甘肃省天水市第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

天水一中高二级2024-2025学年度第二学期期中考试 命题：郭超 赵雅琪 审核：郭超 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单选题本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项符合要求 1．已知向量，若，则（   ） A． B．4 C． D．5 2．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 4．在三棱锥中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 6．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在一个的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，，，则CD的长为（    ）cm．    A． B． C．5 D． 8．直线 分别与曲线， 直线 交于 两点， 则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错得0分 9．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B． C．是平面的一个法向量 D．点到平面的距离为 10．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（    ） A．平面EAD 平面FCB B．平面EAD 平面ECB C．异面直线与所成的角为 D．若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 11．函数有两个极值点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则有3个零点 B．过上任一点至少可作两条直线与相切 C．若，则只有一个零点 D． 三、填空题 12．已知函数，则函数的单调递增区间为 . 13．已知“经过点且法向量为的平面的方程是”．现知道平面的方程为，则过与的直线与平面所成角的正弦值是 ． 14．正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为分别是异面直线和上的任意一点，则间距离的最小值为 . 四、解答题 15．已知空间中三点． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 16．在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面，，，，E为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点P，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 17．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围． 18．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，为的中点． （Ⅰ）求证：平面 （Ⅱ）若平面平面，异面直线与所成角为60°，且是钝角三角形，求二面角的正弦值 19．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)设是函数的两个极值点，证明：. 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年5月10日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C A B C D C ACD ACD 题号 11 答案 ACD 12． 13．/ 14． 解：如图建立空间直角坐标系，则、，，， 所以，，， 设且，即，令，则，，所以， 所以异面直线和的距离， 所以、间距离的最小值为； 故答案为： 15．(1)或 (2) （2）利用空间向量的夹角公式求出，再结合三角形的面积公式即可求解. （1）因为，所以， 因为向量与平行，所以可设， 所以， 因为，所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； （2）因为， 所以， 所以，即， 又，所以， 所以的面积， 所以以为邻边的平行四边形的面积为． 16．(1)证明见解析； (2)； (3)不存在点P使直线PE与平面MBC所成角为.理由见解析. （1）因为四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形， 所以且，且， 则且，所以四边形BCNM是平行四边形， 设CM与BN交于F，则F是BN的中点．连接EF，又E是AB的中点， 所以，又平面MEC，平面MEC， 所以平面MEC． （2）连接DE，由四边形ABCD是菱形，， 所以为正三角形，又E是AB的中点，得，即， 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，建立如图空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，， 得，，， 设平面、平面MBC的一个法向量分别为、， 则， 令，得，令，得， ∴，， 得， 又平面与平面MBC的夹角为锐角， ∴平面与平面MBC所成角的余弦值为； （3）设，则，且， 由（2）知平面MBC的法向量为， 设直线PE与平面MBC的所成角为，则， 所以， 解得，不符合题意， ∴在线段AM上不存在点P，使直线PE与平面MBC的所成角为． 17．(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3). （1）当时，，， 令可得，故当时，单调递减； 当时，单调递增； 故递减区间为，递增区间为. （2）由可得：函数定义域为，. 当时，，此时函数在定义域上单调递减； 当时，令，解得；令，解得， 此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上可得：当时，函数在定义域上单调递减； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. （3）因为函数在处取得极值， 所以，即，解得. 此时， 令，解得；令，解得， 所以函数在处取得极值，故. 所以. 因为对，恒成立， 所以对，恒成立. 令，则. 令，解得；令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，解得：. 所以实数b的取值范围为 18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. （Ⅰ）证明：取的中点，连接， 因为为的中点，则，且， 又，且，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面 （Ⅱ）由题意可知， 所以或其补角为异面直线与所成角， 又，为钝角三角形， 所以， 又平面平面，平面平面，， 所以平面， 以为坐标原点，所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 向量，， 设平面的法向量为 由得，则，令， 得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为 由得，令， 得平面的一个法向量为 设二面角的平面角为， 则. 则 故二面角的正弦值为 19．(1) (2)证明见解析 (2) 先求导函数，根据韦达定理得两极值点的关系，带入到中化简，构造，求出最值，即可求证. （1）当时，，， 所以，. 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）令， 即有两个不等正实根， 则解得.所以，. 故 ，其中. 令，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故. 所以成立. 答案第4页，共7页 答案第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$