专题07：数列 （八大热点题型训练） ——2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺热点题型专项训练（七） 数 列 【热题归纳】 题型1：数列的基本运算 1．（2025·上海奉贤·二模）等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设首项为1，公差是3的等差数列为， 则， 故. 故答案为： 2．（2025·上海浦东新·二模）设数列为等差数列，其前项和为，已知，则 ． 【答案】 【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 3．（2025·上海黄浦·二模）已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为 ． 【答案】 【分析】设出等比数列公比，由题意建立方程，解方程并验根，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，则，解得， 由，则，代入上式可得， 去分母可得，易知， 可得，分解因式可得， 易知，解得或， 当时，，则，单调递减，不合题意. 故答案为：. 4．（2025·上海长宁·二模）已知数列是等差数列，且，则其前7项和 ． 【答案】 【分析】利用公式法可求. 【详解】设等差数列的公差为，则， 故， 故， 故答案为： 5．（2025·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前项和，若，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据等差数列数列的性质结合通项公式、求和公式，可直接求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， . 所以，， 所以：. 故答案为： 6．（2025·上海金山·二模）已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 【答案】2 【分析】转化为是的两个根，由韦达定理和等差数列性质得到. 【详解】由题意得是的两个根， 由韦达定理得， 因为是等差数列，所以. 故答案为：2 7．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则 . 【答案】 【解析】由题知，即，因为，解得， 时，，即，因为，解得， 时，，即，即，因为，解得， 同理可得，. 故答案为：. 题型2：数列通项公式与求和 8．（2024·上海奉贤·二模）已知是公差的等差数列，其前项和为，是公比为实数的等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)设，计算． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据等差数列前n项和公式求出；根据等比数列通项公式求出q；从而可得和的通项公式； （2）求出，根据其为等比数列，利用等比数列前n项和公式即可求解． 【详解】（1）∵，且，∴，∴． ∵，且，∴，∴，∴． （2）由题可知，， 为等比数列求和，首项为，公比为， ∴． 9．（2024·上海虹口·二模）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意根据等差数列通项公式得到关于、的方程组，解得即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用等差数列求和公式求出，再解不等式即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 故； （2）由（1）可得， 则， 所以，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 故， 因为，所以，所以， 所以或， 因为，所以，所以的最小值是． 10．（2024·上海·三模）已知． (1)无穷等比数列的首项，公比．求的值． (2)无穷等差数列的首项，公差．求的通项公式和． 【答案】(1)5 (2)，． 【分析】（1）先求出展开式的通项，从而可求出等比数列的首项与公比，再根据等比数列前项和公式即可得解； （2）先求出等差数列的首项和公差，进而可求出等差数列的通项，再根据等差数列前项和公式即可得解. 【详解】（1）二项式展开式的通项公式为：， 因为， 所以， 所以, 故； （2）由（1）知，等差数列首项，公差， 所以等差数列的通项公式为， 等差数列的前项和为． 11．（2024·上海·三模）已知等比数列的公比，且，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列通项公式的基本量进行运算即可； （2）是严格增数列，利用恒成立即可求解. 【详解】（1）因为数列是等比数列，且，所以或2， 若，，则与矛盾，舍去， 若，，则，，满足题意， 所以． （2）因为，是严格增数列， 所以对于任意正整数n都成立， ， 即对于任意正整数n都成立，所以， 因为在上严格递减， 所以当时，最大，最大值为， 所以的取值范围是. 12．（2024·浙江温州·一模）等差数列的前项和为，，. (1)求； (2)记为数列的前项和，若，且是以2为公差的等差数列，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据等差数列基本量的计算即可得公差，进而可求解， （2）方法一根据等差数列的性质列方程即可求解，进而可求解，进而根据的关系即可求解，方法二，利用待定系数法，结合等差数列性质的运算即可得，即可利用根据的关系即可求解. 【详解】（1） 解一：设等差数列的公差为，则， 由可得，即， 解得，，故. 解二：由得，故，则 故，则. （2） 解一：由题意知， 则，移项平方得，则 可得是首项为3，公差为2的等差数列，则， 可得，则， 当时，，故 ， 故. 解二：由题意可设（是常数）， 则，平方相减可得， 则，可得， 则， 当时，，故 ， 故. 13．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知数列是公差大于1的等差数列，，且成等比数列，若数列前项和为，并满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列前项的和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出；利用和的关系，构造出即可求出； （2）由（1）可知，利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，且，，成等比数列知： ，整理得：， 即或者，因为公差大于1，故. 且，故. 数列前项和为，并满足 ①， 且，解得， 故当时， ②， ①式减②式得：， 即，故是公比为2的等比数列， 则， 故； （2）由（1）可知， 故 则 故 故 则 14．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知各项均为正数的数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累加法求得，并检验是否符合，即可求解； （2）利用分组求和可得． 【详解】（1）由条件，知，，，， 累加，得， 所以，又，所以，又符合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1），知， 设，则， 得， 所以. 15．（24-25高三上·陕西榆林·阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)若是等差数列，．求的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）利用求出，变形得到，证明出结论； （2）在（1）的基础上，求出，利用等比数列求和公式得到答案； （3）利用等差数列的性质得到，从而得到，错位相减求出的前项和，从而分组求和得到的前项和. 【详解】（1）①，当得，解得， 当时，②，①-②得，， 故，即，又， 故为公比为2的等比数列； （2）由（1）知，，故， 故时，， 显然满足，故， 所以； （3）， 是等差数列，则，解得， 所以，解得， 设的公差为，故，则， 所以， ， 设的前项和为，则， 则， 上面两式相减得 ， 故， 设的前项和为， 则. 16．（2025·天津河北·一模）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得 ， 解得 或，因为，故舍去， 所以，． （2）由（1）得，，所以， 令数列的前项和为，则， 即①， ②， 两式相减得： ， 所以. （3）设数列的前项和为 由，，得， 则，即； 故 . 题型3：数列中最值与范围问题 17．（2025·上海嘉定·二模）已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的知识化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】依题意，，即， 所以. 故答案为： 18．（2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先结合题意由等差和等比数列的基本量法求出两数列的通项进而求出，再构成函数，分析单调性和根即可. 【详解】由题意可得等差数列的公差为，所以，所以， 等比数列的公比为，则， 因为，即，即， 设， 由复合函数的单调性可得在上单调递增， 再由二分法确定当时，， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 19．（2025·上海黄浦·二模）设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ． 【答案】15 【分析】由题意可得或，分类讨论可求得的值. 【详解】由，可得或， 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为负，从第项开始为正， 又，， 所以，所以； 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为正，从第项开始为负， 又，， 所以，所以； 综上所述：. 故答案为：. 题型4：求数列的项数或个数 20．（2022•上海）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，2，，中不同的数值有 　　个． 【分析】由等差数前项和公式求出，从而，由此能求出结果． 【解答】解：等差数列的公差不为零，为其前项和，， ，解得， ， ，，1，，中， ，， 其余各项均不相等， ，，中不同的数值有：． 故答案为：98． 【点评】本题考查等差数列的前项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21．（2025·上海崇明·二模）数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】现根据等差数列的通项公式和周期数列的定义，得到，然后对选项逐一分析即可. 【详解】, 取，则公差， 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为，此时，三个元素合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为， 又，此时也是三个元素，合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为，此时也是三个元素，合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 由于是质数，角度间隔无法分解为更小的对称单元，余弦值的对称性不足以将个不同角度映射为个不同值， 故选：D. 22．（2025·上海浦东新·二模）已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有 个． 【答案】 【分析】根据的奇偶性结合，分析可知，进而可得，，即可求数列个数，同时排除不满足条件①的情况. 【详解】因为，，可知的奇偶性与的奇偶性一致， 对于①：存在小于的正整数，使得， 对于②：对任意的正整数和，都有， 可知为奇数，即， 令，则，可得或； 令，则，可得或； 综上所述：对任意的正整数，. 且，可得，， 即确定，不相等，有2种可能， 此时，条件②满足， 对于数列可知：均有2种可能， 则满足条件的数列共有个， 又因为存在小于的正整数，使得， 可知对任意，不成立，即这种情况不符合题意， 综上所述：符合题意的数列共有个. 故答案为：. 23．已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下2023个方程中，有实数解的方程至少有（    ）个 A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【答案】D 【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到，要想无实根，要满足，结合根的判别式与基本不等式得到和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，……，和至多一个成立，且，从而得到结论. 【详解】由题意得：， 其中，， 代入上式得：， 要想方程无实数解，则， 显然第1012个方程有解， 设方程与方程的判别式分别为和， 则 ， 等号成立的条件是. 所以和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立， ……，和至多一个成立，且， 综上，在所给的2023个方程中，无实数根的方程最多1011个，有实数根的方程至少1012个. 故选：D. 题型5：数列结论辨析 24．（2025·上海松江·二模）定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是. 则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 【答案】A 【分析】对①，根据题意，可得，利用累加法求求答案；对②，分别求出，，的解析式，利用导数判断极大值情况，得解. 【详解】对于①，当为正整数时，已知， 则，， 将这些式子累加可得， 由等差数列求和公式， 所以，故①正确， 对于②，当时，，令， ， 即， 同理，可得， ， 由，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极大值点， 当时，则， 同上易得是极大值点， 当时，则， 可得为极大值点， 当时，则， 易得为极大值点， 因为函数在区间内有3个极大值点，所以，故②错误. 故选：A. 25．（2025·上海嘉定·二模）设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（    ） A．数列和数列均不是周期数列 B．数列是周期数列，数列不是周期数列 C．数列不是周期数列，数列是周期数列 D．数列和数列均为周期数列 【答案】B 【分析】令，可得数列的周期为6，令，可得数列的周期为8，进而依次得数列和数列的周期，又和判断数列的周期性. 【详解】令，则数列的一个周期为6， 又， 则， 令，则数列的一个周期为8， 又， 则， 所以数列的一个周期为24，且，所以，则的一个周期为24， 又，， 所以，故，所以不是周期数列. 故选：B. 题型5：数列新定义 26．（2025·上海普陀·二模）设，，、，是数列的前项和，且满足，数列是由个大于的整数组成的有穷数列，若，，则称数列是数列的“数列”.对于数列有如下两个命题：①若，则数列不是数列的“数列”；②若，则数列的“数列”至少有5个.则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 【答案】A 【分析】先根据与的关系求出数列的通项公式，再结合“数列”的概念判断①②的真假即可. 【详解】对数列：① ② ①－②得：， 所以是以3为公比的等比数列， 令， 对①：若，. 因为，且为整数，，其余. 以为例，. 若，则，这与矛盾. 所以不能恒成立.故①为真. 对②：以为例： 设， 令，则方程的解有，，，，5个满足. 即时，数列的“数列”有5个. 当时，， 令，则方程满足的解的个数更多. 即时，数列的“数列”多于5个. …… 依次类推：当数列至少5个，故②为真. 故选：A 27．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】A 【分析】对于①，根据数列的前项和得到，对，和两种情况分类讨论求解可判断；对于②设等差数列的首项为，公差为，对分类讨论求解判断. 【详解】对于①，数列的前项和（为正整数）， 当时，， 当时，不满足上式，所以， 当，时，， 所以数列与原数列相同，所以， 所以当时，数列为完全平方数列， 当时，不是“完全平方数， 所以当时，数列不是完全平方数列， 综上所述：数列为“完全平方数列”，故①是真命题； 对于②，因为为完全平方数，故， 若，则，若对任意的，均为完全平方数， 则，否则假设为的素因数，且恰好整除，为正整数， 若为奇数，则不是完全平方数，矛盾， 若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾， 若，则， 若，取，则或， 当为偶数时，此时，均不是完全平方数， 当为奇数时，取，，为奇数， 故此时不是完全平方数， 故，即，故，设，故， 当时，， 又适合上式，即. 故存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列，故②是真命题. 故选：A. 28．（2024·上海闵行·一模）已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（    ） A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】A 【分析】对于①，当时，，然后作差证明数列的单调性；对于②，当时，容易发现无论为何值，最终恒为常数. 【详解】对于①，时，，， 时，；时，，也有，故①为真命题. 对于②，时，，， 当时，，，不严格递减； 当时，，，不严格递减； 当时，， 若，则， 同理当时，， 则存在，使得， 则，，不严格递减. 综上所述，时，不可能是严格递减数列.故②为假命题. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题对①的分析得关键是对分类讨论，分和研究即可. 29．设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（    ） A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题 【答案】C 【分析】根据给定的定义，按公差的取值情况分类探讨判断①；利用等比数列通项公式及前n项和公式，结合不等式恒成立即可推理作答. 【详解】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意， 当时，， 函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴， 存在，使得，取不小于的正整数，则有， 即，不符合题意，综上得①为假命题； 等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即， ，于是， 依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是， 因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题， 判断正确的是①为假命题，②为真命题. 故选：C 【点睛】关键点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件. 30．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（    ） A．若为等差数列，则为内和数列 B．若为等比数列，则为内和数列 C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 【答案】C 【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据题意分析可得，结合单调性可得，即可得结果. 【详解】对于选项AB：例题，可知即为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，故AB错误； 对于选项C：因为， 对任意，，可知存在， 使得， 则，即， 且内和数列为递增数列，可知， 所以其伴随数列为递增数列，故C正确； 对于选项D：例如， 显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列， 但不是递增数列，故D错误； 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，把定义转化为已经学过的内容，简化理解和运算. 题型7：数列与其他知识综合 31．（2025·上海奉贤·二模）已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件． 【答案】充要 【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，由、、成等差数列，得，而，则， 由、、成等比数列，得，由正弦定理得， 由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形； 若是正三角形，则，， 因此、、成等差数列且、、成等比数列， 所以“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的充要条件. 故答案为：充要. 32．（2022·上海静安·统考模拟预测）已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前9项和为___________________． 【答案】18 【分析】化简函数的解析式，函数图象关于点对称，利用等差中项的性质结合正弦型函数的对称性质可求得结果. 【解析】 ， 由，可得，当时，， 故函数的图象关于点对称， 由等差中项的性质可得， 故， 所以，数列的前项和为. 故答案为：18 33．设函数的零点为，若成等比数列，则 . 【答案】 【分析】将函数的零点转化为的交点横坐标，结合函数图像，列方程求出零点，进而可得的值. 【详解】令，得 则函数的零点 即为的交点横坐标，如图： 由图可知， 解得 故答案为：. 34．（2025·上海杨浦·二模）由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为 .    【答案】 【分析】先计算点，再通过数列的增减性检验点列的变化趋势，则图形每次增加一个小三角形，设直线与直线的交点为，计算，此为增加的面积，再得出前个三角形的面积之和构成的数列的递推关系，即可利用累加法求出，再计算即可. 【详解】由题意可得，， 令，则， 当时，；当时，，即， 则随着三角形的个数增加，所有三角形围成的图形每次增加一个小三角形， 设直线与直线的交点为， 联立，解得，即， 则， 设前个三角形围成图形的面积为，则， 且， 则，，，，， 由累加法可得，， 则，而符合上式，则， 故， 则的并集，其面积为. 故答案为：.    35．已知平面上有个点，，，，，，，，且，记的坐标为，将，，依次顺时针排列，求= 【答案】 【分析】利用向量的定义，推导知的向量坐标，然后求出，的表达式，根据等比数列求和公式以及数列极限的求解方法得到结果.． 【详解】因为，且顺时针排列，所以， 由题意得，，，，都是在上一个点的基础上横坐标增加，纵坐标不变. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标增加，纵坐标减小. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标减少，纵坐标减小. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标减少，纵坐标不变. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标减少，纵坐标增加. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标增加，纵坐标增加. 所以，因为，， 所以 ，， 所以. 所以 ，， 所以 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：需要分别找到横纵坐标的增减规律，然后结合等比数列和数列求极限从而求解. 36．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由时函数取得最大值4，可知值及关于的方程，由其范围可求得值，得解； （2）由（1）求得，进而求得，得，由等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）已知当时函数取得最大值4， 因为，所以.此时， 又，解得， 所以函数的表达式为. （2）由（1）知，则，. 因为是等差数列，设公差为，则，解得，， 所以. 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， 可得. 37．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数解析式，利用单调性解不等式即可； （2）利用等差中项的性质可得，根据对数运算化简可得，所以，即，由判别式可知方程有解，即可得证. 【详解】（1）已知函数的图像过点， 所以，即，因为，所以， 则. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增. 由可得， 解得，所以不等式的解集为. （2）当时，， . 若成等差数列，则， 即. 所以， 即， 即，则，移项可得. 对于一元二次方程，， 所以方程有实数解，即存在使得成等差数列. 题型8：数列与导数综合 38．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】(1)不是“整数等差函数”，是“整数等差函数” (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断； （2）设公差为，则且，由得到从而确定的最小值； （3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，结合推出为常值函数. 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无罪小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为． （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 39．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 【答案】(1)，几何意义是函数在点处切线的斜率是； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据极限的计算方法求值，并理解导数的几何意义； （2）分离参数得，设，利用利用导数分析函数的单调性，求其值域即可； （3）结合（2）中的结论，先得到，进一步类推，即可证明结论. 【详解】（1）因为， 所以 ， 几何意义是函数在点处切线的斜率是. （2）变形得到， 令，， 又，所以函数在内恒小于零， 所以函数在单调递减 ，又， 所以值域为，所以的取值范围为. （3）由（2）知函数在单调递减，且存在唯一的零点使得，即， ， 根据函数单调性知， 即，依次类推，得到， 同理， 即， ， 因为，所以， ，所以得到 ， ， ， ， 所以. 40.（2023·上海嘉定·一模）已知． (1)求函数的单调区间和极值； (2)请严格证明曲线有唯一交点； (3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据导数的性质，结合极值的定义进行求解即可； （2）构造新函数利用导数的性质，结合函数零点存在原理进行求解即可； （3）根据题意得到，结合（1）中结论、等比数列的定义进行运算证明即可. 【解析】（1）由题意可知：的定义域为，的定义域为， ， 当时，得，此时函数单调递增， 当时，得，此时函数单调递减， 因此函数极大值为， 单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，得，此时函数单调递增， 当时，得，此时函数单调递减， 因此函数极大值为， 单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数极大值为，单调递增区间为，单调递减区间为； 函数极大值为，单调递增区间为，单调递减区间为. （2）设， 设， 设， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 设， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 因此有，当时取等号， 于是有， 因此单调递减，而， 根据函数零点存在原理，当时，函数在内有唯一零点， 因此有唯一实根，因此曲线有唯一交点. （3）由（1）可知两个函数的最大值均为， 且函数单调递增区间为，单调递减区间为； 函数单调递增区间为，单调递减区间为， 由（2）可知曲线有唯一交点，且交点在内， 因为直线和曲线共有三个不同交点，其中， 因此两条曲线必过两个曲线的交点， 所以有， 因此有， 因为，，在上单调递增， 所以有， 同理，，而函数在单调递减， 所以有，而，所以， 因此成等比数列. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用构造新函数，利用导数的性质、结合放缩法进行运算证明. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺热点题型专项训练（七） 数 列 【热题归纳】 题型1：数列的基本运算 1．（2025·上海奉贤·二模）等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于 ． 2．（2025·上海浦东新·二模）设数列为等差数列，其前项和为，已知，则 ． 3．（2025·上海黄浦·二模）已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为 ． 4．（2025·上海长宁·二模）已知数列是等差数列，且，则其前7项和 ． 5．（2025·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前项和，若，则的值为 . 6．（2025·上海金山·二模）已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 7．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则 . 题型2：数列通项公式与求和 8．（2024·上海奉贤·二模）已知是公差的等差数列，其前项和为，是公比为实数的等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)设，计算． 9．（2024·上海虹口·二模）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值. 10．（2024·上海·三模）已知． (1)无穷等比数列的首项，公比．求的值． (2)无穷等差数列的首项，公差．求的通项公式和． 11．（2024·上海·三模）已知等比数列的公比，且，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 12．（2024·浙江温州·一模）等差数列的前项和为，，. (1)求； (2)记为数列的前项和，若，且是以2为公差的等差数列，求数列的通项公式. 13．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知数列是公差大于1的等差数列，，且成等比数列，若数列前项和为，并满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列前项的和． 14．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知各项均为正数的数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求． 15．（24-25高三上·陕西榆林·阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)若是等差数列，．求的前项和． 16．（2025·天津河北·一模）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 题型3：数列中最值与范围问题 17．（2025·上海嘉定·二模）已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为 ． 18．（2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为 ． 19．（2025·上海黄浦·二模）设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ． 题型4：求数列的项数或个数 20．（2022•上海）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，2，，中不同的数值有 　　个． 21．（2025·上海崇明·二模）数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 22．（2025·上海浦东新·二模）已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有 个． 23．已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下2023个方程中，有实数解的方程至少有（    ）个 A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 题型5：数列结论辨析 24．（2025·上海松江·二模）定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是. 则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 25．（2025·上海嘉定·二模）设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（    ） A．数列和数列均不是周期数列 B．数列是周期数列，数列不是周期数列 C．数列不是周期数列，数列是周期数列 D．数列和数列均为周期数列 题型6：数列新定义 26．（2025·上海普陀·二模）设，，、，是数列的前项和，且满足，数列是由个大于的整数组成的有穷数列，若，，则称数列是数列的“数列”.对于数列有如下两个命题：①若，则数列不是数列的“数列”；②若，则数列的“数列”至少有5个.则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 27．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 28．（2024·上海闵行·一模）已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（    ） A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 29．设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（    ） A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题 30．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（    ） A．若为等差数列，则为内和数列 B．若为等比数列，则为内和数列 C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 题型7：数列与其他知识综合 31．（2025·上海奉贤·二模）已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件． 32．（2022·上海静安·统考模拟预测）已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前9项和为___________________． 33．设函数的零点为，若成等比数列，则 . 34．（2025·上海杨浦·二模）由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为 .    35．已知平面上有个点，，，，，，，，且，记的坐标为，将，，依次顺时针排列，求= 36．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 37．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 题型8：数列与导数综合 38．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 39．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 40.（2023·上海嘉定·一模）已知． (1)求函数的单调区间和极值； (2)请严格证明曲线有唯一交点； (3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$