四川省仁寿第一中学校南校区2026届高三第二次模拟考试数学试题

**基本信息** 本卷以数学眼光融合文化传承与实际应用，通过方斗杯体积计算、盲盒概率分析等情境，考查复数、数列、立体几何、圆锥曲线等知识，梯度覆盖基础运算与综合创新，适配模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算、函数导数、数列、向量|基础巩固，如复数共轭运算、函数求值| |多选|3/18|三角函数图象、随机事件、曲线性质|能力提升，如三角函数对称性判断、事件概率推理| |填空|3/15|二项式定理、解三角形、函数零点|实际应用，如测量公园距离、函数方程无解问题| |解答|5/77|等比数列、导数应用、立体几何、概率分布列、圆锥曲线综合|创新应用，如“七星瓢虫曲线”椭圆与抛物线相切、盲盒幸运客户概率计算|

仁寿一中南校区 2026届高考模拟考试 数学科试题 2026年5月 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数z的共轭复数为,并满足,其中i为虚数单位,则(A      ) A. B. C. D. 2．若函数,则( D     ) A. B.2 C.3 D.4 3．( D     ) A.1 B. C.-1 D. 4．已知数列与均为等差数列,且,,则(  B    ) A.5 B.6 C.7 D.8 5．已知向量,且,则( B     ) A.-2 B. C.-2或 D.2或 6．设a,,则“且”是“”的( B     ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7．如图1的“方斗”古时候常作为一种容器,有如图2的方斗杯,其形状是一个上大下小的正四棱台,,,现往该方斗杯里加水,当水的高度是方斗杯高度的一半时,水的体积为74,则该方斗杯可盛水的总体积为(  D    ) A.148 B. C. D.196 8．平面直角坐标系中,曲线与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆在y轴上截得的弦长为(  B    ) A. B.4 C. D.5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．函数的部分图象如图所示,则正确的有( AC     ) A. B. C.的图象关于点对称 D.方程=sin2x在上有3个解 10．设是一个随机试验中的两个事件,且,则(ACD      ) A. B. C. D. 11．曲线（）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则(      ) A. B. C.当时,的最大值是 D.当时, 11．答案：ACD 解析：当时,曲线,即, 当时,,即, 当时,曲线, 当时,,即,这是一个顶点为和的直线段, 在区间内,由于,, 故时的图象比时更靠近坐标轴,,故A正确, 当时,曲线,即,其面积为, 当时,曲线, 当时,,即, 在区间内,由于,,进而有, 故时其图像在单位圆的外部,故,故B错误, 当时,曲线,易知, 由对称性可设,,则,, 当时,,即,代入上式得,对称轴为, 故的最大值为,故C正确, 当时,当时,曲线C:,即, 当时,,即, 令,则, , 设,则, 易知,令,解得, 故在上单调递增,在上单调递减, 故当时,,,所以D正确. 2、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 设,则______60______（用数字作答）. 13．为了测量一个不规则公园两点之间的距离,如图,在东西方向上选取相距的两点,点B在点A的正东方向上,且四点在同一水平面上.从点A处观测得点C在它的东北方向上,点D在它的西北方向上;从点B处观测得点C在它的北偏东方向上,点D在它的北偏西方向上,则之间的距离为__2____km. 15．已知,若存在实数a,满足有且仅有三个不同的实数使得下列关于x的方程在b等于时均无解.则a的取值范围是___________. 15．答案： 解析：当时,, 当时,, 则值域为; 若,则可化为,方程恒无解; 若,则可化为, 则要使得该方程无解,需使,即, 即关于b的方程必须恰有两个不同的非零实根; 令, 作出其图象如下: 当或时,, 由对勾函数性质可得在、上单调递增,在上单调递减, 有,; 当时,, 则在上单调递减,此时; 故要使得关于b的方程恰有两个不同的非零实根, 此时a的取值范围是. 4、 解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等比数列中,, （1）求数列的通项公式; （2）若,求数列的前n项和. 15．答案：（1） （2） 解析：（1）设等比数列的首项为,公比为q,其通项公式为, 根据已知条件,可列出方程组,化简得:, 将代入,解得, 因此通项公式为; （2）这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和,因此可以分组求和. . 16．已知函数. （1）当时,求曲线在点处的切线方程; （2）若,求a的取值范围. 17．四棱柱的底面ABCD是菱形,且,,侧面是矩形,且M是的中点. （1）求证:平面平面; （2）若平面与平面ABCD所成二面角的平面角为,,求直线与平面MAB所成角的正弦值. 18．某盲盒商店调查数据显示,顾客一次性购买某种文创盲盒数量X的分布列为 X 0 1 2 3 P k 其中,. （1）当时,求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值; （2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类,且每个盲盒为封面款的概率为,每个盲盒是否为封面款相互独立.若顾客一次性购买的盲盒中,封面款的数量大于非封面款的数量,则称此顾客为幸运客户.现从顾客中随机选取一人. （i）求该顾客为幸运客户的概率; （ii）若该顾客是幸运客户,他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过,求的取值范围. 19．如图所示,由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线,若与存在共同焦点,由图形特点,它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫,这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地,若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列,则称其为“等差椭圆”. （1）求“等差椭圆”的离心率; （2）在“七星瓢虫曲线”中,若是“等差椭圆”,且. （ⅰ）求与和都相切的直线的方程; （ⅱ）直线（）,且l与相交所得弦的中点为M,与相交所得弦的中点为N,证明:直线OM,ON（O为原点）的斜率之积为定值. 16．答案：（1） （2） 解析：（1）函数的定义域为,. 当时,因为,所以, 又,所以曲线在点处的切线方程为, 即. （2）解法一:(i)当时,,在单调递增,此时存在,使, 不符合题意,舍去; (ii)当时,显然成立; (iii)当时,令,得,令,得; 所以在单调递减,在单调递增. 所以,解得. 综上所述,a的取值范围为. 解法二:由已知,得. (i)当时,可得.因为,所以,又因为时,, 所以; (ii)当时,恒成立,所以; (iii)当时,可得. 令,, 当时,,单调递减;当时,,单调递增; 所以,所以. 综上所述,a的取值范围为. 17．答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）因为菱形,, 由棱柱得平面平面, 所以. 因为M是中点,所以, 由于在中:, 所以,解得:, 则 所以,即 因为侧面是矩形, 由,都在平面内, 平面, 因为,平面, 平面 因为平面, ⇒平面平面. （2）取的中点O,连接 因为分别为的中点,,且, 所以四边形为平行四边形, 所以 因为侧面是矩形,所以, 则平面与平面所成二面角的平面角为, 过点M作, 因为平面平面,平面平面, 由,所以平面, 因为,则,, 以O为坐标原点,为x轴,为y轴,过O作的平行线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 所以,,,, 所以, ,, 设平面MAB的一个法向量为, 则,取,则, 设与平面MAB所成角为, 则 18．答案：（1） （2）（i）,; （ii）. 解析：（1）由题可知,,化简可得, 当时,,则, 即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为. （2）（i）设事件“一次性购买i个文创盲盒”,事件“顾客为幸运客户”, 则,,,. 依题意,得,, 因为每个盲盒是否为封面款相互独立, 所以,, 又由题意知,,且、、、两两互斥, 所以, 由（1）得,,代入化简可得, 所以,; （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”, 依题意,得,且,、、两两互斥, 所以, 由（i）得,, 所以幸运客户中,一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为 , 由题意,可得,解得, 又因为,所以. 19．答案：（1）; （2）（i）或; （ii）证明见解析. 解析：（1）设椭圆的半焦距为c, 因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列,所以, 又,所以,则, 两边同时除以,得,解得（舍去）. 所以“等差椭圆”的离心率为. （2）（ⅰ）若是“等差椭圆”,且, 则由,得,则,,解得. 故,. 易知与和都相切的直线斜率存在且不为0,设方程为:. 联立消去y得, 则,得;① 联立消去y得, 则,得,② 联立①②,解得或 故和都相切的直线方程为或. （ⅱ）证明:设l与相交于,, 线段CD的中点,则,, 两式相减,得, 所以,即, 由已知,,所以, 即,则 联立得, 又,则, 故, 所以中点N的坐标为,可得, 所以,为N定值. 高2023级模拟考试一数学试卷第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中南校区2023级第二次模拟考试 数学科试题 2026年5月 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数z的共轭复数为,并满足,其中i为虚数单位,则(      ) A. B. C. D. 2．若函数,则(      ) A. B.2 C.3 D.4 3．(      ) A.1 B. C.-1 D. 4．已知数列与均为等差数列,且,,则(      ) A.5 B.6 C.7 D.8 5．已知向量,且,则(      ) A.-2 B. C.-2或 D.2或 6．设a,,则“且”是“”的(      ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7．如图1的“方斗”古时候常作为一种容器,有如图2的方斗杯,其形状是一个上大下小的正四棱台,,,现往该方斗杯里加水,当水的高度是方斗杯高度的一半时,水的体积为74,则该方斗杯可盛水的总体积为(      ) A.148 B. C. D.196 8．平面直角坐标系中,曲线与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆在y轴上截得的弦长为(      ) A. B.4 C. D.5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．函数的部分图象如图所示,则正确的有(      ) A. B. C.的图象关于点对称 D.方程=sin2x在上有3个解 10．设是一个随机试验中的两个事件,且,则(       ) A. B. C. D. 11．曲线（）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则(      ) A. B. C.当时,的最大值是 D.当时, 2、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 设,则____________（用数字作答）. 13．为了测量一个不规则公园两点之间的距离,如图,在东西方向上选取相距的两点,点B在点A的正东方向上,且四点在同一水平面上.从点A处观测得点C在它的东北方向上,点D在它的西北方向上;从点B处观测得点C在它的北偏东方向上,点D在它的北偏西方向上,则之间的距离为______km. 15．已知,若存在实数a,满足有且仅有三个不同的实数使得下列关于x的方程在b等于时均无解.则a的取值范围是___________. 4、 解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等比数列中,, （1）求数列的通项公式; （2）若,求数列的前n项和. 16．已知函数. （1）当时,求曲线在点处的切线方程; （2）若,求a的取值范围. 17．四棱柱的底面ABCD是菱形,且,,侧面是矩形,且M是的中点. （1）求证:平面平面; （2）若平面与平面ABCD所成二面角的平面角为, ,求直线与平面MAB所成角的正弦值. 18．某盲盒商店调查数据显示,顾客一次性购买某种文创盲盒数量X的分布列为 X 0 1 2 3 P k 其中,. （1）当时,求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值; （2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类,且每个盲盒为封面款的概率为,每个盲盒是否为封面款相互独立.若顾客一次性购买的盲盒中,封面款的数量大于非封面款的数量,则称此顾客为幸运客户.现从顾客中随机选取一人. （i）求该顾客为幸运客户的概率; （ii）若该顾客是幸运客户,他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过,求的取值范围. 19．如图所示,由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线,若与存在共同焦点,由图形特点,它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫,这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地,若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列,则称其为“等差椭圆”. （1）求“等差椭圆”的离心率; （2）在“七星瓢虫曲线”中,若是“等差椭圆”,且. （ⅰ）求与和都相切的直线的方程; （ⅱ）直线（）,且l与相交所得弦的中点为M,与相交所得弦的中点为N,证明:直线OM,ON（O为原点）的斜率之积为定值. 2023级第二次模拟考试 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $