中，令， 解得：（负值已舍去）， ， 在函数中，令， 解得：， ， ， ， ，解得：或；或无解． 的值为4或． （3）解：①根据题意，把代入得， ． 函数图象上的“互反点”必在直线上， 二次函数的图象上有且只有一个“互反点”， 也就是二次函数的图象与直线有且只有一个交点， 即，有且仅有一个解， 联立方程组整理，得：， 由， 解得：，， 该二次函数的表达式为． ②， 其图象的对称轴为直线，最小值为， 当时，，解得：或 二次函数图象与轴交点的坐标为和， 当时，二次函数的最小值为，最大值为0． 的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点，理解新定义并熟练应用是解题的关键． 例7.函数在有最大值6，则实数的值是 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了二次函数求最值问题，根据题意正确分三种情况讨论是解题关键． 先求出而二次函数的对称轴，再分，，三种情况，分别根据函数最大值时列方程求出a的值即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴其对称轴为， 根据题意可知，分以下三种情况： ①当时， 在内，y随x的增大而减小， 则当时，y取得最大值，最大值为，解得，符合题意； ②当时， 在内，当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 则当时，y取得最大值，最大值为．解得：或（不符合条件舍弃）； ③当时， 在内，y随x的增大而增大， 则当时，y取得最大值，最大值为，解得：，不符合题意； 综上，或． 例8.我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图： 用含n的式子表示第n个图的钢管总数． 【分析思路】 图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法，从图形排列中找规律；把图形看成几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律． 如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用表示第n个图形钢管总数）． 【解决问题】 (1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗？像的情形那样，在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律． ， ___________． (2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像（1）那样对每一个所给图形添加分割线，提供与（1）不同的分割方式；并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律： ___________， ___________， ___________， ___________． (3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数为___________． 【答案】(1)； (2)，，，； (3)． 【分析】（1）根据所给的式子的形式进行解答即可； （2）结合图形的特点，对图形进行分割，从而可求得相应的图形中钢管的总数； （3）根据（1）（2）进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）如图， ；；；， 故答案为：，，，； （3）∵； ； ； ， ..． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． 变式1．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，按这样的运动规律经过第次运动后，动点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，由图可得动点运动次数为偶数次时，动点的坐标是，据此解答即可求解，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键． 【详解】解：由图可得，第次运动后的坐标是，即， 第次运动后的坐标是，即， 第次运动后的坐标是，即， 第次运动后的坐标是，即， ， ∴动点运动次数为偶数次时，动点的坐标是，即， ∴第次运动后，动点的坐标是， 故答案为：． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，找出点坐标的规律变化是解题的关键． 根据点的纵坐标，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，由此得到点的纵坐标的变化规律，由此即可求解． 【详解】解：已知点的坐标是， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理，，， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 故答案为： ． 变式3．【问题背景】图中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，图A、B都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请参照下面的探究过程，完成相应的问题． (1)【观察发现】当内部有1个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表． C D E F 边上的点数x 4 8 8 9 多边形面积S 2 4 4 请完成表格，并归纳S与x之间的关系式为：______． (2)当多边形内部有2个点时，在如图的格点图中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边上的点数和面积填写在下面的表格中． 图1 图2 边上的点数x 多边形面积S 归纳S与x之间的关系式为：______． (3)【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，格点多边形的面积为S．试用含x，y的代数式表示S，并用所得规律求出【问题背景】中图形A的面积． (4)【拓展应用】一个格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，求出x与y的值．在图中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形． 【答案】(1)4.5， (2)图见解析，表格见解析， (3)， (4)，图见解析 【分析】（1）由表格的特殊情况找出规律即可得出结论； （2）先按要求画出图形，再由特殊情况找出规律即可得出结论； （3）由（1）（2）得出规律，再用规律求出图形A的面积即可； （4）先根据格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，列出方程求出x与y的值，再设计符合条件且具有轴对称特点的格点多边形即可． 【详解】（1）观察表格，当时，； 当时，； ∴多边形的面积＝边上的点数的一半，即， ∴当时，， 故答案是：4.5，； （2） （答案不唯一） 图1 图2 边上的点数x 6 7 多边形面积S 4 4.5 观察表格，当时，； 当时，； ∴多边形的面积＝边上的点数的一半加上1，即， 故答案是：6，7，4，4.5（答案不唯一）； （3）设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，则格点多边形的面积为， ∵A图形中，，， ∴， 即A图形中的面积为11.5； （4）由题意，得， 解之得． 设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形如图所示， （答案不唯一） 【点睛】本题主要考查图形规律和应用，一元二次方程组的解法，解题的关键是观察图形，由特殊情况总结规律，并能灵活应用规律解决问题． 变式4．观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法…，据此解答下面的问题． (1)填写下表： 图形 挖去三角形的个数 图形1 1 图形2 1＋3 图形3 1＋3＋9 图形4 ___________________ (2)根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数（用含n的代数式表示）； (3)若图中挖去三角形的个数为，求． 【答案】(1) (2)＝ (3) 【分析】（1）由图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的（1+3）个小三角形，图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，据此可得； （2）由（1）中规律可知＝； （3）将wn+1＝减去wn＝即可得． 【详解】（1）解：图1挖去中间的1个小三角形， 图2挖去中间的（1+3）个小三角形， 图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形， 则图4挖去中间的（1+3+32+33）个小三角形，即图4挖去中间的40个小三角形， 故答案为：1+3+32+33； （2）解：由（1）知，图n中挖去三角形的个数wn＝； 答：wn＝ （3）解：∵wn+1＝，wn＝ ∴wn+1﹣wn ＝（）﹣（） ＝3n． 答：wn+1﹣wn＝3n． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．解题的关键是掌握对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 学科网（北京）股份有限公司 $$