精品解析：四川省自贡市蜀光绿盛实验学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

2025 年春季学期期中学情检测 八年级 数学试卷 一、选择题（本题有 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果三边，，满足，那么的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 4. 直角三角形的两边长分别为3和5，则另一边长为 （ ） A. 4 B. C. 4 或 D. 4 或 5. 在中，，和分别是边上的高和中线．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6. 将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形 AECF，若 AD＝2，则菱形 AECF 的面积为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 7. 如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共计 18 分） 9. 若代数式有意义，则x的取值范围是_______． 10. 如图，菱形ABCD的对角线AC＝16cm，BD＝12cm，DH⊥AB，垂足为H，则DH＝_____cm． 11. 如图，正方形的边长为4，点E，F 分别在边，上，将、分别沿、折叠，使B，D恰好都落在M处，已知，则的长为____________ ． 12. 当时，化简代数式＝____． 13. 如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，且，点F为的中点，则的最大值为_________． 14. 如图，在三角形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处，折痕记为，剪去△后得到双层△，再沿着过△某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的面积是_____． 三、解答题（本题有 5 个小题，每小题 5 分，共计 25 分） 15. 计算： 16. 已知：如图，点E、F分别是中、边上的点，且，连接、．求证：四边形是平行四边形． 17. 已知：如图，在中，∠BAC=90°，DE、DF是 的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． 18. 如图，矩形的对角线，交于点，且，，连接．求证：． 19. 正方形中，点M是边上任意一点，于点E，于点F，若，，求的长． 四、解答题（本题有 3 道小题，每小题 6 分，共计 18 分） 20. 已知a＝3＋2，b＝3－2，求a2b－ab2的值． 21. 如图，某斜拉桥的主梁垂直桥面l于点D，在主梁上的点 A 拉两条斜拉索，，经测量， ，求主梁上的点 A 到桥面l的高度． 22. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB． （1）求∠ABC的度数； （2）如果AC＝4，求DE的长． 五、解答下列各题（第 23 题 7 分，第 24 题 8 分，共计 15 分） 23. 如图，正方形的边长为4，点E，F分别在，上，若，且，求的长． 24. 如图所示，正方形的边长为6，点C在x轴上，点A在y轴上． （1）如图 1，动点P从点B出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点O匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．当为等腰三角形时，求t的值； （2）如图 2，正方形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E 处，折痕与、x轴分别交于点D、F，求出点D的坐标； （3）在（2）的条件下，若点N是平面内任一点，在x 轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 年春季学期期中学情检测 八年级 数学试卷 一、选择题（本题有 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，乘法运算，根据各自的运算法则计算并判断即可． 【详解】解：．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； ．2和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 如果三边，，满足，那么的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据非负数的性质求得，，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴是直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断 【详解】四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选： 4. 直角三角形的两边长分别为3和5，则另一边长为 （ ） A. 4 B. C. 4 或 D. 4 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考据勾股定理求直角三角形边长，分情况讨论确定直角边与斜边是解题关键． 先将长度为 5 的边分为斜边或直角边两种情况，再根据勾股定理求解即得． 【详解】解：当长度为 5 的边为直角边时，则第三边； 当长度为 5 的边为斜边时，则第三边． 故第三边长为：或 4 ． 故选：C． 5. 在中，，和分别是边上的高和中线．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：，为边上的中线， ， ，， ， ， 在中，． 故选：B． 6. 将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形 AECF，若 AD＝2，则菱形 AECF 的面积为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据翻折的性质可得∠DAF=∠OAF，OA=AD，再根据菱形的对角线平分一组对角可得∠OAF=∠OAE，然后求出∠OAE=30°，然后解直角三角形求出AE，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：由翻折的性质得，∠DAF＝∠OAF，OA＝AD＝2，在菱形 AECF 中，∠OAF＝∠OAE， ∴∠OAE＝×90°＝30°， ∴AE＝AO÷cos30°＝2÷ ＝4， ∴菱形 AECF 的面积＝AE•AD＝8． 故选B． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，菱形的性质，熟记翻折前后图形能够重合并求出∠OAE=30°是解题的关键． 7. 如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，根据三角形中位线定理求出、，根据三角形的三边关系计算即可． 【详解】解：连接，取的中点H，连接、， ∵E，F分别是，的中点，的中点H， ∴是中位线，是中位线， ∴，， 在中，，即，当、、三点共线时取等号， ∴， 故选：B． 8. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论； ②证△OMB△OEB得△EOB△CMB； ③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF； ④由②可知△BCM△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，再由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半继续求解即可． 【详解】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC， ∵FO=FC， ∴FB垂直平分OC，故①正确； ②∵FB垂直平分OC， ∴△CMB≌△OMB， ∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO， ∴△FOC△EOA， ∴FO=EO， ∴OB⊥EF， ∴△FOB≌△OEB， ∴△EOB与△CMB不全等，故②错误； ③由△OMB≌△OEB≌△CMB 得：∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE， ∴△BEF是等边三角形， ∴BF=EF， ∵DF∥BE且DF=BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE=BF， ∴DE=EF，故③正确； ④在直角△BOE中∵∠3=30°， ∴BE=2OE， ∵∠OAE=∠AOE=30°， ∴AE=OE， ∴BE=2AE， ∴S△AOE：S△BOE=1：2， 又∵FM∶BM=1∶3， ∴S△BCM = S△BCF= S△BOE ∴S△AOE：S△BCM=2∶3 故④正确； 所以其中正确结论的个数为3个， 故选：B． 二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共计 18 分） 9. 若代数式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 10. 如图，菱形ABCD的对角线AC＝16cm，BD＝12cm，DH⊥AB，垂足为H，则DH＝_____cm． 【答案】9.6 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，再利用菱形的面积列式计算即可得DH的长． 【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∵AC=16cm，BD=12cm， ∴，， 在Rt△AOB中，， ∵DH⊥AB， ∴菱形ABCD的面积， 即， 解得：DH=9.6， 故答案为：9.6． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，注意菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底乘高． 11. 如图，正方形的边长为4，点E，F 分别在边，上，将、分别沿、折叠，使B，D恰好都落在M处，已知，则的长为____________ ． 【答案】3.4 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题，由图形折叠可得，，因为正方形的边长为4，求出，在中，运用勾股定理求出，再求出． 【详解】解：由图形折叠可得，， ∵正方形的边长为4， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3.4． 12. 当时，化简代数式＝____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据得到，，再利用二次根式和绝对值非负性质来进行求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了代数式化简，理解二次根式和绝对值的非负性质是解答关键． 13. 如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，且，点F为的中点，则的最大值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，取中点O，连接，，根据矩形的性质可求，的长，根据勾股定理可求的长，根据直角三角形的性质可求的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，有最大值，即． 【详解】解：如图，取中点O，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点F是中点，点O是的中点， ∴，， ∴， ∵点O是的斜边的中点， ∴， ∵根据三角形三边关系可得：， ∴当点O，点E，点F共线时，最大值为． 故答案为：9． 14. 如图，在三角形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处，折痕记为，剪去△后得到双层△，再沿着过△某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数先求解得到是的中垂线，由对折的性质求解分情况讨论， ①如图中，当时，沿着直线EF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，②如图中，当FD=FB时，沿着直线DF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，利用平行四边形的面积是三角形面积的倍，从而可得答案． 【详解】解：如图， ∴ 由对折设 是的中垂线， 在Rt中， ∴， ∴， ①如图中，当时，沿着直线EF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形， 为等边三角形， 过作于， ②如图中，当FD=FB时，沿着直线DF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形， 过作于， 综上：所得平行四边形的面积是 故答案为： 【点睛】本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质、含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 三、解答题（本题有 5 个小题，每小题 5 分，共计 25 分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则是解题的关键． 16. 已知：如图，点E、F分别是中、边上的点，且，连接、．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，利用平行四边形的性质得出，，进而求出，进而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而求出即可． 【详解】证明：∵是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 17. 已知：如图，在中，∠BAC=90°，DE、DF是 的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由DE、DF是△ABC的中位线，得出DE∥AB，DF∥AC，进而证明四边形AEDF是平行四边形，再根据条件∠BAC=90°，证得平行四边形AEDF是矩形即可得出结论． 【详解】证明：∵DE，DF是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形， 又∵∠BAC=90°， ∴平行四边形AEDF是矩形， ∴EF=AD． 18. 如图，矩形的对角线，交于点，且，，连接．求证：． 【答案】 证明：， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平行四边形是菱形， ． 【解析】 【分析】先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据矩形的性质可得，然后根据菱形的判定与性质即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 19. 正方形中，点M是边上任意一点，于点E，于点F，若，，求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正方形的性质得出，，得出，再证出，由证明，根据对应边相等得出，，所以． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 四、解答题（本题有 3 道小题，每小题 6 分，共计 18 分） 20. 已知a＝3＋2，b＝3－2，求a2b－ab2的值． 【答案】4 【解析】 【详解】分析:先求出ab和的值,再分解因式后整体代入即可. 本题解析：∵a＝3＋2，b＝3－2， ∴ab=, ∴. 点睛：本题考查了二次根式的混合运算和求值的应用,用了整体代入思想. 21. 如图，某斜拉桥的主梁垂直桥面l于点D，在主梁上的点 A 拉两条斜拉索，，经测量， ，求主梁上的点 A 到桥面l的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，由勾股定理可得：，，可得，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ． ∴主梁上的点A 到桥面l的高度． 22. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB． （1）求∠ABC的度数； （2）如果AC＝4，求DE的长． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）要想求出∠ABC的度数，须知道∠DAB的度数，由菱形性质和线段垂直平分线的性质可证出△ABD是等边三角形，∠DAB=60°，于是； （2）先证△ABO≌△DBE，从而知道DE=AO，AO=AC的一半，于是DE的长就知道了． 【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形， ，//， ∴． ∵为的中点，， ∴． ∴． ∴ △为等边三角形． ∴． ∴． （2）∵四边形是菱形， ∴于， ∵于， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形性质，线段垂直平分线性质，等边三角形的判定与性质等，正确分析，熟练掌握和灵活运用相关知识点是解题的关键． 五、解答下列各题（第 23 题 7 分，第 24 题 8 分，共计 15 分） 23. 如图，正方形的边长为4，点E，F分别在，上，若，且，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，把绕点C逆时针旋转得，此时E，B，三点共线，证明得，设，则，在中，由勾股定理列出x的方程求得x，再在中，由勾股定理得结果． 【详解】解：把绕点C逆时针旋转得，此时E，B，三点共线， 则，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 在中，，， ∴， 解得：． 即的长为． 24. 如图所示，正方形的边长为6，点C在x轴上，点A在y轴上． （1）如图 1，动点P从点B出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点O匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．当为等腰三角形时，求t的值； （2）如图 2，正方形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E 处，折痕与、x轴分别交于点D、F，求出点D的坐标； （3）在（2）的条件下，若点N是平面内任一点，在x 轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识． （1）由题意得，，，列出方程，解方程可得出答案； （2）由折叠的性质可知：，，，设，则，，由勾股定理可得出答案； （3）分三种情况，①当、是菱形的边时，②当是对角线，是边长时，③当是对角线，是边长时，由菱形的性质可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴， 当为等腰三角形时，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图， 由折叠的性质可知：，，， ∴，， 设，则，， 在中， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：在x轴上存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形； 分以下三种情况： ①当、是菱形的边时， ∵， ∴， ∴或； ②当OE是对角线，OM是边长时， ∵，， ∴， ∴； ③当是对角线，是边长时， 此时， ∴， ∴． 综上所述，点M的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $