精品解析：四川省雅安中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占20%，选择性必修第二册占80%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列，则该数列的第99项为（ ） A. B. 197 C. D. 199 2. 某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ） A. 4米/秒 B. 3米/秒 C. 2米/秒 D. 1米/秒 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若数列满足，则（ ） A. 8 B. C. D. 5. 已知函数，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知递增等比数列的公比为，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的极小值点为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，从第3项开始，每一项都等于前两项之和.删去0后，记此数列为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符台题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 的一个极小值为 D. 在上的最大值为 10. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 数列中最大 D. 数列中最小 11. 过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在处可导，若，则__________. 13. 设等比数列的前项和为，若，则__________． 14. 已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求； （2）求在上的值域. 16. 如图，在长方体中，，． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知正项数列的前项和为，且，数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若任意，使得成立，求的取值范围． 18. 已知椭圆的离心率为，焦点与短轴端点围成的四边形的面积为6． （1）求椭圆的标准方程． （2）已知动直线过椭圆的右焦点，且与椭圆分别交于，两点．试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，说明理由． 19. 已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. （1）若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. （2）已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占20%，选择性必修第二册占80%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列，则该数列的第99项为（ ） A. B. 197 C. D. 199 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察数列的规律，写出其通项公式，根据通项公式求项即可. 【详解】通过观察，该数列的通项公式为， 所以. 故选：B. 2. 某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ） A. 4米/秒 B. 3米/秒 C. 2米/秒 D. 1米/秒 【答案】A 【解析】 【分析】直接求导并代入即可得到答案. 【详解】由，得， 则物体在秒时的瞬时速度米／秒． 故选：A. 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本函数的导数和求导法则，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为是常数，所以，所以A错误， 对于B，因为，所以B错误， 对于C，因为，所以C错误， 对于D，因为，所以D正确， 故选：D. 4. 若数列满足，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由首项，利用递推公式求出第二、三、四、五项，可得是周期为4的数列，从而可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以是周期为4的数列，故. 故选：D 5. 已知函数，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，得到，再解不等式，即可求解. 【详解】易知函数定义域为，因为， 所以，令，得， 所以，即，所以的单调递增区间为， 故选：A. 6. 已知递增等比数列的公比为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等比数列的性质得出，再解方程组得出即可计算. 【详解】因为，所以， 由得或， 因为递增，所以，所以，故． 故选：B. 7. 函数的极小值点为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】直接求导，根据极小值点定义即可判断. 【详解】. 令，得；令，得. 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以极小值点为1. 故选：B. 8. 斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，从第3项开始，每一项都等于前两项之和.删去0后，记此数列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出递推公式，结合累加即可. 【详解】因为，且， 所以，， ， 上述各式相加得. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符台题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 的一个极小值为 D. 在上的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数与函数的单调性间的关系，结合图形，直接求出单调区间，进而得到极值和最值，再结合各个选项，即可求解. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增，极小值为， 在上的最大值为，所以选项A和C错误，选项B和D正确， 故选：BD. 10. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 数列中最大 D. 数列中最小 【答案】BCD 【解析】 【分析】由条件结合等差数列的前项和公式及性质可得，，由此证明，，判断B，结合通项公式证明，判断A，再结合等差数列性质证明时，，时，，由此判断C，结合判断D. 【详解】因为，所以. 因为，所以，所以，故B正确. 所以，数列为递减数列，A错误； 又，所以， 所以时，，时，，所以数列中最大， 因为，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设切点，利用导数的几何意义得到切线方程为，结合条件得到，求出，即可求解. 【详解】设切点，因为，则， 则切线方程为，又， 所以，又切线过点， 所以，整理得到， 即，所以或， 当时，切线方程为，即， 当时，切线方程为，即， 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在处可导，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 设等比数列的前项和为，若，则__________． 【答案】##1.75## 【解析】 【分析】根据间隔相等的等长片段和序列，仍然成等比数列，即可得到答案. 【详解】因为为等比数列，所以，，，…也为等比数列． 设，则，， 所以，则， 故． 故答案为：. 14. 已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知原题意等价于在定义域内有两个零点，求导，利用分析单调性和最值，进而分析零点即可. 【详解】令，可得， 构建， 原题意等价于在定义域内有两个零点， 因为， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，且当趋近于或时，趋近于， 可知，即， 所以的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求； （2）求在上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，结合条件，利用导数的几何意义可得，即可求出，进而可求出，再利用切点在切线上，即可求解； （2）由（1）知，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以. 又在点处的切线方程为， 所以，解得，所以， 则，又切点在切线上，所以，解得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，则. 令，得或， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，，，所以在上的值域为. 16. 如图，在长方体中，，． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求解； （2）求出平面的法向量和，利用线面角的向量法，即可求解； （3）求出平面，再利用面面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，． 因为，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 设平面的法向量为，由（1）知，， 所以，令，得，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 设平面的法向量为，由（1）知，， 所以，令，得，所以． 设平面与平面所成的角为， 结合（2）得， 故平面与平面所成角的余弦值为． 17. 已知正项数列的前项和为，且，数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若任意，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系，作差可得是首项为7，公差为3的等差数列，即可求，作差即可求解， （2）利用裂项求和即可求解，进而利用单调性求解最值，解不等式即可. 【小问1详解】 由，得， 两式相减得，即． 因为，所以，即． 当时，，解得或（舍去）， 所以是首项为7，公差为3的等差数列，故， 因为，① 所以当时，，② ①-②得，也满足． 故的通项公式为，的通项公式为． 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，取得最小值． 因为对任意，恒成立，所以， 整理得，解得． 18. 已知椭圆的离心率为，焦点与短轴端点围成的四边形的面积为6． （1）求椭圆的标准方程． （2）已知动直线过椭圆的右焦点，且与椭圆分别交于，两点．试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在；，定值为 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的离心率，四边形的面积列出方程，求解椭圆的几何量，得到椭圆方程； （2）假设存在定点，使得为定值．①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理化简数量积，求出，得点的坐标为；②当直线的斜率为时，验证求解即可． 【小问1详解】 由题意得，， 又，解得，， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 存在，理由如下： ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆的方程， 可得．设，， 则，． 设，则 若为定值，则，解得， 此时，点的坐标为． ②当直线的斜率不存在时，则直线的方程为， 代入，得 不妨令，． 若，则，，． 综上所述，在轴上存在点，使得为定值，且定值为． 19. 已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. （1）若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. （2）已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 【答案】（1） （2）①； ②证明如下： 由①知，因为在内有两个不同的零点，， 所以方程在内有两个根，，即. 因为在上单调递增，在上单调递减，所以. 欲证，即证. 因为且在上单调递减， 所以只需证明，即证. 欲证，即证，即， 只需证，即证，而该式显然成立. 欲证，即证. 因为，所以只需证， 即证，即需证. 令，，则， 所以在上单调递增，所以，则原不等式得证. 故. 【解析】 【分析】（1）求出函数的二阶导数，依题意可得当时，恒成立，分、两种情况讨论，结合二次函数的性质计算可得； （2）①依题意可得在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，利用导数求出，即可求出参数的取值范围；②依题意可得方程在内有两个根，，即，结合①可得，欲证，即证，再结合函数的单调性证明即可. 【小问1详解】 因为，定义域为， 所以，. 因为是上的凸函数，所以在上恒成立， 即当时，恒成立. 函数图象的对称轴为直线， 当，即时，只需时，即可，所以， 当，即时，只需时，即可，所以， 综上可得. 【小问2详解】 ①因为，，所以，. 因为是上的凹函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则. 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减. 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $