精品解析：安徽省临泉第二中学2024-2025学年高三下学期4月期中数学试题

2025年高三数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共小题，每小题分，共计分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则：（ ）. A. 2 B. C. D. 3. 现有编号为的4个小球和4个盒子，把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒子装1个小球，则恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知数列的第1项和第2项均为1，以后各项由给出.若数列的各项除以3所得余数组成一个新数列，则（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升.截至2025年2月6日登顶中国国内电影票房榜首.下图为某平台向公众征集该电影的评分结果，根据表格信息我们可以估计其得分的分位数约为：（ ）. 评分/分 1 2 3 4 5 人数占比/% 1.0 3.2 13.6 34.2 48.0 A. 3.98 B. 4.03 C. 5 D. 4.38 7. 将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，有恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共小题，每小题分，共计分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分. 9. 已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C. 展开式中的系数为 D. 若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 10. 设函数，则（ ） A. 曲线存在对称轴 B. 曲线存在对称中心 C. D. 11. 已知各棱长均相等的四棱锥中，共面，为线段上一点，，则对于以下平面，在上的正投影为四边形的是：（ ）. A. 且 B. ，平面 C. ，平面 D. ，平面 三、填空题：本大题共小题，每小题分，共计分. 12. 曲线在点处的切线方程为_________ 13. 如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有__________种不同的染色方案. 14. 如图，某停车区域共有6个停车位，现有3辆白色汽车和2辆黑色汽车将停在车位上.记黑色汽车之间的白色汽车数为X，则X的数学期望为__________. 四、解答题：本大题共小题，共计分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 （1）求 （2）已知，D为AB边上一点，且，，求 16. 已知抛物线与直线交于两点，为坐标原点，. （1）求的值； （2）设为上且不与O重合的一点， （ⅰ）若与面积相等，求的坐标； （ⅱ）若在曲线段上，求面积的最大值. 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，，，，，E为AB的中点，M为CE的中点. （1）证明：； （2）若，N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为，求四棱锥的体积. 18. 已知函数，. （1）当时，证明：； （2）若在单调递增，求的取值范围； （3）若且，证明：. 19. 设，对于数列，，…，，若对任意，与均为非负数或者均为负数，则称数列，，…，为强数列. （1）判断数列，，，，与数列，，，，分别是否为强数列； （2）若存在公比为负数的等比数列，，…，，使得它为强数列，求公比q的取值范围； （3）设，，…，为强数列，且数列中正数与负数交替出现（不出现0），证明：一定可以从数列，，…，中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共小题，每小题分，共计分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解指数不等式求得集合，利用交集的意义即可求解. 【详解】集合， ， 所以. 故选：A. 2. 已知复数（为虚数单位），则：（ ）. A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的四则运算、共轭概念、模长公式代入计算即可. 【详解】， 所以 则，其模为， 故选：C. 3. 现有编号为的4个小球和4个盒子，把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒子装1个小球，则恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用排列、组合计数问题求出试验及所求概率的事件含有的基本事件数，再求出古典概率. 【详解】把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒子装1个小球的试验的基本事件总数为， 恰好有2个小球与盒子的编号相同的事件含有的基本事件数为， 所以恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为. 故选：A 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】由，，，， 由得，解得. 故选：C. 5. 已知数列的第1项和第2项均为1，以后各项由给出.若数列的各项除以3所得余数组成一个新数列，则（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用数列的递推式求得数列的项，进而求得各项除以3的余数组成的新数列是周期为8的数列，进而可求解. 【详解】因为，，所以数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，， 此数列各项除以3的余数依次构成的数列为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，，是以8为周期的周期数列， 所以 故选：A. 6. 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升.截至2025年2月6日登顶中国国内电影票房榜首.下图为某平台向公众征集该电影的评分结果，根据表格信息我们可以估计其得分的分位数约为：（ ）. 评分/分 1 2 3 4 5 人数占比/% 1.0 3.2 13.6 34.2 48.0 A. 3.98 B. 4.03 C. 5 D. 4.38 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合百分位数定义先确认百分位数位置，再直接求解即可. 【详解】因为， ， 所以分位数为5，故C正确. 故选：C 7. 将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式计算即可求解. 【详解】由题意知，半圆的周长为，设圆锥底面圆的半径为， 则，解得，又母线长为4， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 8. 已知函数，，有恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由转换成，或，在上恒成立，进而转化成求最值即可求解； 【详解】等价于，即，故有，或，在上恒成立， 即或在上恒成立， 令，得， 可得：在单调递增，在单调递减， 由，当，，， 令，由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 当，， 对于在上恒成立， 可得解得： 对于在上恒成立， 可得：，解得 故a的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本大题共小题，每小题分，共计分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分. 9. 已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C. 展开式中的系数为 D. 若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意写出展开式的通项，根据组合数的对称性、二项式系数之和、赋值法以及二项式系数的单调性，逐项检验，可得答案. 【详解】由，则其展开式的通项为， 对于A，根据题意可得，由组合数的性质可知，故A正确； 对于B，由，则展开式中奇数项的二项式系数之和为，故B错误； 对于C，由解得，则展开式中的系数为，故C正确； 对于D，令，则展开式中各项系数之和，解得， 可得展开式的通项为，即每项系数均为该项的二项式系数， 易知展开式中第项为二项式的中间项，则其系数最大，故D正确. 故选：ACD. 10. 设函数，则（ ） A. 曲线存在对称轴 B. 曲线存在对称中心 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式化简可得，即可判断A；根据恒不为常数即可判断B；根据正弦函数和二次函数的值域即可判断C；化简，即可判断D. 【详解】A：， 又是的一条对称轴，也是的对称轴， 所以曲线存在对称轴，故A正确； B：，恒不为常数， 所以曲线不存在对称中心，故B错误； C：由于 又，， 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； D：当时，，显然等号成立； 当时，有，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知各棱长均相等的四棱锥中，共面，为线段上一点，，则对于以下平面，在上的正投影为四边形的是：（ ）. A. 且 B. ，平面 C. ，平面 D. ，平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合线面垂直的关系逐项判断即可； 【详解】对于A.由于，故，易知在平面上的投影垂直，故， 因为且，由线面垂直的判定定理可得：，所以在上的投影为，投影图形为四边形，A正确； 对于B.时，，，又相交，且在平面内，故， 所以在上的投影重合，而的投影在的外部，所以投影为四边形，B正确； 对于C、D.如图：过作，设平面在上的投影为，若的投影，则为四边形，否则不是四边形. 设此时恰好在的投影上，取中点，则， 又平面平面，且两平面相交于，在平面内，所以平面， 又， 故只需.设为中点， ， 则在平面中，，易知：，过作交于， 在中，，故. 所以当时，落在外部，不是四边形，而时，落在内部，是四边形.故C错，D对， 故选：ABD. 三、填空题：本大题共小题，每小题分，共计分. 12. 曲线在点处的切线方程为_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】时，， ，当时，， 所以函数在处的切线方程是， 即. 故答案为： 13. 如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有__________种不同的染色方案. 【答案】192 【解析】 【分析】法一：间隔元素分析法，分同色，同色；同色，不同色；不同色，同色；不同色，不同色，结合和的颜色相同和不同，分类讨论，得到情况数，相加即可； 法二：相邻最多元素优先分析法，考虑到影响的元素最多，分各不同色， 和同色，结合同色，不同色，同色，不同色，共有类讨论，分类讨论，得到情况数，相加即可 【详解】法一：间隔元素分析法： ①同色，同色，则有两种上色方式，被确定，故有种； ②同色，不同色，则仅有1中上色方式，被确定，故有种； ③不同色，同色，则若与同色，则有1种上色方式； 若与不同色，则只有1种上色方式； 故有种； ④不同色，不同色， 1）同色，则有种；2）不同色，则有种. 综上，共有种方式. 法二：相邻最多元素优先分析法： 考虑到影响的元素最多： ①各不同色，1）同色，则有3种染色法，故共有种； 2）不同色，则有2种染色法，故共有：种； ②同色，1）同色，则只有1种染色法（4种颜色都要使用到）， 故有种；2）不同色，则有2种染色法，故有种. 综上：共有种染色方案. 故答案为：192. 14. 如图，某停车区域共有6个停车位，现有3辆白色汽车和2辆黑色汽车将停在车位上.记黑色汽车之间的白色汽车数为X，则X的数学期望为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意可知，，根据随机变量表示的意义，通过计算每个可能的值的概率，再由这些概率利用期望计算公式计算数学期望 . 【详解】X可能的取值为：0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以X的数学期望为⨉⨉⨉⨉ 故答案为：1. 四、解答题：本大题共小题，共计分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 （1）求 （2）已知，D为AB边上一点，且，，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，可求； （2）由已知可得，可求得，利用余弦定理可求得，进而可得为等腰三角形，可求解. 【小问1详解】 由可得， 即， 所以， 又因为，所以， 结合，所以； 【小问2详解】 由题可知，与相似，则， 设，则，有，故，所以， 在中，，解得：， 所以，所以为等腰三角形，所以 16. 已知抛物线与直线交于两点，为坐标原点，. （1）求的值； （2）设为上且不与O重合的一点， （ⅰ）若与面积相等，求的坐标； （ⅱ）若在曲线段上，求面积的最大值. 【答案】（1）2 （2）（ⅰ）或或；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设：，直曲联立，结合韦达定理和垂直向量坐标表示计算即可. （2）（ⅰ）与有相同的底，只需要其高相同即可.直曲联立求解即可. （ⅰⅰ）的底，要使高最大，即：与相切： 直曲联立，用根的判别式，结合面积公式计算即可. 【小问1详解】 设：， 则： 而，所以. 【小问2详解】 （ⅰ），与有相同的底，只需要其高相同即可. ①设：，，故 ②设：，或，即：或 综上：或或 （ⅱ）的底 要使高最大，即：与相切： ，， 此时，，，. 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，，，，，E为AB的中点，M为CE的中点. （1）证明：； （2）若，N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明如下： 在梯形ABCD中，连接交BD于CE一点， 因为且， 所以四边形CDBE为平行四边形， 所以BD与CE的交点即为CE中点M. 由已知可得，，，， 由余弦定理得, 所以三角形为直角三角形， 所以， 又，， 所以,且, 所以平面PBD， 又平面PBD， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证明垂直，再利用题干得，即可得到平面PBD，即可得到结论. （2）建立空间直角坐标系，利用线面所成角的向量求法解得高度h，即可求得四棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面PDM，如图，以D为坐标原点，分别以DB，DC为x，y轴，垂直于底面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，， 设，则，， 平面PDM的一个法向量为， 设直线AN与平面PDM所成角为， 则， 化简得. 由，可得，求得，. 故. 18. 已知函数，. （1）当时，证明：； （2）若在单调递增，求的取值范围； （3）若且，证明：. 【答案】（1）令，则， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，即， 令，， 令，， 当时，，单调递减，， 故，单调递减，，故， 所以. （2） （3）法一：增强函数法 在（2）中取，， 由于单调递增，不妨设， 故，又，则， 即，即， 又由（1）得，令，则， 所以，即； 法二：极值点偏移 令，， 所以在单调递增，记， 要证，即证，，令， ，故单调递增， 记==0，即，， 所以， 要证，即证，即证， 即证， 即证， ， 下面证明：当时，， 即证，又因为，， 所以，当且仅当时等号成立， 由于易知单调递增，所以当且仅当时等号成立； 即证，即证， 而，当且仅当时等号成立， 取等条件相同，所以，故单调递增， 又，所以成立， 所以成立. 【解析】 【分析】（1）通过构造函数，利用导数研究函数单调性来证明不等式； （2）先求出的导数，根据函数单调递增的条件转化为不等式恒成立问题，进而求解的取值范围； （3）结合（1）（2）运用增强函数法，或者构造函数，运用极值点偏移法，结合函数的单调性和所给条件，通过巧妙构造函数来证明不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知，， 当时，令，则， 为使单调递增，则，即恒成立，. ①时，，，单调递增，，， 此时不恒成立，舍去； ②时，令，则在单调递减，在单调递增， 所以有最小值，即， 由（1）得：，所以当且仅当， 所以. 【小问3详解】 略 19. 设，对于数列，，…，，若对任意，与均为非负数或者均为负数，则称数列，，…，为强数列. （1）判断数列，，，，与数列，，，，分别是否为强数列； （2）若存在公比为负数的等比数列，，…，，使得它为强数列，求公比q的取值范围； （3）设，，…，为强数列，且数列中正数与负数交替出现（不出现0），证明：一定可以从数列，，…，中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强数列. 【答案】（1） 数列，，，，不是强数列 数列，，，，是强数列 （2） （3）证明如下： 注意到若连续三项构成强数列，则中间项的绝对值最小，取数列中绝对值最小的一项， （若最小的同时存在正项和负项，取负项）. 如果， ①若，则，，故，与（2）中矛盾； ②若，则，，故，由（2）知矛盾， 于是不为首项，同理不为末项，我们取，，三项. （ⅰ）若，则，，且，，故，，，，构成强数列； （ⅱ）若，则，，且，，故，，，，构成强数列. ∴一定可以从数列，，…，中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强数列. 【解析】 【分析】（1）先求两个数列中所有三角函数值，然后根据强数列的定义判断即可. （2）思路一：利用等比数列求和公式，借助，分别得出，，从而得出，即，验证后，可得解；思路二：借助局部分析，得出与，从而得出，验证后，可得解； （3）注意到若连续三项构成强数列，则中间项的绝对值最小，取数列中绝对值最小的一项，若，由（2）知矛盾，得出不为首项和末项，再取，，三项,进行与讨论即可得证. 【小问1详解】 数列0，1，0，，0，前两项和为1，后三项和为，不是强数列； 数列1，0，，0，1，满足第一项、前两项、前三项、前四项、后一项、后两项、后三项、后四项的和均非负，是强数列. ∴数列，，，，不是强数列， 数列，，，，是强数列. 【小问2详解】 （方法一：等比数列求和）设首项，公比， 依题意，，即， 故，即，故. 另一方面，，即， 故，即，故. 于是，，又1，，1，…，1，，1满足条件，综上，. （方法二：局部分析）设首项，公比， 依题意，，∴， 即， 又∵，∴ 即， 故，即，故，. 同理，， 故，， 于是，又1，，1，…，1，，1满足条件，综上，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $