专题08：圆锥曲线的综合（十一大热点题型训练）——2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺热点题型专项训练（八） 圆锥曲线 【热题归纳】 题型1：直线与圆 1．（2025上海宝山三模）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直线方程化为斜截式，根据直线方向公式进行判断即可. 【详解】，所以该直线的一个方向向量为， 因为，所以向量与向量是共线向量， 其他选项的向量与向量不是共线向量， 故选：B 2．（2025上黄浦三模）已知直线的斜率为，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【分析】先求出直线的斜率，化简可得，再利用基本不等式即可求得的最大值. 【详解】， 当且仅当时取等号，所以k的最大值为. 故答案为：. 3．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【答案】 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 4．（2025·上海浦东新·二模）设圆方程为，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆的半径. 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，故圆的半径为. 故答案为：. 5．（2025·上海嘉定·二模）直线与圆相交所得的弦长为 ． 【答案】 【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可. 【详解】由，即， 所以圆心为，半径为， 所以到的距离， 综上，直线与圆的相交弦长为. 故答案为： 6．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线和直线互相平行， 故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离：. 故答案为： 7．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 【答案】/ 【分析】结合图象得到，问题转化成求最小值即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， ， 当最小时，最大. 的最小值为圆心到直线的距离， 根据点到直线距离公式， 所以. 故答案为：.      题型2：圆锥曲线的性质 8．（2025·上海黄浦·二模）抛物线的焦点到其顶点的距离为 ． 【答案】/0.25 【分析】求出抛物线的焦点及顶点即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，顶点为， 所以该抛物线的焦点到其顶点的距离为. 故答案为： 9．（2025·上海普陀·二模）设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 【答案】9 【分析】根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】拋物线的准线为， 由点到轴的距离为3，得点的纵坐标， 由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而， 所以. 故答案为：9 题型3：焦点弦或焦点三角形 10．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意先求出直线的方程，再与双曲线方程联立求出点的坐标，即可根据三角形的面积公式求出的面积. 【详解】双曲线的焦点，渐近线方程为， 依题意，直线的方程为， 由，解得，则点的坐标为， 所以的面积为. 故答案为： 11．（2024·上海宝山·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为.延长切线交双曲线的右支于点，为坐标原点，点为线段的中点，则 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，中位线的性质，可转化为，根据勾股定理计算，然后利用及解方程求解即可. 【详解】如图， 取双曲线右焦点，连接，由题知，，所以， 因为O为，T为PF的中点，所以TO为的中位线， 可得.又， 所以， 又，所以，又， 所以，解得. 故答案为：5 12．（2025·上海崇明·二模）已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ． 【答案】 【分析】由抛物线得定义过点作准线的垂线，可构造直角三角形，由此可得，再在中由余弦定理可得，接着利用双曲线的定义可求，最后利用共焦点求得. 【详解】由题意可知，， 如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，    则，得， 在中由余弦定理可得， ，即， 则由双曲线的定义可得，得， 则 故答案为： 题型4：求离心率的值或范围 13．（2025·上海普陀·二模）设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定直线与圆的位置关系，表示出直线的斜率，数形结合，根据直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系，得到的关系，求出离心率的取值范围，即可进行判断. 【详解】如图： 因为，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，方程为：. 因为点到直线：的距离为：， 所以直线与圆相切. 又过点，且，直线与双曲线的右支在第一象限内交于点， 所以直线的斜率为：. 又一、三象限双曲线的渐近线的斜率为：. 又. 即. 故选：D 14．已知椭圆与双曲线有相等的焦距，离心率分别为，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】椭圆和双曲线的基本性质，并利用离心率定义列出关系式，利用函数求出最值即可. 【详解】设椭圆的焦点为，双曲线的焦点为， 根据椭圆、双曲线、正方形的对称性可知， 两曲线位于第一象限的公共点为， 则， 所以， 所以， 即， 当且仅当时取等号. 故选：A 15．（2025·天津和平·一模）已知是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线交于两点，分别为双曲线的左、右顶点，连接交轴于点，连接并延长交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则的横坐标都为， 代入双曲线方程得, 而，所以直线方程为， 令，得， 所以直线:，令得，， 因为，所以可得 ，整理得，所以. 故选：D. 16．（2025·上海·模拟预测）已知反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线分别为轴和轴，且它们的夹角为，将该双曲线绕其中心（坐标原点）旋转可使其渐近线为直线和，由此可求得双曲线的离心率为.已知函数的图象也是双曲线，那么该双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据双曲线得几何性质即可求解. 【详解】由，可得渐近线为直线与轴， 因为渐近线得斜率为，所以该渐近线得倾斜角为， 所以两条渐近线与轴得夹角为， 所以将双曲线的图象绕其中心旋转可使其渐近线变为直线， 所以， 所以该双曲线的离心率为. 故答案为：. 17．（2025·上海徐汇·二模）已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，再结合双曲线定义，求得，结合△为直角三角形，利用勾股定理，建立的等量关系，进而求解即可. 【详解】设中点为，连接，作图如下所示：    在△中，因为分别为的中点，故//，且； 由题可知，，且，故，且； 根据双曲线定义可知，，又， 故在△中，由勾股定理，也即， 整理得，故，也即该双曲线的离心率为. 故答案为：. 题型5：参数的范围与最值 18．在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点，动点满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据动点满足的条件，得到其轨迹方程，再利用点到直线的距离公式求出的最小值. 【详解】设点，由及，得， 即，又，消去得， 的最小值即为点到直线的距离， 由已知得，而，故的最小值为. 故选：C. 19．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题. 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 20．（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，利用两圆有公共点的条件建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 21．（2025·上海青浦·模拟预测）已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 【答案】 【分析】因为点在圆外，与两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径，设出点坐标，写出距离，再根据二次函数性质即可求解. 【详解】设抛物线上的点坐标为， 圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离. 令，则，对其求最小值， 根据二次函数性质，当时，最小为. 则与两点间最短距离为.    故答案为：. 22．（2025·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 题型6：命题真假辨析 23．（2025·上海长宁·二模）椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】设，通过求导可得椭圆在点处的切线的斜率为，由法线和切线垂直可得，即可判断①；由已知结合椭圆的定义可得，即可判断②. 【详解】设，因为，所以， 当时，， 所以在点处的切线的斜率为， 同理可得当时，在点处的切线的斜率为， 所以椭圆在点处的切线的斜率为， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以，故①是真命题； 因为发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点， 所以两次反射后，第一次回到所经过的路程为， 所以，所以，故②是真命题. 故选：. 24．（2025·上海浦东新·二模）已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于命题①，通过考虑以原点为圆心的圆与椭圆上直线的位置关系来判断； 对于命题②，通过取双曲线顶点，分析以原点为圆心的圆与双曲线相关直线的位置关系来判断. 【详解】判断命题①： 已知过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于，两点，连接. 根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件. 当与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切.所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确.      判断命题②： 当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点，. 由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确.    故选：A. 25．在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【分析】 对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考虑. 【详解】对于①，取直线, 则对于任意的，有， 故圆均在直线的下方， 而对任意的，有， 故圆均在直线的上方， 而当时，表示原点，它在直线的下方， 故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧. 所以①成立. 对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为 当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立. 故选：B 26．（2025·上海金山·二模）已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】对于①，注意到， 则可想到当时满足题意；对于②，设， 则，后由可得，利用三角函数知识可得，据此可判断命题正误. 【详解】 ，则当时，，， ， 即当时，恒成立，则①是真命题； 设， 则， 又， 则. 因， 则， 则，令， 则， 即， 则 ，其中， ，则， 因，则 ， 则， 则，故②是真命题. 故选：A. 【点睛】关键点睛：对于命题①，关键为注意到； 对于命题②，难点在于确定的范围，为此首先将看作整体，随后将从相关等式中分离出来，最后利用三角函数的值域确定范围. 题型7：轨迹与方程 27．（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】依题意，， 则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆， 由，得， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 28．（2025·黑龙江·一模）已知曲线为上一点，则以下说法不正确的有（    ） A．存在点，使得 B．的取值范围为 C．若的值与无关，且，则取值范围为 D．若的值与无关，则其最小值为． 【答案】A 【分析】首先对曲线进行化简，分类讨论点的位置判断A，利用点到直线的距离公式结合余弦函数的性质判断B，利用平行线间的距离公式结合直线与椭圆的位置关系判断C，D即可. 【详解】我们首先对曲线的方程化简，得到， 对于A，若点在曲线上时， 有，此时，不可能有； 当点在曲线上时，曲线的渐近线方程， 当点在上时，曲线的渐近线方程， 如图，因为直线与渐近线方程平行， 则不存在点，使得，故A错误； 对于B，因为可看作到 直线的距离的倍， 因为直线与平行， 且之间的距离为1，故， 由图可知，当点在曲线上时， 点到直线的距离有最大值， 设， 点到直线的距离为， 结合余弦函数有界性可得， 当且仅当等号成立，即， 则的取值范围为，故B正确． 对于C，设 由 得表示点到直线和的距离之和的倍， 的值与无关，则该曲线在两平行线和之间， 当与曲线椭圆部分相切时， 联立得，且，解得或， 所以的范围为，故C正确； 对于D，当为渐近线为 与曲线椭圆部分相切的直线时， 的值最小， 由平行线间距离公式得与的距离， 则， 且，故D正确． 故选：A 29．（2025·广东江门·一模）(多选）已知曲线，则（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线上的点到点的距离最大值为 D．若点是曲线上的点，则的最大值为1 【答案】AD 【分析】用换判断A；确定曲线对应的图形，结合圆的相关知识求解判断BCD. 【详解】对于A，令是曲线上的任意一点，即， 则成立，即点在曲线上，因此曲线关于轴对称，A正确； 当时，，即，是以为圆心， 2为半径的圆在直线及上方的半圆，当时，， 即，是以为圆心，为半径的圆在直线及下方部分， 对于B，曲线在直线及上方的半圆面积为，B错误； 对于C，曲线在直线及下方部分上的点与点的距离最大值为 ，C错误； 对于D，表示曲线上的点与点确定直线斜率的， 观察图形知，当过点的直线与曲线在轴下方部分相切时，直线斜率最大， 设此切线方程为，则，解得，所以的最大值为1，D正确. 故选：AD 30．（2025·甘肃兰州·一模）(多选）已知曲线，则以下说法正确的是（    ） A．点在曲线内部 B．曲线关于原点对称 C．曲线与坐标轴围成的面积为 D．曲线的周长是 【答案】BC 【分析】选项A，结合图象，当时，或，可判断；选项B，将换成，将换成，方程不变，可得；选项C，结合方程的对称性，在第一象限时，图象为圆的一部分，根据圆的方程可得其在第一象限与坐标轴围成的面积，进而可得；选项D，同C结合方程的对称性，求在第一象限部分的长度即得. 【详解】 选项A：当时，得，即， 因，故，故或， 因，故点在曲线外部，故A错误； 选项B：将换成，将换成，方程不变， 故曲线关于原点对称，故B正确； 选项C：将将换成，方程不变，故曲线关于轴对称， 设曲线在第一象限与坐标轴围成的面积为， 则曲线与坐标轴围成的面积为， 当时，方程，即， 其圆心坐标为，半径为，如图， 当时，得或，故弦长， 由，故， 则，故，故C正确； 选项D：由题意可知曲线的周长为，故D错误， 故选：BC 题型8：综合题---向量的转化应用 34．（2025·上海普陀·二模）设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标和的长度求出基本量后可得椭圆的标准方程； （2）求出直线与椭圆的交点后可得关于横坐标的方程，从而可求其坐标. （3）利用两角和的正切结合韦达定理可证. 【详解】（1）， 直线l过所以右焦点，即， 所以，椭圆方程为. （2）当，直线，， 解得， ， 设，到直线距离， 由面积，得或， 即或 . （3）    设， 因为向量在直线上的投影为向量，故， 故直线的斜率为，故直线的方程为，故， 而， 故， 联立， ，， 故， 设，设， 由双勾函数的性质可得在为增函数， 故，故， . 35．（2024·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)存在；或 (3) 【分析】（1）求出点坐标后，根据椭圆定义可求得结果； （2）根据三角形面积可求得点到直线的距离为，利用平行直线间距离公式可求得到直线的距离为的直线方程，与椭圆方程联立可求得点坐标； （3）将问题转化为，结合韦达定理可表示出之间的关系，结合可构造出关于的不等式，解不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）由椭圆方程知：，，，则， 设，，解得：，即， 由椭圆定义知：. （2）由（1）知：， ，； 若存在点，使的面积为， 则点到直线的距离， ，直线方程为：，即， 设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为， ，解得：或； 当时，直线方程为， 由得：，解得：或， 或，点或； 当时，直线方程为， 由得：，方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点； 综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或. （3）由题意可设直线，，， 由得：， ，即，，， 设线段中点为，则，， ，又为中点，， ，，即，， 直线与轴和轴均不平行，，， ，整理可得：， ，，解得：， 即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积、参数取值范围的求解问题；本题求解参数范围的关键是能够根据向量数量积关系，将问题转化为，从而利用两点间距离公式和韦达定理化简该等量关系. 36．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线，直线与交于两点. (1)求的取值范围； (2)已知上存在异于的两点，使得. （i）当时，求到点的距离（用含的代数式表示）； （ii）当时，记原点到直线的距离为，若直线经过点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用直线与双曲线的位置关系结合韦达定理计算即可； （2）（i）设及其中点坐标，根据极化恒等式、弦长公式计算即可；（ii）设直线方程，结合（i）的结论知既在圆上也在双曲线上，分别联立直线与圆、双曲线方程消去得出两个一元二次方程，由横坐标均满足方程得出参数关系式，化简求，再分类讨论结合判别式、点到直线的距离公式计算范围即可. 【详解】（1）联立直线与双曲线方程得， 则或， 即的取值范围为； （2）（i）设，则， 由（1）可知：，则， 设中点为D，则， 而， ， 所以， 又由弦长公式可知：， 所以，即到点的距离为； （ii）由（i）知，当时，， 则在圆上， 由题意知直线斜率存在，不妨设其方程为：， 与双曲线联立， 与圆联立 ， 即横坐标均满足上述方程， 所以， 化简得， 即，解之得或， 当时，， 则，显然恒成立， 又， ①时，， 而由（1）知：， 又，所以，此时； ②时，， 同理知， 所以； 当时，， 显然，上式无解，舍去； 易知，所以综上有. 【点睛】思路点睛：第二问先由极化恒等式得出P、Q的轨迹圆，第一小问根据弦长公式计算即可；第二小问分别联立直线与圆、双曲线的方程，利用同解方程得出参数关系式，从而计算出的取值，再分类讨论的不同取值结合判别式计算即可. 37．（2024·浙江·模拟预测）已知为双曲线上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为． (1)求双曲线的标准方程． (2)连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若． ①求证：为定值； ②若直线AB​的斜率为−1​，求点P​的坐标． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②或． 【分析】（1）根据双曲线定义得出，由题意可知，，根据余弦定理计算可得，再根据双曲线的关系计算即可； （2）①设，，，由，，将代入双曲线联立方程求解即可，②由①可知，根据题意建立等式求解即可求解. 【详解】（1）由双曲线的定义知，， 由题意可得，， 在中，由余弦定理知， 解得，因为，所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）①设，，，， 由， 即，所以 同理，由，得， 将的坐标代入曲线得， ， 将的坐标代入曲线得， ， 所以为定值； ②由①知，， ， 因为点在双曲线上，所以或， 即或． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是根据题意求出A，B两点坐标，代入双曲线中得到与的关系. 38.（2025·上海虹口·二模）已知点和是双曲线的左、右焦点． （1）若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； （2）当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； （3）若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围． 【解析】（1）双曲线的渐近线为， 由于是双曲线的一条渐近线，故．------------------------------2分 所以，故．------------------------------------4分 （2）由于点满足， 所以点落在椭圆上．------------------------------------6分 设，则，解得．------------------------------------8分 由于，所以的面积．---------10分 （3）由于存在实数使，故． 延长交双曲线于点，由双曲线的对称性，得与关于原点对称， 故四边形的面积与三角形的面积相等．------------------------12分 设的直线方程为，其中，设． 由得， 故,， 由于在第一象限，在第四象限， 故，解得．------------------------14分 所以三角形的面积．-------16分 由，故对有解， 化简得对有解． 设，则对有解． 设，则在严格减， 得恒成立，故， 即，由，解得．------------------------------------18分 39．（2024·浙江·模拟预测）在直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为．也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且． (1)求的方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义求得，进而，结合椭圆的定义求出a，进而求出b，即可求解； （2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，得，当时，直线方程联立椭圆方程求出和，结合化简计算可知点Q在定直线上；当或k不存在时也符合以上结论. 【详解】（1）由题意得，解得． 由于点M在上，所以，解得， 所以，所以， 则，即，又，所以， 所以椭圆方程为． （2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为， 与椭圆方程联立，消去y得． 因为点在椭圆内，所以， 设，则， ， 所以． 当时，，则直线的方程为， 与椭圆方程联立得． 设，则． 由，得 ， 所以点Q在定直线上． 当时，由条件可得，， 则点也在直线上． 当k不存在时，由条件可得，可知点也在直线上． 综上，点Q在定直线上． 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 40.（2024·上海长宁·二模）已知椭圆为坐标原点； (1)求的离心率； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； (3)点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)的最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率； （2）利用椭圆的几何性质，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解； （3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得，再联立直线与椭圆方程得到关于的表达式，进而化简得到与的关系，由此得解. 【详解】（1）设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为， 则，则，所以. （2）依题意，设，则，，故， 则， 所以由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. （3）设，又， 易得，则直线为，即 ， 而， ， ， 联立，消去，得 则，得， 所以， 故 ， 所以， 故存在，使得恒成立. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 题型9：综合题---比值问题 41．（2025徐汇三模）已知双曲线E：的左，右顶点分别为，，，双曲线E渐近线的方程为，过作斜率非零的直线l交E于，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的斜率分别为，，求证为定值； (3)在x轴上是否存在定点，使得定点恰好在以为直径的圆上，若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）依据题意求解出基本量，再得到标准方程即可. （2）设出交点坐标，利用韦达定理表示，，再通过运算证明定值即可. （3）将问题转化为向量数量积问题，并假设定点存在，得到，再求解方程，发现方程有解，证明存在性即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为双曲线E渐近线的方程为，所以， 解得，，则双曲线的标准方程为． （2）易知，， 如图，设，，直线l的方程为， 联立，得， 则，，，， 得到，故， . （3）由题可知：， ：，下面我们给出示意图， 联立可得：，所以， 即，同理． 假设在x轴上存在定点满足条件，则， 即， 则， 得到， ， ， 即，解得， 则在x轴上存在定点满足条件． 42．（2024·浙江·模拟预测）已知点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)设点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； (3)过点作斜率为的动直线与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点，满足． （ⅰ）求斜率的取值范围； （ⅱ）证明：点恒在一条定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）将点代入方程，解出即可； （2）利用距离公式即可证明； （3）将直线与双曲线的方程联立，可得到一个二次方程，利用二次方程的性质即可得到的取值范围，再利用韦达定理，可以用表示点的坐标，最后验证点恒在直线上即可. 【详解】（1）由点在双曲线上，知，故. 展开得到，即，故. 所以，故双曲线的方程为. （2）设的坐标为，则，即. 而双曲线的渐近线为和，故到两条渐近线的距离之积为，此为定值. （3） （ⅰ） 由题意知直线的方程为，即，与即联立，得到. 将展开，即为. 设，，由于与的右支有两个不同的交点，故关于的方程有两个不同的正数根，这等价于，即. 由，知条件等价于. 而 ， 故条件等价于，即，且，且，即. 所以斜率的取值范围是. （ⅱ） 设，由于是关于的方程的两个不同的正数根，故，. 由于，，，且在同一直线上，故，. 而，故，即. 从而，故. 由，，知. 去分母，得，即，所以. 由于点在直线上，而直线的方程为，故. 从而点的坐标为. 由于，故点恒在定直线上. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对韦达定理的多次运用，在求斜率的取值范围，以及求点的坐标时，均用到了韦达定理. 韦达定理能够让我们先确定关于一个多项式方程的根的初等对称多项式的取值（而不需要解出每个根），再由此确定任意一个对称多项式（或对称的分式表达式等其它对称表达式）的取值. 例如对于二次方程，我们由韦达定理确定和后，就可以由此确定若干对称表达式的值，例如在距离问题中常见的，和在比例问题中常见的. 本题中我们处理的是表达式，将其化为，再利用其取值为零，结合韦达定理即可轻松解出，而不需要解出. 43．（2025·浙江模拟预测）已知抛物线:的焦点，直线过且交C于两点，已知当时，中点纵坐标的值为. (1)求的标准方程. (2)令，P为C上的一点，直线，分别交C于另两点A，B.证明：. (3)过分别作的切线， 与相交于，同时与相交于，求四边形面积取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）设直线的方程为，，利用设而不求法可得，由条件可得，，由此可求，可得抛物线方程； （2）设，联立与抛物线方程可求的坐标，由此可得，联立与抛物线方程可求的坐标，由此可得，进一步证明结论； （3）由条件求出方程，再求的坐标，讨论，表示四边形面积，结合导数求其范围. 【详解】（1）抛物线的焦点的坐标为， 若直线的斜率为0，则与抛物线只有一个交点，与条件矛盾， 可设直线的方程为，联立，化简得①， 方程①的判别式， 设， 所以， 若，则， 所以， 又中点纵坐标的值为，所以， 解得， 所以抛物线方程为； （2）设点的坐标为，则，直线的方程为， 联立，化简可得②， 方程②的判别式，所以，， 设的坐标为，则，所以， 所以， 直线的方程为， 联立，化简可得③， 方程③的判别式 设的坐标为，则，所以， 所以， 所以； （3）设过点的切线方程为， 联立，化简可得④， 方程④的判别式，解得， 所以， 所以，即的方程为， 同理可得的方程为：， 的方程为：， 联立，又，， 解得，，又，即点的坐标为， 联立，又， 解得，， 又，即点的坐标为， 因为，，所以， 所以点的坐标为， 因为，，所以，所以点的坐标为， 所以直线的方程为， 记直线与直线的交点为点，则点的坐标为， 根据抛物线的对称性，不妨设，则或， 当时，则，， 所以，， 所以四边形的面积， 所以， 设，由已知，则， 所以， 函数在上单调递减， 所以， 当时，则，， 所以，， 所以四边形的面积， 所以， 设，由已知，则， 所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 所以四边形面积取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 44．（2025浦东新三模）一般地，抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形．如图，，分别为抛物线的切线三角形和切点三角形，为该抛物线的焦点．当直线的斜率为时，中点的纵坐标为． (1)求． (2)若直线过点，直线分别与该抛物线的准线交于点，记点的纵坐标分别为，证明：为定值． (3)若均不与坐标原点重合，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，，利用两点的斜率公式计算可得； （2）首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，依题意与共线，设，根据平面向量共线的坐标表示得到，再求出的方程，即可求出，同理得到，计算可得； （3）首先得到抛物线在点、、处的切线方程，即可求出、、的坐标，再根据焦半径公式及两点间的距离公式计算可得. 【详解】（1）由题可知点均在该抛物线上，故设，， 由题意得当时，， 故，所以． （2）由（1）得该抛物线的方程为，所以，准线为． 因为直线过点，所以与共线， 由题可知点在该抛物线上，故设， 则，， 所以， 因为，所以． 由题意知直线的斜率均存在且均不为， 易知直线的方程为，即， 令得，同理可得， 所以， 因为，所以， 所以为定值． （3）由题意知抛物线在三点处的切线的斜率都存在且不为． 设抛物线在点处的切线方程为， 与联立，消去并整理得， 由，解得． 所以抛物线在点处的切线方程为． 同理可得抛物线在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为． 由，解得，所以， 同理可得，， 又，，， 所以． 由两点间的距离公式得， 同理可得，， 所以 ， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题主要是考查学生的计算能力，准确、细致的计算是解答的关键. 45．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点. (1)求曲线的标准方程; (2)已知是定值，求该定值; (3)求面积的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设点的坐标，由题意可得点的恒纵坐标的关系，即可得到曲线的标准方程； （2）设直线和直线的方程，然后与椭圆的方程联立，即可得到的坐标关系，进而可得为定值； （3）由题意可得的比值，由题意可得面积的表达式，再由函数的单调性，即可得到结果. 【详解】（1）令且，因为，所以， 整理可得， 所以的标准方程为. （2）设，，， 设直线和直线的方程分别为，， 联立直线与椭圆方程，整理可得， 则，， 联立直线与椭圆方程，整理可得， 可得，， 又因为，， 所以， 所以，即， 同理可得，，即， 所以. 设，，， 设，则有， 又， 可得， 同理可得， 所以. （3）    不妨设，于是， 因此， 又因为，所以， 设，， 则，， ， 所以在单调递增，则. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了椭圆中的定值问题与椭圆中的三角形面积问题，难度较大，解答本题的关键在于设出直线方程与椭圆方程联立，表示出三角形面积公式，代入计算. 46．（2025·上海闵行·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的最小值为 【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程； （2）由点可得，从而可利用三角形外角关系从而可得直线的斜率，将直线方程代入双曲线方程求解即可得点的坐标； （3）设直线，代入双曲线方程得交点坐标关系，由重心可得，根据点线关系即可得的范围，再结合三角形面积关系得与的关系，由基本不等式可得最值. 【详解】（1）已知双曲线，则，所以双曲线方程为； （2）双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； （3）设直线， ， 则， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 47．（2024·浙江绍兴·二模）在平面直角坐标系中，动点（）与定点的距离和到直线：的距离之比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，直线与曲线的另一个交点为. （i）求的值； （ii）记面积为，面积为，面积为，试问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是，3 【分析】（1）根据题意列出方程，化简，即可求得答案； （2）（i）设，，，设直线方程为，联立曲线C的方程，可得根与系数关系式，同理设直线方程为，化简可得，即可求得答案；（ii）分别求出，的表达式，即可得到的表达式，化简即可得结论. 【详解】（1）由题意可知，， 化简得，于是，动点的轨迹方程为． （2）（i）设，，，不妨假设在第一象限， 则E在第四象限， 由题意知的斜率存在且不为0， 设直线方程为，代入可得， 需满足，所以， ,直线方程为，代入， 可得，，则， 因为，，所以， 即. 同理，，，即，所以，则关于x轴对称， 所以； （ii）. 所以，. 综上，为定值． 【点睛】易错点点睛：解答此类直线和圆锥曲线的位置关系类题目，综合性较强，难度较大，容易出错的地方在于复杂的计算，并且基本都是字母参数的运算，因此要求计算时要十分细心. 题型10：综合题---圆锥曲线中特殊几何图形 48．（2025·广东汕头·一模）已知的三个顶点都在抛物线上，其中． (1)当是直角三角形且时，证明直线过定点； (2)设直线过点，是否有在以弦为底边的等腰？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，一个 【分析】（1）设直线的方程为，、，联立抛物线的方程，根据结合抛物线方程求解即可； （2）由（1）知直线的方程为，且，，设中点坐标为，根据中点坐标公式结合由等腰三角形性质化简可得，再构造函数求导分析单调性与零点即可. 【详解】（1）设直线的方程为，、， 由得：， 所以，且，， 由即得：， 则， 所以或， 从而或， 进而或， 当时，，不合题意，所以， 故直线的方程为，过定点； （2）假设存在以弦为底边的等腰， 由（1）知直线的方程为，且，， 设中点坐标为， 则，， 由等腰三角形性质知，即（*）， 令，则， 所以在R上递增， 又，， 所以在R上有且只有一个零点，即方程（*）在R上有且只有一根， 故存在以弦为底边的等腰，且这样的三角形只有一个． 49．（2025·上海长宁·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）根据题设条件求出基本量后得双曲线方程； （2）就、、分类得方程组，求解后得的坐标； （3）联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理可得关于斜率的不等式，求解后得斜率的范围. 【详解】（1）设半焦距为，则即，而，故， 故，，故双曲线的方程为：. （2）由（1）得，， 因为在第一象限，故设，其中， 因为三角形是等腰三角形，故或或， 若，则在的中垂线上，则，舍； 若，则，故， 故，解得，故. 若，同理有，， 故， 综上，或. （3） 设直线，设， 而，故， 因为是锐角， 故， 所以， 整理得到， 由可得， 故且， 且，因为点P在第一象限，所以或， 又， 整理得：，故或或. 50．（2025·上海浦东新·二模）已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． (1)若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； (2)设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； (3)设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用离心率公式计算即可； （2）先求出，得到直线的方程，设的方程为，，，直曲联立，运用弦长公式得到，求出即可； （3）先设出的方程，因为有且的条件，所以任取上一点（不与点重合），算出和直线的斜率.接着设出点的坐标，算出.由于，得出直线方程，进而得到与、的关系.结合以及曲线方程进一步求解，最后得到长轴取值范围即可. 【详解】（1）由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为， 解得 （2）由题，，，所以，直线的方程为， 设的方程为，，， 联立直线与椭圆的方程，代入整理得， ，可得， 由韦达定理可得，， 故 ，解得. 所以的标准方程为. （3）由题，设的方程为， 由题意，且， 任取上一点（不与点重合），则，. 设，则， 直线的方程为，故， 代入得， 因为，解得， 由对称性，不妨设，代回直线方程可解得， 而点位于上，所以 ，为上任一点，所以为定值，化简得. 设，为上任一点，即有解. 整理得，， 解得，所以 . 故的长轴长. 51．已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交于两点. (1)若离心率时，求的渐近线方程； (2)若，点在第一象限且为等腰三角形，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，求出，进而求出渐近线方程； （2）由为等腰三角形对底边进行分类讨论，求出点的轨迹并与双曲线联立即可解得的坐标； （3）设点，根据双曲线对称性可得，对直线斜率分类讨论并与双曲线联立，由数量积的坐标表示可得，即求出结果. 【详解】（1）由题意得， 则，， 所以渐近线方程为. （2）当时，双曲线， 其中，， 因为为等腰三角形， 当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去； 当以为底时，若点P在第一象限时，，所以这样的点不存在； 当以为底时，，设，其中， 则有，解得，即； 综上，点的坐标为.    （3）由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则直线的斜率， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有，得， 显然，其中， 则①，②，   ， 则，又，， 则， 即， 将①②代入有， 即， 化简得， 所以，代入到，得，所以， 且， 解得，又因为，则， 所以. 52．（2025·天津·一模）已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程． 【解析】（1）抛物线的准线方程为， 椭圆的左焦点为，即， 椭圆的短轴长为，，即，， 椭圆的方程为； （2）设，， 当直线的斜率不存在时，：， 此时M，N分别为椭圆的上、下顶点，不妨设，， 要使是以为底边的等腰直角三角形，则， ，，，不合题意； 当直线的斜率为时，：， 此时M，N分别为椭圆的左、右顶点，不妨设，， 要使是以为底边的等腰直角三角形，则， ，，，满足题意； 当直线的斜率存在且不为时，设：， 由，得， ，， ， 设的垂直平分线方程为， 由，得， 是以为底边的等腰直角三角形， ， ， 化简得，，或(舍)，：， 综上，直线的方程为或. 53．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知椭圆，直线，是直线上的动点，过作椭圆的切线，，切点分别为， (1)当点坐标为时，求直线的方程； (2)求证：当点在直线上运动时，直线恒过定点； (3)是否存在点使得的重心恰好是椭圆的左顶点，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)点存在，理由见详解 【分析】（1）设，由椭圆的切线方程，可得直线的方程是，点坐标为时，即可写出直线的方程； （2）由直线的方程是，点在直线上，满足，可得，可得直线恒过定点； （3）联立的方程与椭圆方程，因为的重心为，所以，由韦达定理表示出代入，再与联立，即可解得，进而得到，即可得点存在，坐标为. 【详解】（1） 设，已知椭圆为， 由椭圆的切线方程，切线的方程为， 又点在该直线上，所以， 切线的方程为， 又点在该直线上，所以， 则点，都在直线上，即直线的方程是， 当点坐标为时，， 所以直线的方程是，即. （2）由（1）知直线的方程是， 又点在直线上，所以， 得，代入的方程得， 即，所以， 解得，直线恒过定点. （3）因为直线的方程是，所以， 代入得， 整理得， 因为的重心为，所以，， 所以，得， 解得，则，此时轴，成立， 所以点存在，坐标为. 54.（2023宝山区一模）已知椭圆C：，，，，这四点中恰有三点在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）点E是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值； （3）过的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率，在x轴上是否存在一点，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）观察可知，都在椭圆上，即满足椭圆方程，若在椭圆上，代入方程，联立解得，舍去；因此三点在椭圆上，即可解出椭圆的方程； （2）要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大.当过点的直线与平行，且与椭圆相切时，取得最大或最小值，联立方程即可求得； （3）写出直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，根据韦达定理求出的中点坐标以及线段的垂直平分线的方程，代入，即可求得的值.根据基本不等式，可求出实数m的取值范围. 【小问1详解】 因为，关于轴对称，根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有成立. 若在椭圆上，则有. 联立可得，，不合题意，舍去. 所以，在椭圆上，即有，所以，代入，可得. 所以，椭圆C的方程为. 【小问2详解】 要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大. 由，，可得直线方程为. 过点作直线，使得，则到直线的距离即等于直线到直线的距离. 显然，当直线与椭圆相切时，距离为最大或最小. 则设直线方程为，联立直线与椭圆的方程 可得，. 因为，直线与椭圆相切，则， 解得，. 则当时，此时直线方程为，与直线距离最大，此时. 又， 所以面积的最大值为. 【小问3详解】 设，，假设在x轴上存在一点，使得、为邻边的平行四边形为菱形. 因为直线过点，则直线的方程为， 联立直线方程与椭圆的方程可得，， 恒成立， 且，，，， 所以， 则的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 显然该直线过点. 令，则，即. 因为，所以， 当且仅当时，即时，等号成立. 所以，，所以，则， 所以.即实数m的取值范围为. 题型11：综合题---两种圆锥曲线综合 55．（2025·上海杨浦·二模）已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. (1)求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； (2)过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； (3)若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 【答案】(1)焦点坐标为，渐近线方程为 (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线方程求出，从而求出焦点坐标与渐近线方程； （2）设，则，求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立，求得交点，，以及、的坐标，由向量数量积的坐标表示，化简整理，即可得解； （3）设切点，则切线的方程为，且，联立直线与曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式表示出、，从而得到的式子，再根据的取值范围计算可得. 【详解】（1）双曲线的标准方程为，则， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为； （2）设，则， 由，解得，所以， 由，解得，所以， 所以，， 所以 ， 即． （3）设切点，则切线的方程为，且， 由，解得，所以， 设，，，， 由，消去得，所以； 由，消去得，所以； 所以，， 所以 ， 又，所以， 因为，所以，所以，所以， 即. 56．（2025·上海奉贤·二模）如图1，曲线是与组合的． (1)过点，求的渐近线方程； (2)，设，，曲线上找一个点，使得达到最小； (3)若，如图2，存在过点的两条直线，与曲线的交点分别是点、点、点、点，点在第二象限，点在第一象限．是否存在非零实数使得成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析，理由见解析 【分析】（1）将点代入即可求出，再计算渐近线即可； （2）分和两种情况，设点坐标，利用消元法将问题转化为求一元二次函数在区间上的最小值问题； （3）设直线和直线的方程，联立方程组求四个点的坐标，再化简即可. 【详解】（1）将点代入，得，得， 所以，渐近线方程：. （2）因，则，， ①当时，取到最小值时，点一定在上， 设点，则， 则， 当时，则或时，取最小值，此时或， 当时，当时，取最小值，此时； ②当时，取到最小值时，点一定在上， 设点，则， 则 ， 因，则， 故当时， 取最小值，此时. 综上可知，曲线上存在点，使得达到最小. （3）设，， 设 由，得，则 ， 由 ，得，则 ， 由，得，则 ， 由，得，则 ， 则 ， 同理可得，， 若存在非零实数使得成立，则，即， 即，则或， 若，则或，此时直线或的方程为，不符合题意，        故当且、均不为零时，存在非零实数使得成立 57．（24-25高三上·上海松江·期末）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点． (1)求双曲线的方程； (2)延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； (3)若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由见解析 【分析】（1）根据“共轴”曲线定义，直接列式计算可得答案； （2）设，由，可得，代入方程与方程联立，即可求得点P的坐标； （3）讨论当重合时，；不重合时，设出直线的方程为，与双曲线方程联立，消元后利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值. 【详解】（1）根据题意双曲线， 因为，解得， 双曲线的方程为； （2）    由（1）知，，， 设， 已知，又， 所以， 由点Q在椭圆上，则， 又点为双曲线上任意一点，则， 联立，解得，或， 所以点P的坐标为或或； （3）当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由如下， 当重合时，由题意，则，则， 当不重合时，，设直线的方程为，， 由得， 因为双曲线的渐近线方程为， 又直线交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以， 由韦达定理得，， 所以 ， 所以存在实数，使得. 【点睛】思路点睛：本题的解题思路是理解题目定义，求出双曲线方程，根据定点位置合理设出直线的方程形式，再利用直线与双曲线的位置关系得到韦达定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判断是否为定值. 58．如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）首先求出，再代入即可得到答案； （2）设，计算得，结合其在椭圆上，代入化简即可得，同理，则得到斜率比值； （3）设直线，联立椭圆方程得到，则得到的坐标，再计算得，，设，计算化简得，则得到定点坐标. 【详解】（1）由题意得，，又因为在上， 代入得，所以，则. （2）设，则， 又因为，所以， 则，同理可得，所以. （3）设直线分别为，其斜率依次为， 设直线，联立得， 即有，所以，代入直线方程得， 则，设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足，所以， 同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， 设，则有，代入上式得：， 得到， 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. 59．一般地，若两个椭圆焦点都在x轴或y轴上，长轴相等，其中一个椭圆的短半轴长与另一个椭圆的焦距长相等，则称两个椭圆为相关椭圆.已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F.过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点G、B，直线与交于点C、D. (1)求该椭圆的相关椭圆方程及抛物线的方程 (2)四边形GCBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. (3)过椭圆左顶点A且斜率为的直线与椭圆交于点M，与轴交于点，设点为MA的中点.若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），若，求的值. 【答案】(1)椭圆方程为，抛物线的方程为 (2)四边形GCBD的面积存在最小值，最小值为8； (3) 【分析】（1）设椭圆方程为，，分两种情况，得到椭圆方程为，并根据焦点坐标得到，求出； （2）先得到直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为，求出四边形GCBD的面积为8，再求出当直线的斜率存在，设直线的方程为， 分别与和联立得到两根之和，两根之积，求出弦长，表达出四边形面积，换元得到，结合函数单调性得到，从而求出最小值； （3）联立直线和得到点M的坐标，并得到点坐标，由得到，并变形得到，结合，得到方程，求出答案. 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，， 设椭圆方程为，， 若椭圆的短半轴长与的焦距长相等， 即，此时不合要求， 若椭圆的短半轴长与椭圆的焦距长相等， 即，解得，满足要求， 故椭圆方程为； 椭圆的焦点为，故，解得， 故； （2）显然当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 故直线的斜率不为0，当直线的斜率不存在时， 直线的方程为，此时直线为， 中，令得，故， 此时，， 设四边形GCBD的面积为，， 当直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立得， 设，则， 故， 故， 直线，与椭圆联立得， 恒成立， 设，则， 由弦长公式得 ， 设四边形GCBD的面积为， ， 令，则， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 故， 故四边形GCBD的面积存在最小值，最小值为8. （3）由题意得，故直线，联立得 ，设，则， 故，， 故，， 中，令得，故， ， 又，设，故，解得， 所以， 由得， 即，， 即， 其中，， 故，解得， 故的值为 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 60．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. (1)当时，求的值； (2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)最大值为. 【分析】（1）将，分别代入椭圆及双曲线方程求解即可； （2）设直线方程为，联立椭圆或双曲线方程，结合韦达定理，向量数量积的坐标运算即可求解； （3）由得到，再判断出直线与双曲线右支无交点，从而转化为直线与椭圆交于两点，利用韦达定理将表示为斜率的函数求最值即可． 【详解】（1） 如图，已知当时，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点. 将代入椭圆方程得，即，解得. 把代入双曲线方程，整理得， 设，则， 即， 解得或（舍去），所以， 即. （2） 当时，椭圆，双曲线. 联立， 解方程组求交点的坐标. 由得， 由得， 两式相减消去得， 代入双曲线方程得， 因为点在第一象限，所以. 设. ， 由得，即.故， 当直线l斜率不存在时，直线l方程为， 此时，则， 成立. 当直线斜率存在时，由题知交点必定在直线两侧，即左侧为与椭圆的交点，右侧为直与双曲线的交点，易知当交点在位于第一象限椭圆上曲线段之间时，，此时，故不可能，舍去； 因为双曲线的渐近线方程为, 故直线与双曲线没有横坐标大于2的交点， 即当交点位于椭圆第二象限时，不可能，舍去； 同理：当直线与椭圆交于轴下方时，也舍去， 综上：直线l方程为， （3） 如图,已知，由（1）知椭圆，双曲线. 直线过点且斜率为，则直线的方程为. 设，由， 根据三角形面积公式， 则， 即. ， 因为双曲线的渐近线方程为，而， 故直线与双曲线右支无交点， 故均为直线与椭圆的交点， 联立， 则， 则， ， 令， 则， 在时成立，故单调递增且，所以递减， 所以当时取得最大值， 又 所以的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺热点题型专项训练（八） 圆锥曲线 【热题归纳】 题型1：直线与圆 1．（2025上海宝山三模）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 2．（2025上黄浦三模）已知直线的斜率为，则的最大值为 . 3．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 4．（2025·上海浦东新·二模）设圆方程为，则圆的半径为 ． 5．（2025·上海嘉定·二模）直线与圆相交所得的弦长为 ． 6．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 7．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 .      题型2：圆锥曲线的性质 8．（2025·上海黄浦·二模）抛物线的焦点到其顶点的距离为 ． 9．（2025·上海普陀·二模）设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 题型3：焦点弦或焦点三角形 10．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为 ．    11．（2024·上海宝山·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为.延长切线交双曲线的右支于点，为坐标原点，点为线段的中点，则 . 12．（2025·上海崇明·二模）已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ． 题型4：求离心率的值或范围 13．（2025·上海普陀·二模）设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 14．已知椭圆与双曲线有相等的焦距，离心率分别为，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 15．（2025·天津和平·一模）已知是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线交于两点，分别为双曲线的左、右顶点，连接交轴于点，连接并延长交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 16．（2025·上海·模拟预测）已知反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线分别为轴和轴，且它们的夹角为，将该双曲线绕其中心（坐标原点）旋转可使其渐近线为直线和，由此可求得双曲线的离心率为.已知函数的图象也是双曲线，那么该双曲线的离心率为 . 17．（2025·上海徐汇·二模）已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为 . 题型5：参数的范围与最值 18．在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点，动点满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 20．（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 21．（2025·上海青浦·模拟预测）已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 22．（2025·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 题型6：命题真假辨析 23．（2025·上海长宁·二模）椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 24．（2025·上海浦东新·二模）已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 25．在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 26．（2025·上海金山·二模）已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 题型7：轨迹与方程 27．（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 28．（2025·黑龙江·一模）已知曲线为上一点，则以下说法不正确的有（    ） A．存在点，使得 B．的取值范围为 C．若的值与无关，且，则取值范围为 D．若的值与无关，则其最小值为． 29．（2025·广东江门·一模）(多选）已知曲线，则（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线上的点到点的距离最大值为 D．若点是曲线上的点，则的最大值为1 30．（2025·甘肃兰州·一模）(多选）已知曲线，则以下说法正确的是（    ） A．点在曲线内部 B．曲线关于原点对称 C．曲线与坐标轴围成的面积为 D．曲线的周长是 题型8：综合压轴题---向量的转化应用 34．（2025·上海普陀·二模）设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 35．（2024·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 36．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线，直线与交于两点. (1)求的取值范围； (2)已知上存在异于的两点，使得. （i）当时，求到点的距离（用含的代数式表示）； （ii）当时，记原点到直线的距离为，若直线经过点，求的取值范围. 37．（2024·浙江·模拟预测）已知为双曲线上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为． (1)求双曲线的标准方程． (2)连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若． ①求证：为定值； ②若直线AB​的斜率为−1​，求点P​的坐标． 38.（2025·上海虹口·二模）已知点和是双曲线的左、右焦点． （1）若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； （2）当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； （3）若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围． 39．（2024·浙江·模拟预测）在直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为．也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且． (1)求的方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 40.（2024·上海长宁·二模）已知椭圆为坐标原点； (1)求的离心率； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； (3)点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由； 题型9：综合压轴题---比值问题 41．（2025徐汇三模）已知双曲线E：的左，右顶点分别为，，，双曲线E渐近线的方程为，过作斜率非零的直线l交E于，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的斜率分别为，，求证为定值； (3)在x轴上是否存在定点，使得定点恰好在以为直径的圆上，若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由． 42．（2024·浙江·模拟预测）已知点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)设点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； (3)过点作斜率为的动直线与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点，满足． （ⅰ）求斜率的取值范围； （ⅱ）证明：点恒在一条定直线上． 43．（2025·浙江模拟预测）已知抛物线:的焦点，直线过且交C于两点，已知当时，中点纵坐标的值为. (1)求的标准方程. (2)令，P为C上的一点，直线，分别交C于另两点A，B.证明：. (3)过分别作的切线， 与相交于，同时与相交于，求四边形面积取值范围. 44．（2025浦东新三模）一般地，抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形．如图，，分别为抛物线的切线三角形和切点三角形，为该抛物线的焦点．当直线的斜率为时，中点的纵坐标为． (1)求． (2)若直线过点，直线分别与该抛物线的准线交于点，记点的纵坐标分别为，证明：为定值． (3)若均不与坐标原点重合，证明： 45．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点. (1)求曲线的标准方程; (2)已知是定值，求该定值; (3)求面积的范围. 46．（2025·上海闵行·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 47．（2024·浙江绍兴·二模）在平面直角坐标系中，动点（）与定点的距离和到直线：的距离之比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，直线与曲线的另一个交点为. （i）求的值； （ii）记面积为，面积为，面积为，试问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 题型10：综合压轴题---圆锥曲线中特殊几何图形 48．（2025·广东汕头·一模）已知的三个顶点都在抛物线上，其中． (1)当是直角三角形且时，证明直线过定点； (2)设直线过点，是否有在以弦为底边的等腰？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由． 49．（2025·上海长宁·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 50．（2025·上海浦东新·二模）已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． (1)若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； (2)设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； (3)设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 51．已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交于两点. (1)若离心率时，求的渐近线方程； (2)若，点在第一象限且为等腰三角形，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 52．（2025·天津·一模）已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程． 53．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知椭圆，直线，是直线上的动点，过作椭圆的切线，，切点分别为， (1)当点坐标为时，求直线的方程； (2)求证：当点在直线上运动时，直线恒过定点； (3)是否存在点使得的重心恰好是椭圆的左顶点，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 54.（2023宝山区一模）已知椭圆C：，，，，这四点中恰有三点在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）点E是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值； （3）过的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率，在x轴上是否存在一点，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 题型11：综合压轴题---两种圆锥曲线综合 55．（2025·上海杨浦·二模）已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. (1)求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； (2)过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； (3)若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 56．（2025·上海奉贤·二模）如图1，曲线是与组合的． (1)过点，求的渐近线方程； (2)，设，，曲线上找一个点，使得达到最小； (3)若，如图2，存在过点的两条直线，与曲线的交点分别是点、点、点、点，点在第二象限，点在第一象限．是否存在非零实数使得成立，请说明理由． 57．（24-25高三上·上海松江·期末）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点． (1)求双曲线的方程； (2)延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； (3)若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 58．如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 59．一般地，若两个椭圆焦点都在x轴或y轴上，长轴相等，其中一个椭圆的短半轴长与另一个椭圆的焦距长相等，则称两个椭圆为相关椭圆.已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F.过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点G、B，直线与交于点C、D. (1)求该椭圆的相关椭圆方程及抛物线的方程 (2)四边形GCBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. (3)过椭圆左顶点A且斜率为的直线与椭圆交于点M，与轴交于点，设点为MA的中点.若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），若，求的值. 60．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. (1)当时，求的值； (2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$