精品解析：河北省保定市曲阳县2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期中质量检测 七年级 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　　） A. 两点之间线段最短 B. 点到直线的距离 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答． 【详解】解：要把河中的水引到水池A中,应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短， 故选：D. 【点睛】本题考查垂线段的性质：垂线段最短，熟练掌握垂线段的定义是解题的关键. 2. 已知是二元一次方程的一个解，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程解的定义把代入到方程中得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 3. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方．根据运算法则逐一判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故选：B． 5. 已知方程组，则的值为（　　） A. B. 0 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，由①②得，利用整体思想进行求解即可． 【详解】解：， ①②得：， ， ， 故选：D． 6. 如图所示，下列推理及所注理由错误的是（ ） A （内错角相等，两直线平行） B. （两直线平行，内错角相等） C. （两直线平行，内错角相等） D. （内错角相等，两直线平行） 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A. （内错角相等，两直线平行），选项正确，不符合题意； B. （两直线平行，内错角相等），选项正确，不符合题意； C. （两直线平行，内错角相等），选项正确，不符合题意； D. （内错角相等，两直线平行），选项不正确，符合题意； 故选：D 7. 下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A．符合平方差公式要求，故A正确 B．中和的系数均互为相反数，不符合要求，故B错误； C．符合平方差公式要求，故C正确； D．符合平方差公式要求，故D正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，用字母表示为：． 8. 小明计划用22元钱购买两种笔记本，种每个4元，种每个3元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设购买、两种笔记本分别为本，本，根据题意，列出二元一次方程，求出、正整数解即可． 【详解】解：设购买、两种笔记本分别为本，本， 根据题意得， 当时，； 当时，； 故有种购买方案， 故选：D ． 9. 将多项式加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( ) A. B. ±4x C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分x2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解. 【详解】解：①当x2是平方项时，4士4x+x²=（2士x）2，则可添加的项是4x或一4x； ②当x2是乘积二倍项时，4+ x2+ =（2+）2，则可添加的项是； ③若为单项式，则可加上-4. 故选D. 【点睛】本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意. 10. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？下列说法正确的是（ ） A. 设井深为尺，所列方程为 B. 设绳子的长为尺，所列方程为 C. 绳子的长是32尺 D 井深8尺 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 根据题意列方程求解，逐项判断即可． 【详解】解：设井深尺， 根据题意得， 故选项A错误，不符合题意； 解得：， 井深8尺， 故选项D正确，符合题意； ， 绳子的长是尺， 故选项C错误，不符合题意； 设绳子的长为尺，根据题意得， 故选项B错误，不符合题意； 故选：D． 11. 如图，将沿方向平移至，且，若图中阴影部分的周长为，则的周长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移得，，即得，进而得，再根据阴影部分的周长为，可得，即得到，最后求出的周长即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得，，， ∵， ∴， ∴， 又∵阴影部分的周长为， ∴， 即， ∴， ∴的周长， 故选：． 12. 一次数学活动中，检验两条纸带①、②的边线是否平行，嘉嘉和淇淇采用两种不同的方法：嘉嘉将纸带①沿折叠，量得；淇淇将纸带②沿折叠，发现与重合，与重合（点在上，点在上），如图所示．下列判断正确的是（　　） A. 只有纸带①的边线平行 B. 只有纸带②的边线平行 C. 纸带①、②的边线都平行 D. 纸带①、②的边线都不平行 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定以及翻折变换的性质，正确掌握翻折变换的性质是解题关键．直接利用翻折变换的性质结合平行线的判定方法得出答案． 【详解】解：如图①所示： ， ， ， ， 纸带①的边线不平行； 如图②所示： 发现与重合，与重合， ，， ， 纸带②的边线平行． 故选：B 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 对于方程，当时，；当时，，则__． 【答案】0.35## 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确代入数据得到方程组是关键． 把时，；当时，代入可以得到一个二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为：0.35． 14. 如图，，直线分别交于点E、F，平分∠AEF，，则的度数为____________________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质及角平分线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．先根据角平分线的性质得出，再根据平行线的性质得出，由平角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 15. 请认真观察，想一想，图中的“？”表示的数是______． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查三元一次方程组的应用，能根据题意得到三元一次方程组是解题的关键．设正方形表示的数为x，圆表示的数为y，三角形表示的数为z，根据题意，列出三元一次方程组，解出即可． 【详解】解：设正方形表示的数为x，圆表示的数为y，三角形表示的数为z，根据题意得： ， 由得：④， 由得：， 解得：， 由得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴， 即图中的“？”表示的数是70． 故答案为：70 16. 如图，有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系． 设正方形的边长分别为，，根据题意得到，，，求出，即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长分别为， 根据题意得，， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）先算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组. 【答案】 【解析】 【分析】根据加减消元进行求解方程组即可． 【详解】解： ②×2，得10x+2y=26③ ①+③，得16x=48， 解得x=3， 将x=3代入①，得y=-2， 所以原方程组的解为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中； 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，涉及完全平方公式和平方差公式，以及单项式除以单项式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算单项式除以单项式得到化简的结果，把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，B、A、E三点同一直线上，（1）AD∥BC，（2）∠B＝∠C，（3）AD平分∠EAC. 请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并证明. 已知:______________________________________________________. 求证:______________________________________________________. 证明: 【答案】见解析. 【解析】 【分析】本题答案不唯一，可以用（1）和（2）作为已知条件，（3）作为结论，构造命题．再结合图形说明命题的真假． 【详解】命题：已知：AD∥BC，∠B＝∠C 求证：AD平分∠EAC． 证明：AD∥BC ∠B＝∠EAD，∠C＝∠DAC 又∠B＝∠C， ∠EAD＝∠DAC． 即AD平分∠EAC． 【点睛】本题考查的知识点是命题与定理，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 21. 阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便： 解：①②得，，所以， 将③，得， ②④，得，由③，得， 所以方程组的解是 （1）请采用上面的方法解方程组． （2）直接写出关于x、y的方程组的解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题例进行解题即可； （2）根据题例进行解题即可． 【小问1详解】 ①②，得， ∴， 将③，得， ②④，得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 ， ①②，得， ∴， 将③，得， ②④，得， 解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 22. 发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确． 【答案】验证：；论证见解析 【解析】 【分析】通过观察分析验证10的一半为5，；将m和n代入发现中验证即可证明． 【详解】证明：验证：10的一半为5，； 设“发现”中的两个已知正整数为m，n， ∴，其中为偶数， 且其一半正好是两个正整数m和n的平方和， ∴“发现”中的结论正确． 【点睛】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键． 23. 在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目： 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成． （1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________，y表示________；并写出该方程组中△处的数应是________，□处的数应是________； （2）陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 【答案】（1）甲队修路的天数；乙队修路的天数；； （2）乙队修建了8天 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）根据方程组等式的意义进行判断即可； （2）依题意得，，计算求解可得，然后根据乙队修建的天数，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，x表示甲队修路的天数，y表示乙队修路的天数；该方程组中△处的数应是，□处的数应是， 故答案为：甲队修路的天数；乙队修路的天数；；； 【小问2详解】 解：依题意得，， 解得，， ∴乙队修建的天数（天）． 答：乙队修建了8天． 24. 已知，，点为上方一点，、为上两点，连接，分别交于两点，． （1）如图1，，请写出说理过程（提示：过作） （2）如图2，点为上一点，连接，作垂足为，，那么；请写出说理过程． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的判定和性质，结合垂线的定义求证即可； （2）根据同位角相等两直线平行得到，继而得到，即可得到． 【小问1详解】 如图，过点作， ∴ ∵， ∴， ∴∠， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中质量检测 七年级 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 如图，要把河中水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　　） A. 两点之间线段最短 B. 点到直线距离 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 2. 已知是二元一次方程的一个解，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（　　） A B. C. D. 5. 已知方程组，则的值为（　　） A. B. 0 C. 4 D. 6 6. 如图所示，下列推理及所注理由错误的是（ ） A. （内错角相等，两直线平行） B. （两直线平行，内错角相等） C. （两直线平行，内错角相等） D. （内错角相等，两直线平行） 7. 下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C D. 8. 小明计划用22元钱购买两种笔记本，种每个4元，种每个3元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 9. 将多项式加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( ) A. B. ±4x C. D. 10. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？下列说法正确的是（ ） A. 设井深为尺，所列方程为 B. 设绳子的长为尺，所列方程为 C. 绳子的长是32尺 D. 井深8尺 11. 如图，将沿方向平移至，且，若图中阴影部分的周长为，则的周长为（ ）． A. B. C. D. 12. 一次数学活动中，检验两条纸带①、②的边线是否平行，嘉嘉和淇淇采用两种不同的方法：嘉嘉将纸带①沿折叠，量得；淇淇将纸带②沿折叠，发现与重合，与重合（点在上，点在上），如图所示．下列判断正确的是（　　） A. 只有纸带①的边线平行 B. 只有纸带②的边线平行 C. 纸带①、②的边线都平行 D. 纸带①、②的边线都不平行 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 对于方程，当时，；当时，，则__． 14. 如图，，直线分别交于点E、F，平分∠AEF，，则的度数为____________________． 15. 请认真观察，想一想，图中的“？”表示的数是______． 16. 如图，有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为______． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 解方程组. 19. 先化简，再求值：，其中； 20. 如图，B、A、E三点在同一直线上，（1）AD∥BC，（2）∠B＝∠C，（3）AD平分∠EAC. 请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并证明. 已知:______________________________________________________. 求证:______________________________________________________. 证明: 21. 阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便： 解：①②得，，所以， 将③，得， ②④，得，由③，得， 所以方程组的解是 （1）请采用上面的方法解方程组． （2）直接写出关于x、y的方程组的解． 22. 发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确． 23. 在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目： 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成． （1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________，y表示________；并写出该方程组中△处的数应是________，□处的数应是________； （2）陈彬同学思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 24. 已知，，点为上方一点，、为上两点，连接，分别交于两点，． （1）如图1，，请写出说理过程（提示：过作） （2）如图2，点为上一点，连接，作垂足为，，那么；请写出说理过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$