精品解析：广东省梅州市兴宁市第一中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

北师大版2024到2025学年下期八年级数学中段试题 考试时间 120 分钟，满分 120 分 一、单选题（每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的．） 1. 神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段，下列航天图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义：如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义逐项分析即可解答． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形不是中心对称图形，不符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，理解性质是解题的关键．根据不等式的性质1，两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴A，B，C不符合题意； ∵， ∴，D符合题意； 故选：D． 3. 一个等腰三角形的周长为16，其中一边长是4，则此三角形另两边的长可能是（ ） A. 6，6 B. 4，8 C. 6，6或4，8 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分4为等腰三角形的底边长与腰长两种情况进行讨论．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 【详解】解：当4为等腰三角形的底边长时，腰长， ，可得构成三角形， 这个等腰三角形的其余两边长分别为6，6； 当4为等腰三角形的腰长时，底边长， ，不能构成三角形． 综上，此三角形另两边的长是6，6， 故选：A． 4. 已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（    ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴． 故答案为：4． 5. 在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可判断选项A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断选项C、D 是否是直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，故A不符合题意； ∵， ∴设 ∵， ∴， 解得，， ∴ ∴不是直角三角形，故B符合题意； ∵ ∴设 又 ∴是直角三角形，故C不符合题意； ∵，， ∴ ∴是直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点，正确求得不等式的解集成为解题的关键．先求得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ∴， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， ∴， 解得：， 在数轴上表示如下： 故选D． 7. 如图，在中，，． 通过观察尺规作图的痕迹，可以求得的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得∶直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． 故答案为：B． 8. 某小区便利店负责人上午买回来30千克黄瓜，价格为每千克元，下午他又买回来20千克黄瓜，价格为每千克元，后来他以每千克元价格卖完后，发现自己赔了钱，其原因是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列不等式及解不等式，根据题意列不等式，解出不等式的解集，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，他买黄瓜每斤平均价：， 他以每千克元的价格卖完后，发现自己赔了钱， 则， 解得：， 故选：A． 9. 如图，点A点的横坐标为a，根据图像，判断下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与不等式的关系，熟练掌握知识点，利用数形结合思想是解题的关键． 根据一次函数与不等式的关系即可判断A、B、D，根据一次函数的性质即可判断C． 【详解】解：A、当时，，故A错误，不符合题意； B、当时，，故B错误，不符合题意； C、当时，y随x的增大而增大，故C错误，不符合题意； D、当时，，正确，符合题意， 故选：D． 10. 如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，证明即可判定①；过点作于，于，由全等三角形的性质得，即得，根据角平分线的判定即可判定③；由全等三角形的性质和三角形内角和定理可得，即得，即可判定②；在线段上截取，连接，证明得，根据②可得为等边三角形，即得，即得，即可判定④；综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； 过点作于，于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴， ∴，故②错误； 在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由②得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有个， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】原式提取公因式，把已知等式整体代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了代数式的运算问题，掌握提取公因式法和代入法是解题的关键． 12. 如图，将沿BC方向平移一定距离得到．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质：平移前后两图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到，，则，再利用得到，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵沿方向平移一定距离得到， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12． 13. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先解不等式组，根据不等式组无解进行计算即可解答．熟练掌握不等式组无解是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 由不等式②得：， 不等式组无解， ， 故答案为：． 14. “绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是________． 【答案】 【解析】 分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围． 【详解】解： ． 根据题意得：， 解得：， 车速的取值范围是． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当时，的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】进行分类讨论：当点在上方时，，易得点在上，，通过证明是等边三角形，即可求解；当点在下方时，延长交于点，此时，通过证明是等边三角形，即可求解；当时，先证明为等边三角形，得出为中点，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 当点在上方时，，如图， ，， 点在上，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ， 是等边三角形， ； 当点在下方时，延长交于点，如图，此时， ，， ， 在中，， ， 是等边三角形， ； 当， 是等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， 为中点， ， 根据勾股定理可得：， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 【答案】﹣2≤x＜ 【解析】 【分析】分别求出各个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ， 解不等式①得：x≥−2， 解不等式②得：x＜， ∴不等式组的解集为−2≤x＜， 将解集表示在数轴上如下： ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集的应用，主要考查学生的计算能力，注意：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变． 17. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点的坐标是，点的坐标为，点的坐标为． （1）作关于轴对称的图形； （2）将向右平移4个单位长度，得到，其中点分别为点的对应点，直接写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解析 （2）点的坐标为； 【解析】 【分析】本题考查的是画轴对称图形，平移的性质，坐标与图形； （1）分别确定关于轴对称的对称点，再顺次连接即可； （2）先根据图形可得，再利用平移的性质可得． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴将向右平移4个单位长度，得到，其中点分别为点的对应点，则． 18. 如图，已知直线（）经过点，． （1）若直线与直线相交于点A，求点A的坐标； （2）根据图象，直接写出的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，解方程组，求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）先求得的解析式为，构造方程组求交点坐标即可； （2）利用交点的横坐标，结合不等式解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，直线，经过点，， 根据题意，得， 解得， ∴的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故． 【小问2详解】 解：根据题意，得，由，得 ， 由图象知①的解集为， 解不等式②得，， 故不等式组的解集，得． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，平分，于点E，于点F，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得，再根据证明，即可得． （2）由角平分线的定义和平行线的性质可得，．在中，可得，则可得．又由角平分线的性质定理可得，由此可得，即可得解． 【小问1详解】 证明：平分，，， ，． 又， ． ． 【小问2详解】 解：平分，， ，． ， ，， ， ． 在中，， ， ． 平分，，， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质、平行线的性质、证明两直角三角形全等、以及“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 20. 阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时 中又有公因式，于是可以提出，即 ，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题： （1）解决问题：分解因式． （2）拓展运用：已知是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2）是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握分解因式的几种方法． （1）把多项式的前两项分成一组，后两项分成一组，利用提公因式法和公式法分解因式； （2）把所给等式分组为，再分解因式，可得，再进一步即可得到答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 是等腰三角形，理由如下： ， ， ∴， ∴， ∴， 或 ， 或 ， 等腰三角形． 21. 如图，等腰中，．点是上两动点，且，若． （1）求证：． （2）当时，求的长； 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、用勾股定理解三角形，等腰三角形的性质等知识点． （1）先证明，结合 ，，从而可得结论； （2）设 ，则 ，证明 ，可得 ，再利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解： ， 设 ，则 ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， 解得 ， ． 五、解答题（三）（本大题2小题，22小题13分，23小题14分，共27分） 22. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元． （1）该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元．求，的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案 （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值． 【答案】（1）、值分别为和；（2）共3种方案分别为：方案一购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；方案二购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；方案三购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；（3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值； （2）根据题意，列出一元一次不等式组，解方程组即可得到购买方案； （3）分别求出三种方案的利润，然后列出不等式，即可求出答案． 【详解】解：（1）由题意得 ， 解得：； 答：、的值分别为和； （2）根据题意， 解得：， 因为是整数 所以为、、； ∴共3种方案，分别为： 方案一购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克； 方案二购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克； 方案三购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克； （3）方案一的利润为：元， 方案二的利润为：元， 方案三的利润为：元， 利润最大值为元，甲售出，乙售出， ∴ 解得： 答：的最大值为； 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用二元一次方程组，以及不等式组的知识解答． 23. 如图1，在中，，，点D为中点，点E为内一点，连接，，连接． （1）在图中找出与相等的角，并证明； （2）探究线段与的数量关系，并证明； （3）如图2，若，，求的值． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分别求得，，即可得到； （2）将绕点时顺时针旋转得到，连接．延长至点， 使，连接．证明和，利用等腰直角三角形的性质即可求解； （3）先证明是等腰直角三角形，推出在同一直线上，求得，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，将绕点时顺时针旋转得到，连接．延长至点， 使，连接． ，且为等腰直角三角形． ，，， ． 在和中，， ， ，， ，． 在和中，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）得，，且， ∴， ∴是直角三角形， 由（2）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在同一直线上， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版2024到2025学年下期八年级数学中段试题 考试时间 120 分钟，满分 120 分 一、单选题（每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的．） 1. 神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段，下列航天图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个等腰三角形的周长为16，其中一边长是4，则此三角形另两边的长可能是（ ） A. 6，6 B. 4，8 C. 6，6或4，8 D. 无法确定 4. 已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（    ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ， 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，． 通过观察尺规作图的痕迹，可以求得的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 某小区便利店负责人上午买回来30千克黄瓜，价格为每千克元，下午他又买回来20千克黄瓜，价格为每千克元，后来他以每千克元价格卖完后，发现自己赔了钱，其原因是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A点的横坐标为a，根据图像，判断下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时， 10. 如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则_____． 12. 如图，将沿BC方向平移一定距离得到．若，则图中阴影部分的面积为________． 13. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______． 14. “绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是________． 15. 如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当时，的长为______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 17. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点的坐标是，点的坐标为，点的坐标为． （1）作关于轴对称的图形； （2）将向右平移4个单位长度，得到，其中点分别为点的对应点，直接写出点的坐标． 18. 如图，已知直线（）经过点，． （1）若直线与直线相交于点A，求点A的坐标； （2）根据图象，直接写出的解集． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，平分，于点E，于点F，． （1）求证：； （2）若，，，求长． 20. 阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时 中又有公因式，于是可以提出，即 ，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题： （1）解决问题：分解因式． （2）拓展运用：已知是三边，且满足，请判断的形状并说明理由． 21. 如图，等腰中，．点是上两动点，且，若． （1）求证：． （2）当时，求的长； 五、解答题（三）（本大题2小题，22小题13分，23小题14分，共27分） 22. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元． （1）该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元．求，的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案 （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值． 23. 如图1，在中，，，点D为中点，点E为内一点，连接，，连接． （1）在图中找出与相等的角，并证明； （2）探究线段与数量关系，并证明； （3）如图2，若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $