精品解析：浙江省浙南名校2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

2024学年第二学期浙南名校联盟期中联考 高一年级数学学科试题 命题学校：乐清中学倪陈洁审题学校：永康一中徐晶晶 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 的值 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：因为sin3000=-sin600=-,利用诱导公式可知．选D 2. 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数和对数的运算性质计算可得. 【详解】. 故选：B 3. 若圆台的轴截面为底角为60°的等腰梯形，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为6，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的空间结构关系以及侧面积公式计算即可. 【详解】设是上下底面圆心，， 连接,过点作的垂线，垂足为, 在直角三角形中，,则圆台的母线长为,    由圆台的侧面积公式可得； 故选：C. 4. 已知，m为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则m至少与，中一个平行 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】A 【解析】 【分析】由线面，面面间位置关系逐一判断即可. 【详解】对于A，由线面平行的性质可得若，，则m至少与，中一个平行，故A正确； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，若，，，则或相交，故D错误. 故选：A 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式、二倍角公式，计算求解. 【详解】解法一：因为，所以. 因为， 所以. 解法二：令，则，， 所以. 故选：D. 6. 已知在平行四边形中，，，且，，则的值为（ ） A. -3 B. -6 C. -9 D. -12 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，由向量加法法则和数量积的运算律计算可得. 【详解】 在平行四边形中,，, 因为，， 所以， 两式相减可得， 所以. 故选：C 7. 在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的4倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用面积之比可得，作边上高，垂足为，即可求. 【详解】 因为， 即，在中，作边上高，垂足为， 则， 故选：A 8. 水平桌面上放置了4个完全相同的半径为1的小球（不叠起），四个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．用一个半球形容器（容器壁厚度不计）罩住这四个小球，则这个半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的条件，画出4个球的外接球的示意图，根据图中的几何关系求解. 【详解】   如图，4个小球球心构成的正方形为，中心为N， 由题意，， 半球形容器的球心为O， 显然当半球形容器与4个小球都相切时球O的半径最小，半球形容器与球的切点为A， 连接ON，则小球的半径， 球O的半径； 所以半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，，则下列叙述中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用不等式的性质可得AB正确；举反例或者作差分析可得C错误；举例可得D错误. 【详解】对于A：因为，， 因为，两边同乘以，不等号的方向不变，得， 所以，故A正确； 对于B：因，，所以，所以， ，两边同乘以并化简得， 所以，故B正确； 对于C： 方法一：若，此时分母无意义，不能比较，故C错误. 方法二：时不等式左边无意义，不能比较. 当时做如下分析： ， 符号不确定，故结论不确定，故C错误; 对于D： 若，则，故D错误. 故选：AB 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，，有两解，则 C. 若，则是的垂心 D. 若，，为的外心，则的值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可得A错误；由正弦定理结合正弦函数的值域可得B正确；由向量数量积为零可得C正确；由数量积的运算律结合向量的加法可得D正确. 【详解】对于A，若为锐角三角形，设为等边三角形，则，故A错误； 对于B，若，，由正弦定理， 因为有两解，，所以，所以，故B正确； 对于C，由，得，即，所以，即.同理，，所以点P是的垂心，故C正确； 对于D，因为，为的外心，则， 设为中点，则， ， 同理， 又，，所以，故D正确； 故选：BCD 11. 已知复数，（，为虚数单位），，定义：，，则下列说法正确的有（ ） A. 若是复数的共轭复数，则恒成立 B. 对任意，都有恒成立 C. 存在，有成立 D. 对任意，都有恒成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用共轭复数及复数的运算法则，结合新定义逐一计算即可求解. 【详解】对于A，，则，则，故A正确； 对于B，， ，，所以，故B正确； 对于C，设， ， ， ，， ， 由绝对值不等式可得，故C错误； 对于D，设，则 ，，，由，，得恒成立，故D正确． 故选：ABD． 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设向量，，若与共线，则实数a的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为与共线， 所以， 得， 故答案为： 13. 甲船在B岛的南偏东方向A处，两地相距100千米．甲船向北偏西方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行．则两小时后，甲、乙两船的距离为_______千米． 【答案】 【解析】 【分析】画出简图，由余弦定理即可求解. 【详解】 设两小时后，甲、乙两船的位置分别为处， 由题意可知， 所以， 由余弦定理可得：， 即， 所以， 故答案为： 14. 如图1，“折扇”又名“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子，其平面图是如图2的扇形，其中，，点E在弧上运动（包括端点），记在方向上的投影向量为，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由投影向量的计算公式得到，再由向量数量积的运算率求解即可. 【详解】设，则 ， 为在方向上的投影向量， 所以， 所以 ， 由，可知当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的取值范围是， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，其中为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，设，，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义列出关于方程，求解即可； （2）根据题意得出复数及共轭复数，利用复数的乘除法计算即可. 【小问1详解】 由题意，因为z是纯虚数，所以有， 解得. 【小问2详解】 因为，所以，， 则， 所以，. 则. 16. 已知向量与的夹角为，且，，若，． （1）当时，求实数的值； （2）当取最小值时，求向量与夹角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合数量积的运算律即可求解； （2）由可确定时，得到，再由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 ∴ ∴ 【小问2详解】 当时，，此时 所以向量与夹角的大小为30°． 17. 如图，在四棱锥中，，M，N分别是，的中点，，． （1）求证平面； （2）若平面，求的值； （3）当时，若，，，请在图中作出四棱锥过点B，E，F的截面（保留作图痕迹），并求出截面周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）作图见解析，周长为 【解析】 【分析】（1）证明一：取的中点为Q，连接，，由面面平行的判定定理证明即可； 证明二：取的中点为R，过C作交于G，取中点H，连接，由（2）几何关系证明四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； 连接交于点O，连接，由面面平行的性质定理结合几何关系可求； （3）设为上靠近点C的三等分点，连接，，，，则四边形为所求截面，结合余弦定理计算可得. 【小问1详解】 证明一：取的中点为Q，连接，， ∵，N、Q分别为、的中点；∴， ∵平面，∴平面， 又∵为的中点，∴， ∵平面，∴平面， ∵，平面，∴平面平面， 又平面，∴平面. 证明二：取中点为R，过C作交于G，取中点H，连接，，，则，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面，∴平面. 【小问2详解】 连接交于点O，连接． ∵平面，平面平面，∴，∴． 又，∴，∴． 【小问3详解】 设为上靠近点C的三等分点，连接，，，，则四边形为所求截面． 证明过程如下：∵，∴，∴．又∵，． ∴四边形是平行四边形，∴，∴．故V、E、F、B共面， 故四边形为所求截面． ∵，，，，， 在中，∵1，∴ 故∴， 故， 所以截面周长为． 18. 已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足. （1）求角A的值； （2）记边上的高为h， （i）若，求的值； （ii）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）或； （ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角可得：.在中，根据代入上式化简，再利用辅助角公式和角的范围即可求解； （2）（i）由（1）知.根据三角形面积公式及余弦定理可求得的值，再利用正弦定理边化角即可求解； （ⅱ）由三角形面积公式及可得，代入，利用正弦定理边化角化简可得，结合角的范围和正弦函数性质即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理可得：. 在中，∵，∴， 代入上式化简可得：. ∵，∴，即，∴ . 又∵，∴，∴或，即或. 又为斜三角形知，∴. 【小问2详解】 （i）由（1）知. ∵面积，边上的高， ∴. 由余弦定理可知：，即，即，∴或. 所以或. （ⅱ）由，得， ∴ . ∵，∴，∴. 19. 对集合A，若存在实数k，使得对于，，则称集合A有下界k，实数k的最大值为函数的下确界，记作． （1）记函数，的值域为B，求； （2）已知函数 （i）记集合，若，求实数α的取值范围； （ii）记集合，，若，求实数a的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质结合集合新定义可得； （2）（i）法一：令，分离参数结合二次函数的性质可得；法二：令，再分的取值结合不等式的性质可得； （ii）由集合新定义结合二次函数与指数函数的单调性，分的取值讨论可得. 【小问1详解】 ，，∴ 【小问2详解】 （i）在上的下确界为-1， 故， 法一：令，，则 ，（参变分离） ∵，∴，∴ 法二：令，，则， 当时，，合题意； 当时，，不合题意； 综上所述， （ii）当时，； 而时，的下确界为， 故必有在上的下确界为-1，令，，则 ，的下确界为-1， 对称轴时，，，此时舍去； 对称轴时，，舍去； 当时，，，合题意； 当时，；此时在单调递减，故 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期浙南名校联盟期中联考 高一年级数学学科试题 命题学校：乐清中学倪陈洁审题学校：永康一中徐晶晶 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 值 A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A B. 1 C. D. 3. 若圆台的轴截面为底角为60°的等腰梯形，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为6，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，m为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则m至少与，中一个平行 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在平行四边形中，，，且，，则的值为（ ） A. -3 B. -6 C. -9 D. -12 7. 在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的4倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 水平桌面上放置了4个完全相同的半径为1的小球（不叠起），四个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．用一个半球形容器（容器壁厚度不计）罩住这四个小球，则这个半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，，则下列叙述中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，，有两解，则 C. 若，则是的垂心 D. 若，，为的外心，则的值为 11. 已知复数，（，为虚数单位），，定义：，，则下列说法正确的有（ ） A. 若是复数的共轭复数，则恒成立 B. 对任意，都有恒成立 C. 存在，有成立 D. 对任意，都有恒成立 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设向量，，若与共线，则实数a值为_______． 13. 甲船在B岛的南偏东方向A处，两地相距100千米．甲船向北偏西方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行．则两小时后，甲、乙两船的距离为_______千米． 14. 如图1，“折扇”又名“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子，其平面图是如图2的扇形，其中，，点E在弧上运动（包括端点），记在方向上的投影向量为，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，其中为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，设，，求的值． 16. 已知向量与的夹角为，且，，若，． （1）当时，求实数值； （2）当取最小值时，求向量与夹角的大小． 17. 如图，在四棱锥中，，M，N分别是，的中点，，． （1）求证平面； （2）若平面，求的值； （3）当时，若，，，请在图中作出四棱锥过点B，E，F的截面（保留作图痕迹），并求出截面周长． 18. 已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足. （1）求角A的值； （2）记边上的高为h， （i）若，求的值； （ii）求的取值范围. 19. 对集合A，若存在实数k，使得对于，，则称集合A有下界k，实数k的最大值为函数的下确界，记作． （1）记函数，值域为B，求； （2）已知函数 （i）记集合，若，求实数α的取值范围； （ii）记集合，，若，求实数a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$