精品解析：四川省南充市南部县第二中学2024-2025学年九年级下学期第一次阶段性学情诊断数学试题

2024-2025学年度下九年级第一次阶段性学情诊断 数 学 试 卷 （时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各点不在反比例函数图像上的为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 已知与相似，且相似比为，则与的周长之比是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 7. 赵爽弦图是我国古代数学家赵爽创制的一种几何图形，用于证明勾股定理．如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（ ） A. B. C. 4 D. 8. 如图，把矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 化简：的结果为_________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 _____． 13. 一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是____________海里． 14. 小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省________N的力．（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂） 15. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________． 16. 如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是______．（填序号） 三、解答题 17. 计算：（）﹣1﹣2tan45°+4sin60°﹣ 18. 如图，点在线段上，，，．求证：． 19. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题： （1）求第四小组的频数，并补全频数分布直方图； （2）若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校学生共有1260人，请估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数； （3）若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分，现要从这4人中随机抽取2人去参加学校组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是男生的概率． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标． 22. 如图，是的直径，C，D是上两点，平分，过点C 作，垂足为E、 （1）求证：是的切线； （2）已知 ，求的长． 23. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 24. 已知E是边长为7的正方形对角线上一点，过点E的直线平行于，交于M，交于N，于E，交于F，当时 （1）求证：． （2）求的长． （3）求的值 25. 二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； （3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下九年级第一次阶段性学情诊断 数 学 试 卷 （时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各点不在反比例函数图像上的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，判定点与反比例函数的关系，代入解析式，计算判断即可． 【详解】解：∵， ∴点在反比例函数上，故A不符合题意； ∵， ∴点在反比例函数上，故B不符合题意； ∵， ∴点不在反比例函数上，故C符合题意； ∵， ∴点在反比例函数上，故D不符合题意； 故选C． 2. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案. 【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ，米. ， 米. 故选： B . 【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比. 3. 已知与相似，且相似比为，则与的周长之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，判断即可． 【详解】解：由题意，与的周长之比是； 故选B． 4. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】解：如图所示， 由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 5. 如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 点在上，为的中点， ， ， ， 根据圆周角定理可知， ， 故选：A． 【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 6. 若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键． 7. 赵爽弦图是我国古代数学家赵爽创制的一种几何图形，用于证明勾股定理．如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质及正弦函数的计算，明确相关性质及定理是解题的关键． 先由两个正方形的面积分别得出其边长，由赵爽弦图的特征可得，则，在中，利用勾股定理求出，最后按照正弦函数的定义计算求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1， ∴大正方形的边长，小正方形的边长， 由题意得：，， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去） ∴． 故选：A． 8. 如图，把矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，解直角三角形，根据折叠的性质，矩形的性质，得到，设，，则：，勾股定理求出之间的数量关系，再根据锐角三角形的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形，， ∴，，设， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴； 故选C． 9. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、反比例函系数的几何意义，作轴于，由矩形的面积得出的面积为，解直角三角形得出，证明，求出，最后根据反比例函系数的几何意义计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作轴于， ∵矩形的面积是6， ∴的面积为， ∵，， ∴， ∵对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 10. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先得到该函数的对称轴直线，根据当时，随的增大而增大，得，再结合，，则当或时，，然后由当时，函数的最大值是8，最小值是，即可作答． 【详解】解：解：二次函数， 该函数的对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， 当时，， 当或时，， 当时，函数的最大值是8，最小值是， ， 故的值可能是6， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 化简：的结果为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，利用平方差公式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得出，根据等面积法得出，设，则，进而即可求解． 【详解】解：∵点，点， ∴， ， ∵， ∴， 过点作于点， ∵，是的角平分线， ∴ ∵ ∴ 设，则， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 13. 一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是____________海里． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作交于点，利用特殊角的三角函数值，列方程即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于点， 由题意可知,， 设为x， ，， 根据，可得方程， 解得， 渔船与灯塔C的最短距离是海里， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解解直角三角形-方位角问题，熟知特殊角度的三角函数值是解题的关键． 14. 小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省________N的力．（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂） 【答案】100 【解析】 【分析】设动力为，根据阻力阻力臂动力动力臂，分别解得动力臂在1.5m和2m时的动力，即可解答． 【详解】解：设动力为， 根据阻力阻力臂动力动力臂， 当动力臂在1.5m时，可得方程，解得， 当动力臂在2m时，可得方程，解得， ，故节省100N的力， 故答案为：100． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题目中给出的等量关系，正确列方程是解题的关键． 15. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． 16. 如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是______．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】设正方形的边长为，，根据折叠的性质得出，根据中点的性质得出，即可判断①，证明四边形是平行四边形，即可判断②，求得，设，则，勾股定理得出，进而判断③，进而求得，，勾股定理求得，进而根据余弦的定义，即可判断④，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵为的中点， ∴ 设正方形的边长为， 则 ∵折叠， ∴， ∴ ∴是等腰三角形，故①正确； 设， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即是的中点，故②正确； ∵， ∴ 在中，， ∵ ∴ 设，则， ∴ ∴ ∴，， ∴，故③正确； 连接，如图所示， ∵，， 又 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴，故④不正确 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题 17. 计算：（）﹣1﹣2tan45°+4sin60°﹣ 【答案】0． 【解析】 【分析】根据实数的性质进行化简即可求解. 【详解】原式＝2﹣2×1+4×﹣2 ＝2﹣2+2﹣2 ＝0． 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质. 18. 如图，点在线段上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后证明出，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】略 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定． 19. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题： （1）求第四小组的频数，并补全频数分布直方图； （2）若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校学生共有1260人，请估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数； （3）若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分，现要从这4人中随机抽取2人去参加学校组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是男生的概率． 【答案】（1）第四小组的频数为10， 补全统计图如图： （2）该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数为294人 （3）所选2人都是男生的概率为． 【解析】 【分析】（1）首先利用第二小组的人数及所占比例求得总人数，然后求得第四组的人数，即可作出统计图； （2）利用总人数1260乘以优秀成绩所占的比例即可求解； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：样本容量是（人）， 第四组的人数是：（人）， 【小问2详解】 解：该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数为（人）； 【小问3详解】 解：画树状图： 共有12种等可能的结果数，其中抽到的2人都是男生的结果数为6， 所以抽到的2人都是男生的概率为． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．还考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标． 【答案】（1）， （2）Q点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求一次函数的解析式，割补法求面积，公式法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，再代入，得出，再运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答． （2）要进行分类讨论，当点在点的右边时和点在点的左边时，根据求不规则面积运用割补法列式，其中运用公式法解方程，注意计算问题，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意把代入，得出 解得 把代入中，得出 ∴ 则把和分别代入 得出 解得 ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得出 ∵点Q在反比例函数位于第四象限的图象上， ∴设点Q的坐标为 如图：点在点的右边时 ∵的面积为21，和 ∴ 整理得 解得（负值已舍去） 经检验是原方程的解， ∴Q点坐标为 如图：点在点的左边时 ∵的面积为21，和 ∴ 整理得 解得，符合题意，，不符合题意， 则，故 综上：Q点坐标为或． 22. 如图，是的直径，C，D是上两点，平分，过点C 作，垂足为E、 （1）求证：是的切线； （2）已知 ，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（）由，则，由平分，则，再由圆周角定理和等边对等角可得，所以，从而证明，通过平行线的性质证明，最后根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明； （）根据圆周角定理得到 ，由，，求出，再根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】（1） （2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 【小问3详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 24. 已知E是边长为7的正方形对角线上一点，过点E的直线平行于，交于M，交于N，于E，交于F，当时 （1）求证：． （2）求的长． （3）求的值 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ，，， 是等腰直角三角形， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ， ， ， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质对角线平分一组对角可得，然后求出是等腰直角三角形，再求出，然后求出，然后根据同角的余角相等求出，再利用“角边角”证明和全等，，即可证明相似； （2）根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，再利用勾股定理列式计算即可得解； （3）作，分别求出的长，利用正切的定义进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ，，， 是等腰直角三角形， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， 在中，； 【小问3详解】 作，由（1）（2）可知：，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的判定方法是解题的关键． 25. 二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； （3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，则 ，解得，（舍去），故； （3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求最值即可． 【小问1详解】 解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； 【小问3详解】 存在，理由： 当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时， 设点，则点，设直线交轴于点， 设直线表达式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得 则， 则， 则 ， 即存在最小值为； 此时，，点Q不在在点P上方时， 故舍去 当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时， 同上可求直线表达式为：， 令，得 则， 则， 则 即存在最小值为； 当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求， 即存在最小值为， 综上所述，的面积是否存在最小值，且为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $