精品解析：江苏省无锡市江阴市六校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

2024-2025学年度春学期期中联考试卷 高二数学 命题人：郭 静 复核人：包小英 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书．从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 7种 C. 种 D. 42种 3. 已知的一个极值点为2，则实数（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（ ） A. 0.9163 B. 0.0081 C. 0.0756 D. 0.9919 5 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 7. 若直线与曲线相切，则最小值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 2 8. 已知函数的定义域为，为的导函数，函数的图像如下图所示，且，，则不等式的解集为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是 B. 数据5，8，10，12，13的第百分位数是8 C. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 D. 若随机变量服从正态分布，，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量服从二项分布. B. 有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数（），则随机变量服从二项分布. C. 有一批种子的发芽率为，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布. D. 某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X服从超几何分布. 11. 已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则（ ） A. B. 当时， C. D. 不等式解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 被8整除的余数为______. 13. 现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1～6），连续投掷两次，记分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量，则的值为________. 14. 设为的导函数，若在区间D上单调递减，则称为D上的“凸函数”．已知函数．若为上的“凸函数”，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其图象在点处的切线方程为． （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值． 16. 在的展开式中，求： （1）求常数项、及此项的二项式系数； （2）求奇数项的二项式系数的和； （3）求系数绝对值最大的项． 17. 某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） （1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 18. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． （1）若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； （2）若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 19. 已知函数． （1）当时，求单调区间与极值； （2）讨论的单调性； （3）当时，设， 证明：在上存在唯一极小值点，且．(参考数据：) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度春学期期中联考试卷 高二数学 命题人：郭 静 复核人：包小英 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导数运算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐项求导并判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 2. 某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书．从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 7种 C. 种 D. 42种 【答案】D 【解析】 【分析】先取本历史书，再取本地理书，根据分步乘法计数原理可得出答案. 【详解】本不同的历史书任取本历史书有种取法， 本不同的地理书任取本地理书有种取法， 从这些书中任取本历史书和本地理书， 根据分步乘法计数原理得到不同的取法有种. 故选：D. 3. 已知的一个极值点为2，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，利用只有一个极值点，可得，求解即可. 【详解】，令0，得或， 又的一个极值点为2，则，解得，经检验满足题意. 故选：B. 4. 某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（ ） A. 0.9163 B. 0.0081 C. 0.0756 D. 0.9919 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知服从二项分布，利用可得结果. 【详解】由题意得，，的取值为， ∵. ∴. 故选：D. 5. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据赋值法，分别令，求解可得. 【详解】由， 令，得， 令，得， . 故选：D. 6. 如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】先对A区域种植，再对B区域种植，最后分两类：D块与块相同、D块与块不相同，对C 、D区域种植，根据计数原理即可求解. 【详解】根据题意，分3步进行分析： (1)对于块，可以在3种不同的花中任选1种，有种情况； (2)对于块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，有种情况； (3)对于C 、D块，分2种情况： 若D块与块相同，则C块可以在其余的2种不同的花中任选1种，有种情况， 若D块与块不相同，则块有1种情况，块有1种情况，此时C 、D有1种情况， 则C 、D共有种情况； 综合可得：一共有种不同的种法. 故选：B 7. 若直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A 4 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】设切点，求导，根据导数几何意义得到方程，求出，得到切线方程，故，所以，求出最小值. 【详解】设切点为，， 故，所以， 所以切线方程为， 又，故切线方程为，即， 所以， 所以， 故当时，的最小值为2. 故选：D 8. 已知函数的定义域为，为的导函数，函数的图像如下图所示，且，，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图像原函数单调递增，原函数单调递减，可得不等式组，解不等式即得解集． 【详解】由题当时，，为增函数，又，解得或，同理当时，，为减函数，又，，解得，综上，故选C． 【点睛】本题考查根据导数图像判断原函数单调性，求满足条件的自变量取值范围，属于基础题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是 B. 数据5，8，10，12，13的第百分位数是8 C. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 D. 若随机变量服从正态分布，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用抽样的等可能性可知；B根据百分位数的定义可判断；C利用极差和方差的性质可判断；D利用正态分布曲线的性质可判断. 【详解】由于抽样的等可能性知，个体被抽到的概率是，故A正确； 因为，第个数为，第个数为， 则第百分位数是，故B错误； 由题意可知，新数据的极差为，方差为，故C正确； 由题意可知，，则，故D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量服从二项分布. B. 有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品件数（），则随机变量服从二项分布. C. 有一批种子的发芽率为，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布. D. 某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X服从超几何分布. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项分布和超几何分别的特征逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量服从二项分布，故A正确； 对于选项B：因为采用有放回抽取方法，则每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量服从二项分布，故B正确； 对于选项C：因为每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量X服从二项分布，故C错误； 对于选项D：因为样本都分为两类，随机变量X表示抽取4名样本中某类样本被抽取的人数， 所以随机变量X服从超几何分布，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则（ ） A. B. 当时， C. D. 不等式解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造函数结合导数求出单调性，再结合奇偶性，分别判断各个选项即可. 【详解】构造函数，其中， 因为函数为定义在上的奇函数，则， 所以，故函数为偶函数， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，则. 因为，所以，即，，故A正确； 不妨取，则，，B错误； 因为偶函数在上单调递增，则， 即，整理可得，C正确； 当时，由可得，解得， 当时，由可得，解得. 综上所述，不等式解集为，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：构造函数，根据导函数判断函数的单调性，结合函数的奇偶性判断不等关系 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 被8整除的余数为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由于， 由于均能被8整除，所以除以8的余数为7， 故答案为：7 13. 现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1～6），连续投掷两次，记分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】分析离散型随机变量时的情况，由古典概型的概率公式求解即可. 【详解】连续投掷两次质地均匀的正方体骰子，则总共有种情况， 时，两次投掷点数相差，共有种情况，， 故， 故答案为： 14. 设为的导函数，若在区间D上单调递减，则称为D上的“凸函数”．已知函数．若为上的“凸函数”，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由“凸函数”定义可得在区间上单调递减，令，则问题转化为在上恒成立，分离参数后转化为求函数最值，从而得到结果. 【详解】由，则， 由为上的“凸函数”， 则在区间上单调递减，设， 则，所以在上恒成立， 则在上恒成立， 又当时，函数取最小值，且最小值为， 所以有，解得. 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其图象在点处的切线方程为． （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为20，最小值为0 【解析】 【分析】（1）先求出，得出；再根据题目条件列出方程组，解出即可解答. （2）先利用导数判断函数的单调性，得出极小值和极大值；在计算端点处的函数值， ，与极大值和极小值进行比较即可解答. 【小问1详解】 由可得：. 所以在点处切线的斜率为， 因为在点处切线方程为， 所以切线的斜率为0，且， 所以，即，解得， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 则. 令得或3， 易知上在单调递增，在上在单调递减，在上在单调递增. 所以在处，取得极大值，在处取得极小值. 又因， ， 所以在上的最大值为20，最小值为0． 16. 在的展开式中，求： （1）求常数项、及此项的二项式系数； （2）求奇数项的二项式系数的和； （3）求系数绝对值最大的项． 【答案】（1）常数项为，此项的二项式系数为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得出常数项的值，结合二项式系数的概念可得出该项的二项式系数； （2）利用奇数项的系数和为所有项二项式系数和的一半可得结果； （3）令，设最大值，则，结合组合数公式可求出的取值范围，结合可得出的值，即可得解. 【小问1详解】 展开式的通项公式为， 令，可得，所以，展开式中的常数项为， 其二项式系数为. 【小问2详解】 奇数项的二项式系数和为. 【小问3详解】 令，设最大，则，即， 即，解得， 因为，解得，所以，系数绝对值最大的项为. 17. 某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） （1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 【答案】（1），定义域为 （2），最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，由圆柱的表面积公式以及球的表面积公式代入计算，即可得到函数关系式； （2）根据题意，求导可得，利用导数即可得到最值，从而得到结果. 【小问1详解】 由题意可得，所以h， 所以 ， 即 ， 因为，，所以，则， 所以定义域为. 【小问2详解】 设， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， 且，总费用最小值为， 所以当半径r为时，建造费用最小，最小为千元． 18. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． （1）若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； （2）若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 【答案】（1）（i）分布列见解析，；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）可取2,3，按独立事件概率求解，写出分布列，可求数学期望；分乙两局或三局获胜求解. （2）分别求出“甲最终获胜”和“甲经历5局获胜”的概率，再按条件概率求解即可. 【小问1详解】 （i）所有可能的取值为2，3 ，， 所以的分布列为： 2 3 . （ii）乙最终获胜的概率. 【小问2详解】 设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5场比赛”． 则， ， 故. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间与极值； （2）讨论的单调性； （3）当时，设， 证明：在上存在唯一的极小值点，且．(参考数据：) 【答案】（1）增区间，减区间为，极小值为，无极大值； （2）答案见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调区间和极值； （2）对函数求导得，讨论参数研究导函数的符号，即可判断函数的单调性； （3）由题设，，并用导数研究的单调性和极值，即可证. 【小问1详解】 当时，，所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值． 【小问2详解】 函数的定义域为R，对a进行讨论，分两种情况： 当时，恒成立，在R上单调递增； 当时，由，解得，由，解得， 在上单调递减，在上单调递增． 综上：当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 当时，，， 令，则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 又，且m， 所以存在唯一的，使得，即①, 当时，， 即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， 所以是在上唯一的极小值点，则， 由①可知． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$