精品解析：吉林省长春市第五十二中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

长春市第五十二中学八年级下学期期中测试数学学科 温馨提示：请在答题卡上指定区域内作答，在草稿纸上、试题卷上答题无效！ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A. 0.25×10﹣5 B. 0.25×10﹣6 C. 2.5×10﹣5 D. 2.5×10﹣6 3. 若是一个最简分式，则可以是（） A. B. C. x D. 2 4. 如图所示，反比例函数与正比例函数的图象的一个交点是，若，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数y=kx﹣k与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是（　　） A. B. C. D. 7. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 8. 如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点，，在坐标轴上，，的面积为12，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分式和的最简公分母为______． 10. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是第______象限． 11. 如图，直线和直线的交点在第一象限，写出的一个可能的值是______． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心,以大于MN长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，若AB=5，AD=3，则CE的长为_____. 13. 已知点和点在反比例函数的图象上，如果，那么______．（填“”、“”、“”） 14. 如图，在中，，，是所在平面内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的长为______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. “竹外桃花三两枝，春江水暖鸭先知”．为了使春天来长白山旅游的客人能够买到中华秋沙鸭玩偶，某手工作坊计划制作600个“秋沙鸭”玩偶，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前2天完成任务．问原计划平均每天制作多少个玩偶？ 18. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用没有刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以、为顶点画一个面积为4的平行四边形； （2）在图②中以、为顶点画一个面积为6的平行四边形； （3）在图③中以、为顶点画一个面积为10的平行四边形．（正方形除外） 20. 某同学在研究一个函数时，利用计算机，设计了一个如图所示的流程图．若输入，输出；输入，输出；输入，输出． （1）______，______，______； （2）在平面直角坐标系中，请作出时的函数图象； （3）请写出一条该函数的性质：__________________； （4）根据函数图象，关于的方程有解，的取值范围为___________． 21. “琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进，两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，则进种图书的总费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示． （1）①当时，与之间的函数关系式______； ②当时，与之间的函数关系式______； （2）现学校准备购进，两种图书共100本，已知种图书每本25元．若购进种图书不少于50本，且不超过种图书本数的1.5倍，购进两种图书的总费用为元，请求出与之间的函数表达式，当为何值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 22. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：、 （1）如图，当时，在第二象限构造等腰直角，； ①直接写出 ， ； ②点的坐标是 ； （2）如图3，当（大于）的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作 ，并且，连接 ，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变，请说明理由； 【拓展应用】如图，在平面直角坐标系，点，过点作轴于点，作轴于点，为线段上的一个动点，点在第一象限（且在的上方）．问点，，能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出点坐标；若不能，请说明理由． 23. 在中，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． （1）当点在边上运动时，直接写出的长为________，________．（用含代数式表示） （2）在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； （3）点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分的面积时，直接写出的值． 24. 如图，把一次函数（，为常数，）．在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴及上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“”形图象，例如，如图1就是函数的“”形图象． （1）请在图2中画出一次函数的“”形图象； （2）在（1）的条件下，根据图象2，下列关于该函数性质的说法正确的有______．（填序号） ①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线； ②当时，函数表达式为，当时，； ③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值0； （3）在（1）的条件下，若一次函数的“”形图象与轴交于点A，与直线相交于，两点（点在点的左侧）， ①点的坐标为______；点的坐标为______． ②求的面积． （4）如图3，已知，，若一次函数（）的“”形图象与线段有二个交点，则的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第五十二中学八年级下学期期中测试数学学科 温馨提示：请在答题卡上指定区域内作答，在草稿纸上、试题卷上答题无效！ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0． 根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，解得x的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选A． 2. PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A. 0.25×10﹣5 B. 0.25×10﹣6 C. 2.5×10﹣5 D. 2.5×10﹣6 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）． 【详解】解：0.0000025第一个有效数字前有6个0（含小数点前的1个0），从而． 故选D． 3. 若是一个最简分式，则可以是（） A. B. C. x D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简分式．根据最简分式的定义，分子，分母中不含有公因式，不能再约分．对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】A、，不是最简分式，故本选项不符合题意； B、，不是最简分式，故本选项不符合题意； C、是最简分式，故本选项符合题意； D、不是分式，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图所示，反比例函数与正比例函数的图象的一个交点是，若，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查反比例函数与一次函数的图象，解题的关键是熟知函数与不等式的关系． 根据图象，一次函数在反比例函数上方，且函数图象都在x轴的上方即可求解． 【详解】解：根据图象可知当时，，在数轴上表示如下图， 故选D． 5. 如图，在中，，，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角定理等，确定各角之间的数量关系是解题的关键． 根据等腰三角形的性质求出，再根据平行四边形的性质求出，进而求出，最后根据三角形外角定理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 已知一次函数y=kx﹣k与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】（1）当k＞0时，一次函数y=kx﹣k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示： （2）当k＜0时，一次函数y=kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示： 故选B． 7. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 【答案】A 【解析】 【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形． 丙方案: 四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ， 即 （ASA） 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 8. 如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点，，在坐标轴上，，的面积为12，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，矩形的判定与性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键． 过点作轴于点E，将平行四边形面积转化为矩形面积，再得到矩形面积，应用反比例函数比例系数的意义即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点E， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， 又∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为矩形面积为6， 即， ∴设点坐标为， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分式和的最简公分母为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求解最简公分母．解题方法是取各分式分母中系数的最小公倍数作为最简公分母的系数，取各分式分母中各字母因式最高次幂的字母和次幂作为最简公分母的字母和次幂，两者相乘，即得到最简公分母．据此即可求解． 【详解】解：两个分式的分母分别为：，， ∴最简公分母为：， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 先由平方的非负性确定横坐标的正负，再根据每个象限内点的符号特点即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 而纵坐标， ∴点所在的象限是第四象限， 故答案为：四． 11. 如图，直线和直线的交点在第一象限，写出的一个可能的值是______． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，熟练掌握求一次函数的交点的方法是解题的关键． 联立两解析式求出交点坐标，根据交点在第一象限，列一元一次不等式组，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∵直线和直线的交点在第一象限， ∴， 解得：， ∴的一个可能的值是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心,以大于MN长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，若AB=5，AD=3，则CE的长为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可知∠DAE=∠BAE，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC=AD=5，∠BAE=∠DEA，故可得出△ADE是等腰三角形，据此可得出AD=DE，进而可得出结论． 【详解】∵由题意可知，AE是∠DAB的平分线， ∴∠DAE=∠BAE. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，BC=AD=5，∠BAE=∠DEA， ∴∠DAE=∠DEA， ∴△ADE是等腰三角形， ∴DE=AD=3. 故答案为2. 【点睛】考查角平分线的性质，平行四边形的性质，作图—基本作图，掌握平行四边形的性质是解题的关键. 13. 已知点和点在反比例函数的图象上，如果，那么______．（填“”、“”、“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴函数图象的两个分支位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，是所在平面内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的长为______． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，运用数形结合思想与分类讨论思想是解决本题的关键． 分三种情况讨论：①为边，是对角线；②，为边，③，为边，作出图形，分别由平行四边形的性质和勾股定理可求的长． 【详解】①如图，若为边，是对角线， 四边形是平行四边形，且，， ， ②若，为边， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ③若，为边， 是平行四边形， ， 故答案为：4或 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及求一个数的算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，掌握运算法则是解题的关键． 分别求算术平方根，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再进行加减计算． 【详解】解： ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握利用完全平方公式进行因式分解． 先对分式进行化简，再代数求值即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 17. “竹外桃花三两枝，春江水暖鸭先知”．为了使春天来长白山旅游的客人能够买到中华秋沙鸭玩偶，某手工作坊计划制作600个“秋沙鸭”玩偶，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前2天完成任务．问原计划平均每天制作多少个玩偶？ 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键. 根据题意列出分式方程解答即可. 【详解】解：设原计划平均每天制作x个玩偶， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每天制作50个玩偶． 18. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1） 选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）6 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，， ∴． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用没有刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以、为顶点画一个面积为4的平行四边形； （2）在图②中以、为顶点画一个面积为6的平行四边形； （3）在图③中以、为顶点画一个面积为10的平行四边形．（正方形除外） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图． （1）利用网格和平行四边形的判定作图即可； （2）利用网格和平行四边形的判定作图即可； （3）利用网格和平行四边形的判定作图即可；． 【小问1详解】 解：如图：即为所求； 【小问2详解】 解：如图：即为所求（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：如图：即为所求． 20. 某同学在研究一个函数时，利用计算机，设计了一个如图所示的流程图．若输入，输出；输入，输出；输入，输出． （1）______，______，______； （2）在平面直角坐标系中，请作出时的函数图象； （3）请写出一条该函数的性质：__________________； （4）根据函数图象，关于的方程有解，的取值范围为___________． 【答案】（1） （2）图见解析 （3）当时，随着的增大而增大； （4） 【解析】 【分析】此题考查一次函数与一元一次方程、反比例函数和一次函数的图象和性质、一次函数图象交点问题，数形结合和准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数求解即可； （2）根据利用两点法作出图象即可； （3）根据图象写出一条性质即可； （4）根据方程有解，得到直线与直线有交点，数形结合进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，当，输出； ， ； 当时，， 当时，，输入，输出； 输入，输出． ， 解得； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）知：当时，， 当时，， 当时，， 解得， 得到点，，根据即可作出函数图象如下： 【小问3详解】 解：该函数的性质：当时，随着的增大而增大； 【小问4详解】 解：∵有解， ∴直线与直线有交点， 如图， 当直线过点时，， ∴当时，有解． 故答案为：． 21. “琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进，两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，则进种图书的总费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示． （1）①当时，与之间的函数关系式______； ②当时，与之间的函数关系式______； （2）现学校准备购进，两种图书共100本，已知种图书每本25元．若购进种图书不少于50本，且不超过种图书本数的1.5倍，购进两种图书的总费用为元，请求出与之间的函数表达式，当为何值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】（1）①，② （2）当为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）购进种图书本，则购进种图书本，根据题意列出不等式组，求得，然后表示出总费用，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，设， 将代入解析式，得， 解得， ； ②当时，设， 将、分别代入解析式， 得， 解得， ； 故答案为：①，②． 【小问2详解】 解：购进种图书本，则购进种图书本， 根据题意得，， 解得， 购进两种图书的总费用， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 当为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元． 22. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：、 （1）如图，当时，在第二象限构造等腰直角，； ①直接写出 ， ； ②点的坐标是 ； （2）如图3，当（大于）的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作 ，并且，连接 ，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变，请说明理由； 【拓展应用】如图，在平面直角坐标系，点，过点作轴于点，作轴于点，为线段上的一个动点，点在第一象限（且在的上方）．问点，，能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出点坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）①，；②；（2）的面积是定值，定值为，理由见解析；[拓展应用] 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，坐标与图形， （1）①若，则，两点，即可求解； ②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； [拓展应用]过点作于，交于，分两种情况：当点在下方时；当点在上方时，分别 求出值即可． 【详解】（1）解：①若，， 又 ，； ②作于， ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）解：当变化时，的面积是定值，， 理由如下： 当变化时，点随之在轴负半轴上运动时， ， 过点作于，如图， ， ， ， ， ， ， ，， ． ， ． 变化时，的面积是定值，定值为18． [拓展应用]解：能，构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，，， 过点作于，交于， 分两种情况：当点Q在下方时，如图， ，， ， 由“型全等”可得， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 解得：，则； 当点在上方时，如图， 同理得： ， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 解得：，则； 综上，当在上方时，时，能构成以点为直角顶点的等腰直角三角形． 23. 在中，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． （1）当点在边上运动时，直接写出的长为________，________．（用含代数式表示） （2）在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； （3）点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分的面积时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2） （3）的值为或或 【解析】 【分析】（1）证明，再利用路程等于速度乘以时间可得，再利用线段的和差可得； （2）证明是直角三角形，且，，可得当是等腰三角形时，，再证明，可得，再建立方程求解即可； （3）如图，连接交于，则点为的对称中心．当点在上，且过点时，直线平分的面积，证明，可得，即，解方程即可；当点运动到点时，如图直线平分的面积，此时，而，再建立方程即可；与重合，与重合时，此时平分平行四边形的面积，此时． 【小问1详解】 解：，， ， 当点在边上运动时，，， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：，，， ， 是直角三角形，且， 四边形是平行四边形 ，， ， 当是等腰三角形时，， ， 又， ， ， ， ， 又， ，解得， 在（1）的条件下，当是等腰三角形时，的值是秒． 【小问3详解】 解：如图，连接交于，则点为的对称中心． 当点在上，且过点时，直线平分的面积， ， ，，而， ， ，即， ； 当点运动到点时，如图直线平分的面积， 此时， ， ，则； 当与重合，与重合时，此时平分平行四边形的面积，此时； 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题考查的是动态几何，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，利用数形结合的方法解题，清晰的分类讨论是解本题的关键． 24. 如图，把一次函数（，为常数，）．在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴及上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“”形图象，例如，如图1就是函数的“”形图象． （1）请在图2中画出一次函数的“”形图象； （2）在（1）的条件下，根据图象2，下列关于该函数性质的说法正确的有______．（填序号） ①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线； ②当时，函数表达式为，当时，； ③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值0； （3）在（1）的条件下，若一次函数的“”形图象与轴交于点A，与直线相交于，两点（点在点的左侧）， ①点的坐标为______；点的坐标为______． ②求的面积． （4）如图3，已知，，若一次函数（）的“”形图象与线段有二个交点，则的取值范围是______． 【答案】（1）作图见解析 （2）①②③ （3）①，；②20 （4）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用及两直线的交点问题，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）对于一次函数，先求与坐标轴交点，令，则；令，则．画出的图象，再将轴下方部分沿轴向上翻折，得到“”形图象． （2）从图象对称性、不同区间函数表达式及最值点三方面，依据“”形图象性质与翻折规则进行判断． （3）①由一次函数解析式确定点A的坐标即可，然后联立求出交点坐标， ②结合图形利用分割法求三角形面积即可； （4）对k的取值范围进行分类讨论，利用一次函数的增减性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 ①从图象看，沿直线对折，图象左右两部分能完全重合，所以该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线，①正确． ②当时，图象在轴下方，翻折后函数表达式为；当时，图象在轴及上方，函数表达式为，②正确． ③．观察图象可知，在自变量取值范围内，最低点是，即当时有最小值，③正确． 故答案为：①②③； 【小问3详解】 ①∵一次函数的“”形图象与轴交于点， ∴，对于（部分）可得，即． 联立， 将代入得： ． 解得， 把代入得 ， ∴． 联立， 将代入得： ． 解得， 把代入得 ， ∴． 故答案为：，； ②过作轴于，过作轴于， 则，，，，． ． 【小问4详解】 当时，一次函数过定点，要使“”形图象与线段有两个交点，当直线过时， ， 解得， 所以． 当时，当直线过时，， 解得， 所以． 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $