6.1.1空间向量的线性运算同步练习-2024-2025学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

6.1.1　空间向量的线性运算 一、 单项选择题 1 如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量中相等的是(　　) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 (第1题) (第4题) 2 (2024云浮月考)已知空间中不共线的向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A. A，B，C B. B，C，D C. A，B，D D. A，C，D 3 (2023威海期末)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点E满足＝－＋＋，则下列选项中正确的是(　　) A. 3＝ B. 3＝2 C. ＝3 D. 2＝3 4 (2023衡阳期末)如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，＝3，设＝a，＝b，＝c，则 等于(　　) A. a－b＋c B. a－b＋c C. a＋b＋c D. a－b＋c 5 (2024潍坊期末)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点P在AC1上，且＝，则等于(　　) A. a＋b＋c B. a＋b＋c C. －a＋b＋c D. a－b－c (第5题) (第6题) 6 如图，在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A. a－b＋c B. a－b＋c C. a＋b＋c D. a＋b＋c 二、 多项选择题 7 (2024河北期中)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，则下列结论中正确的是(　　) A. －＝ B. －＝2 C. ＝ D. ＝ 8 (2024武汉期中)如图，在空间四边形OABC中，M，N分别是边OA，CB上的点，且AM＝2MO，CN＝2NB，G是线段MN的中点，则下列向量表示正确的是(　　) A. ＝－＋＋ B. ＝－＋ C. ＝＋－ D. ＝＋＋ 三、 填空题 9 (2024济南期末)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示＝________． 10 (2024江苏月考)若空间非零向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线的k的值为________． 11 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝m＋n，其中m＝1，n∈[0，1]，则△AB1P周长的最小值是________． 四、 解答题 12 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是对角线AC1的中点，化简下列表达式： (1) ＋＋； (2) ＋－. 13 证明：若坐标平面内的三点A，B，C共线，O为坐标原点，则存在三个均不为零的实数l，m，n，使得l＋m＋n＝0，且l＋m＋n＝0，反之也成立． 6.1.1　空间向量的线性运算 1. D　由题意，得四边形ABCD是平行四边形．对于A, 与的方向相反，不是相等向量，故A错误；对于B, 与的方向相反，不是相等向量，故B错误；对于C, 与的方向不同，不是相等向量，故C错误；对于D, 与的方向相同，大小相等，属于相等向量，故D正确. 2. C　对于A，因为＝＋＝－4a＋8b，所以不存在任何λ∈R，使得＝λ，所以A，B，C三点不共线，故A错误；对于B，因为＝＋＝2a＋4b，所以不存在任何μ∈R，使得＝μ，所以B，C，D三点不共线，故B错误；对于C，因为＝＋＋＝3a＋6b，所以＝3，所以A，B，D三点共线，故C正确；对于D，因为＝＋＝－4a＋8b，所以不存在任何t∈R，使得＝t，所以A，C，D三点不共线，故D错误． 3. A　由＝－＋＋，得－＝－(－)－＋(－)，整理，得3＝－＝＝. 4. B　由题意，得＝－＝(＋)－＝a－b＋c. 5. A　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝＋＋＝＋＋.因为＝a，＝b，＝c，点P在AC1上，且＝，所以＝(＋＋)＝a＋b＋c. 6. A　由题意，得＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－＋＝a－b＋c. 7. AC　－＝＋＝，故A正确，B错误；＝，故C正确，D错误．故选AC. 8. CD　在空间四边形OABC中，＝2，＝2，G是线段MN的中点，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，＝(＋)＝×＋(＋)＝＋＋，故D正确；对于A，＝－＝＋＋－＝－＋＋，故A错误；对于B，＝－＝＋＋－＝－＋，故B错误；对于C，＝－＝＋＋－＝＋－，故C正确．故选CD. 9. －a＋b＋c　由题意，得＝＋＝＋－＝－a＋b＋c. 10. －　由题意，得存在实数λ使得2ke1－e2＝λ[e1＋2(k＋1)e2]＝λe1＋2λ(k＋1)e2，即解得 11. ＋　因为＝m＋n＝m＋n，其中m＝1，n∈[0，1]，所以点P在线段CC1上．如图所示，沿AA1展开正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面，故△AB1P的周长为AB1＋AP＋B1P＝＋AP＋B1P≥＋＝＋，当B1，P，A三点共线时，取等号． 12. (1) ＋＋＝＋＝. (2) ＋－＝(＋)－＝－＝＋＝＋＝＝. 13. ①若l＋m＋n＝0(l，m，n均不为0)， 则－－＝1， 所以－＝1＋. 又l＋m＋n＝0， 所以＝－－＝(1＋)－＝＋(－)＝－， 所以－＝－， 所以＝－， 所以A，B，C三点共线． ②若A，B，C三点共线，则存在常数λ， 使＝λ(λ≠0 且λ≠1)， 所以－＝λ(－)， 所以＋(λ－1)－λ＝0. 令l＝1，m＝λ－1，n＝－λ， 则由λ≠0且λ≠1，知l，m，n，不为零， 所以l＋m＋n＝0， 且l＋m＋n＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$