精品解析：2025年浙江省温州市龙港市九年级中考数学二模试卷

2025年龙港市九年级学生学科素养检测 数学试卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，有三大题，24小题．全卷满分120分．考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无放． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 祝你成功！ 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个进项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 温州某一天的天气预报如图所示，这一天最高温度与最低温度的差为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由个完全相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ） A B. C. D. 3. 2024年温州累计发放个人住房贷款约10820000万元，数据10820000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某班的7名同学1分钟垫排球个数（单位：个）分别为38，38，40，41，42，42，42，这组数据的众数是（ ） A. 38 B. 40 C. 41 D. 42 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C；直线分别交，，于点D，E，F．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 某种礼花弹导火索燃烧的速度是，点导火索的人需在礼花燃放前跑到以外的安全区域．如果人跑开的速度是，这根导火索至少应多长？设这根导火索的长度为，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接，．若，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 9. 已知点，在一次函数（k，b都是常数，且）图象上，，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在中，分别是，中点，是对角线上一点（点不与端点重合），过点作交于点，交于点．连结，，若已知的面积，则一定能求出（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 的面积 D. 的面积 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________ 12. 化简：______． 13. 如图，在中，，，将绕着点C顺时针旋转得到，连接，则度数为______． 14. 某班级组织内部抽奖活动，共准备50张奖券，设一等奖5个，二等奖10个，三等奖20个，每张奖券获奖的可能性相同，则一张奖券中奖的概率是______． 15. 如图，是的直径，，D是的中点，．若，则的长为______． 16. 新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“孪生抛物线”，例如：抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线（a为常数，且）的“孪生抛物线”为．抛物线的顶点为A，与x轴交于B，C两点，若为直角三角形，则抛物线的表达式为______． 三、解答题（本题有8小题，共2分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 某校七年级计划开展“庆六一”趣味比赛，活动设置包粽子、缝沙包、做风筝和剪窗花四个项目，每名学生限选一项参与．为调查报名情况，现随机抽取了A，B两个班级，已知这两个班级人数相同，根据报名数据绘制了如下统计图， （1）求A，B两个班级报名“做风筝”的学生共有多少人？ （2）本次参加比赛的七年级学生共有400人，根据统计信息，请估计七年级报名“做风筝”的人数． 20. 如图，在中，，是边上的中线，若，，． （1）求的长． （2）求的值． 21. 尺规作图问题： 如图，在中，P是对角线上一点，连结，请按要求完成下列问题： （1）用无刻度直尺和圆规在边上作点Q，连接，使得．（保留作图痕迹，不必写做法） （2）依据你的作图，请说明成立的理由．（要求写出推理过程） 22. 随着夏天的到来，天气变热，蚊子增多．某校对教室采用药薰法进行灭蚊，药物燃烧时，室内空气的含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，室内空气的含药量与成反比例（如图），已知药物点燃后燃尽，此时室内空气的含药量为． （1）求出药物燃尽后y与x之间函数的表达式， （2）从熏药开始经过时，求此时室内空气的含药量是多少？ （3）当室内空气的含药量不低于．且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？ 23. 已知抛物线的顶点坐标为． （1）求b，c的值，并写出函数表达式； （2），在该抛物线上： ①当点M关于抛物线对称轴对称点为N时，求M的坐标； ②若，当时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值． 24. 如图，是以为直径的圆，点C在上，切于点C，于点D，连接． （1）求证：． （2）若，． ①求的长度． ②如图，点P在半径上，连接并延长交于点Q，且，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年龙港市九年级学生学科素养检测 数学试卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，有三大题，24小题．全卷满分120分．考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无放． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 祝你成功！ 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个进项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 温州某一天的天气预报如图所示，这一天最高温度与最低温度的差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． 根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得； ； 故选：C． 2. 如图是由个完全相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从上面看到的图形即可判断求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：几何体的俯视图是， 故选：． 3. 2024年温州累计发放个人住房贷款约10820000万元，数据10820000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 详解】解：10820000； 故选B． 4. 某班的7名同学1分钟垫排球个数（单位：个）分别为38，38，40，41，42，42，42，这组数据的众数是（ ） A. 38 B. 40 C. 41 D. 42 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，根据出现次数最多的数是众数解答． 【详解】解：42出现3次，出现的次数最多， 所以这组数据的众数是42． 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，幂的运算，根据合并同类项的法则，幂的运算法则逐一进行计算判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选B． 6. 如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C；直线分别交，，于点D，E，F．若，，则的长为（ ） A 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 根据平行线分线段成比例定理进行解答即可． 【详解】解：∵， ， ， 故选：C． 7. 某种礼花弹导火索燃烧的速度是，点导火索的人需在礼花燃放前跑到以外的安全区域．如果人跑开的速度是，这根导火索至少应多长？设这根导火索的长度为，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 根据题目要求列出不等式即可． 【详解】解：根据题意可得导火索燃烧完的时间为，人跑开的时间为． ∵人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过以外的安全区域， ∴导火索燃烧完的时间要大于人跑开的时间，即， 故选：A． 8. 如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接，．若，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形和正解三角形，熟练掌握正方形和直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，是解题的关键； 利用全等三角形的性质得到，再根据正方形性质得，证明，得，根据勾股定理得，得，即可得到答案． 【详解】解：∵，，，是四个全等的直角三角形， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 已知点，在一次函数（k，b都是常数，且）的图象上，，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 对k、b的正负进行分类讨论，并分别根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：当时，，且y随x的增大而增大，当，不能确定、的正负，则或，故C、D错误； 当时，，且y随x的增大而增大，， 、均小于0，即，故A选项正确； 当时，，且y随x的增大而减小，， 、均大于0，即，故B选项错误． 故选A． 10. 如图，在中，分别是，的中点，是对角线上一点（点不与端点重合），过点作交于点，交于点．连结，，若已知的面积，则一定能求出（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 的面积 D. 的面积 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，理解等底等高的三角形面积相等是解题的关键． 连接，过点作交于点，过点作交于点，易证，可得，进而得到，由，，得到，即得到结论． 【详解】解：连接，过点作交于点，过点作交于点， 由题意可知，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴上的点到上的点距离相同， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴已知的面积，则一定能求出的面积， 故选：B． 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 化简：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了同分母的分式的运算，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则． 直接进行同分母的加减运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 13. 如图，在中，，，将绕着点C顺时针旋转得到，连接，则的度数为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，证明，，，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：在中，，，将绕着点C顺时针旋转得到， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 14. 某班级组织内部抽奖活动，共准备50张奖券，设一等奖5个，二等奖10个，三等奖20个，每张奖券获奖的可能性相同，则一张奖券中奖的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，随机事件的概率等于事件可能出现的结果数除以所有的可能出现的结果数．直接利用概率公式求解． 【详解】解：根据随机事件概率公式得； 1张奖券中奖的概率为， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，，D是的中点，．若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定和性质，弧长公式，连接、，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接、， ∵，， ∴， ∵D是中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“孪生抛物线”，例如：抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线（a为常数，且）的“孪生抛物线”为．抛物线的顶点为A，与x轴交于B，C两点，若为直角三角形，则抛物线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数中的新定义问题．理解新定义的意义是解决本题的关键．先求出抛物线为，可得，设得出，从而求得，由为直角三角形，可得，再列出方程求解即可． 【详解】解：抛物线（a为常数，且）的“孪生抛物线”为， 抛物线为， ， ， 设 令，则， ， ， 由抛物线的对称性得 为等腰直角三角形， ， ， 解得：或舍去， 抛物线， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共2分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据算术平方根，绝对值，负整数指数幂进行计算，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． 19. 某校七年级计划开展“庆六一”趣味比赛，活动设置包粽子、缝沙包、做风筝和剪窗花四个项目，每名学生限选一项参与．为调查报名情况，现随机抽取了A，B两个班级，已知这两个班级人数相同，根据报名数据绘制了如下统计图， （1）求A，B两个班级报名“做风筝”的学生共有多少人？ （2）本次参加比赛的七年级学生共有400人，根据统计信息，请估计七年级报名“做风筝”的人数． 【答案】（1）人 （2）人 【解析】 【分析】本题考查是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用总人数乘以B班报名“做风筝”学生人数所占的百分比求出B班报名“做风筝”的学生人数，然后加上A班报名“做风筝”的学生人数即可求解； （2）用400乘以样本中“做风筝”的人数所占的百分百求解即可． 【小问1详解】 解：B班报名“做风筝”的学生人数为（人） A，B两个班级报名“做风筝”的学生共有（人）； 【小问2详解】 解：人 估计七年级报名“做风筝”的人数为（人）． 20. 如图，在中，，是边上的中线，若，，． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确理解三角函数的意义是解题的关键． （1）利用勾股定理求得，再解直角三角形即可； （2）利用是边上的中线求得，再求． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∵， ， ； 【小问2详解】 解：是边上的中线， ∴， ∴， ∴． 21. 尺规作图问题： 如图，在中，P是对角线上一点，连结，请按要求完成下列问题： （1）用无刻度直尺和圆规边上作点Q，连接，使得．（保留作图痕迹，不必写做法） （2）依据你的作图，请说明成立的理由．（要求写出推理过程） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）以D为圆心，以为半径画弧，与的交点Q即为所求； （2）由平行四边形的性质可得，即；再证明可得，即，最后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图：点Q即为所求． 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 随着夏天的到来，天气变热，蚊子增多．某校对教室采用药薰法进行灭蚊，药物燃烧时，室内空气的含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，室内空气的含药量与成反比例（如图），已知药物点燃后燃尽，此时室内空气的含药量为． （1）求出药物燃尽后y与x之间函数的表达式， （2）从熏药开始经过时，求此时室内空气的含药量是多少？ （3）当室内空气的含药量不低于．且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？ 【答案】（1） （2）此时空气中的含药量是 （3）本次灭蚊有效，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是正确分析图象． （1）设药物燃尽后的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可； （3）将代入得到，然后 由图可得，时，，进而求解即可． 【小问1详解】 设药物燃尽后的函数表达式为， 由题意得，当时，， ∴， ∴函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， 答：此时空气中的含药量是； 【小问3详解】 此次灭蚊是有效，理由如下 当时，，得， 由图可得，时，， ∴， ∴本次灭蚊有效． 23. 已知抛物线的顶点坐标为． （1）求b，c的值，并写出函数表达式； （2），在该抛物线上： ①当点M关于抛物线对称轴的对称点为N时，求M的坐标； ②若，当时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值． 【答案】（1），， （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性质及二次函数的最值，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用顶点坐标公式代入求解即可； （2）①利用对称性质求解即可；②先求出． 再分为（ⅰ）当时， （ⅱ）当时，两种情况进行求解，进而解决问题． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴ ∴二次函数为或． 【小问2详解】 解：①由题意得，解得． ∴， ∴． ②∵， ∴， ∴． （ⅰ）当时，当时函数取到最大值，最小值是9， ∴， 得， （ⅱ）当时，当时函数取到最大值，时函数取到最小值， ∴， ∴， ∴ 综上所述，m的值为或． 24. 如图，是以为直径的圆，点C在上，切于点C，于点D，连接． （1）求证：． （2）若，． ①求的长度． ②如图，点P在半径上，连接并延长交于点Q，且，连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）①；②见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由切线性质得，结合证，得，再利用推出，从而证得．． （2）①连接，利用两角相等证明与相似，再根据相似三角形对应边成比例求出长度．②法一，：作、，由相似三角形得线段比例关系，结合三角函数推出，根据及过圆心证垂直平分，得．法二：在上取点构造相似三角形，推出，根据边的比例关系确定与重合，再由及过圆心证垂直平分，得． 【小问1详解】 证明：连接． ∵切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：①连接． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． ②法一：连接，延长交于H，作交于M，交AB于N， ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴ 设，则， ∵，，是以为直径的圆， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，过圆心O， ∴且平分CB， ∴． 法二：连接，在上取一点G，使得，连接并延长交于H， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，，是以为直径的圆， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴Q点与O点重合， ∵，过圆心O， ∴且平分CB， ∴． 【点睛】本题考查圆的切线性质、平行线性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形性质以及三角函数等知识，解题关键是通过合理作辅助线，利用相关性质和定理进行角与边关系的推导． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$