精品解析：河南省新乡市2024-2025学年高二下学期期中数学试题

河南省2024—2025年度高二期中考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占30%，选择性必修第二册占35%，选择性必修第三册第六、七章占35%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与互相垂直，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知数列的前n项和为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 250 B. 500 C. D. 4. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 7. 记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若为奇函数，则 B. 的图象关于直线对称 C. 若，则的单调递增区间为 D. 当时，在上单调递增 11. 已知表示中最小的数，表示中最大的数.若数列，都只有项，且都是由数字，，，，，，，随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，则（ ） A. X的值可能为，，， B. 的值可能为，，， C. 的概率为 D. 的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有___________个． 附：若，则． 13. 将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有___________种． 14. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程． （2）直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 16. 为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果： 单位：人 服用情况 患病情况 患病 不患病 服用中药预防方 100 900 不服用中药预防方 400 600 （1）从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求的值． （2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，． （1）证明：平面平面． （2）若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积． 18. 已知函数． （1）求的极值； （2）求的单调区间； （3）若，求a的取值范围． 19. 某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有个白球和个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖． （1）求第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率； （2）求这两份奖品都被第名顾客抽取的概率； （3）求由第名顾客终止抽奖活动的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2024—2025年度高二期中考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占30%，选择性必修第二册占35%，选择性必修第三册第六、七章占35%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与互相垂直，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论直线的斜率，再利用即可. 【详解】由题意可知直线的斜率， 当时，直线的斜率不存在，不满足； 当时，直线的斜率， 由，得，即，解得． 故选：B 2. 已知数列的前n项和为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据代入即可得解. 【详解】当时，，又，则． 当时，，又，所以， 解得：． 故选：D 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 250 B. 500 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求得答案. 【详解】由二项式展开式的通项公式可得，， 令，解得，所以的系数为． 故选：C 4. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式的基本量运算求出，进而得出. 【详解】设等比数列的公比为q，则，又， 解得，故． 故选：D. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出导函数得出切线斜率，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】，所求切线方程为． 故选：A. 6. 已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令函数，利用导数求出函数的最小值及其对应的值，即可得出结论. 【详解】由题意可得， 令函数，则． 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，即的最小值为，此时． 故选：A. 7. 记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解. 【详解】由题意可得，球O的半径为1． ．当P为正方体顶点时等号成立， 故选：B 8. 将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出正三棱柱的体积，再求出导函数，根据导函数正负得出函数单调性，进而得出最大值即可. 【详解】设正三棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则，即． 正三棱柱的体积． 当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，V取得最大值，最大值为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列，且，求得，再利用等差数列通项公式和前项和公式求解. 【详解】解得： 所以， A，B，D正确，，C错误． 故选：ABD 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若为奇函数，则 B. 的图象关于直线对称 C. 若，则的单调递增区间为 D. 当时，在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，求定义域，根据奇函数性质求出；B选项，计算出，B正确；C选项，，解不等式求出单调递增区间；D选项，求导，得到，其中，解不等式求出单调递增区间. 【详解】A选项，的定义域为， 若为奇函数，则，解得，A错误． B选项，， 所以的图象关于直线对称，B正确． C选项，若，则． 令，解得， 所以的单调递增区间为，C正确． D选项， ， 当时，，故． 令，即，解得， 所以的单调递增区间为，D正确． 故选：BCD 11. 已知表示中最小的数，表示中最大的数.若数列，都只有项，且都是由数字，，，，，，，随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，则（ ） A. X的值可能为，，， B. 的值可能为，，， C. 的概率为 D. 的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先确定满足条件的的个数，再结合定义确定的可能取值，确定取各值的方法数，由此可得取各值的概率，再求的值及取各值的概率，结合概率加法和乘法公式求结论. 【详解】将1，2，3，4，5，6，7，8平均分成组，有种分法. X的值可能为，，，，A正确； 不妨设， 若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时. 若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时. 若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时. 若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时. ，，，. ，C正确； 又的值可能为，，，，B错误； 不妨设 若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时. 若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时. 若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时. 若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时. ，，，. ，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有___________个． 附：若，则． 【答案】1587 【解析】 【分析】根据正态分布的概率性质计算求解. 【详解】由可知， 故其中单果质量超过的草莓约有个． 故答案为：1587. 13. 将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有___________种． 【答案】1800 【解析】 【分析】先利用组合数的概念从名志愿者中选出人作为一组，再利用排列数的概念将分好的组全排列分配到个小区，最后根据分步乘法计数原理计算出不同的安排方法总数． 【详解】先将2名志愿者看作一组，选法有种， 再将5组志愿者分配到5个小区，分法有种，故不同的安排方法有种． 故答案为： 14. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】通过已知点所在象限和，利用直线斜率求出三角函数值，再借助正弦定理得到线段比例关系，结合三角形面积求出线段长度，最后根据双曲线定义求出的值． 【详解】由题可知，点P在第四象限，． 设．由，求得． 因为，所以，求得，即． 由正弦定理可得． 设，得．由， 得，则，， 又，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程． （2）直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据离心率和过点，代入计算得到答案； （2）将直线的方程与椭圆方程联立得，利用根的判别式求解即可； （3）由（2）结合，利用韦达定理和弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为点在椭圆C上，所以． 椭圆C的离心率为，解得． 故椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 联立得． ①，解得， 所以m的取值范围为． ②因为，所以，解得． ． 16. 为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果： 单位：人 服用情况 患病情况 患病 不患病 服用中药预防方 100 900 不服用中药预防方 400 600 （1）从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求的值． （2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）概率计算，依据条件概率公式来求解； （2）二项分布期望的计算，根据二项分布的期望公式进行计算． 【小问1详解】 由题意可得， ． ． 【小问2详解】 从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，不患病的概率为． 由已知得， 则． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，． （1）证明：平面平面． （2）若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证平面，由此可得平面平面； （2）作，垂足为E，连接，先证平面，然后以E为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法表示面面角的余弦值，即可求解，再利用锥体的体积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，，，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 作，垂足为E，连接， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 以E为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的法向量为， 则，取， 设平面的法向量为， 则，取， ，解得（舍去）， 即， 四棱锥的体积. 18. 已知函数． （1）求的极值； （2）求的单调区间； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值． （2）答案见解析 （3）． 【解析】 【分析】(1)求出导数，根据导数与极值点的关系求极值点，再求极值即可； (2) 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； (3)由题意，可得，即，构造函数，上式等价于，利用导数计算求解即可得出结果． 【小问1详解】 ． 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 在处取得极小值，极小值为，无极大值． 【小问2详解】 的定义域为． ． 若，则为常函数，无单调区间． 若，则的单调递减区间为，无单调递增区间． 【小问3详解】 因为，所以，即． 令函数，上式等价于． 在上恒成立，所以在上单调递增． 因为当时，，当时，，所以，即． 因为，所以，所以． 故a的取值范围是． 19. 某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有个白球和个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖． （1）求第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率； （2）求这两份奖品都被第名顾客抽取的概率； （3）求由第名顾客终止抽奖活动的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知第名顾客抽取的是红球；第名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球；第名顾客抽取的是白球.结合独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）利用列举法列举出这两分别奖品都被第名、第名、第名顾客抽走的概率，利用归纳可得出这两份奖品都被第名顾客抽取的概率； （3）设由第名顾客终止抽奖的概率为，可得出的值，讨论的情形，第名顾客共抽取了两份奖品，则前面名顾客都没有抽到奖品；第名顾客抽取了一份奖品，则前面名顾客中第名顾客抽到了一份奖品，计算出两种情况下所求概率，相加即可得解. 【小问1详解】 由题意可得第名和第名顾客各抽中一份奖品，即第名顾客抽取的是红球； 第名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球；第名顾客抽取的是白球. 故第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率为. 【小问2详解】 这两份奖品被第名顾客抽走的概率为， 被第名顾客抽走的概率为， 被第名顾客抽走的概率为， ， 被第名顾客抽走的概率为. 【小问3详解】 设由第名顾客终止抽奖的概率为，则，以下讨论的情形： 若第名顾客共抽取了两份奖品，则前面名顾客都没有抽到奖品，其概率为， 若第名顾客抽取了一份奖品，则前面名顾客中第名顾客抽到了一份奖品， 则前面名顾客五人抽到奖品，其概率为， 第名顾客只获得一份奖品，其概率为， 第名顾客到第名顾客都没有抽到奖品，其概率为， 所以，第名顾客抽取了一份奖品的概率为 ， 所以，， 当时，符合上式， 因此，由第名顾客终止抽奖活动的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $