精品解析：贵州省遵义市习水县第五中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

贵州省遵义市习水县第五中学2023-2024学年高一上学期期末考试 高一数学 注意事项: 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷．草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若偶函数在上是单调递减的，则下列关系式中成立的是（ ）． A. B. C D. 6. 已知函数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5 8. 函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A. 与表示同一函数 B. 函数的图象与直线的交点最多有2个 C. 对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 D. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为 10. 下列选项中，在为增函数的是（ ） A B. C. D. 11 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有__________个元素. 13. 已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为________． 14. 对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，如，则_______；若函数，则的值域为_______． 四、解答题:本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分． 15. 已知集合，． （1）当时，求集合及； （2）若，求实数的取值范围． 16. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本） （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式. （2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 17. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. （1）求函数解析式； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 若函数满足对任意的，，都有，，且，则称为“超加性倾向函数”. （1）若函数，试判断是否是“超加性倾向函数”，并说明理由. （2）证明：函数是“超加性倾向函数”. （3）若函数是“超加性倾向函数”，求的值. 19. 意大利著名画家达芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样?这便是闻名遐迩的“悬链线问题”．1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为，其中c为参数.当时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性． （1）求证：； （2）求函数最小值； （3）求证：对，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省遵义市习水县第五中学2023-2024学年高一上学期期末考试 高一数学 注意事项: 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷．草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论而不是否定条件， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A 2 已知集合，集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可． 【详解】因为集合，集合， 所以． 故选：C 3. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 又， 所以. 故选：D 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式及绝对值不等式，根据解集的关系及充分、必要条件的定义计算即可. 【详解】由，解之得或， 记不等式的解对应集合， 由或，解之得或， 记不等式的解对应集合， 显然A是B的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 若偶函数在上是单调递减的，则下列关系式中成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用偶函数的定义可得，再由在,的单调性，即可得到所求大小关系． 【详解】解：∵是偶函数， ∴， ∵在单调递减， ， ∴， ∴， 故选：． 6. 已知函数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】根据指数函数单调性知为单调减函数， 因为，则，解得， 则的取值范围是. 故选：D. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定的分段函数，依次判断代入计算. 【详解】函数中，， 所以. 故选：C 8. 函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令， ，可将问题转化为在区间上的最大值与最小值之差的范围，然后分别讨论在，，，四种范围下的最值情况，可得答案. 【详解】因，则， 令，则，又令， 则问题等价于求在区间上的最大值与最小值之差的范围. 下列提及的，均满足. 当， 则此时在上单调递增， 则， 因， 则在上单调递增，在上单调递减， 则此时， ； 即此时； 当， 则在上单调递增，在上单调递减. 则， 其中. 注意到， 则，则， 则此时； 当， 则此时在上单调递减， 则， 因， 在上单调递增，在上单调递减， 则此时， ； 即此时； 当， 则上单调递减，在上单调递增. 则， 其中. 注意到， 则，则， 则此时； 注意到， 则当时，在区间上的最大值与最小值之差的范围为： ， 即在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是：. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键在于分类讨论，分类讨论时为防止出错，应按照一定的顺序，此外因三角函数具有周期性，可先分析函数在一个周期内的最值情况，再推广到全体定义域内. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A. 与表示同一函数 B. 函数的图象与直线的交点最多有2个 C. 对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 D. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，结合函数相等的定义，即可求解；对于B，结合函数的定义，即可求解；对于C，利用二次不等式恒成立求解即可；对于D，利用参变量分离法即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为， 故两个不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数的图象与直线的交点最多有个，故B错误； 对于C，，即恒成立， 当时，，符合题意， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是，故C正确； 对于D，不等式对一切恒成立， 则，， 设，，则函数在上单调递增， 故，所以实数的取值范围为，故D正确. 故选：CD. 10. 下列选项中，在为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义分别判断即可得到答案 【详解】当时，为增函数，A正确 ，因为与在上均为增函数，所以在也为增函数，B正确 的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，C错误 ，因为与在均为减函数，所以在也为减函数，D错误 故选：AB 11. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】 ， 即， 对于A，，易知为偶函数，所以A正确； 对于B，对称轴为，故B错误； 对于C，，单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误； 故选：AC 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有__________个元素. 【答案】9 【解析】 【分析】先根据数据计算集合至少有八个数，再应用反证法证明恰好有八个元素不成立，即可求出元素的最小值. 【详解】设A中的数从小到大排列为 则；；；；； 于是A至少有八个数； 假设A恰好有八个元素，由于； 故必须有，， 又，同理， 但此时，，矛盾， 故A不可能恰好有八个元素， 因此A至少有九个元素. 其九个数可以为：1，2，3，6，12，13，25，50，100. 故答案为：9. 13. 已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由单调递增得出所满足的不等式组，求解即可. 【详解】分段函数要是单调递增函数，必须每一段都是单调递增函数， 且左边一段的最大值小于等于右边一段的最小值. 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，如，则_______；若函数，则的值域为_______． 【答案】 ①. 208 ②. 【解析】 【分析】令，然后分，，，和求出对应的的范围，再根据的定义可求出的值，先判断为偶函数，然后化简时的解析式，再根据正弦函数的性质可求出的值域，从而可求出的值域. 【详解】令，则， 令，则时，；时，； 时，；时，；时，， 所以 ； 的定义域为， 因为， 所以为偶函数， 所以， 当时，， 当且时，， 当且时，， 所以， 所以当时，， 当时，， 当时，， 所以的值域为. 故答案为：208， 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 四、解答题:本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分． 15. 已知集合，． （1）当时，求集合及； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合和，利用集合的交并补运算求解即可； （2）根据，得，分别讨论，，即可. 【小问1详解】 因为，即，解得或， 所以或，， 当时，， 所以，； 【小问2详解】 若，则， 由（1）知， 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，当时，， 综上， 所以实数的取值范围是. 16. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本） （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式. （2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1）； （2）年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可； （2）根据配方法、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 当时， ； 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 所以； 当时，， 当且仅当，即时等号成立. 故， 所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元. 17. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，根据函数的奇偶性列方程组，即可求出结果； （2）在上恒成立，即在上恒成立，再利用基本不等式求的最小值，即可求出结果. 【小问1详解】 因为①，则， 又为上的奇函数，为上的偶函数， 则有②， 由①+②得到，所以. 【小问2详解】 因为不等式在上恒成立， 由（1）知，即在上恒成立， 即， 因为，所以，故， 所以， 又，所以， 故. 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 18. 若函数满足对任意的，，都有，，且，则称为“超加性倾向函数”. （1）若函数，试判断是否是“超加性倾向函数”，并说明理由. （2）证明：函数是“超加性倾向函数”. （3）若函数是“超加性倾向函数”，求的值. 【答案】（1）不是“超加性倾向函数”，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接求解判断即可； （2）根据“超加性倾向函数”的定义直接证明即可； （3）根据“超加性倾向函数”的定义，对恒成立，等价于对恒成立，又对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立，进而利用不等式恒成立问题，求解参数即可. 【小问1详解】 当时，， 因为是上的增函数，所以， 则，则不是“超加性倾向函数”. 【小问2详解】 因为，所以是上的增函数. 因为是上的增函数，所以是上的增函数， 因为，所以. 取任意的，， 则. 因为，，所以，，所以，， 所以， 所以，则， 故是“超加性倾向函数”. 【小问3详解】 因为是“超加性倾向函数”，所以对恒成立， 即对恒成立. 因为，所以，所以. 因为是“超加性倾向函数”， 所以对任意的，恒成立， 所以，即， 即对任意的，恒成立. 因为，，所以，，所以，， 所以，所以，解得. 故. 19. 意大利著名画家达芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样?这便是闻名遐迩的“悬链线问题”．1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为，其中c为参数.当时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性． （1）求证：； （2）求函数的最小值； （3）求证：对，． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入双曲余弦和双曲正弦函数的解析式，化简即可. （2）求函数解析式，利用换元法结合基本不等式可求函数的最小值. （3）当时，研究的符号，判断它们的大小，当时，构造函数，利用函数的单调性进行判断. 【小问1详解】 因为. 所以：. 【小问2详解】 设，则，当且仅当时取“”. 则，在上单调递增. 所以. 所以函数的最小值为. 【小问3详解】 当时，，. 对， 因为，所以为偶函数； 设，则， 因为，所以，，所以， 所以，即在上单调递增. 所以当时，. 对，类似的方法可得：为奇函数，在上单调递增. 所以当时，. 所以； 当时，. 设. 所以， 所以. 即. 综上可得：对，. 【点睛】关键点点睛：在第三问中，关键是要分析双曲余弦函数和双曲正弦函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质比较大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$