精品解析：安徽省安庆市第四中学2024—2025学年八年级下学期期中考试数学试题

安徽省安庆市第四中学2024—2025学年八年级下学期 期中考试数学试题 温馨提示：考试时间120分钟，满分150分． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A．该方程是分式方程，故本选项不合题意； B．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； C．该方程是一元一次方程，故本选项不合题意； D．该方程中含有两个未知数，故本选项不合题意； 故选：B． 2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数中不含有开得尽方的因数或因式，被开方数中不含有分母；属于基础题型，熟知最简二次根式的定义是正确判断的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故该选项错误； B． ，不是最简二次根式，故该选项错误； C． 是最简二次根式，符合题意； D． ，不是最简二次根式，故该选项错误． 故选：C． 3. 第26届杯世界棋王赛决赛于2月7日至9日在线上进行，这也是2022年第一个世界围棋大赛决赛．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（　　） A. 4 B. 5 C. 7 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题中棋盘中黑、白两棋子的位置，构建直角三角形，利用勾股定理即可得到答案，熟练掌握网格中线段长度的求法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ，即黑、白两棋子的距离为， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式加法、除法和二次根式化简，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．根据二次根式加法法则判断A、B；根据二次根式的性质化简即可判断C；根据二次根式除法法则计算并判断D． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程-4x2+3=5x，下列叙述正确的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式． 【详解】∵-4x2+3=5x ∴-4x2-5x+3=0，或4x2+5x-3=0 ∴a=-4，b=-5，c=3或a=4，b=5，c=-3． 故选B． 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式． 6. 直角三角形两条直角边长分别为和，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的混合运算，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．先根据勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵斜边长为 ∴直角三角形斜边上的中线长为． 故选A． 7. 如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设道路的宽米，小路的面积一个长32宽的矩形面积一个长20宽的矩形的面积，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽米， 则． ． 故选：D． 8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为4，且，则直角的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意图形的特点可知阴影部分的边长，再根据，找到边长的关系即可求解． 【详解】解：设，，，由图可得阴影部分的长为，宽为，故为正方形， ∴，即， ∵， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∴． 故选B． 【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是根据图形的特点求出阴影部分的边长． 9. 如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数阵排列，得出第行第个数（从左往右算）为；结合第行第个数与第（是整数，且）行从左向右数第个数相差个位置，据此进行列式计算即可．本题考查了算术平方根．根据数据排列规律，计算前行数据的个数是解决本题的关键． 【详解】解：由图中规律知， 第一行第二个数（从左往右算）为； 第二行第三个数（从左往右算）为； 第三行第四个数（从左往右算）为； 第四行第五个数（从左往右算）为； 以此类推， …… 第行第个数（从左往右算）为； 则 ∴第是整数，且行从左向右数第个数是． 故选：C． 10. 对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（ ） A. 只有② B. 只有②④ C. 只有②③ D. 只有②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意； ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意；④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意． 正确的结论为②④， 故选：B． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 12. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，那么m的值为 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．先利用因式分解法解方程，然后根据原方程有两个相等的实数根得出关于m的方程，然后求解即可． 【详解】解：， ∴或=0， ∴或， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，运用勾股定理建立方程求出是关键；由折叠知，则，在中由勾股定理建立方程，即可求出，在中由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：， ； 由折叠知， 则； 在中，， 即， 解得：； 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是___________（填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为___________． 【答案】 ①. 两个不相等实根 ②. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等．熟记相关结论是解题关键． （1）根据根的判别式即可进行判断； （2）根据根与系数的关系，，可得：，进一步可寻找的规律，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴故该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． （2）设方程的两个根为：， 则，， ∴， ∴ ∴ 故答案为． 三、（本大题共4小题，每小题8分，满分32分） 15. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用平方差公式，绝对值的意义进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ， ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而开方解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． （1）已知点A在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段，长度为，且点B在格点上． （2）以（1）中所画的线段为一边，另外两条边长分别为，．画一个，使点C在格点上（只需画出符合条件的一个三角形）． （3）所画出的的边上的高线长为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数． （1）根据网格特点结合勾股定理画出即可； （2）根据网格特点结合勾股定理作图即可； （3）等积法求线段的长即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 设边上的高线长为， 由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 18. 某市第四中学将组织一次八年级篮球联赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），恰好需要打场比赛，问共有多少支球队参加比赛？ 【答案】有支球队参加比赛 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设应邀请支球队参加比赛，根据计划安排171场比赛，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】设有支球队参加比赛，由题意得， ， 解得， 又 有支球队参加比赛． 四、（本大題共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下列问题： （1）根据题意，可知AC_____________（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若米，米，米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）． 【答案】（1）= （2）米 【解析】 【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ∴， 故答案为“＝”． 【小问2详解】 连接，则点、、三点共线， 在中，（米）， （米， 在中，（米）， ∵， （米）， 男孩需向右移动的距离为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【答案】（1） 证明： ， 这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和勾股定理． （1）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解方程得，或，，再利用勾股定理得到或，然后分别解关于的方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解方程得，， 即，或，， ，，分别是一个直角三角形的三边长， 或， 解方程得，（舍去）， 解方程得，（舍去）． 即的值为或． 五、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 观察下列各式及验证过程 验证： ，验证：； ，验证：…．． （1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想____________； （2）针对上述各式反映的规律，写出用第个（的自然数）表示的等式，并进行验证； （3）直接写出：____________． 【答案】（1） （2），验证见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，数式规律，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）按照所给等式的验证过程求解即可； （2）根据所给等式总结归纳得出第n个等式规律即可． （3）根据，然后根据（2）的规律求解即可． 【小问1详解】 解： 故答案为： 【小问2详解】 解：∵第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… ∴第n个等式：． 验证： ． 【小问3详解】 解： 故答案为：． 22. 某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． （1）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克樱桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ （2）在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）①每千克樱桃应降价4元或6元；②该店应按原售价的9折出售 （2）不可以达到，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）①设每千克樱桃应降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可； ②为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折． （2）设每千克樱桃应降价y元，利用销售量×每件利润=2400元列出方程，化简为一元二次方程一般式，利用根的判别式即可判断． 【小问1详解】 ①解：设每千克樱桃应降价x元，根据题意，得： ， 解得 ，， 答：每千克樱桃应降价4元或6元； ②由（1）可知每千克樱桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克樱桃应降价6元． 此时，售价为（元）， ∴． 故答案是：9． 【小问2详解】 设每千克樱桃应降价y元，根据题意，得： ， 即， ∵， ∴原方程没有实根． 答：该专卖店销售这种樱桃平均每天获利不可以达到2400元． 六、（本题满分14分） 23. 已知，和都是以为斜边的直角三角形，连接． （1）如图1，和在两侧时，若，过点D作交的延长线于点E． ①猜想：___________（请填入“＞”，“=”或“”），并给出证明； ②猜想：___________（请填入数字），并给出证明； （2）如图2，和在同侧时，若，猜想线段三者之间的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）①=，证明见解析；②，证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①根据四边形内角和等于360度和邻补角性质求解即可； ②证明得到由勾股定理可得，即可得出结论； （2）过点D作交于点E，设交于点M，证明，得到由勾股定理得，则，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①，证明如下： ∵和是以为斜边的直角三角形 故答案为：=． ②， 证明如下： ， 又 ， ，即， ； 故答案为：． 【小问2详解】 解：， 证明如下：过点D作交于点E，设交于点M， 且 ， ， 即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省安庆市第四中学2024—2025学年八年级下学期 期中考试数学试题 温馨提示：考试时间120分钟，满分150分． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 第26届杯世界棋王赛决赛于2月7日至9日在线上进行，这也是2022年第一个世界围棋大赛决赛．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（　　） A. 4 B. 5 C. 7 D. 25 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程-4x2+3=5x，下列叙述正确的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 直角三角形两条直角边长分别为和，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 7. 如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为4，且，则直角的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 9. 如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（ ） A. 只有② B. 只有②④ C. 只有②③ D. 只有②③④ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是____． 12. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，那么m的值为 ___________________． 13. 如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为__________． 14. 若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是___________（填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为___________． 三、（本大题共4小题，每小题8分，满分32分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． （1）已知点A在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段，长度为，且点B在格点上． （2）以（1）中所画的线段为一边，另外两条边长分别为，．画一个，使点C在格点上（只需画出符合条件的一个三角形）． （3）所画出的的边上的高线长为 ． 18. 某市第四中学将组织一次八年级篮球联赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），恰好需要打场比赛，问共有多少支球队参加比赛？ 四、（本大題共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下列问题： （1）根据题意，可知AC_____________（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若米，米，米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 五、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 观察下列各式及验证过程 验证： ，验证：； ，验证：…．． （1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想____________； （2）针对上述各式反映的规律，写出用第个（的自然数）表示的等式，并进行验证； （3）直接写出：____________． 22. 某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． （1）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克樱桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ （2）在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由． 六、（本题满分14分） 23. 已知，和都是以为斜边的直角三角形，连接． （1）如图1，和在两侧时，若，过点D作交的延长线于点E． ①猜想：___________（请填入“＞”，“=”或“”），并给出证明； ②猜想：___________（请填入数字），并给出证明； （2）如图2，和在同侧时，若，猜想线段三者之间的数量关系，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $