精品解析：江苏省南京市鼓楼区南京市第二十九中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

高一（下）期中试卷 数学 2025.4 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在中，角所对的边分别为，若，，，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，其中的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分） 9. 下列关于向量的说法中正确的是（ ） A. B. C. 在边长为1的正方形中， D. ，能作为平面内的一组基底 10. 某药物在人体内的血药浓度与时间有关，血药浓度（单位：）与时间（小时）的变化规律可近似表述为：，其中为初始血药浓度，为代谢速率常数，图象如图所示，则（ ） A. B. 每小时血药浓度降低的数值相等 C. 服药后6小时，血药浓度降至初始值的 D. 服药后，人体内的血药浓度随着时间的增加而降低 11. 在锐角三角形中，角所对的边分别是，，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，与平行，则的值为_____． 13. 若，，则的值是_____． 14. 除特许外，外轮不得进入离我国海岸线mile以内的区域．如图，A，B是海岸线上相距mile的两个观测站，测得某外轮在点位置，，，则此时离海岸线的距离为_____mile． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数． （1）求和； （2）若复数是关于的方程的一个根，求的值． 16. 已知向量，与的夹角为． （1）求的值； （2）若，求实数的值． 17. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）若，求的值． 18. 如图，已知在平面四边形中，，，． （1）若平分，求的长； （2）设， ①若，求四边形的面积； ②当四边形面积最大时，求证：． 19. 如图1，已知四边形为菱形，，，为的外心． （1）求的值； （2）点在以为圆心，1为半径的圆上运动， ①已知点是点关于点的对称点，求的取值范围； ②已知点为边的中点，且存在实数x，y，z，使得，求出当最大时的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一（下）期中试卷 数学 2025.4 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】求出复数在复平面内对应点坐标，进而求得答案. 【详解】复数对应的点在第一象限. 故选：A 2. 在中，角所对的边分别为，若，，，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，代入数据即可． 【详解】由正弦定理，得： ，即， 即： 解得： 选B． 【点睛】此题考查正弦定理：，代入数据即可，属于基础题目． 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式及两角差的余弦公式即可求解． 【详解】， 故选：D． 4. 在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二分法即可判断. 【详解】由题意，，，，，， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 5. 已知是单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得到，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且， 可得，可得， 则，又因为，可得， 所以与的夹角为. 故选：B. 6. 已知，其中的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】因为，其中 的夹角为，可得， 则 在上的投影向量为. 故选：C. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用和差角的正弦公式化简已知式，再化弦为切得到，运用和角的正切公式计算即得. 【详解】由可得， 即，也即， 故. 故选：D. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，求得，在中，由余弦定理，求得，再由，得到，得出，结合基本不等式，求得，即可得到答案. 【详解】由，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 又由， 则， 所以， 令，可得，则， 因为，当且仅当时，即时，即时，等号成立， 则，所以，所以， 即的最大值为. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分） 9. 下列关于向量的说法中正确的是（ ） A. B. C. 在边长为1的正方形中， D. ，能作为平面内的一组基底 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的概念，可判定A不正确；根据，可判定B正确；根据向量的数量积和向量模的运算公式，可得判定C不正确；根据共线向量的坐标表示，可得判定D正确. 【详解】对于A中，根据向量的定义，表示向量的模，而表示向量，所以A不正确； 对于B中，由，可得，所以B正确； 对于C中，在边长为1的正方形中， 可得， 所以，所以C不正确； 对于D中，由向量，，因为， 所以向量与不共线，所以与能作为平面内的一组基底，所以D正确. 故选：BD. 10. 某药物在人体内的血药浓度与时间有关，血药浓度（单位：）与时间（小时）的变化规律可近似表述为：，其中为初始血药浓度，为代谢速率常数，图象如图所示，则（ ） A. B. 每小时血药浓度降低的数值相等 C. 服药后6小时，血药浓度降至初始值的 D. 服药后，人体内的血药浓度随着时间的增加而降低 【答案】ACD 【解析】 【分析】A将点代入即可；B当时，计算；C计算的值；D由图象的单调性可知. 【详解】将点代入中得，，得，故A正确； 因， 则当时，， 不是定值，故B错误； 因，则，故C正确； 由图象可知，服药后人体内的血药浓度随着时间的增加而降低，故D正确. 故选：ACD 11. 在锐角三角形中，角所对的边分别是，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据条件，利用正弦和差角公式，即可求解；对于B，根据条件，利用正弦定理边转角和余弦定理，即可求解；对于C，根据条件得，再利用辅助角公式，即可求解；对于选项D，利用、和差角公式及倍角公式，得到，从而有，构造函数，，求出的取值范围，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，又， 所以，得到， 又三角形为锐角三角形，所以，， 则，得到，所以选项A正确， 对于选项B，由，得到， 整理得到，所以选项B正角， 对于选项C，因为，又由选项A知， 所以，得到，所以， 又，所以， 则，所以选项C错误， 对于选项D，由选项C知，， 又 则， 设，令， 则，易知在上单调递增， 所以，即， 则，所以的取值范围是，故选项D正确， 故选：ABD. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，与平行，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合与，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为与，可得，解得. 故答案为：. 13. 若，，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦的二倍角公式计算可得，再由半角公式计算并结合角的范围可得结果. 【详解】由可得， 又，所以，因此可得； 又，所以， 因此，易知， 即. 故答案为： 14. 除特许外，外轮不得进入离我国海岸线mile以内的区域．如图，A，B是海岸线上相距mile的两个观测站，测得某外轮在点位置，，，则此时离海岸线的距离为_____mile． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，先利用正弦定理求出，再利用直角三角形求得即可. 【详解】 如图，作于点，由正弦定理，， 因，，故， 而， 故， 在中，. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数． （1）求和； （2）若复数是关于的方程的一个根，求的值． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）利用复数的除法运算求出复数，再求其共轭复数和模长即可； （2）根据实系数方程的根的定义代入方程，利用复数相等得出的方程组，求解即可. 【小问1详解】 因复数， 则，. 【小问2详解】 因为是关于的方程的一个根， 所以，整理得：， 即， 故有，解得：，． 16. 已知向量，与的夹角为． （1）求的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合向量的数量积的定义，即可求解； （2）由，利用向量模的计算公式，得出关于的方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，所以， 因为，与的夹角为，可得. 【小问2详解】 解：由， 因为，所以，即， 所以或. 17. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）若，求的值． 【答案】（1）最小正周期为；最大值为4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及诱导公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解； （2）由已知得，再根据诱导公式及二倍角公式即可求解． 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为； 当且仅当，即时，函数的最大值为4． 【小问2详解】 因为，所以，即， 所以 ． 18. 如图，已知在平面四边形中，，，． （1）若平分，求的长； （2）设， ①若，求四边形的面积； ②当四边形面积最大时，求证：． 【答案】（1） （2）①； ②证明如下： 在中，可得， 在中，可得， 所以， 所以， 设四边形的面积为， 则 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 当且仅当时，，此时取最大值12， 此时有最大值，所以当四边形面积最大时． 【解析】 【分析】（1）因为平分，得到，利用余弦定理，列出方程，即可求得的长； （2）①在中，利用余弦定理，求得，再在中，求得，得到，结合四边形面积，即可求解； ②分别在和中，利用余弦定理，得到表达式，求得，设四边形的面积为，结合，求得，再由，得到，进而得到结论. 【小问1详解】 因为平分，可得， 由余弦定理，可得， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 ①在中，余弦定理得， 所以，解得， 在中，可得，所以， 因为，所以， 由四边形面积， 所以； ②略 19. 如图1，已知四边形为菱形，，，为的外心． （1）求的值； （2）点在以为圆心，1为半径的圆上运动， ①已知点是点关于点的对称点，求的取值范围； ②已知点为边的中点，且存在实数x，y，z，使得，求出当最大时的的值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）方法一、根据题意，得到为等边三角形，得到为的中心，结合正三角形的性质，结合，即可求解； 方法二、以O为原点，建立平面直角坐标系，求得，结合向量数量积的坐标运算公式，即可求解； （2）①设，得到，令，即可求得； 方法二：当共线时，取得最小值，在和中，化简得到，结合，求得. ②先得到，化简得到的坐标，根据，得到，且，结合三角函数的基本关系式，化简得到，令，，得到方程，结合，求得，再由，求得，即可求解. 【小问1详解】 解：方法一、已知四边形为菱形，且， 可得为等边三角形， 因为为的外心，即为的中心，， 又因为，可得，且，因为，所以， 所以. 方法二、以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 因为四边形为菱形，且，可得为等边三角形， 则，，，， 所以； 【小问2详解】 解：①以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，可得， 因为点P在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则，， 所以， 令，则， 所以，则， 所以； 方法二：当共线时，取得最小值8， 在中，， 在中，， 所以，所以， 因为， 所以（当且仅当时等号成立）． 所以； ②以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，可得， 由，， 又由， 所以 ， 因为， 所以，且， 所以，代入， 可得， 整理得， 显然，两边同时除以，可得， 令，，可得， 即，（☆） 所以，即， 解得，所以（即m）的最大值为． 此时，式子（☆）有两个相等的根，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $