精品解析：广东省中山市第一中学2024--2025学年九年级中考二模数学试卷（5月）

2024-2025学年第二学期5月抽查调研九年级数学科试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　 　 ） A. x≥－6 B. x≤－6 C. x>－6 D. x＜－6 4. 若，则的补角为（　　） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 3和5 B. 2和5 C. 2和3 D. 3和2 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 三角形的面积是，则它的三条中位线组成的三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 八边形的内角和为________度． 12. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 13. 若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为_____． 14. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 15. 如图，与菱形的边相切于点，点，在上．若，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值． 18. 如图，在等腰中，． （1）请用尺规作图法，作的平分线，交边于点N；（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的周长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． （1）甲组比乙组多挖掘了__________天． （2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 20. 综合与实践： 同学们在实践活动中用一批长为，宽为的纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时将纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分（阴影部分）不再使用．请根据活动完成相应的任务． 活动一 如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒． 任务1：请计算出方案甲中包装盒的容积． 活动二 为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙． 任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（π取3），并判断容积是否变大． 21. 小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下： ①从左至右按从小到大的顺序排列： ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 小亮每行翻开了两张卡片，如图所示： 第一行： 第二行： 第三行： 第四行： 其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，有的卡片上的数字并不能唯一确定． （1）求第四行最后一张白色卡片上数字． （2）小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，求小明一次猜对所有数字的概率． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形． （1）如图1，连接，求的度数和的值； （2）如图2，当点在射线上时，求线段的长； （3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值． 23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； （3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期5月抽查调研九年级数学科试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的概念是解决的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数． 【详解】根据无理数的定义可得：无理数是 故选：D． 3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　 　 ） A. x≥－6 B. x≤－6 C. x>－6 D. x＜－6 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，x+6≥0， 解得，x≥-6， 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 4. 若，则的补角为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和为的两个角互为补角，计算即可． 本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】。 则的补角为． 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，掌握关于原点对称的性质是解决本题的关键． 根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数求解即可． 【详解】解：∵点关于坐标原点的对称点是点， ∴点的坐标为， 故选A． 6. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：， A、，故错误，该选项不合题意； B、，故错误，该选项不合题意； C、无法得出，故错误，该选项不合题意； D、，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 7. 一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 3和5 B. 2和5 C. 2和3 D. 3和2 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：将数据重新排列为2，2，3，4，5， 所以这组数据的众数为2，中位数3， 故选C． 【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的性质，利用合并同类项法则、同底数幂相除法则，积的乘方法则，二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、 ，原计算错误，不符合题意； C、 ，原计算正确，符合题意； D、 ，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 9. 三角形的面积是，则它的三条中位线组成的三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理易得新三角形与原三角形相似，相似比为1：2，根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵三角形三条中位线所围成的三角形的与原三角形相似，相似比为， ∴面积比为． ∴则它的三条中位线组成的三角形的面积是60×＝15 cm²． 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形的中位线定理及三角形相似的性质，掌握三角形的中位线定理与相似三角形的性质是解题的关键． 10. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 八边形的内角和为________度． 【答案】1080 【解析】 【详解】解：八边形的内角和=， 故答案为：1080． 12. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：1． 13. 若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图象上点的特征，先由待定系数法求得，再把点代入反比例函数解析式即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 把代入得：， 故答案为：． 14. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 15. 如图，与菱形的边相切于点，点，在上．若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接，再证明，推出推出点O在菱形的对角线上，再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ， ∴点O在菱形的对角线上， ， ∵， ， ∵是切线， ∴， ∴， ∵， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查切线的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、扇形的面积等知识点，理解题意、作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，准确计算． 17. 先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】；1 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 18. 如图，在等腰中，． （1）请用尺规作图法，作的平分线，交边于点N；（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 如图，则即为所求： （2）18 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据作角平分线的方法作图即可； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，则即为所求： 【小问2详解】 解：由作图可知，为的平分线， ∵， ∴N为的中点，， ， 在中， ， ∵， ∴， 的周长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． （1）甲组比乙组多挖掘了__________天． （2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 【答案】（1）30 （2） （3）10天 【解析】 【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可； （2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围； （3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做， ∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天， （天） ∴甲组比乙组多挖掘了30天， 故答案为：30； 【小问2详解】 解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为， 将和两个点代入，可得， 解得， ∴ 【小问3详解】 解：甲组每天挖（米） 甲乙合作每天挖（米） ∴乙组每天挖（米），乙组挖掘的总长度为（米） 设乙组己停工的天数为a， 则， 解得， 答：乙组已停工的天数为10天． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． 20. 综合与实践： 同学们在实践活动中用一批长为，宽为的纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时将纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分（阴影部分）不再使用．请根据活动完成相应的任务． 活动一 如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒． 任务1：请计算出方案甲中包装盒的容积． 活动二 为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙． 任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（π取3），并判断容积是否变大． 【答案】任务1：；任务2： ，容积变大 【解析】 【分析】本题考查了作图的应用与设计， 任务1：根据长方体的体积公式求解； 任务2：先求出圆柱体的底面圆的半径，再根据圆柱的体积公式求解；结合，即可作答． 【详解】解：任务1：∵用一批长为，宽为的纸板做无盖包装盒，且结合图1的信息， ∴， 故答案为：； 任务2：设半径为， ∴， ∴， ∴直径为， ∴高为， ∴无盖圆柱型包装盒的容积为：， 结合任务1得容积为 ∵， ∴容积变大． 21. 小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下： ①从左至右按从小到大的顺序排列： ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 小亮每行翻开了两张卡片，如图所示： 第一行： 第二行： 第三行： 第四行： 其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，有的卡片上的数字并不能唯一确定． （1）求第四行最后一张白色卡片上数字． （2）小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，求小明一次猜对所有数字的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率问题，图形类规律探索， （1）根据规则确定数值，即可作答． （2）根据不能确定的数字进行求概率即可． 【小问1详解】 解：黑卡8在左边， 白卡数字可能为8或9， 又白卡9排在第一行， 第四行最后一张白色卡片上数字只能是8； 【小问2详解】 解：每行能确定的数字为： 第一行：1，5，6，7，9 第二行：，，3，4，5 第三行：0，，6，7，9 第四行：0，2，，8，8 不能确定的是黑色2，3和4，共有三种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为， 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形． （1）如图1，连接，求的度数和的值； （2）如图2，当点在射线上时，求线段的长； （3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，进而根据正切函数得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，证明，根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）过点作于点，由矩形和矩形可得，，，证明，进而得出，设，则，根据，得出，求出，进而可得出答案； （3）连接，先证明是等边三角形，，得出， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，进而求出，，，得出，可得当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 【小问1详解】 解：∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， 由矩形和矩形可得，， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如答案图1，过点作于点， 由矩形和矩形可得，， ， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如答案图2，连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到， ∴，，， ∴， ∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； （3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）； （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解； （3）先求得直线的解析式为，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明，推出，，设，则，由点M在直线上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质可得点N的坐标；设点，则点，当绕着点O逆时针旋转得到时，当点M绕点O顺时针得到点E时，根据旋转的性质，可得点N的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点和， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，且，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 依题意得， 解得（舍去）或， ∴； 【小问3详解】 解：令，则， 解得或， ∴， 同理，直线的解析式为， ∵四边形是正方形， ∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图， ，， ∴， ∴，， 设， ∴，， 则， ∵点M在直线上， ∴， 解得或， 当时，，， 即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时； 当时，，， 点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M， 则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N， ∴，即； 设点，则点， 当绕着点O逆时针旋转得到时，如图， ∵点E在的图象上， ∴， ∴点， ∵点E在的图象上， ∴， 解得：或0， ∴，， 当点M绕点O顺时针得到点E时，点，， ∵点E在的图象上， ∴， 解得：， ∴点，，，， ∴点N的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $