精品解析：天津市第九十中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷

天津市第九十中学2024-2025学年第二学期 期中调研七年级数学 一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水!以下通过平移节水标志得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，据此判断即可． 【详解】解：只通过平移能与上面的图形重合． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的定义，平移时移动过程中只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，掌握平移的定义是解题的关键． 2. 已知二元一次方程，则用含的代数式表示，应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 3. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为（4，3），（-2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据棋子“马”和“车”的点的坐标分别为（4，3），（-2，1），进而得出原点的位置，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：以帅的位置为原点建立平面直角坐标系， 则棋子“炮”的点的坐标为（1，3）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 4. 已知点A的坐标为，下列说法正确的是（　　） A. 若点A在y轴上，则 B. 若点A在一三象限角平分线上，则 C. 若点A到x轴的距离是3，则 D. 若点A在第四象限，则a的值可以为 【答案】B 【解析】 【分析】依据坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，即可得出结论． 【详解】解：A、若点A在y轴上，则，解得，故本选项错误； B、若点A在一三象限角平分线上，则，解得，故本选项正确； C、若点A到x轴的距离是3，则，解得或0，故本选项错误； D、若点A在第四象限，则，且，解得，故a的值不可以为； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，解题时注意：横轴上点的纵坐标为0，纵轴上点的横坐标为0． 5. 如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（ ） A. 距离学校1200米处 B. 北偏东方向上的1200米处 C. 南偏西方向上的1200米处 D. 南偏西方向上的1200米处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方向角，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：用点表示小明家，点表示学校，射线表示正北方向，过直线表示南北方向， ， ∵， ∴， ∴小明家相对于学校的位置为南偏西方向上的1200米处， 故选：C． 6. 如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交于D，交于E，连接，若，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据三角形的周长公式可得，则可得，然后根据三角形的周长公式计算即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：D． 7. 如图，已知线段，的长度分别是1，，以原点为圆心，分别以，的长为半径画弧，与数轴负半轴相交，交点对应的数字分别记为a，b，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，根据线段，的长度分别是1，，可知，，进而即可求解．熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键． 【详解】解：∵线段，的长度分别是1，， ∴交点对应的数字分别为，， ∴， 故选：B． 8. 实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ） A. B. C. b D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 9. 已知关于和的方程组的解满足，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了本题考查解二元一次方程组求参数，解题的关键注意整体思想的应用，先根据得出，再根据得出，解一元一次方程求出即可． 【详解】解：， 得：， ， ， 解得：．   故选： B． 10. 《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重斤（古代斤=两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为两、两，下列方程组正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ， 故选C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 11. 如图，直线，相交于点O，，，平分，给出下列结论：当①时，；②与相等的角有三个；③为的平分线；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查对顶角，角平分线定义，余角的性质，垂直的定义，由余角的性质得到，由角平分线定义，对顶角的性质，余角的性质即可得到与相等的角有三个，由平角定义推出． 【详解】解：①∵， ∴， 当时，，正确， 故①符合题意； ②∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴与相等的角有三个，正确， 故②符合题意； ③∵平分， ∴， ∵， ∴不一定等于， ∴不一定是的平分线， 故③不符合题意； ④，正确， 故④符合题意． 其中正确的结论有3个． 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，(4，0)．根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为( ) 　 A. (14，8) B. (13，0) C. (100，99) D. (15，14) 【答案】A 【解析】 【分析】由图形得出点的个数依次是1、2、3、4、5、，且横坐标是偶数时，箭头朝上，又由，，可得第91个点的坐标为，第100个点横坐标为14，继而求得答案． 【详解】解：由图形可知：点的个数依次是1、2、3、4、5、，且横坐标是偶数时，箭头朝上， ，， 第91个点的坐标为，第100个点横坐标为14． 在第14行点的走向为向上， 纵坐标为从第92个点向上数8个点，即为8； 第100个点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. （1）比较大小：______1（填写“”或“”）； （2）的算术平方根是______； （3）一个正数的两个平方根是和，则的立方根为______． 【答案】 ①. ②. 3 ③. 3 【解析】 【分析】本题考查了平方根与立方根、算术平方根、无理数估算，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键． （1）根据无理数的估算可得，由此即可得； （2）先求出，再计算9的算术平方根即可得； （3）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数可得，求出的值，从而可得的值，则可得的值，再计算立方根即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）， ∵， ∴9的算术平方根是3， 即的算术平方根是3， 故答案为：3． （3）∵一个正数的两个平方根是和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴27的立方根为3， 即的立方根为3， 故答案为：3． 14. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是，到轴的距离是，且在第四象限，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案． 【详解】解：由点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，得 =1，=3， 由点位于第四象限，得 y=-1，x=3， 点M的坐标为（3，-1）， 故答案为：（3，-1）． 【点睛】此题考查了点的坐标，关键是掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值． 15. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为．P是第一象限内任意一点，连接．若，则我们把叫做点P的“角坐标”．则点的“角坐标”为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形性质，理解题中“角坐标”的定义是解题的关键．根据题中对“角坐标”的定义即可解决问题． 【详解】解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为，连接，， 则， 所以，． 即点的“角坐标”为． 故答案为：． 16. 已知点A(3a﹣6，a+4)，B(﹣3，2)，AB∥y轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为_____． 【答案】(﹣3，3) 或(﹣3，﹣1) 【解析】 【分析】由轴可知的横坐标相等，故，即可求出，得，根据已知，分点在线段上和在线段延长线两种情况求出，即可得到两种情况下的坐标． 【详解】解：∵AB∥y轴， ∴3a﹣6＝﹣3，解得a＝1， ∴A（﹣3，5）， ∵B点坐标为（﹣3，2）， ∴AB＝3，B在A的下方， ①当P在线段AB上时， ∵PA＝2PB ∴PA＝AB＝2， ∴此时P坐标为（﹣3，3）， ②当P在AB延长线时， ∵PA＝2PB，即AB＝PB， ∴PA＝2AB， ∴此时P坐标为（﹣3，﹣1）； 故答案为（﹣3，3）或（﹣3，﹣1）． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，掌握平行于轴的直线上所有点横坐标相等是解题的关键，并根据、两点的距离及相对位置，分类求解． 17. 用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，坐标与图形，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，列出二元一次方程组，解得的值，结合点B所在的象限，即可得出结论． 【详解】解：设小长方形纸片的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， 又∵点在第二象限， ∴点的坐标为， 故答案：． 18. 如图，， 的平分线交于点B，G是上的一点， 的平分线交于点 D，且，下列结论∶①平分；； ③若，则 ；④与 互余的角有2个，其中正确的为_____ (填序号)． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，根据平行线的性质得出和的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴平分， ∴①正确， ∵， ∴， ∴， ∴②正确， ∵， 又∵， ∴， ∴③正确， ∵， ∴与互余的角有，有4个， ∴④错误， 故答案为：①②③． 三、解答题：本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）已知：，求x 【答案】（1）3；（2）或 【解析】 【分析】本题考查了立方根与算术平方根、实数的混合运算、利用平方根解方程等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算立方根、化简绝对值，再计算实数的加减和算术平方根即可得； （2）利用平方根解方程即可得． 【详解】解：（1）原式 ． （2）， ， ， 或， 或． 20. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用加减消元法求出解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【小问1详解】 解：方程组整理得：， 得：，解得：， 把代入①得：2x+6＝12，解得：， ∴原方程组的解为：． 【小问2详解】 解：， 由②得：③， 得：④， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是：． 21. 如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为． （1）直接写出点，，的坐标； （2）在图中画出； （3）写出的面积． 【答案】（1）A1 （3，1），B1 （1，-1），C1（4，-2） （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）根据点P、的坐标确定出平移规律，再求出的坐标即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （3）利用△AO所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵点P（a，b）的对应点为（a+6，b-2）， ∴平移规律为向右6个单位，向下2个单位， ∴A（-3，3），B（-5，1），C（-2，0）的对应点的坐标为（3，1），（1，-1），（4，-2）； 【小问2详解】 解：如图所示； 【小问3详解】 解：△AOA1的面积=6×3-×3×3-×3×1-×6×2 =18---6 =18-12 =6． 【点睛】本题考查了利用平移变换作图，三角形面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 22. 如图，在中，是上一点，于点，于点，是上一点，且满足． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的性质，三角形的外角性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据，得到，利用平行的性质得到，结合，利用等量代换得到，即可证明； （2）利用平分得到，又，进而得到，利用三角形外角的性质得到，由此求得，根据，即可求得的度数． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ， ， . 【小问2详解】 解：平分 ， 又， ， 在中，， ， ， ， . 23. 根据以下信息，探索完成任务： 选择招聘方案？ 素材1 为庆祝中华人民共和国成立75周年，某工艺品厂设计出一款国庆纪念工艺品，计划在一个月（按22个工作日计算）内生产2024件限量工艺品．由于抽调不出足够的熟练工来完成工艺品的生产，为顺利完成任务，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行生产． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每天共加工28件产品；3名熟练工和2名新工人每天共加工32件产品． 素材3 工厂给的每名熟练工每天发300元工资，每名新工人每天发160元工资． 问题解决 任务一 分析数量关系 （1）每名熟练工和新工人每天分别可以生产多少件工艺品？ 任务二 确定可行方案 （2）如果工厂新招聘工人至少2人且不得超过抽调熟练工的人数，那么工厂有哪几种工人招聘方案，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一个月（按22个工作日计算）的生产任务． 任务三 选取最优方案 （3）在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 【答案】（1）8件，4件；（2）共有三种方案，①使用熟练工10人，招聘新工人3人，②使用熟练工9人，招聘新工人5人，③使用熟练工8人，招聘新工人7人；（3）3名 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的解的应用，任务一：设每名熟练工和新工人每天分别可以生产x件工艺品，y件工艺品，根据题意列出方程组即可得出答案； 任务二：设使用熟练工a人，招聘新工人b人，根据题意列出方程式，再根据a、b的范围，即可得出答案； 任务三：分别求出三种方案需要的费用，比较即可得出答案． 【详解】解：任务一：设每名熟练工和新工人每天分别可以生产x件工艺品，y件工艺品， ， 解得：， 答：每名熟练工和新工人每天分别可以生产8件工艺品，4件工艺品． 任务二：设使用熟练工a人，招聘新工人b人， 由题意得，， 即， ∵，且a、b为正整数， ∴，5，7， ∴共有三种方案，①使用熟练工10人，招聘新工人3人，②使用熟练工9人，招聘新工人5人，③使用熟练工8人，招聘新工人7人． 任务三：①（元）， ②（元）， ③（元）， 答：为了节省成本，应该招聘新工人3名． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． （1）填空： ， ； （2）若在第三象限内有一点，用含m式子表示的面积； （3）在（2）条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】（1），3 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质以及待定系数法等知识点： （1）由非负数性质即得； （2）根据三角形面积公式即得； （3）根据三角形面积公式求出的长，再分类讨论即可． 【小问1详解】 解：∵a、b满足， ∴，且， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∵，且M在第三象限， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：当时， 则，， ∵的面积的面积的2倍， ∵的面积的面积的面积， 解得：， ∵， ∴， 当点P在点C的下方时，，即； 当点P在点C的上方时，，即； 综上所述，点P的坐标为或． 25. 如图1，，的平分线交于点G，． （1）求证：； （2）如图2，若，的平分线交线段于点E、交射线于点F．求的度数； （3）如图3，线段上有一点P，满足，过点C作．若在直线上取一点M，使，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）4或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明； （2）先根据直角的平分线得：，由平行线的性质得：，，，最后根据外角的性质可得的度数； （3）有两种情况：①当M在的下方时，如图5，设，先根据已知计算，，根据平行线的性质得：，根据角的和与差计算，的度数，可得结论；②当M在的上方时，同理可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：有两种情况： ①当M在的下方时，如图，     设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②当M在的上方时，如图， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 综上，的值是4或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、平行线的判定与性质及角的和与差，注意分类讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市第九十中学2024-2025学年第二学期 期中调研七年级数学 一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水!以下通过平移节水标志得到的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二元一次方程，则用含的代数式表示，应为（ ） A. B. C. D. 3. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为（4，3），（-2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 4. 已知点A的坐标为，下列说法正确的是（　　） A. 若点A在y轴上，则 B. 若点A在一三象限角平分线上，则 C. 若点A到x轴距离是3，则 D. 若点A在第四象限，则a的值可以为 5. 如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（ ） A. 距离学校1200米处 B. 北偏东方向上的1200米处 C. 南偏西方向上的1200米处 D. 南偏西方向上的1200米处 6. 如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交于D，交于E，连接，若，则的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知线段，的长度分别是1，，以原点为圆心，分别以，的长为半径画弧，与数轴负半轴相交，交点对应的数字分别记为a，b，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ） A B. C. b D. 9. 已知关于和的方程组的解满足，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重斤（古代斤=两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为两、两，下列方程组正确的为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，直线，相交于点O，，，平分，给出下列结论：当①时，；②与相等的角有三个；③为的平分线；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，(4，0)．根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为( ) 　 A. (14，8) B. (13，0) C. (100，99) D. (15，14) 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. （1）比较大小：______1（填写“”或“”）； （2）的算术平方根是______； （3）一个正数的两个平方根是和，则的立方根为______． 14. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是，到轴的距离是，且在第四象限，则点的坐标是__________． 15. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为．P是第一象限内任意一点，连接．若，则我们把叫做点P的“角坐标”．则点的“角坐标”为____________． 16. 已知点A(3a﹣6，a+4)，B(﹣3，2)，AB∥y轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为_____． 17. 用四张形状、大小完全相同小长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点，则点B的坐标是______． 18. 如图，， 的平分线交于点B，G是上的一点， 的平分线交于点 D，且，下列结论∶①平分；； ③若，则 ；④与 互余的角有2个，其中正确的为_____ (填序号)． 三、解答题：本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）已知：，求x 20 解方程组： （1）； （2）． 21. 如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为． （1）直接写出点，，的坐标； （2）在图中画出； （3）写出的面积． 22. 如图，在中，是上一点，于点，于点，是上一点，且满足． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 23. 根据以下信息，探索完成任务： 选择招聘方案？ 素材1 为庆祝中华人民共和国成立75周年，某工艺品厂设计出一款国庆纪念工艺品，计划在一个月（按22个工作日计算）内生产2024件限量工艺品．由于抽调不出足够的熟练工来完成工艺品的生产，为顺利完成任务，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行生产． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每天共加工28件产品；3名熟练工和2名新工人每天共加工32件产品． 素材3 工厂给的每名熟练工每天发300元工资，每名新工人每天发160元工资． 问题解决 任务一 分析数量关系 （1）每名熟练工和新工人每天分别可以生产多少件工艺品？ 任务二 确定可行方案 （2）如果工厂新招聘工人至少2人且不得超过抽调熟练工的人数，那么工厂有哪几种工人招聘方案，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一个月（按22个工作日计算）的生产任务． 任务三 选取最优方案 （3）在上述方案中，了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． （1）填空： ， ； （2）若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； （3）在（2）条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 25. 如图1，，的平分线交于点G，． （1）求证：； （2）如图2，若，的平分线交线段于点E、交射线于点F．求的度数； （3）如图3，线段上有一点P，满足，过点C作．若在直线上取一点M，使，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$