精品解析：2025年福建省厦门市第十中学九年级下学期数学模拟考试

2025年厦门市第十中学九年级下学期数学模拟考试 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 通过望远镜，人类在宇宙中已经发现近18600000亿个星系，每一个星系中又有约2000亿颗星球，但所有这些加起来仅占整个宇宙的4%．把18600000精确到十万位的近似数是（ ） A. B. C. D. 4. 我国是一个历史悠久的多民族国家．针对各民族的特色元素，某设计师设计了56幅“似图似字”的图案．在下面四幅图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，，，则的度数是（    ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 8. 甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之和为偶数，甲得1分；如果两者之和为奇数，乙得1分，此游戏（ ） A. 是公平的 B. 对乙有利 C. 对甲有利 D. 以上都不对 9. 已知在正方形 中， 长为6，分别以A，B为圆心，以大于 长度的一半为半径作弧，两弧交于两点，作直线，交 于点E，再分别以A，E为圆心，以大于 长的一半为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线 ，分别与 ， 交于点F、G，那么四边形的面积为（ ） A. 18 B. C. D. 10. 如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　） A. ﹣2≤h≤ B. ﹣2≤h≤1 C. ﹣1≤h≤ D. ﹣1≤h≤ 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．直接填写答案． 11. 分解因式的结果是________． 12. 小李广花荣是《永浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1.将一枝箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为__________结果用含的式子表示） 13. 如图，在 中， ，于点D，，E是斜边 的中点，则的度数为 ________． 14. 在全民健身越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间x（小时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法： ①起跑后1小时内，乙在甲的前面；②甲比乙先到达终点；③第1小时两人都跑了10千米； ④小时时，甲乙相距5千米；⑤两人都跑了20千米． 其中正确的说法是______．（填序号） 15. 如图，在边长为10的正方形 中，点 为 的中点，将沿翻折得，点 落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点 ，则的最小值为______． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： 17. 解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 18. 如图，菱形 对角线 与 的交于点，过点作，过点作，与 相交于点 ． （1）则 的长______． （2）求证四边形是矩形． 19. 随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，某天，小明在位于点处的家中购买了位于点处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点在点北偏西方向，点在点北偏东方向，；点 在点正东方向，；点 在点 正南方向，且在商家正东方向，．（参考数据：，，，） （1）求 的长度；（结果精确到个位） （2）骑手在收到派单后立即赶往点处取餐并开始配送，骑手有两条送餐路线可选择：①；②．请通过计算说明，在速度相间的情况下，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到个位） 20. 如图，在 的内接四边形 中， ，连接 ， ．过点作 的平行线，分别与 ， 的延长线交于点 ， ． （1）求证： 是 的切线； （2）如图，若 是 的直径，，，求的长． 21. 为了引导学生积极参与体育运动，星汇学校初中部举办了“一分钟跳绳比赛”，随机抽取了m名学生，将一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如图的统计图和统计表： 等级 次数 频数 不合格 100≤x＜120 4 合格 120≤x＜140 a 良好 140≤x＜160 12 优秀 160≤x＜180 10 请结合上述信息完成下列问题 （1） ______； ______； （2）请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是______； （4）若该校有1600名初中生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名初中生一分钟跳绳次数达到合格及以上． 22. 马面裙作为汉服的重要组成部分，承载着我国深厚的历史文化底蕴．在某网店中，销量最高的两款马面裙备受消费者青睐，两款马面裙的售价分别为150元/件和200元/件，两款马面裙3月份的总销量为600件，销售总额为110000元． （1）求3月份两款马面裙的销量分别为多少件？ （2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂预定两款马面裙共2400件，且款马面裙数量不超过款马面裙数量的，已知款马面裙进价为100元/件，款马面裙进价160元/件，请你设计一种方案，使得这批马面裙全部售出后获利最大，并求出最大利润． 23. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接 ，把线段 绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图 1，设对称轴交线段 于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，连接，交 于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 25. 在 中，，，点 是 边上一点，点 是 边上一点，连接 、 ，且． （1）如图1，若，，求 的长； （2）如图2， 为延长线上一点，连接 ，且，求证：； （3）如图3，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接交于点 ，连接、 ，当最小时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年厦门市第十中学九年级下学期数学模拟考试 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：A． 2. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据从正面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：由实物图可知，从从正面看到的图形是， 故选： ． 3. 通过望远镜，人类在宇宙中已经发现近18600000亿个星系，每一个星系中又有约2000亿颗星球，但所有这些加起来仅占整个宇宙的4%．把18600000精确到十万位的近似数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断出18600000的十万位上的数是多少，根据四舍五入法，求出18600000精确到十万位是多少即可． 【详解】解：18600000≈， 故答案为：． 【点睛】本题考查了近似数与有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．解题的关键是：一般有精确到哪一位就保留几个有效数字的说法．还要注意正确理解科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 我国是一个历史悠久的多民族国家．针对各民族的特色元素，某设计师设计了56幅“似图似字”的图案．在下面四幅图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 5. 如图，，，，，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全等三角形性质推出，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数． 本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握掌握全等三角形的对应角相等． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方和单项式乘以多项式，熟记法则是解题的关键． 根据幂的运算法则和单项式乘以多项式的法则逐项判断． 【详解】解：A，，正确； B，，故该选项错误； C，，故该选项错误； D，，故该选项错误； 故选：A． 7. 关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【详解】解：解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故选项A错误， 设、是一元二次方程的两个实数根， ∴，，故选项C正确，选项D错误， ∴两根的符号相反，故选项B错误， 故选：C． 8. 甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之和为偶数，甲得1分；如果两者之和为奇数，乙得1分，此游戏（ ） A. 是公平的 B. 对乙有利 C. 对甲有利 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，共有36种结果，其中两者之和为偶数有18种，两者之和为奇数有18种，据此计算两种情况的概率即可. 【详解】解：甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，共有36种结果，其中两者之和为偶数有18种，两者之和为奇数有18种，两者之和为偶数的概率为，则两者之积为奇数的概率为，， 故选择A. 【点睛】本题考查了利用概率判断游戏的公平性，掌握概率的计算是解题的关键. 9. 已知在正方形 中， 长为6，分别以A，B为圆心，以大于 长度的一半为半径作弧，两弧交于两点，作直线 ，交于点E，再分别以A，E为圆心，以大于 长的一半为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与 ，交于点F、G，那么四边形的面积为（ ） A. 18 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，易得四边形为平行四边形，根据作图可知 垂直平分 ， 垂直平分 ，证明，得到，根据，求出 的长，进而求出的长，利用梯形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ∵正方形 ， ∴， 由作图可知： 垂直平分 ， 垂直平分 交 于点，则：四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，尺规作图---作垂线，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 10. 如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　） A. ﹣2≤h≤ B. ﹣2≤h≤1 C. ﹣1≤h≤ D. ﹣1≤h≤ 【答案】A 【解析】 【分析】联立y＝x+2与直线y=x，得到点 ，再由抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．可得 ，从而得到抛物线解析式为 ，根据题意可得抛物线过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，然后把点C、B的坐标代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：把y＝x+2与直线y=x联立得： ，解得：， ∴点 ， 根据题意得抛物线的顶点坐标为 ， 把代入直线y=x，得： ， ∴抛物线解析式为 ， 如图，当抛物线经过点C时， 把点 代入得： ，解得： 或（舍去）， 如图，当抛物线经过点B时， 将点代入得： ，解得： 或（舍去）， 综上所述，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，h的取值范围是 ． 故选：A 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与形的边AB、BC均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点C是解题解题的关键． 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．直接填写答案． 11. 分解因式的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式．直接提取公因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 小李广花荣是《永浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1.将一枝箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为__________结果用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，计算正方形与圆的面积比即可，解题的关键在于正确的计算． 【详解】解：设圆的直径为R，则正方形的对角线长为， 圆的面积为，正方形的面积为， 箭穿过正方形孔的概率为， 故答案为：． 13. 如图，在中，，于点D，，E是斜边 的中点，则的度数为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先根据垂直定义可得：，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ∵，E是斜边 的中点， ， ， ， 故答案为： 14. 在全民健身越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间x（小时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法： ①起跑后1小时内，乙在甲的前面；②甲比乙先到达终点；③第1小时两人都跑了10千米； ④小时时，甲乙相距5千米；⑤两人都跑了20千米． 其中正确的说法是______．（填序号） 【答案】③⑤ 【解析】 【分析】根据图象可知时，甲的图象高于乙的图象，即可判断①；根据甲乙到达终点的时间，即可判断②；根据图象可知当时，，即可判断③；求出乙的速度以及当时乙的路程，即可判断④；根据图象即可判断⑤． 【详解】解：①由图可知，当时，甲的图象高于乙的图象， ∴起跑后1小时内，乙在甲的后面； 故①不正确，不符合题意； ②由图可知：甲比乙后到达终点，故②不正确，不符合题意； ③由图可知，当时，， ∴第1小时两人都跑了10千米； 故③正确，符合题意； ④， 当时，， ∵当时，， ∴时，， ∴时，，即， 故④不正确，不符合题意； ⑤由图可知，两人都跑了20千米，故⑤正确，符合题意； 综上：正确的有③⑤； 故答案为：③⑤． 【点睛】本题主要考查了识别函数图象，解题的关键是正确识别图象，明确自变量和因变量，根据图象得出需要的数据． 15. 如图，在边长为10的正方形 中，点为 的中点，将沿 翻折得，点落在四边形内．点为线段 上的动点，过点作交于点 ，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称在的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点．如图：过点M作于F，推出的最小值为的长，证明四边形为菱形，然后利用相似三角形的判定和性质求得的长即可． 【详解】解：作点P关于 的对称点， 由折叠的性质知 是的平分线， ∴点在上， 过点M作于F，交 于点G， ∵， ∴的最小值为的长， 连接， 由折叠的性质知 为线段的垂直平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ 为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂的意义、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义等计算即可． 【详解】解∶ 17. 解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 【答案】， 解集在数轴上表示为： 不等式组的整数解为0，1，2，3 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．先分别解两个不等式得到和，再利用“大小小大中间找”确定不等式组的解集，接着在数轴上表示其解集，然后写出它的整数解．也考查了在数轴上表示不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为0，1，2，3． 18. 如图，菱形 对角线 与的交于点，过点 作，过点作， 与相交于点． （1）则的长______． （2）求证四边形是矩形． 【答案】（1）8 （2） 证明：，， 四边形是平行四边形， 由（1）知，即， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）由菱形性质，对角线相互垂直，再由勾股定理求出线段长即可得到答案； （2）根据平行四边形的判定得证四边形是平行四边形，再由（1）中，结合矩形的判定即可得到答案． 【小问1详解】 解：菱形 对角线 与的交于点， ， 在中，，则由勾股定理可得， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查四边形综合，涉及菱形性质、勾股定理、平行四边形的判定定理、矩形的判定定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 19. 随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，某天，小明在位于点 处的家中购买了位于点 处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点 处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点在点 北偏西方向，点 在点北偏东方向，；点 在点 正东方向，；点在点 正南方向，且在商家 正东方向，．（参考数据：，，，） （1）求的长度；（结果精确到个位） （2）骑手在收到派单后立即赶往点 处取餐并开始配送，骑手有两条送餐路线可选择：①；②．请通过计算说明，在速度相间的情况下，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到个位） 【答案】（1）的长度约为米 （2）骑手选择线路①才能更快地将外卖送到小明家 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题； （1）过点作，交的延长线于点 ，交的延长线于点 ，在中，求出，进而求出，在中，即可求出； （2）在中，求出，在中，求出，进而求出，再根据线路①路程为：，线路②路程为，求出两条线路长，比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：由题意，知，过点作，交的延长线于点 ，交的延长线于点 ，如图， 则四边形是矩形，，， 在中， ，， （米） （米） （米） 在中， 由题意，知， （米） 答：的长度约为米 【小问2详解】 在中， （米） 在中， （米） （米）， 线路①路程为：（米）， 线路②路程为：（米）， ＜， 线路①较近． 20. 如图 ，在的内接四边形 中，，连接 ，．过点 作的平行线，分别与 ， 的延长线交于点， ． （1）求证： 是的切线； （2）如图 ，若 是的直径，，，求 的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴ 是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（ ）连接，根据弧、弦、圆心角的关系得，然后由垂径定理推论得，又，则，从而求证； （ ）连接，根据弧、弦、圆心角的关系得，，则，即，故，从而有，然后由圆周角定理得，由直角三角形性质得性质，通过勾股定理求得，最后由平行线的性质和等角对等边即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ 是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，平行线的性质，等角对等边，直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 21. 为了引导学生积极参与体育运动，星汇学校初中部举办了“一分钟跳绳比赛”，随机抽取了m名学生，将一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如图的统计图和统计表： 等级 次数 频数 不合格 100≤x＜120 4 合格 120≤x＜140 a 良好 140≤x＜160 12 优秀 160≤x＜180 10 请结合上述信息完成下列问题 （1） ______； ______； （2）请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是______； （4）若该校有1600名初中生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名初中生一分钟跳绳次数达到合格及以上． 【答案】（1）40；14 （2） 补充完整的频数分布直方图如下； （3） （4）1440名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求扇形圆心角度数，用样本估计总体等知识； （1）根据优秀的人数及其占比即可求得抽取的人数m，进而用抽取的总人数减去不合格、良好与优秀的人数，即可求得a的值； （2）由（1）中求得的a，即可补充频数分布直方图； （3）“良好”等级的占比乘以，即可求解； （4）1600与合格及以上占比的乘积即为所求． 【小问1详解】 解：（名）；； 故答案为：40；14； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：； 即扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是； 【小问4详解】 解：（名） 答：估计该校有1440名初中生一分钟跳绳次数达到合格及以上． 22. 马面裙作为汉服的重要组成部分，承载着我国深厚的历史文化底蕴．在某网店中，销量最高的 两款马面裙备受消费者青睐， 两款马面裙的售价分别为150元/件和200元/件，两款马面裙3月份的总销量为600件，销售总额为110000元． （1）求3月份 两款马面裙的销量分别为多少件？ （2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂预定 两款马面裙共2400件，且 款马面裙数量不超过款马面裙数量的，已知 款马面裙进价为100元/件，款马面裙进价160元/件，请你设计一种方案，使得这批马面裙全部售出后获利最大，并求出最大利润． 【答案】（1）3月份 两款马面裙的销量分别为件和件 （2）网店购进 款马面裙件，款马面裙件，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用以及一次函数的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设 销量为 件，销量为 件，根据题意列出方程进行计算即可； （2）设购进 款件，故款为件，根据题意列出一次函数表达式并根据一次函数性质求出最大值即可求出答案． 【小问1详解】 解：设 销量为 件，销量为 件， 由题意得：，解得， 答：3月份 两款马面裙的销量分别为件和件； 【小问2详解】 解：设购进 款件，故款为件，总利润为元， 依题意得，， 解得， 由题意得：， 即， 因， 则随的增大而增大， 时，元， 此时件． 答：网店购进 款马面裙件，款马面裙件，最大利润为元． 23. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接 ，把线段 绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】（1）； （2）4 （3）点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解. 【小问1详解】 解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积 ； ； 【小问3详解】 解：设点，又， 由旋转知：为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图 1，设对称轴交线段 于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，连接，交 于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 【答案】（1） （2）存在，P的坐标为 （3）的最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点和点代入求得a、b的值即可解答； （2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解； （3）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可。 【小问1详解】 解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即 ∴，即为等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线 的解析式为， 则，解得：， ∴直线 的表达式为， ∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， ∵， 故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则， 当时，解得：或（舍去）， ∴点． 【小问3详解】 解：如图：连接，设点， 设直线的表达式为， 则有，解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， ． ∴ 的最大值为． 25. 在中，， ，点 是边上一点，点是 边上一点，连接 、 ，且． （1）如图1，若，，求 的长； （2）如图2， 为延长线上一点，连接 ，且，求证：； （3）如图3，连接 ，将 沿 翻折至 所在平面内得到，连接 交 于点，连接、，当 最小时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图所示，将绕点 顺时针旋转得到，点 的对应点为 ，过点 作交 于点，过点 作交于点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）勾股定理得出，进而可得，证明，根据全等三角形的性质，得出，进而即可求解； （2）将绕点 顺时针旋转得到，点 的对应点为 ，过点 作交 于点，过点 作交于点，则，，证明，即可得证； （3）先证明得出，在中，，得出，进而得出当 最小时，则 最小，当时， 最小，此时如图所示，连接，证明是直角三角形，得出，进而可得是等腰直角三角形，则得证明得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，而是定值， ∴当 最小时，则 最小， ∴当时， 最小，此时如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，正切的定义，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $