精品解析：北京市八一学校2024-2025学年高二下学期期中练习数学试题

北京市八一学校2024-2025学年第二学期期中练习 高二数学 2025.04 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 下列函数中求导错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，若且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前项和，则是（ ） A. 公差为2的等差数列 B. 公差为3的等差数列 C. 公比为2的等比数列 D. 公比为3的等比数列 4. 如图，曲线在点处的切线l过点，且，则的值为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 在数列中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，则（ ）． A. 为的极大值点 B. 为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 7. 已知等差数列前n项和为，则取得最小值时，n的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 9. 一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中（单位：）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：s）为运动时间，则小球在的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 10. 从数字中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 11. 在无穷等差数列中，公差为d，则“存在，使得”是“（）”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 若函数在区间上，对，为一个三角形三边长，则称函数为“三角形函数”.已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 13. ___________． 14. 若数列满足，且，则数列___________． 15. 曲线在点处的切线的斜率为___________． 16. 从4名男生和3名女生中选出3人参加座谈会，至少有一个男生的选法有___________种． 17. 已知数列是首项为16，公比为的等比数列，是公差为2的等差数列.若集合中恰有3个元素，则符合题意的的一个取值为__________. 18. 已知函数，若，则不等式的解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 19. 已知数列满足：，． （1）若数列是等差数列，求的通项公式以及前n项和； （2）若数列是等比数列，求的通项公式． 20. 已知函数． （1）若为的极小值点，求实数的值； （2）当时，求在上的最大值和最小值. 21 设函数． （1）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围； （2）过坐标原点作曲线的切线，求证：切点的横坐标为． 22. 函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数在上的最小值； （3）直接写出的一个值，使恒成立，并证明. 23. 已知无穷数列，给出以下定义： 对于任意，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”． （1）已知数列、的通项公式为，，试判断数列，数列是否为数列”，并说明理由； （2）证明：数列为“数列”充要条件是“对于任意的、、，当时，有”； （3）已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，．求数列的最小项的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市八一学校2024-2025学年第二学期期中练习 高二数学 2025.04 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 下列函数中求导错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据初等函数的导数公式逐项判定，可得答案. 【详解】对于A，，故A正确；     对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确；     对于D，，故D正确. 故选：B. 2. 在等比数列中，若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质可求得的值. 【详解】由等比数列的性质可得，易知，故. 故选：C. 3. 已知数列的前项和，则是（ ） A. 公差为2的等差数列 B. 公差为3的等差数列 C. 公比为2的等比数列 D. 公比为3的等比数列 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的第项与前项和的关系，结合等差数列的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以当时，有， ，得， 当时，适合上式， 因为， 所以该数列是以2为公差的等差数列， 故选：A 4. 如图，曲线在点处的切线l过点，且，则的值为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件求出切线方程，然后利用切点既在曲线上又在切线上，将代入切线方程可求得． 【详解】由题意可得在处的切线方程为： 因为切点在曲线上也在切线上， 所以 本题正确选项： 【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法与应用，是基本知识的考查，关键是明确切点既在切线上又在曲线上． 5. 在数列中，已知，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】推导出数列为常数列，即可得出的值. 【详解】在数列中，已知，，则， 故数列为常数列，则，因此，. 故选：D. 6. 设函数，则（ ）． A. 为的极大值点 B. 为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 【答案】A 【解析】 【分析】求导，即可根据单调性求解. 【详解】由可得， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 故为的极大值点， 故选：A 7. 已知等差数列的前n项和为，则取得最小值时，n的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据通项公式，由可得等差数列的前8项为负数，从第9项开始为正数，即可得结果. 【详解】因为为等差数列，， 所以等差数列的前8项为负数，从第9项开始为正数， 所以取得最小值时为8. 故选：A. 8. 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象，由确定，求导后，确定有两个不相等的正实数根，结合函数单调性，韦达定理即可求出答案. 【详解】由图象可知， 有两个不相等的正实数根，且在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 综上：，，， 故选：A 9. 一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中（单位：）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：s）为运动时间，则小球在的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】,故， 故选：B 10. 从数字中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论和为6的情况，再结合排列组合概念即可求解； 【详解】三个数字和为6的情况有：222,114,123， 对于3个2的排列只有1个； 对于1，1，4的排列有个， 对于1，2，3的排列有个， 所以这样的三位数有10个， 故选：C 11. 在无穷等差数列中，公差为d，则“存在，使得”是“（）”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】用定义法进行判断. 【详解】充分性：若，，此时，而，满足，即存在，使得，但是不成立.故充分性不成立； 必要性：若，则，此时.故必要性满足. 故选：B 12. 若函数在区间上，对，为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”.已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，所以在单调递减，单调递增， ，， 则只需，函数就是“三角形函数”， 所以，解得，故选D． 点睛：本题关键是理解三角形函数的定义，要对任意的都满足，则只需即可（三角形较小的两边之和大于第三边），通过求导得到函数的最小值和最大值，代入计算，得到的取值范围． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 13. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】由排列数公式计算即可. 【详解】. 故答案为：. 14. 若数列满足，且，则数列___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 即是以，公比为的等比数列. 所以. 故答案为：. 15. 曲线在点处的切线的斜率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用导数求切线斜率即可. 【详解】设切线的斜率为，由， 则，则有. 故答案为：. 16. 从4名男生和3名女生中选出3人参加座谈会，至少有一个男生的选法有___________种． 【答案】 【解析】 【分析】先由题意，分别确定从4名男生和3名女生中选出3人，和选出的3人全部都是女生对应的选法种数，进而可求出结果. 【详解】从4名男生和3名女生中选出3人，共有种选法； 选出的3人全部都是女生，共有种选法； 因此，至少有一名男生的选法有种. 故答案为:. 17. 已知数列是首项为16，公比为的等比数列，是公差为2的等差数列.若集合中恰有3个元素，则符合题意的的一个取值为__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】易得数列逐项递减，可先确定集合中的3项再列式求的范围即可 【详解】易得数列逐项递减，逐项递增，故可考虑，， 此时只需即可，即，解得， 故符合题意的的一个取值为（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一） 18. 已知函数，若，则不等式的解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】第一空：直接代入，分和解不等式，再取并集即可；第二空：将题设转化为和的实数根的个数为2，分、和依次讨论根的情况，即可求解. 【详解】第一空：若，则，当时，由解得，则； 当时，由，解得，则；综上可得不等式的解集为； 第二空：恰有两个零点等价于和的实数根的个数为2. 当时，显然无解；解得（舍去），也无解，不合题意； 当时，显然无解；的判别式，设的两根为， 则，显然两根一正一负，即有1个实根，不合题意； 当时，令的对称轴为，则在单减，则，则无解； ，显然时不成立，则，令，则，显然在上单减，在单增， 则，又，，则时，有2个根，即恰有两个零点； 综上：. 故答案为：；. 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 19 已知数列满足：，． （1）若数列是等差数列，求的通项公式以及前n项和； （2）若数列是等比数列，求的通项公式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质和公式求首项和公差，即可求通项公式和前项和公式，即可求解； （2）根据等比数列的公式和性质求首项和公比，即可求通项公式. 【小问1详解】 因为数列是等差数列， 所以． 所以． 所以， 即， 解得． 所以数列的通项公式， 即， 所以数列的前n项和， 即． 【小问2详解】 因为数列是等比数列， 所以． 由， 得， 即， 解得． 所以． 数列的通项公式为． 20. 已知函数． （1）若为的极小值点，求实数的值； （2）当时，求在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）分析可知，利用导数求出函数的极小值点，即可得出的值； （2）当时，利用导数分析函数在区间上的单调性，即可求出的最大值和最小值. 小问1详解】 因为函数的定义域为， 则，由可得或， 因为为的极小值点，则有或，必有，则，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在取得极小值，故. 【小问2详解】 当时，， 由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以，函数的极大值为，极小值为， 又因为，， 故当时，，. 21. 设函数． （1）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围； （2）过坐标原点作曲线的切线，求证：切点的横坐标为． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可知对任意的，恒成立，由参变量分离得，求出函数在上的最小值，由此可得出实数的取值范围； （2）设切点坐标为，利用导数的几何意义写出切线的方程，将原点的坐标代入切线方程，可得出，令，其中，利用导数分析该函数的单调性，结合可解方程，即可证得结论成立. 【小问1详解】 因为函数在区间上是减函数，则对任意的，恒成立， 故对任意的恒成立， 令，其中， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 所以，，故实数的取值范围是. 【小问2详解】 设切点坐标为，，则切线斜率为， 所以，函数在处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程并化简得， 令，其中，则， 故函数在上为增函数，且，由可得， 因此，切点的横坐标为. 22. 函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数在上的最小值； （3）直接写出的一个值，使恒成立，并证明. 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求得最小值； （3）取，构造函数，即证恒成立，利用导数研究函数的单调性及最值即可证得结论. 【小问1详解】 由，知，切点为 求导，则切线斜率 所以切线方程为：，即 【小问2详解】 求导， ，，，所以函数在上单调递增， ，即函数在上的最小值为. 【小问3详解】 取，下面证明恒成立，即证恒成立， 令，即证恒成立 求导， （i）当时，，，此时 所以函数在上单调递减，，即成立 （ii）当时，令，， 因为，，所以，所以函数在上单调递增， ，所以函数在上单调递增，， 综上可知，恒成立，即恒成立 23. 已知无穷数列，给出以下定义： 对于任意，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”． （1）已知数列、的通项公式为，，试判断数列，数列是否为数列”，并说明理由； （2）证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的、、，当时，有”； （3）已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，．求数列的最小项的最大值． 【答案】（1）数列是“数列”，数列不是“数列”，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用“数列”的定义判断即可； （2）利用累加法，结合放缩法可得，，即可求证必要性，取，即可求证充分性， （3）根据定义可得为单调递增数列，且，进而得，即可根据单调性得最小值为，结合放缩法和等差求和公式可得，即可求解. 【小问1详解】 因为数列、的通项公式为，， 则，故数列是“数列”， ，即， 故数列不是“数列”. 【小问2详解】 先证明必要性： 因为为“数列”，所以对任意的，都有，即， 所以对任意的、、，当时， 有， 所以， 又， 所以， 又，则 故，即，故， 再证明充分性： 对于任意的、、，当时，有， 即， 对于任意的,，则有， 即可，所以为“数列”， 因此，数列为“数列”的充要条件是“对于任意的、、，当时，有. 【小问3详解】 数列为“严格数列”，且对任意的，有，即， 设，则为单调递增数列，且， 所以 因为，，所以， 所以存在，时，，， 所以，当，，，数列为单调递减数列， 当，，， 因此存在最小值，且最小值为， 由于，所以，，，， 且，，， 所以，即， ，即 所以， 因为， 当时，， 当时，， 当时， 所以当时，的最大值为， 此时，因为， 所以数列的最小项的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$