专题02 幂的运算相关求解（9个基础题型+2个培优题型+课后巩固）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（苏科2024版）

【精准提分】专题02 幂的运算相关求解（苏科2024版） 【9个基础题型+2个培优题型】 【基础题型一】利用幂的运算判断等式是否成立 1 【基础题型二】幂的运算中相关求解 2 【基础题型三】根据幂的运算正确表示参数之间的关系 3 【基础题型四】幂的运算中整除问题 5 【基础题型五】幂的混合运算（计算题） 6 【基础题型六】幂的运算中比较大小问题（选填题） 7 【基础题型七】用科学记数法表示数的乘法 8 【基础题型八】利用幂的运算进行简便运算 9 【基础题型九】幂的运算中新定义类问题（选填题） 10 【培优题型十】利用幂的运算比较大小（解答题） 11 【培优题型十一】新定义中幂的运算问题（解答题） 14 【基础题型一】利用幂的运算判断等式是否成立 例题1（24-25七年级下·江苏淮安·期中）下列计算中，正确的是（ 　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·山东济宁·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·广东韶关·一模）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）下列计算中，结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25七年级下·山东青岛·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】（2025·内蒙古·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-6】（24-25七年级下·山西晋中·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-7】（24-25七年级下·四川成都·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【基础题型二】幂的运算中相关求解 例题2（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，则的值为 ． 【变式2-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则 ． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值为 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·山东青岛·期中）若，则的结果是 ． 【变式2-4】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）若，，则 ． 【变式2-5】（24-25七年级下·四川达州·期中）若三个实数，，满足，则 ． 【变式2-6】（24-25七年级下·河北张家口·期中）已知，，求 (1)的值； (2)的值． 【变式2-7】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，求的值． 【变式2-8】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）（1），求m的值； （2）若，，求的值． 【变式2-9】（2025·湖南岳阳·一模）若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求x的值． (2)若，，用含x的代数式表示y． 【变式2-10】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，求的值； (2)已知，，，求的值． 【基础题型三】根据幂的运算正确表示参数之间的关系 例题3（23-24七年级下·河北沧州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．记，，．则、和的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式3-1】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·广东佛山·期中）已知，，，那么a，b，c之间满足的等量关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）已知，，，那么，，之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-5】（24-25七年级下·江苏常州·期中）若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-6】（2024七年级下·江苏·期末）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是 ①；②；③；④ 【变式3-7】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【变式3-8】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，，，那么，，满足的等量关系是 ． 【变式3-9】（23-24八年级上·河南周口·期末）已知，，，那么，，满足的等量关系是 ． 【变式3-10】（24-25七年级上·吉林长春·期末）（1）已知，，求的值． （2）已知，，，则、、之间有什么等量关系，说明理由． 【基础题型四】幂的运算中整除问题 例题4（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若的运算结果为S，则S不能被下列哪个数整除（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【变式4-1】（23-24七年级下·河北邯郸·期中）若为任意整数，则的值一定能（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被9整除 D．被10整除 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）设为正整数，若能被57整除，则能被下列哪个数整除（    ） A．55 B．56 C．57 D．58 【变式4-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）求证：能被整除．（为正整数） 【变式4-4】（24-25八年级上·河南周口·期末）已知，． (1)当时，求的值； (2)当时，且x、y是整数，试说明的值能被8整除． 【变式4-5】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，. (1)当时，求的值； (2)当时，且，是整数，试说明的值能被5整除． 【基础题型五】幂的混合运算（计算题） 例题5（24-25七年级下·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式5-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1) (2) 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算： (1)； (2)． 【变式5-3】（23-24七年级下·全国·课期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-4】（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式5-5】（23-24七年级下·全国·课期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-6】（2025七年级下·浙江·期中）计算：． 【变式5-7】（24-25七年级下·河南郑州·期中）计算： (1)； (2)． 【基础题型六】幂的运算中比较大小问题（选填题） 例题6（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知，，，那么a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么、、的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）若，，，比较a、b、c的大小（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如果，，，那么，，三数的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式6-5】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【变式6-6】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ． 【变式6-7】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来： ． 【基础题型七】用科学记数法表示数的乘法 例题7（2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式7-1】（24-25八年级上·河南驻马店·期中）综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【变式7-2】（23-24七年级下·山东青岛·期末）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 【变式7-3】（24-25八年级上·福建厦门·期末）卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程为 千米． 【变式7-4】（2024七年级上·全国·期末）世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔共用了约块大理石，每块大理石重约．胡夫金字塔所用大理石的总质量约为 （用科学记数法表示）． 【变式7-5】（24-25八年级上·重庆万州·期末）光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为 米． 【变式7-6】（23-24八年级上·甘肃天水·期中）光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． 【变式7-7】（23-24八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【基础题型八】利用幂的运算进行简便运算 例题8（24-25七年级下·江苏淮安·期中）计算： ． 【变式8-1】（24-25七年级下·广西桂林·期中）计算： ． 【变式8-2】（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）计算 ． 【变式8-3】（24-25七年级下·河北保定·期中）计算： ． 【变式8-4】（23-24七年级下·全国·期末）用简便方法计算：① ；② ． 【变式8-5】（24-25七年级下·江苏扬州·期中） ． 【基础题型九】幂的运算中新定义类问题（选填题） 例题9（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果，那么称为的“助力数”，记为，由定义可知：．例如，，．若，则 ． 【变式9-1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）对于a，b两数定义“&amp;”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为 ． 【变式9-2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，如：．若，那么的结果是 ． 【变式9-3】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）规定两数之间的一种运算．若，记作．例如：因为，所以．若，则 ． 【变式9-4】（24-25七年级下·江苏南京·期中）对于，规定，例如：，所以．记，，则与之间的数量关系为 ． 【变式9-5】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在年月号开跑的无锡马拉松比赛中，赛道总长度约为公里，选手们沿途经过湖光山色、城市风貌，体验“人在画中跑”．为了鼓励选手们保持稳定的配速，组委会决定在赛道上设置若干个能量补给站，假设第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；（幂的指数从整数推广到正分数以后，整数指数幂的运算性质仍然适用）……计算前个补给站能量包的总数为 千个；由上述计算可知，若（为正数），则 ． 【变式9-6】（24-25七年级下·浙江·期中）现定义一种新运算：．若，则，所以． （1）若，则 ； （2）若为正整数，则 （用含的代数式表示）． 【变式9-7】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）定义一种新运算，规定运算法则为：（均为整数，且）．例：，则 ． 【变式9-8】（24-25七年级下·山东济南·期中）新考法我们定义：三角形，五角星；若，则＝ ． 【培优题型十】利用幂的运算比较大小（解答题） 例题10（24-25七年级下·陕西西安·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较与的大小，因为，，所以，即． (1)比较，的大小； (2)比较，，的大小． 【变式10-1】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较的大小，并说明理由； (3)若，，，求a，b，c之间的等量关系． 【变式10-2】（24-25八年级上·吉林白城·期末）阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 【变式10-3】（24-25七年级下·河南周口·期中）我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题： (1)比较大小：___________；（填“”“”或“”） (2)已知，试比较的大小． 【变式10-4】（24-25七年级上·广东深圳·期中）解决下面问题． (1)计算下列各组数后再比较大小： ①______， ②______， ③______，； (2)通过上述计算，猜一猜：______，归纳得出公式：______； (3)请逆用上述公式计算：． 【变式10-5】（24-25八年级上·河南南阳·期末）数学探究活动课上，八年级的同学发现由幂的运算逆向思维可以得到，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙解决 (1)若，求m的值； (2)若，试比较a，b，c的大小关系． 【变式10-6】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）某同学在比较，的大小时，发现，都是的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题： 若，，试比较，的大小． 【变式10-7】（24-25七年级下·浙江金华·期中）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求m的值； (2)比较大小：若，，，则a，b，c的大小关系是什么？ 【变式10-8】（23-24七年级下·山东淄博·期末）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 【培优题型十一】新定义中幂的运算问题（解答题） 例题11（24-25七年级下·福建厦门·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，且，求的值． (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ． 【变式11-1】（24-25七年级下·四川达州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______________； (2)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设， ，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算：__________________． 【变式11-2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）我们规定：个相同的非零有理数的商可以表示为，读作“的圈次方”．，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：_______，________； (2)若为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈次方互为倒数；⑤圈次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是______． (3)试说明（，为正整数且）． 【变式11-3】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【变式11-4】（24-25七年级下·陕西西安·期中）数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ； ． 总结规律，解答下列问题． (1)__________，__________． (2)计算：． 【变式11-5】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【变式11-6】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【变式11-7】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 【变式11-8】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】．例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，125】； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【变式11-9】（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 1．（24-25七年级下·河北张家口·期中）当，时，的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西商洛·一模）计算：（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·福建三明·期中）若，是正整数，且满足，则正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）若，是正整数，且满足，则用含的关系式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数），类似我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，比如，则，若，那么的结果是（　　） A． B． C． D． 9．（2025·江苏无锡·一模）若，则 ． 10．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则的值为 ． 11．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，，则的值为 ． 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，，，则 ． 13．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若，则 ． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，，，满足，，则的值为 ． 15．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若 ，则（且，m，n是正整数）．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果那么 ； （2）如果，那么= ． 16．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若（且，m，n是正整数），则．试利用该结论求x的值：． 17．（24-25七年级下·陕西·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 18．（24-25七年级下·江苏南京·期中）球体表面积的计算公式为．地球可以近似地看成一个球体，其半径约为米，它的表面积约为多少平方米？（结果用科学记数法表示，取3）． 19．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）有一张菱形纸片，其一个内角为，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数） 观察以上图形，解答下列问题： (1)填空：_______，________（用含n的式子表示） (2)试说明能被6整除． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空： ， ； (2)【说理】记，，．试说明： (3)【应用】若，求t的值． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题02 幂的运算相关求解（苏科2024版） 【9个基础题型+2个培优题型】 【基础题型一】利用幂的运算判断等式是否成立 1 【基础题型二】幂的运算中相关求解 4 【基础题型三】根据幂的运算正确表示参数之间的关系 8 【基础题型四】幂的运算中整除问题 12 【基础题型五】幂的混合运算（计算题） 15 【基础题型六】幂的运算中比较大小问题（选填题） 20 【基础题型七】用科学记数法表示数的乘法 22 【基础题型八】利用幂的运算进行简便运算 24 【基础题型九】幂的运算中新定义类问题（选填题） 26 【培优题型十】利用幂的运算比较大小（解答题） 30 【培优题型十一】新定义中幂的运算问题（解答题） 37 【基础题型一】利用幂的运算判断等式是否成立 例题1（24-25七年级下·江苏淮安·期中）下列计算中，正确的是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（2025·山东济宁·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，此选项错误； B．，此选项正确； C．，此选项错误； D．，此选项错误． 故选B． 【变式1-2】（2025·广东韶关·一模）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选A． 【变式1-3】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）下列计算中，结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；      B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1-4】（24-25七年级下·山东青岛·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，故此选项不符合题意， B. ，故此选项不符合题意， C. ，故此选项不符合题意， D. ，故此选项符合题意， 故选：D． 【变式1-5】（2025·内蒙古·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-6】（24-25七年级下·山西晋中·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不能合并，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、不能合并，原运算错误，不符合题意； D、，原运算正确，符合题意； 故选D． 【变式1-7】（24-25七年级下·四川成都·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.，故本选项计算错误，不符合题意； B.，故本选项计算错误，不符合题意； C.，故本选项计算正确，符合题意； D.，故本选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【基础题型二】幂的运算中相关求解 例题2（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则 ． 【答案】 【详解】解：， ； 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值为 ． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 【变式2-3】（24-25七年级下·山东青岛·期中）若，则的结果是 ． 【答案】144 【详解】解：， ∴， ， 故答案为：144． 【变式2-4】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）若，，则 ． 【答案】1 【详解】解；∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式2-5】（24-25七年级下·四川达州·期中）若三个实数，，满足，则 ． 【答案】 【详解】 故答案为：． 【变式2-6】（24-25七年级下·河北张家口·期中）已知，，求 (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)288(2) 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 【变式2-7】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，求的值． 【答案】 【详解】解： ， 即 【变式2-8】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）（1），求m的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）5；（2） 【详解】（1）解： ， ∴， 解得：； （2）解： ． 【变式2-9】（2025·湖南岳阳·一模）若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求x的值． (2)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴． 【变式2-10】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，求的值； (2)已知，，，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 把，代入可得：， ∴， 解得：． 【基础题型三】根据幂的运算正确表示参数之间的关系 例题3（23-24七年级下·河北沧州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．记，，．则、和的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴，，， 又∵， ∴，即， 故选：B． 【变式3-1】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-2】（24-25七年级下·广东佛山·期中）已知，，，那么a，b，c之间满足的等量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选D． 【变式3-3】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）已知，，，那么，，之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解∶∵，，， 即， ． 故选：D． 【变式3-4】（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式3-5】（24-25七年级下·江苏常州·期中）若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-6】（2024七年级下·江苏·期末）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是 ①；②；③；④ 【答案】①②③ 【详解】解：，, ， ， ，②关系成立； ， ，①关系成立； ， ，③关系成立； 则①②③成立， 故答案为：①②③． 【变式3-7】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【详解】解：， ，即，故①正确； ， ，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ．故④错误． 故答案为：①②③． 【变式3-8】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，，，那么，，满足的等量关系是 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3-9】（23-24八年级上·河南周口·期末）已知，，，那么，，满足的等量关系是 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-10】（24-25七年级上·吉林长春·期末）（1）已知，，求的值． （2）已知，，，则、、之间有什么等量关系，说明理由． 【答案】（1）40；（2），理由见解析 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2），理由如下： ∵，且，，， ∴． 【基础题型四】幂的运算中整除问题 例题4（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若的运算结果为S，则S不能被下列哪个数整除（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【详解】解：原式= 故原式可以被5，7，9整除． 故选：D ． 【变式4-1】（23-24七年级下·河北邯郸·期中）若为任意整数，则的值一定能（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被9整除 D．被10整除 【答案】A 【详解】解：， 即能被7整除， 故选A． 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）设为正整数，若能被57整除，则能被下列哪个数整除（    ） A．55 B．56 C．57 D．58 【答案】C 【详解】解： ， 能被57整除， 也能被57整除， 又能被57整除， 也能被57整除， 即能被57整除， 故选：C． 【变式4-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）求证：能被整除．（为正整数） 【答案】见解析 【详解】证明：能被整除．理由如下： 又为正整数， 是整数， 能被整除． 【变式4-4】（24-25八年级上·河南周口·期末）已知，． (1)当时，求的值； (2)当时，且x、y是整数，试说明的值能被8整除． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解： ， 当时，； （2）解：， ， ， ， ． 当时，且x、y是整数，的值能被8整除． 【变式4-5】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，. (1)当时，求的值； (2)当时，且，是整数，试说明的值能被5整除． 【答案】(1)0(2)见详解 【详解】（1）解： 当时， 原式； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，且，是整数， 的值能被5整除． 【基础题型五】幂的混合运算（计算题） 例题5（24-25七年级下·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1） （2） （3） 【变式5-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式5-3】（23-24七年级下·全国·课期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式5-4】（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)5(6) 【详解】（1） ； （2）； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【变式5-5】（23-24七年级下·全国·课期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)3)8(4) 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式5-6】（2025七年级下·浙江·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式5-7】（24-25七年级下·河南郑州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： （2）解： 【基础题型六】幂的运算中比较大小问题（选填题） 例题6（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知，，，那么a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，， 故， 故选：A ． 【变式6-1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么、、的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，，且， ∴； ∴； 故选C． 【变式6-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）若，，，比较a、b、c的大小（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【变式6-3】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意，，，， ∵， ∴， 故选：C 【变式6-4】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如果，，，那么，，三数的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式6-5】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，， ∴； 故选：D． 【变式6-6】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ． 【答案】 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式6-7】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来： ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【基础题型七】用科学记数法表示数的乘法 例题7（2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】解：元， 即今年的义务教育财政预算支出约为元． 故选：C 【变式7-1】（24-25八年级上·河南驻马店·期中）综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【详解】解：， 故选D． 【变式7-2】（23-24七年级下·山东青岛·期末）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 【答案】 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级上·福建厦门·期末）卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程为 千米． 【答案】 【详解】解：由题意得：米． 米即千米． 故答案为：． 【变式7-4】（2024七年级上·全国·期末）世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔共用了约块大理石，每块大理石重约．胡夫金字塔所用大理石的总质量约为 （用科学记数法表示）． 【答案】 【详解】解：． 故答案为： 【变式7-5】（24-25八年级上·重庆万州·期末）光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为 米． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【变式7-6】（23-24八年级上·甘肃天水·期中）光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． 【答案】 【详解】解：米； 故答案为： 【变式7-7】（23-24八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【答案】胡夫金字塔总重约为千克 【详解】解：由题意，得： （千克） 答：胡夫金字塔总重约为千克． 【基础题型八】利用幂的运算进行简便运算 例题8（24-25七年级下·江苏淮安·期中）计算： ． 【答案】/ 【详解】解：， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25七年级下·广西桂林·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）计算 ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【变式8-3】（24-25七年级下·河北保定·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【变式8-4】（23-24七年级下·全国·期末）用简便方法计算：① ；② ． 【答案】 8 【详解】解：（1）原式 ， 故答案为：8； （2）原式 故答案为：． 【变式8-5】（24-25七年级下·江苏扬州·期中） ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【基础题型九】幂的运算中新定义类问题（选填题） 例题9（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果，那么称为的“助力数”，记为，由定义可知：．例如，，．若，则 ． 【答案】 【详解】解：， ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式9-1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）对于a，b两数定义“&amp;”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为 ． 【答案】0或1 【详解】根据定义， ． 化简得． 因为，分以下三种情况讨论： 情况一：底数为时 当，即时，指数 ， 根据的任何次幂都为， ，满足等式． 情况二：底数为时 当，即时，指数 ， ，不满足等式，舍去． 情况三：指数为时 当，即时，底数 ，根据非零数的次幂为， ，满足等式． 综上，x的值为0或1． 【变式9-2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，如：．若，那么的结果是 ． 【答案】 【详解】解：， 根据新运算， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）规定两数之间的一种运算．若，记作．例如：因为，所以．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式9-4】（24-25七年级下·江苏南京·期中）对于，规定，例如：，所以．记，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 【变式9-5】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在年月号开跑的无锡马拉松比赛中，赛道总长度约为公里，选手们沿途经过湖光山色、城市风貌，体验“人在画中跑”．为了鼓励选手们保持稳定的配速，组委会决定在赛道上设置若干个能量补给站，假设第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；（幂的指数从整数推广到正分数以后，整数指数幂的运算性质仍然适用）……计算前个补给站能量包的总数为 千个；由上述计算可知，若（为正数），则 ． 【答案】 【详解】解：前个补给站能量包的总数为 （千个）， （为正数）， ， ， 故答案为：，． 【变式9-6】（24-25七年级下·浙江·期中）现定义一种新运算：．若，则，所以． （1）若，则 ； （2）若为正整数，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：（1）根据题意得：； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：25；． 【变式9-7】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）定义一种新运算，规定运算法则为：（均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】 【详解】根据定义，得， 故答案为：． 【变式9-8】（24-25七年级下·山东济南·期中）新考法我们定义：三角形，五角星；若，则＝ ． 【答案】32 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：32． 【培优题型十】利用幂的运算比较大小（解答题） 例题10（24-25七年级下·陕西西安·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较与的大小，因为，，所以，即． (1)比较，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， ， ． （2）解：，，， ， ， ． 【变式10-1】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较的大小，并说明理由； (3)若，，，求a，b，c之间的等量关系． 【答案】(1)C(2)；理由见解析(3) 【详解】（1）解：，，且， ， 上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）∵， ， ∴， 即． 故答案为：． 【变式10-2】（24-25八年级上·吉林白城·期末）阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 【答案】(1)(2)> 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 又， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 【变式10-3】（24-25七年级下·河南周口·期中）我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题： (1)比较大小：___________；（填“”“”或“”） (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 又， ， ． 【变式10-4】（24-25七年级上·广东深圳·期中）解决下面问题． (1)计算下列各组数后再比较大小： ①______， ②______， ③______，； (2)通过上述计算，猜一猜：______，归纳得出公式：______； (3)请逆用上述公式计算：． 【答案】(1)①；②；③(2)，(3) 【详解】（1）解：①∵， ∴， ②∵， ∴， ③∵， ∴； （2）解：由（1）可猜想∶， 归纳得出公式∶； （3）解： ． 【变式10-5】（24-25八年级上·河南南阳·期末）数学探究活动课上，八年级的同学发现由幂的运算逆向思维可以得到，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙解决 (1)若，求m的值； (2)若，试比较a，b，c的大小关系． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵，，，且， ∴， ∴． 【变式10-6】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）某同学在比较，的大小时，发现，都是的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题： 若，，试比较，的大小． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ∴ 【变式10-7】（24-25七年级下·浙江金华·期中）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求m的值； (2)比较大小：若，，，则a，b，c的大小关系是什么？ 【答案】(1)1(2) 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式10-8】（23-24七年级下·山东淄博·期末）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （3）解：∵，， 又∵， ∴． 【培优题型十一】新定义中幂的运算问题（解答题） 例题11（24-25七年级下·福建厦门·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，且，求的值． (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1)(2)(3)①见解析；② 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵，，且， ∴， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴． 故答案为：3． 【变式11-1】（24-25七年级下·四川达州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______________； (2)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设， ，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算：__________________． 【答案】(1)3(2)①证明见解析；②3 【详解】（1）解：由题意可得：， ， （2）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式11-2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）我们规定：个相同的非零有理数的商可以表示为，读作“的圈次方”．，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：_______，________； (2)若为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈次方互为倒数；⑤圈次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是______． (3)试说明（，为正整数且）． 【答案】(1)，(2)②④(3)证明见解析 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）解：， ①令，，，此时，故①说法错误； ②根据可得负数的圈奇数次方即是奇数，此时结果是负数，负数的圈偶数次方即是偶数，此时结果是正数，说法正确； ③，当为偶数时，，则互为相反数的两个数的圈次方互为相反数说法错误； ④，则互为倒数的两个数的圈次方互为倒数说法正确； ⑤当，n为偶数时，不满足圈次方等于它本身，说法错误． 所有正确结论的序号是②④， 故答案为：②④． （3）解：． 【变式11-3】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)4，0，(2)2，理由见解析(3)见解析 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵ ， ∴ 故答案为：4；0；； （2）解： 理由如下： 设，则， ∴， ∴ （3）证明：设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即对于任意自然数n都成立． 【变式11-4】（24-25七年级下·陕西西安·期中）数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ； ． 总结规律，解答下列问题． (1)__________，__________． (2)计算：． 【答案】(1)1；(2) 【详解】（1）解：， ， 故答案为：1；； （2）解：原式． 【变式11-5】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】(1)①；②(2) 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 【变式11-6】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【答案】(1)3，125(2)90(3)3 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：3，125； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式11-7】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析    【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：； （2）解：，， ，， ，， ， ， ； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式11-8】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】．例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，125】； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【答案】(1)3，0，(2)①证明见详解；②【，】 【详解】（1）解：， 【4，64】， ， 【5，1】， ， 【5，125】． 故答案为：3，0，． （2）①证明：设【7，5】，【7，6】， 则，， ， 【7，30】， 【7，5】【7，6】【7，30】． ②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】， 【，】【，】， 【，】【，】 【，】【，】， 由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】【，】， ∴【，】【，】【，】， 故答案为：【，】． 【变式11-9】（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64(2)(3)①；② 【详解】（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 1．（24-25七年级下·河北张家口·期中）当，时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∵，， ∴原式， 故选：D． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，计算正确，符合题意； B．，故原选项错误，不符合题意； C．，故原选项错误，不符合题意； D．，故原选项错误，不符合题意； 故选：A． 3．（2025·陕西商洛·一模）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式 ， 故选：． 4．（24-25七年级下·福建三明·期中）若，是正整数，且满足，则正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， 故选：D． 5．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）若，是正整数，且满足，则用含的关系式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 6．（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式 故选：C． 8．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数），类似我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，比如，则，若，那么的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ， 故选：C． 9．（2025·江苏无锡·一模）若，则 ． 【答案】9 【详解】解：由得， 将代入上式得， 原式， 故答案为：9． 10．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：，， ． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，，，则 ． 【答案】3 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 13．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若，则 ． 【答案】81675 【详解】解：∵ ， 则 ∴ ， 故答案为：81675． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，，，满足，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若 ，则（且，m，n是正整数）．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果那么 ； （2）如果，那么= ． 【答案】 / 1 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 16．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若（且，m，n是正整数），则．试利用该结论求x的值：． 【答案】 【详解】解：∵， ∴由题意可得：， ∴． 17．（24-25七年级下·陕西·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·江苏南京·期中）球体表面积的计算公式为．地球可以近似地看成一个球体，其半径约为米，它的表面积约为多少平方米？（结果用科学记数法表示，取3）． 【答案】它的表面积约为平方米 【详解】解： 平方米， 答：它的表面积约为平方米． 19．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）有一张菱形纸片，其一个内角为，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数） 观察以上图形，解答下列问题： (1)填空：_______，________（用含n的式子表示） (2)试说明能被6整除． 【答案】(1)，(2)说明见解析 【详解】（1）解：第一个图形有个“沙漏型”， 第二个图形有个“沙漏型”， 第三个图形有个“沙漏型”， 第四个图形有个“沙漏型”， …．． 由此可得到规律，第n个图形有个图形，即； （2）解：∵，则， ∴ ． ∴能被6整除． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空： ， ； (2)【说理】记，，．试说明： (3)【应用】若，求t的值． 【答案】(1)2，(2)见解析(3)64 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：2，； （2）解：，，， ，，， ， ， ， ； （3）解：设，，， ，，， ， ， ， ， 即， ． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$