精品解析：湖南株洲市第十三中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

湖南省株洲市第十三中学高二下学期期末考试试题 数学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 70 D. 56 3. 将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的内切球体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，设，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，分别为双曲线的左、右焦点，点都在双曲线上，四边形为等腰梯形，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，则的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则以下错误的是（    ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（　　） A. B. 复数的虚部为 C. 若，则复平面内对应的点位于第三象限 D. 已知复数z满足，则z是纯虚数 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 存在点P，使得平面 11. 已知函数满足：都有，且的图象关于直线对称，若．则（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，满足，则椭圆的离心率_____． 13. 当时，恒成立，则k的最大整数值为_____． 14. 已知函数，则在上共有________个零点. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设中的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，，三边成等比数列，角的角平分线交于点，且，求的面积. 16. 如图，在正方体中棱长为分别是的中点，点在线段上（包括两个端点）运动. （1）当为线段的中点时， ①求证：； ②求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （2）设，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知过点的椭圆的离心率为． （1）求的方程； （2）如图，AB和CD是过椭圆C左焦点F的弦，且，点P为直线AD与BC的交点. （i）求四边形ACBD面积的最大值． （ii）若点M，N分别是弦AB，CD的中点，求面积的最大值． 19. 已知函数，． （1）若，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意，有恒成立，求整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省株洲市第十三中学高二下学期期末考试试题 数学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的四则运算可得，再求其模长. 【详解】由题意得，所以． 故选：C. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 70 D. 56 【答案】C 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为，令得， 故，故系数为70． 3. 将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的内切球体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定正八面体的结构特征，即由棱长为2的两个正四棱锥构成，且正四棱锥的底面为边长为2的正方形，求出正四棱锥的高，根据等体积法求解内切球的半径，即可算出内切球的体积. 【详解】由题意知该几何体为正八面体，且正八面体的棱为原正四面体每个侧面三角形的中位线， 故正八面体由棱长为2的两个正四棱锥构成，正四棱锥的底面是边长为2的正方形， 设正八面体内切球半径R，给正八面体标出字母如图所示， 连接AC和BD交于点O，因为，，所以，， 又AC和BD交于点O，平面ABCD，所以平面ABCD， 所以O为正八面体的中心，所以O到八个面的距离相等，距离即为内切球半径， 设内切球与平面EBC切于点H，所以平面EBC， 所以OH即为正八面体内切球半径，所以， 因为正八面体的棱长为2，所以，，， 所以，， 因为，， 所以，即， 所以正八面体内切球的体积为. 故选：D. 4. 已知向量，设，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示计算出，再由数量积公式计算出夹角的余弦，结合角度范围求出夹角. 【详解】因为， 所以， 所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以，即与的夹角为． 故选：C． 5. 如图，分别为双曲线的左、右焦点，点都在双曲线上，四边形为等腰梯形，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质，以及三角形的特征，利用角的关系，列出等式，即可求双曲线的离心率. 【详解】连接，因为四边形为等腰梯形，且， 所以， 所以. 因为，所以，所以. 故选：B 6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦型函数的单调性得，即可求. 【详解】由，则，且， 由函数在区间上单调递增，则，所以. 7. 已知数列满足，则的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知. 8. 甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则以下错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过分析单次操作中不同事件的概率，结合条件概率、全概率公式推导各选项可得A、B、C；对于递推型概率，构造等比数列求解通项公式，可得D. 【详解】初始时，甲盒有1黑2红，乙盒有1黑2红. 选项A：一次操作后，甲盒恰有1黑球（事件）的情况： 从甲取红且从乙取红，或从甲取黑且从乙取黑. 甲取红的概率为，乙取红的概率为；甲取黑的概率为，乙取黑的概率为. 故，A正确； 选项B：表示“第二次操作后甲盒有1黑球的前提下， 第一次操作后甲盒有0黑球”的概率. 第一次操作后甲盒有0黑球（）：甲取黑、乙取红，概率. 第二次操作后甲盒有1黑球（）的情况：若发生，甲盒0黑3红，乙盒2黑1红， 此时从甲取红、乙取黑的概率为，故. 若发生，甲盒1黑2红，乙盒1黑2红，此时（同）. 若发生，甲盒2黑1红，乙盒0黑3红，此时（甲取黑、乙取红的概率为）， 由全概率公式：， 由条件概率公式：，B错误； 选项C：表示“第一次操作后甲盒有0黑球，或第二次操作后甲盒有1黑球”的概率， 由概率的加法公式：， 其中， 代入得：，C正确； 选项D：递推关系：， 整理为：，初始值， 故，因此， 即，D正确. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（　　） A. B. 复数的虚部为 C. 若，则复平面内对应的点位于第三象限 D. 已知复数z满足，则z是纯虚数 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数加减及幂运算即可判断A选项，根据复数的概念判断选项B，先化简复数，写出它的共轭复数对应点的坐标即可判断选项C，设复数代入中求出的值即可判断. 【详解】由 ， 故A选项正确； 复数的虚部为，故B选项不正确； 由， 所以对应点为 所以复平面内对应的点位于第三象限，故C正确； 设复数， 则， 即 所以，的值不确定，有可能为0， 故D不正确； 故选：AC. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 存在点P，使得平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量运算（点积求夹角、法向量）和体积公式，逐一分析判断命题的正确性. 【详解】以点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，； ，设（其中，）； 选项A：因为，以为底面，点到平面的距离为高， 因为，所以， 点在上底面内，到平面的距离恒为， 则， 故为定值，A正确； 选项B：，取其方向向量为，； ， 若，则，代入得：， 由于，，故，， 则，方程无解，B错误； 选项C：平面的一个法向量为， 由线面角的正弦值公式得：； 令（），则： 当时，，， 令，则， 因，故，即在上严格单调递增， ；，故； 当时，，则：， 因此：，同时 恒成立； 综上，，C正确； 选项D：，， 设平面的法向量为，则：， 即：，令，则，，可得平面的一个法向量为：， 若直线与平面平行，则，即， 由于点在上底面内（不含边界），即，，方程 在此区域内有解（例如取，则）， 此时，且不在平面内，故平面，选项D正确. 11. 已知函数满足：都有，且的图象关于直线对称，若．则（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】在已知式中令求得，从而得出的图象关于点对称，再由已知得的图象关于直线对称，由两个对称性得函数的周期性，4是它的一个周期，然后根据对称性与周期性求值判断各选项． 【详解】对A，都有，令得，所以，A正确； 对B，由选项A分析知，所以的图象关于点对称， 从而的图象关于点对称，所以是奇函数，B正确； 对C．的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，因此有， 由两个对称性得，C错误； 对D，由以上分析得， 所以，所以是周期函数，4是其一个周期， ，，，，， 所以， 所以 ，D正确． 故选：ABD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，满足，则椭圆的离心率_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，，，在分别由余弦定理解得，计算即可求解. 【详解】因为，所以可设过点的直线与椭圆在第一象限的交点为，如图所示： 设，则，，， 由题意可得，， 在分别由余弦定理解得： ，， 即，， 解得，，即. 故答案为：. 13. 当时，恒成立，则k的最大整数值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意构造，利用导数，结合隐零点求出在给定区间上的最小值的取值范围，从而可求得k的最大整数值． 【详解】令，则， 因为，令，则， 当时，，即在上单调递增， 因为， 所以，使得， 则当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故在时有，且. 又因为， 由题意可知，且取最大整数， 所以的最大整数值为． 14. 已知函数，则在上共有________个零点. 【答案】2 【解析】 【分析】把用积化和差公式变形后再由和差化积公式变形，然后结合正弦函数性质可得所求零点个数． 【详解】由于 ， 因此， 令，得或， 因为，所以解得，解得， 所以在共有2个零点和. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设中的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，，三边成等比数列，角的角平分线交于点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，结合内角和公式，诱导公式，辅助角公式化简后求解即可； （2）由条件根据等比中项性质可得，由关系结合面积公式可得，再结合余弦定理可求，根据三角形面积公式求结论. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 所以， 所以 即， 即， 因为，所以， 故， 即，因为，所以， 故. 【小问2详解】 ∵，，三边成等比数列，所以，①. ∵，是的平分线， ∴，又， ∴， 化简得：②. 由余弦定理得， 将①②代入上式可得：， ∴. 16. 如图，在正方体中棱长为分别是的中点，点在线段上（包括两个端点）运动. （1）当为线段的中点时， ①求证：； ②求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （2）设，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）①以分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，， 因为分别是棱的中点，所以， 当为线段的中点时，则， ①因为，，所以，即； ②； （2）. 【解析】 【分析】（1）以分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明线线垂直和计算二面角． （2）由题设，设直线与平面所成的角为，由向量坐标法用表示出，设，设，由导数法求得范围. 【小问1详解】 ①略 ②因为，，设平面的一个法向量为， 由，，得，取，则， 又因为是平面的一个法向量， 设平面与平面所成的二面角的平面角为， 则， 因为为锐角，则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为 【小问2详解】 因为在线段上，且（）， 所以，可得，则， 因为，设平面的一个法向量为， 由，得，取，则， 设直线与平面所成的角为 则， 因为，所以，设，则， 所以，设，则， 设，可得的取值范围为， 所以的取值范围为， 即直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为. 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得的表达式. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由得，，解得， 又，则，解得，， 则数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 所以，① ② ①②得， 整理可得， 所以数列的前项和. 18. 已知过点的椭圆的离心率为． （1）求的方程； （2）如图，AB和CD是过椭圆C左焦点F的弦，且，点P为直线AD与BC的交点. （i）求四边形ACBD面积的最大值． （ii）若点M，N分别是弦AB，CD的中点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）2；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）若直线的斜率存在且不为，设，与椭圆方程联立，根据韦达定理以及弦长公式即可求出面积，若直线的斜率存在或者为可直接求出长度和面积即可得出最值； （ii）设分别是与AC的交点，取AC的中点E，得出即可. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）若直线的斜率存在且不为， 设直线AB：，， 联立，得， 则， 则， 因为，所以可同理得， 则， 令，则， 因为，所以，则， 若直线的斜率不存在， 令，得，得，故， 则， 若直线的斜率为，同上，， 综上，四边形ACBD面积的最大值为． （ii）设分别是与AC的交点，取AC的中点E，连接 因为，所以，则，则， 同理可得， 故， 故面积的最大值为. 19. 已知函数，． （1）若，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意，有恒成立，求整数的最小值． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）1 【解析】 【分析】（1）对原函数进行求导，代入求解即可. （2）求出函数的导数，并讨论和两种情况讨论函数的单调性. （3）首先将不等式变形，参变分离为在上恒成立，转化为求函数的最值问题，求解即可. 【小问1详解】 已知，则. 因为，则，解得， 【小问2详解】 由（1）知， . 当时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当时，令，即，解得或（舍去）. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 因为对任意，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 设，则. 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即，则. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以. 故整数的最小值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $