精品解析： 广东省广州市荔湾区真光中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024学年第一学期期中初三数学练习卷 班级：___________姓名：___________考号：___________ 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，下列所给图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是  （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 12 C. D. 8 7. 如图，中，，将绕点顺时针旋转，得到，边与边交于点（不在上），则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 9. 如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为．正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是____________． 12. 一元二次方程有一个根为1，则________． 13. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为__________. 14. 若二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是____________． 15. 已知，则 _________． 16. 如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，若，连接，则的长为______． 三、解答题（共9道题，共72分） 17. 解方程：． 18. 已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示: （1）画出关于原点对称的,并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转得到,画出旋转后的． 20. 如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程的解为___________，___________； （2）当时，直接写出的取值范围为___________； （3）当时，直接写出的取值范围是___________． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 22. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度． （2）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线和线段，其中点，点，点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点． （1）求直线的解析式； （2）点在抛物线上，且与点关于对称轴对称，连接，，，射线交轴于点，连接，，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求的值；如果不能，说明理由； （3）若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，求的取值范围． 25. 小明在一次数学活动中，进行了如下的探究活动：如图，在矩形中，，，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点、、的对应点分别为、、． （1）如图①，当点落在边上时，求的长； （2）如图②，当点落在线段上时，与交于点．求的长． （3）记点为矩形对角线的交点，连接、，记面积为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期中初三数学练习卷 班级：___________姓名：___________考号：___________ 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，下列所给图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念“把一个图形绕着一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”进行判断即可得． 【详解】解：A、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； B、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； C、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； D、是中心对称图形，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形． 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是  （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，关键是理解一元二次方程的定义，正确求出二次项系数，一次项系数和常数项．先化为一般式，再根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， ，，， 故选：． 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：图象的顶点坐标是， 故选：D． 4. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加上一次项系数的一半的平方，即可求出答案． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 5. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 6. 若m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 12 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，中，，将绕点顺时针旋转，得到，边与边交于点（不在上），则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得，，由三角形外角的性质可求解． 【详解】将绕点顺时针旋转，得到， ，， ， 故选：C． 8. 已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将代入解析式，求出值，再将代入解析式，求出值即可． 【详解】解：将代入函数解析式，得：， 解得：， ∴， 当时，，即：； 故选：B． 【点睛】本题考查求二次函数的函数值．解题的关键的是利用待定系数法，正确的求出二次函数解析式． 9. 如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质．连接，分别作和的线段垂直平分线，且它们的交点即为旋转中心，由图写出其坐标即可．理解两线段垂直平分线的交点即为旋转中心是解答本题的关键． 【详解】如图，连接，分别作和的线段垂直平分线，且交于点P．则P点即为旋转中心． 由图可知P点坐标为，即旋转中心的坐标为． 故选：A． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为．正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与不等式，根据抛物线的开口方向可判断①；根据抛物线与x轴没有交点可判断②；根据抛物线的对称轴即可判断③；将不等式变形为：，令，根据直线与抛物线的图象交于点和，进而可判断④；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向上， ，则①正确； 抛物线与x轴没有交点， ，则②错误； 由图得：抛物线的对称轴为：， 即：，故③错误； 不等式变形为：， 令，如图， 由图象得：直线与抛物线的图象交于点和， 不等式的解集为，故④正确， 则正确的个数有2个， 故选B． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是____________． 【答案】(1，) 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接写出答案． 【详解】解：点A（-1，3）关于原点对称的点A′的坐标是（1，-3）， 故答案为（1，-3）． 12. 一元二次方程有一个根为1，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义，将代入列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴满足关于x的一元二次方程， ∴， 解得，． 故答案为：5． 13. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图像的平移规律即可解答． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移变换，掌握函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键． 14. 若二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和x轴交点问题，解决此题的关键是把二次函数转化成一元二次方程，并注意二次项系数不能为0． 【详解】解：令，可得 ∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴且 解得：且． 故答案为：且． 15. 已知，则 _________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键． 根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设， 则， ∴， 则或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：5． 16. 如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，若，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，把绕点A顺时针旋转90度，此时重合，得到，连接，证明，可得点F，E，三点共线，根据等腰三角形的性质的长度，再求得，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，把绕点A顺时针旋转90度，此时重合，得到，连接， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时点F，E，三点共线， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出辅助线，耐心推理是解题的关键． 三、解答题（共9道题，共72分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 18. 已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值； （2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标． 【小问1详解】 解：将代入二次函数解析式得：， 解得：； 【小问2详解】 二次函数解析式为， 则顶点坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示: （1）画出关于原点对称的,并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转得到,画出旋转后的． 【答案】（1）如图： , （2）如图， ． 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称点坐标求法,画旋转图形． （1）根据题意知,,,关于原点对称点坐标均互为相反数,先求出,,,最后连接三点即是所得图形及点的坐标； （2）先求出点绕点旋转后的点,同理求出,最后连接三个点即可得到. 【小问1详解】 解:∵,,, ∴关于原点对称的点为:,,, 将三点连接,如下图所示: , ∴； 【小问2详解】 解:∵,,, ∴将三点绕点B旋转后的坐标为,, 将三点连接,如下图所示: ． 20. 如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程的解为___________，___________； （2）当时，直接写出的取值范围为___________； （3）当时，直接写出的取值范围是___________． 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． （1）解方程即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）当时，当时，y取得最小值，y在顶点处取得最大值，即可求解． 【小问1详解】 解： ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：的根为，， 二次函数的图象与轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 时，的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 22. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质得： ，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，旋转的性质等知识，证明两个三角形全等是关键． （1）根据旋转的性质，得，，，再证明即可； （2）设，则可求得，从而得，，由三角形内角和即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度． （2）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2． 【答案】（1）5m；（2）m2 【解析】 【分析】（1）根据AB为xm，则BC=（24﹣3x），利用长方体的面积公式列方程，解方程可求出x即可； （2）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃，然后运用二次函数求最值即可． 【详解】解：设AB＝xm，围成的花圃面积为ym2，则BC长为（24﹣3x）m， （1）根据题意，得x（24﹣3x）＝45， 整理，得x2﹣8x+15＝0， 解得x＝3或5， 当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立， 当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立， ∴AB长为5m； （2）由题意，得S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵墙的最大可用长度为10m，0≤BC＝24﹣3x≤10， ∴≤x＜8， ∵对称轴x＝4，开口向下， ∴当x＝m，有最大面积的花圃， 即：x＝m， 最大面积为：24×﹣3×（）2＝（m2）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，根据题意正确列出一元二次方程和函数解析式是解答本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线和线段，其中点，点，点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点． （1）求直线的解析式； （2）点在抛物线上，且与点关于对称轴对称，连接，，，射线交轴于点，连接，，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求的值；如果不能，说明理由； （3）若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1）直线的解析式为； （2）四边形能构成平行四边形，； （3）的取值范围为或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，平行四边形性质及应用，二次函数与一元二次方程的关系等，解题的关键是数形结合思想的应用． （1）设的解析式为，用待定系数法可得直线的解析式为； （2）由，，，知向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，故当向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到时，四边形是平行四边形，即得； （3）联立，得，当时，即时，直线与抛物线只有一个交点，交点在线段上，当时，即，直线与抛物线有两个交点，若抛物线过时，，得，当抛物线过时，，得，由图可得抛物线L与线段只有一个交点，m的取值范围为或． 【小问1详解】 解：设的解析式为， 把点，点代入得，， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：四边形能构成平行四边形，理由： ∵， 抛物线顶点，对称轴为直线， 当时，， 点， 、都在抛物线上，且关于对称轴对称， ， ，，， ，且， ， ，，， 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到， 当向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到时，四边形是平行四边形， ∵在轴上， ， ； 【小问3详解】 解：联立， 整理得：， ， 当时，即时，直线与抛物线只有一个交点，交点在线段上，如图： 当时，即时，直线与抛物线有两个交点， 若抛物线过时，， 解得， 此时直线与抛物线有两个交点，坐标分别为，都在线段上；如图： 当抛物线过时，， 解得， 此时直线与抛物线有两个交点坐标分别为，，只有一个点在线段上；如图： 综上所述，抛物线与线段只有一个交点时，的取值范围为或．． 25. 小明在一次数学活动中，进行了如下的探究活动：如图，在矩形中，，，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点、、的对应点分别为、、． （1）如图①，当点落在边上时，求的长； （2）如图②，当点落在线段上时，与交于点．求的长． （3）记点为矩形对角线的交点，连接、，记面积为，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转性质知，由矩形性质知，再在中根据勾股定理可得； （2）利用旋转的性质可得：，，由“”可证，由全等三角形的性质和平行线的性质可得，可得，由勾股定理可求的值； （3）由勾股定理可求的值，可得，当点G在线段上时，面积有最小值，当点G在线段延长线上时，面积有最大值． 【小问1详解】 解：由旋转的性质知， 四边形是矩形， ，， ； ； 【小问2详解】 解：由旋转知：，， ， ， 又， ， 设， 又在矩形中，有， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即； 【小问3详解】 解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 如图，始终在以为圆心，为半径的圆上，的底是定值为，当高最小或最大时，的面积就存在最小值或最大值，   　 当点在线段上时，此时最短，则面积有最小值； 当点在延长线上时，此时最长，则面积有最大值； 分情况讨论： 当点在线段上时，面积有最小值， ； 当点在线段延长线上时，面积有最大值． ． ． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $