专题05：三角函数与解三角形（十一大热点题型训练）-2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学冲刺热点题型专项训练（五） 三角函数与解三角形 【热题归纳】 题型1：弧长公式、扇形面积公式及三角函数的概念 1.（2025上海三模）若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 . 2．（2024·上海奉贤·一模）申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为．已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为 ．（用含的表达式表示） 3．（2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为 . 4．（2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2025·天津和平·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D．2 7．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型2：诱导公式与三角恒等变换 8．（2024·浙江温州·一模）已知，则 （用表示）. 9．（2025·上海嘉定·二模）已知，若，则 ． 10．（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 11.（2025·上海虹口·二模）若，则　　． 12.（2025·上海静安·二模）已知，则的值为　　． 13．（2024·贵州·模拟预测）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 14．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 15．（2024·上海·一模）已知中，为其三个内角，且都是整数，则 ． 16．（2023·上海奉贤·一模）已知，，，，满足，，，有以下个结论： ①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数； ②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数. 下列说法正确的是（    ） A．结论①、②都成立 B．结论①不成立、②成立 C．结论①成立、②不成立 D．结论①、②都不成立 题型3：正弦定理和余弦定理的应用 17．（2025·上海杨浦·二模）中，“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 18．（2025·上海奉贤·二模）已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件． 20．（2024高三·上海·专题练习）的内角的对边分别为，，，若，则 ． 21．（2025·上海崇明·二模）在中，若，其面积为，则 ． 22．（2025·上海长宁·二模）已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是 ． 23．（2025·上海长宁·二模）顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比，用黄金比表示 ． 24．（2025·上海青浦·模拟预测）已知的角对应边长分别为，则 . 2.（2025·上海虹口·二模）若的三条边的长分别为4,5,6，则的外接圆面积为　　（结果保留）． 题型4：解三角形的应用题 25．（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 26．（2025·上海奉贤·二模）中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影．某数学建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：点、点、点作为测量基点．设大厦的最高点为，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，又测得米，，（见图）．现作出以下几个假设：            ①直线垂直于平面； ②平面到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计； ③其它次要因素等忽略不计．根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约 米．（结果保留整数） 27．（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 28．（2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数） 题型5：三角函数的图像与性质 29．（2024·上海·模拟预测）已知函数．则函数的值域为 ． 30．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 . 31．（2024•奉贤区三模）函数y＝sinx+2cosx的最小正周期为 　 　． 32．（2024·上海·模拟预测）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 33．（2025·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为 ． 34．（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则 ． 35．（2025·上海奉贤·二模）若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 36．（2024•闵行区三模）对于函数，给出下列结论： （1）函数y＝f（x）的图像关于点对称； （2）函数y＝f（x）在区间上的值域为； （3）将函数y＝f（x）的图像向左平移个单位长度得到函数y＝﹣cos2x的图像； （4）曲线y＝f（x）在处的切线的斜率为1． 则所有正确的结论是（　　） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3） 37．（2025·天津和平·一模）关于函数，下面结论成立的是（    ） A．在区间上的最大值为 B．在区间上单调递增 C． D．的图象关于点对称 38．（2025·天津河西·一模）已知函数图象的一条对称轴是，且在上有且仅有两个对称中心，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 39．设符号函数，已知函数，则（   ） A．为的最小正周期 B．图象的对称轴方程为 C．在上单调递增 D．函数在上有4个零点 题型7：三角函数零点问题 40．（2025·天津·一模）函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 41．（2025·上海黄浦·二模）设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 42．（2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型8：实数的取值范围 43．（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则 ． 44．（2024·浙江·三模）若函数 的最大值为 2，则常数 的取值可以为（    ） A．1 B． C． D． 45．（2024·浙江·一模）已知函数，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点是函数的一个对称点，则和的值可能是（    ） A． B． C． D． 46．（2024·浙江温州·一模）若函数，的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（2025·上海徐汇·二模）设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是 . 48．（2024·浙江丽水·二模）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（    ） A． B． C． D． 49.已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点、、是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 50.（2023·四川成都高三专题检测）已知函数在区间内有且仅有一个极大值，且方程在区间内有4个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型9：解三角形 51．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，，求的面积． 52．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 53．（24-25高三下·全国·开学考试）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长l的取值范围． 54．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）在三角形中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，且，求的取值范围. 55．（23-24高三下·福建·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)过点A作的垂线与的延长线交于点D，，的面积为，求的周长．    56．（2025·广东惠州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，且，. (1)若边上的高，求证：为等边三角形； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 题型10：三角函数与解三角形综合 57．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 58.（2025·上海静安·二模）已知向量， 记． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 69．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 60．（2025·新疆·模拟预测）已知函数. (1)若函数在上的零点从小到大依次为，设数列的前项和为，求的值； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，若，，边上的中线，求的值. 61．（2024·山西吕梁·二模）已知，其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)在钝角中，内角的对边分别是，若，求的取值范围. 62．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为. (1)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. (2)对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 题型11：三角函数与导数综合 63．（2025·上海徐汇·二模）对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. (1)已知函数，其中，求证：对任意实数，都有； (2)设，，若函数的最小导周期为，记，当实数变化时，求的最小值； (3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 64.（2024·上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． (1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； (2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； (3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学冲刺热点题型专项训练（五） 三角函数与解三角形 【热题归纳】 题型1：弧长公式、扇形面积公式及三角函数的概念 1.（2025上海三模）若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 . 【答案】2 【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 故答案为：2 2．（2024·上海奉贤·一模）申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为．已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为 ．（用含的表达式表示） 【答案】 【分析】连接，求出，可得答案. 【详解】连接，则，， ， ， ， 所以该图形的面积为. 故答案为：. 3．（2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为 . 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式，扇形的弧长公式求解即可, 【详解】设底面半径为，母线长为l 由，得， 又，由勾股定理， 所以，解得， 底面圆周长，扇形中心角， 故答案为： 4．（2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据诱导公式和二倍角公式可得，再根据角的终边经过点，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以，异号， 所以在第二、四象限， 又，所以在第二象限. 故选：. 5．（2025·天津和平·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，则，反之若，则， 所以是的充要条件. 故选：C 6．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简条件等式可求，再利用齐次化方法求结论. 【详解】， 所以， 所以， 又， 所以. 故选：A. 7．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则，从而得到，依题意得到关于的方程，求出的值，再由二倍角公式及诱导公式计算可得. 【详解】令， 则，所以， 所以， 所以，所以， 由，所以，解得（舍去）或， 所以. 故选：B 题型2：诱导公式与三角恒等变换 8．（2024·浙江温州·一模）已知，则 （用表示）. 【答案】 【分析】 根据诱导公式以及同角关系即可求解. 【详解】， 故答案为： 9．（2025·上海嘉定·二模）已知，若，则 ． 【答案】/0.4 【分析】根据已知，应用商数关系及平方关系可得，再应用二倍角正弦公式求函数值. 【详解】由， 所以，则. 故答案为： 10．（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解. 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. 11.（2025·上海虹口·二模）若，则　　． 【解析】． 12.（2025·上海静安·二模）已知，则的值为　　． 【解析】． 13．（2024·贵州·模拟预测）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角形函数的平方关系及求出和，再根据二倍角的正弦公式及降幂公式化简，代入计算即可． 【详解】由题设有，即， 解得或，因为，所以，则， 则， 故选：A． 14．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【答案】 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 15．（2024·上海·一模）已知中，为其三个内角，且都是整数，则 ． 【答案】6 【分析】不妨令，利用正切函数的单调性，结合已知求出，再利用和角的正切公式分析求解即得. 【详解】在中，不妨令，显然为锐角，而是整数， 若，又函数在上单调递增，则， 此时与矛盾，因此，， ，整理得， 又都是整数，且，因此， 所以. 故答案为：6 16．（2023·上海奉贤·一模）已知，，，，满足，，，有以下个结论： ①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数； ②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数. 下列说法正确的是（    ） A．结论①、②都成立 B．结论①不成立、②成立 C．结论①成立、②不成立 D．结论①、②都不成立 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将和用，表示即可. 【详解】对于结论①， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当为常数，时，不是一个常数，故结论①不成立； 对于结论②， 方法一： ∵ 又∵ ∴ 化简得， ∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立. 方法二：（特值法） 当时，， ∴，∴. ∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立. 故选：B. 【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量. 题型3：正弦定理和余弦定理的应用 17．（2025·上海杨浦·二模）中，“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及充要条件的定义判断即可. 【详解】在中，令内角所对的边分别为， 由正弦定理得， 所以”是“”的充要条件. 故选：C 18．（2025·上海奉贤·二模）已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件． 【答案】充要 【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，由、、成等差数列，得，而，则， 由、、成等比数列，得，由正弦定理得， 由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形； 若是正三角形，则，， 因此、、成等差数列且、、成等比数列， 所以“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的充要条件. 故答案为：充要. 19．（2024·上海虹口·二模）已知一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形外接圆的直径为 . 【答案】/ 【分析】不妨设中，，，利用余弦定理求出，即可求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】不妨设中，，， 由余弦定理，即， 解得，又， 所以， 由正弦定理， 即这个三角形外接圆的直径为. 故答案为： 20．（2024高三·上海·专题练习）的内角的对边分别为，，，若，则 ． 【答案】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而利用正弦定理可求的值． 【详解】因为， 且，可得，； 由正弦定理可得：． 故答案为：． 21．（2025·上海崇明·二模）在中，若，其面积为，则 ． 【答案】 【分析】先根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而求出的值. 【详解】已知，，代入面积公式可得： 则，可得：. 根据余弦定理为，可得 则.即， 把代入可得：，即. 由于为边长，可得. 故答案为：. 22．（2025·上海长宁·二模）已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】如图，利用补形可得，结合面积公式可求范围. 【详解】 如图，过作，过作交的延长线于， 则四边形、四边形为平行四边形，连接， 则互相平分，故共线且为的中点， 而，故，故， 中，，，， 故， 故， 故答案为： 23．（2025·上海长宁·二模）顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比，用黄金比表示 ． 【答案】 【分析】根据已知可得，由二倍角的余弦函数即可求解. 【详解】 如图等腰三角形中，，过作交于， 所以为角平分线， 所以，即， 由已知可得， 所以， 所以. 故答案为：. 24．（2025·上海青浦·模拟预测）已知的角对应边长分别为，则 . 【答案】 【分析】由余弦定理求解，再由反三角函数求得角. 【详解】根据余弦定理得， 把代入可得， 因为，所以. 故答案为：. 2.（2025·上海虹口·二模）若的三条边的长分别为4,5,6，则的外接圆面积为　　（结果保留）． 【解析】设边长为4的边所对的角为，由余弦定理得， 则，由正弦定理得外接圆半径满足， 的外接圆面积为． 题型4：解三角形的应用题 25．（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 【答案】1 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理求解. 【详解】如图，在中，，. 由余弦定理，可得 ， 即， 解得，即乙丙两人间的距离为1km. 故答案为：1. 26．（2025·上海奉贤·二模）中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影．某数学建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：点、点、点作为测量基点．设大厦的最高点为，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，又测得米，，（见图）．现作出以下几个假设：            ①直线垂直于平面； ②平面到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计； ③其它次要因素等忽略不计．根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约 米．（结果保留整数） 【答案】 【分析】在以及中，根据三角形正弦定理用高度表示，，在中，由余弦定理列出等式，解出即可. 【详解】设高度为，在中，根据正弦定理有：，即， 在中，根据正弦定理有：，即， 由余弦定理可知： ， 解得：. 故答案为： 27．（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 【答案】 【分析】过点作，设,，根据正弦定理求得，求得阴影的面积为，令，求得，得出函数的单调性，得到时， 取得最小值，结合为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】过点作垂足为，可得，， 设,，在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又由阴影部分的面积： ，其中， 令， 可得， 令，可得，解得 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值，则，所以为等腰直角三角形， 因为，所以. 故答案为：     28．（2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数） 【答案】66.4 【分析】先在和中，根据仰角分别用建筑物高度表示出和，然后在中利用余弦定理建立关于的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】在中，已知从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，所以. 在中，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，且，所以. 在中，已知米，.根据余弦定理，将，代入可得： ，即 可得. 则. 故答案为：66.4. 题型5：三角函数的图像与性质 29．（2024·上海·模拟预测）已知函数．则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据三角恒等变换将函数化简，进而得到函数的值域． 【详解】 因为，，解得：，， 所以函数的定义域为， 所以，所以，所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 30．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合正弦函数求值域即可. 【详解】， 其中， 则其值域为 故答案为：. 31．（2024•奉贤区三模）函数y＝sinx+2cosx的最小正周期为 　 　． 【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解． 【解答】解：y＝sinx+2cosxsin（x+φ），其中tanφ＝2， 根据正弦函数的性质可知，函数的最小正周期为2π． 故答案为：2π． 【点评】本题主要考查了辅助角公式及正弦函数的性质的应用，属于基础题． 32．（2024·上海·模拟预测）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 . 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 33．（2025·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】利用两角和差的余弦公式化简，再利用周期公式求解. 【详解】， 故最小正周期为. 故答案为： 34．（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则 ． 【答案】 【分析】由正弦型函数的周期公式可求得的值. 【详解】因为函数的最小正周期是，则. 故答案为：. 35．（2025·上海奉贤·二模）若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】根据周期的定义以及三角函数诱导公式，由正整数以及因数，可得答案. 【详解】由题意可得 ， 则，，，， 或，，，， 解得，，，，① 或，，，，② ①由为正整数，且的因数为， 则的取值可能有， 此时的可能取值有， 由，则为的倍数，故的可能取值有. ②由为正整数，且的因数为， 则奇数的取值只可能有， 此时的可能取值有，由，则奇数，所以此时无取值. 故选：B. 36．（2024•闵行区三模）对于函数，给出下列结论： （1）函数y＝f（x）的图像关于点对称； （2）函数y＝f（x）在区间上的值域为； （3）将函数y＝f（x）的图像向左平移个单位长度得到函数y＝﹣cos2x的图像； （4）曲线y＝f（x）在处的切线的斜率为1． 则所有正确的结论是（　　） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3） 【分析】由三角恒等变化得f（x）＝sin（2x）， 对于（1），验证f（）＝0是否成立即可； 对于（2），由三角函数的性质，求出函数的值域即可； 对于（3），由函数的平移及诱导公式即可判断； 对于（4），验证f'（）＝1即可． 【解答】解：因为sin2xcos2x＝sin（2x）， （1）因为f（）＝sin（）＝sin0，所以函数y＝f（x）的图像不关于点对称，故错误； （2）当x∈[，]时，2x∈[，]，所以sin（2x）∈[，1]，故正确； （3）将函数y＝f（x）的图像向左平移个单位长度得y＝sin[2（x）]＝sin（2x）＝cos2x，故错误； （4）因为f（x）＝sin（2x），所以f′（x）＝2cos（2x），所以f'（）＝2cos（）＝2sin1， 即曲线y＝f（x）在处的切线的斜率为1，故正确． 故说法正确的有（2）、（4）． 故选：C． 【点评】本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质及导数的几何意义，属于中档题． 37．（2025·天津和平·一模）关于函数，下面结论成立的是（    ） A．在区间上的最大值为 B．在区间上单调递增 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【解析】A选项：因为，所以，则， 即在区间上的最大值为.故A不正确； B选项：因为，则，所以在上单调递增， ，所以在上单调递减，故B不正确； C选项：，故C不正确； D选项：当时，，所以为的图象的对称中心，故D正确. 故选：D 38．（2025·天津河西·一模）已知函数图象的一条对称轴是，且在上有且仅有两个对称中心，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数图象的一条对称轴是， 则，解得， 当时，， 因为函数在上有且仅有两个对称中心，则，解得， 故，所以， . 故选：B. 39．（2025·天津·一模）设符号函数，已知函数，则（   ） A．为的最小正周期 B．图象的对称轴方程为 C．在上单调递增 D．函数在上有4个零点 【答案】D 【解析】由题意，画出函数的部分图象， 如图所示： 根据图象可知为的最小正周期，故A错误； 由图象知图象的对称轴方程为，故B错误； 在上先单调递增，再单调递减，故C错误； 函数在上的零点个数，转化为方程在上的解的个数， 转化为函数与的交点个数，由图知，函数与有6个交点， 所以，函数在上有4个零点，故D正确； 故选：D 题型7：三角函数零点问题 40．（2025·天津·一模）函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， 令，依题意与在上有两个交点， 由，则， 令，解得，所以在上单调递减， 且，； 令，解得，所以在上单调递增，且； 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 41．（2025·上海黄浦·二模）设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知讨论、、，结合对应的解析式求值域，及零点个数求参数范围. 【详解】由，则，又， 当，，此时无零点， 当，，此时无零点， 当，如下图，此时，而， 要使在区间上恰有4个根，则，则.    故答案为： 42．（2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由二倍角正弦公式有，讨论、，结合正余弦函数的性质解不等式求解集，进而确定整数解的个数. 【详解】由题设，显然， 当，则，此时， 当，则，此时， 所以，整数解有，共5个整数解. 故选：C 题型8：实数的取值范围 43．（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则 ． 【答案】 【分析】由正弦型函数的周期公式可求得的值. 【详解】因为函数的最小正周期是，则. 故答案为：. 44．（2024·浙江·三模）若函数 的最大值为 2，则常数 的取值可以为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分别分析函数和的最大值，再根据三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数的最大值为1，的最大值为1， 由题意可知，取得最大值1时，也取得最大值1， 即当时，，， 得，，， 当时，，其他值不满足等式. 故选：D 45．（2024·浙江·一模）已知函数，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点是函数的一个对称点，则和的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意首先得，进一步由，对比选项即可得解. 【详解】由题意函数的周期满足，，所以， 又点是函数的一个对称点，所以， 所以或，对比选项可知，只有当时满足题意. 故选：D. 46．（2024·浙江温州·一模）若函数，的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用可得，再由三角函数图像性质可得，解不等式即可求得的取值范围. 【详解】根据题意可知若，则可得； 显然当时，可得， 由的值域为，利用三角函数图像性质可得， 解得，即的取值范围是. 故选：D 47．（2025·上海徐汇·二模）设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】先证明，再说明满足条件，即可得到的最小值是. 【详解】假设，则由可知，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 假设，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 以上结果表明必有，而当时，对任意，由可知，故. 而，，所以一定存在，使得，即，满足条件. 综上，的最小值是. 故答案为：. 48．（2024·浙江丽水·二模）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的平移可得，利用三角函数的最值，求出自变量，的值，然后判断选项即可， 【详解】因函数的最小正周期为， 将的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 若对满足的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有， 不妨，则，即在取得最小值， 当时，， 此时，，，不合题意， 当时，， 此时，，，当，满足题意， 故选：A. 49.已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点、、是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，作出函数、的图象如下图所示： 设、、为连续相邻的三个交点，（不妨设在轴下方），为的中点，由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，所以，由，整理得，所以，则，所以，， 则，所以，要使为锐角三角形，，所以，，，解得.故选：D. 50.（2023·四川成都高三专题检测）已知函数在区间内有且仅有一个极大值，且方程在区间内有4个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，函数， 因为，所以， 若在区间内有且仅有一个极大值，则，解得；若方程在区间内有4个不同的实数根， 则，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 题型9：解三角形 51．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)3 (2)6 【分析】（1）由正弦定理，及，得，转化为，得. （2）由及（1）得，从而可得，求出a，计算三角形面积即可. 【详解】（1）由，得， 因为 ，所以, 则有： 移项可得： 因为 ， 所以. （2）因为 ，所以 ， 由（1）知 ，且 ， 则：，即， 整理得，即， 解得 或 因为，，则角是锐角． 由知，，C为锐角，则 ， 所以 ，则，那么 ， 根据 以及，可得： 由正弦定理 以及已知可得：， 的面积. 52．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一，利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简求解；法二，由余弦定理化简条件式，再利用余弦定理求出； （2）法一，将条件利用正弦定理化简求得的外接圆半径，结合（1）可求得，再利用余弦定理和基本不等式求得，得解；法二，同法一求出外接圆半径，由正弦定理可得，化简得关于角的三角函数求最值. 【详解】（1）解法一，由正弦定理得， 又， 所以，即. 因为，所以， 所以. 解法二，由余弦定理得， 整理得， 所以. （2）解法一，设的外接圆半径为， 由及正弦定理得， 所以. 由（1）知，所以， 所以. 由余弦定理得，即， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 所以周长的最大值为. 解法二，设的外接圆半径为， 由及正弦定理得， 所以. 由（1）知，所以. 所以 ， 其中为第一象限角，且， 所以当时，取得最大值， 故周长的最大值为. 53．（24-25高三下·全国·开学考试）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长l的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由降幂公式结合特殊角的三角函数值可得； （2）由正弦定理边化角得到周长的表达式，再两角差的正弦展开式和辅助角公式结合正弦函数的取值范围求解即可； 【详解】（1）因为，所以， 解得或（舍去）， 又，所以. （2）由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以的周长， 即 ， 又，所以，解得，所以， 所以， 所以，即的周长l的取值范围为. 54．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）在三角形中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再利用诱导公式即正弦的和角公式求解； （2）把转化为的函数，利用余弦定理及三角函数单调性分析的范围 ，最后再利用二次函数的单调性求范围. 【详解】（1）根据正弦定理可知：， 因为，所以，所以. （2）由余弦定理可知：，因为，所以，，， 因为，所以，， 由正弦定理得：， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以时，取得最小值， 并且， 所以的范围是. 55．（23-24高三下·福建·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)过点A作的垂线与的延长线交于点D，，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题利用正弦定理将条件式角化边，再结合二倍角公式求出得解； （2）根据题意得，结合的面积为，可求得，又由，求得，在中，由余弦定理求得,得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得．两边除以， 得， 由二倍角公式，有， 整理为， 上式因式分解为， 解得或（舍去）， 又由，可得； （2）由．有， 又由，可得，有，可得， 又由的面积为及，有， 代入，可得，， 又由，有，代入，可得， 在中，由余弦定理，有， 有的周长为．    56．（2025·广东惠州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，且，. (1)若边上的高，求证：为等边三角形； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用余弦定理并结合三角形面积公式计算可得，可得结论； （2）根据角平分线以及角度大小利用等面积法解方程可得，可得其周长. 【详解】（1）证明：在中，，， 由余弦定理得，即①. 又， 即，故②. 由①②得，即， 故. 所以为等边三角形. （2）在中，由， 得， 又直线为的平分线， 则， 所以，即③， 又由余弦定理可得，即.④， 由③④可知， 解得或（舍）， 所以的周长为. 题型10：三角函数与解三角形综合 57．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得，由整体法可求函数的单调减区间； （2）函数在给定区间上的零点问题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，利用正弦函数的性质可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 令，则，其中， 故函数的单调递减区间为，. （2）由题设有在有两个不同的零点， 而，故在有两个不同的解， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故， 故. 58.（2025·上海静安·二模）已知向量， 记． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 【解析】（1），（4分） 故函数的最小正周期为（2分） （2）．（2 分） 由函数为奇函数，得（此处也可以用诱导公式推得） 即，（4分） 由常数，解得．（2分） 69．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点确定周期，可得，再由即可求解的值，从而得函数解析式； （2）由确定，得到，再结合正弦定理、三角恒等变换、正弦型函数的性质即可得的取值范围，由三角形面积公式得面积的取值范围． 【详解】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． （2）因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 60．（2025·新疆·模拟预测）已知函数. (1)若函数在上的零点从小到大依次为，设数列的前项和为，求的值； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，若，，边上的中线，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简计算可得.法一：利用换元法（令），结合零点的定义和正弦曲线的对称性求出和即可；法二：作出的图象，利用正弦曲线的对称性直接求解即可. （2）由求得，结合和正、余弦定理计算即可求解. 【详解】（1） . 方法一：令， 在上有4个零点.依次为，，，. 又..，， ，，同理得， . 方法二：作出函数的图象， 其对称轴为，， 由图可知，，. （2）依题意，即，，. ，. 即，. 在中，， ，由正弦定理得. 61．（2024·山西吕梁·二模）已知，其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)在钝角中，内角的对边分别是，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的图象相邻对称轴间的距离得到周期求出，再根据图像平移得到 ，求得结果； （2）由得出三角的关系，利用正弦定理及角度关系化简，再利用导数求函数单调区间得出结果. 【详解】（1）已知的图象相邻对称轴间的距离为，则. 由周期公式得，， 所以， （2）由题意得，，， 所以. 所以或（舍），所以. 因为在钝角中，所以， 所以，则 令，， 当时，；当时，； 可得在单调递减，在单调递增. 所以当，即时，有最小值； ，所以 故. 62．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为. (1)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. (2)对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 【答案】(1) (2)函数在单调递减，在单调递增 【分析】（1）由已知可得，由此解得的值，通过验证可得，然后根据余弦定理和面积公式即可求解； （2）由已知可得，又函数在无最小值，可得，再根据三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得或， 所以或， 若，则，不符；所以， 所以，所以， 由， 得，所以， ； （2）由，得，所以，， 令，因为，所以， 又函数在无最小值，所以函数的最小正周期,所以， 所以，则，此时，符合题意， 所以， 令，所以， 当时，， 因为， 所以在单调递减，在单调递增. 题型11：三角函数与导数综合 63．（2025·上海徐汇·二模）对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. (1)已知函数，其中，求证：对任意实数，都有； (2)设，，若函数的最小导周期为，记，当实数变化时，求的最小值； (3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据“最小导周期”的定义即可证明； （2）由题意有对任意实数恒成立，令，得，令，得，根据的取值验证函数的最小导周期为即可得，由可视为点与点之间的距离，利用数形结合即可求解； （3）记，由在上恒成立及存在使，可知是函数的极大值点，即，，解得，由，得，由得，又，即，即得证. 【详解】（1）证明：因为， ， ， ， 所以，对任意实数，都有. （2），， 由题意知，对任意实数恒成立， 令，则，即， 令，则，则， 所以或. 若，则，，最小导周期不是，矛盾； 若，则，，，最小导周期为，符合要求，所以. 可视为点与点 之间的距离，当实数变化时，点在直线上运动，点在曲线上运动， 因此所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值， 而曲线在直线上方，平移直线使其与曲线相切， 则切点到直线的距离即为所求. 设切点，，切线斜率，得，切点为， 点到直线距离. 即的最小值为. （3），， 记，即. 由在上恒成立及存在使， 可知是函数的极大值点，于是， 则①， 又，则②， 由①②得，则. 又因为， 所以，由得， 又因为， 所以， 有，于是， 所以. 64.（2024·上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． (1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； (2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； (3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 【答案】(1)偶函数，一条点切线方程为 (2)没有，理由见解析 (3)证明见解析，切线方程为和 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得出函数的奇偶性，数形结合可得出该函数的一条点切线方程； （2）求出，分析函数的单调性，即可得出结论； （3）取点、、，利用导数求出曲线在三处的切线方程，利用这三条切线重合可得出，然后对、、的关系进行讨论，即可求出对应的切线方程. 【详解】（1）令，其中，则， 所以，函数为偶函数，且，如下图所示： 由图可知，函数的一条点切线方程为. （2）因为，该函数的定义域为，且， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 因此，不可能存在、且，使得， 因此，函数不具有点性质. （3）取点、、， 因为，则， 所以，曲线在点处的切线方程为， 即， 曲线在点处的切线方程为， 曲线在点处的切线方程为， 由题意可知，这三条切线重合， 则， 由上得，则，，， （i）若，，， 则，所以，， 因为，则（舍去）； （ii）若，，中至少有一个成立， 不妨设，则， 若，则（舍去），所以，， 故或. 综上所述，点切线方程为和. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题考查点切线的新定义，解题的关键就是利用切线重合得出，通过分析、、之间的关系来求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$