专题13 一元一次不等式全章复习（三大考点9种题型+过关训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版2024）

专题13 一元一次不等式全章复习 目录 【题型一 不等式及其解集】 2 【题型二 不等式的基本性质】 2 【题型三 一元一次不等式的概念】 2 【题型四 求一元一次不等式的解集】 3 【题型五 一元一次不等式的应用】 3 【题型六 求不等式组的解集】 4 【题型七 由不等式组的解的情况求参数或参数的取值范围】 4 【题型八 不等式组和方程组的综合问题】 5 【题型九 一元一次不等式组的应用】 5 【题型一 不等式及其解集】 例题：（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川内江·期中）“与的2倍的差不大于27”用不等式表示为 ． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【题型二 不等式的基本性质】 例题：（24-25七年级下·重庆万州·期中）若，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的是（   ） A．一定大于 B．一定大于a C．一定大于 D．一定不小于 2．（24-25七年级下·上海·期中）比较大小：如果那么 b．（填“”或“”） 【题型三 一元一次不等式的概念】 例题：（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各式属于一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【题型四 求一元一次不等式的解集】 例题：（24-25七年级下·重庆万州·期中）不等式的解集为 ． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）不等式的负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 【题型五 一元一次不等式的应用】 例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）某学校举办知识竞赛，共有20道题，答对1道题得10分，答错或不答都扣5分．小聪要想得分不低于140分，他至少要答对多少道题？设小聪答对a道题，根据题意，可列不等式 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·重庆万州·期中）某水果批发商以10元的价格购进了的高档水果进行批发销售，前三天按照批发价元（为整数）的价格售出了一半，然后按照批发价的八折销售完剩余的水果．为了使销售完这批水果后获得的总利润率不低于，则的最小值为 ． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）“小麦绕村苗郁郁，柔桑满陌椹累累．”宋朝诗人陆游在《闲咏》一诗中咏诵的“小麦”是河南省北方地区种植的重要农作物．已知某市今年种植“专用品种小麦”和“一般品种小麦”共260万亩，其中“一般品种小麦”的种植面积比“专用品种小麦”的种植面积的3倍还多20万亩．请回答下列问题： (1)求该市今年“专用品种小麦”和“一般品种小麦”的种植面积； (2)若“专用品种小麦”的亩产量是300千克，要保证该市小麦的总产量不低于110万吨，则“一般品种小麦”的亩产量至少是多少千克？ 【题型六 求不等式组的解集】 例题：（2025·广东清远·二模）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·湖北襄阳·一模）不等式组的解集为 ． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）解不等式组：．并写出它所有的非负整数解． 【题型七 由不等式组的解的情况求参数或参数的取值范围】 例题：（24-25八年级下·陕西西安·期中）若不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果不等式组有解，那么m的取值范围是 ． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【题型八 不等式组和方程组的综合问题】 例题：（24-25八年级下·广东梅州·期中）关于x，y的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·吉林长春·期中）若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 2．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【题型九 一元一次不等式组的应用】 例题：（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ． 2．（24-25九年级下·广东茂名·期中）某网店推出甲、乙两种纪念文化衫，已知每件甲种纪念文化衫的进价比乙种纪念文化衫多元，若该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元． (1)甲、乙两种纪念文化衫每件的进价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，则该网店共有几种进货方案？ 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川内江·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组的解集为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）近日，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在今年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则x满足的不等关系为(   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知，则下列不等式变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是(   ) A．或 B． 或 C．或 D． 或 二、填空题 6．（2025七年级下·全国·专题练习）根据下列数量关系列不等式：的倍不大于的不等式是 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于m的不等式可化为，则m的取值范围为 ． 8．（24-25七年级下·四川内江·期中）某校组织七年级同学到教育基地学习，在安排男生宿舍时如果每间宿舍住4人，则还剩22人未住下，如果每间宿舍住8人，则没有空房，且有一间宿舍未住满，则该校七年级有 名男生参加学习？ 9．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知关于x的不等式组有2个整数解，则m的取值范围是__________________． 10．（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知关于，的方程组的解满足，则的取值范围为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·吉林长春·期中）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子个和乙种品牌毽子个共需元；购买甲种品牌毽子个和乙种品牌毽子个共需元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共个，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的倍且不超过乙种品牌毽子数量的倍，则有几种购买方案？ 12．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式或不等式组： (1)； (2)解不等式组；． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y都为非负数，求a的取值范围． 15．（2025·广东珠海·一模）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元． (1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ (2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 一元一次不等式全章复习 目录 【题型一 不等式及其解集】 2 【题型二 不等式的基本性质】 3 【题型三 一元一次不等式的概念】 4 【题型四 求一元一次不等式的解集】 5 【题型五 一元一次不等式的应用】 7 【题型六 求不等式组的解集】 9 【题型七 由不等式组的解的情况求参数或参数的取值范围】 10 【题型八 不等式组和方程组的综合问题】 12 【题型九 一元一次不等式组的应用】 15 【题型一 不等式及其解集】 例题：（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题主要考查了不等式的定义，正确理解不等式的定义是解决问题的关键．根据不等式的定义对题目中所给出的式子逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：①；②；⑤，是不等式，共3个， ③是等式，④是代数式． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川内江·期中）“与的2倍的差不大于27”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式是解题的关键．根据“与的2倍的差不大于27”列出不等式即可． 【详解】解：“与的2倍的差不大于27”用不等式表示为． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项． 【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误； B、是不等式的解，故原说法错误； C、是不等式的一个解，故原说法正确； D、不是不等式的解集，故原说法错误； 故选C． 【题型二 不等式的基本性质】 例题：（24-25七年级下·重庆万州·期中）若，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A．∵， ∴，则此项正确，符合题意； B．∵， ∴，则此项错误，不符题意； C．∵， ∴，则此项错误，不符合题意； D．∵， ∴，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的是（   ） A．一定大于 B．一定大于a C．一定大于 D．一定不小于 【答案】D 【分析】此题考查了不等式的性质，完全平方公式，根据不等式的性质，完全平方公式逐项分析判断即可． 【详解】解：A、当时，， ∴不一定大于，故选项错误； B、当是，， ∴不一定大于，故选项错误； C、当，， ∴不一定大于，故选项错误； D、∵ ∴ ∴ ∴一定不小于，故选项正确； 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海·期中）比较大小：如果那么 b．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.根据不等式的性质解答即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：. 【题型三 一元一次不等式的概念】 例题：（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各式属于一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，用不等号连接，只含有一个未知数的，且未知数的次数为1，系数不为0，不等号两边都是整式的式子叫做一元一次不等式，据此可得答案． 【详解】解：由一元一次不等式的定义可知，四个选项中只有D选项中的式子是一元一次不等式， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式”． 【详解】解：A、不是一元一次不等式，故不符合题意； B、不是一元一次不等式，故不符合题意； C、是一元一次不等式，故符合题意； D、不是一元一次不等式，故不符合题意； 故选C． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键．根据一元一次不等式的定义可知，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得：． 故答案为：． 【题型四 求一元一次不等式的解集】 例题：（24-25七年级下·重庆万州·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤对不等式进行求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）不等式的负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查的是解不等式，在解不等式的时候，如果两边同时乘以或除以一个负数时，不等符号需要改变． 不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，求出解集，确定出所求即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 不等式的负整数解为共3个． 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解不等式，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，； （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得，． 【题型五 一元一次不等式的应用】 例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）某学校举办知识竞赛，共有20道题，答对1道题得10分，答错或不答都扣5分．小聪要想得分不低于140分，他至少要答对多少道题？设小聪答对a道题，根据题意，可列不等式 ． 【答案】 【分析】先得小聪答对题的得分为；小明答错或不答题的得分为．再结合不等关系：不低于140分，进行列式．由此即可解答．本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，此题要特别注意：答错或不答都扣5分．不低于即大于或等于． 【详解】解：∵设小聪答对a道题，共有20道题，答对1道题得10分，答错或不答都扣5分 ∴ 故答案是：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·重庆万州·期中）某水果批发商以10元的价格购进了的高档水果进行批发销售，前三天按照批发价元（为整数）的价格售出了一半，然后按照批发价的八折销售完剩余的水果．为了使销售完这批水果后获得的总利润率不低于，则的最小值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据销售这批水果的总利润率不低于，可列出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为14． 故答案为：14． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）“小麦绕村苗郁郁，柔桑满陌椹累累．”宋朝诗人陆游在《闲咏》一诗中咏诵的“小麦”是河南省北方地区种植的重要农作物．已知某市今年种植“专用品种小麦”和“一般品种小麦”共260万亩，其中“一般品种小麦”的种植面积比“专用品种小麦”的种植面积的3倍还多20万亩．请回答下列问题： (1)求该市今年“专用品种小麦”和“一般品种小麦”的种植面积； (2)若“专用品种小麦”的亩产量是300千克，要保证该市小麦的总产量不低于110万吨，则“一般品种小麦”的亩产量至少是多少千克？ 【答案】(1)该市今年“专用品种小麦”的种植面积为60万亩，“一般品种小麦”的种植面积为200万亩； (2)“一般品种小麦”的亩产量至少是460千克． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设该市今年“专用品种小麦”的种植面积为万亩，“一般品种小麦”的种植面积为万亩，根据“今年种植“专用品种小麦”和“一般品种小麦”共260万亩，其中“一般品种小麦”的种植面积比“专用品种小麦”的种植面积的3倍还多20万亩”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设“一般品种小麦”的亩产量是千克，该市小麦的总产量不低于110万吨，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该市今年“专用品种小麦”的种植面积为万亩，“一般品种小麦”的种植面积为万亩． 根据题意，得 解得 答：该市今年“专用品种小麦”的种植面积为60万亩，“一般品种小麦”的种植面积为200万亩； （2）解：设“一般品种小麦”的亩产量是千克． 由题可得． 解得． 答：“一般品种小麦”的亩产量至少是460千克． 【题型六 求不等式组的解集】 例题：（2025·广东清远·二模）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别算出每个不等式组的解集，再取它们公共部分的解集，然后再在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解：∵， ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如图所示． 故选A． 【变式训练】 1．（2025·湖北襄阳·一模）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集确定的原则确定不等式组的解集即可．解题的关键是掌握确定一元一次不等式组解集的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）解不等式组：．并写出它所有的非负整数解． 【答案】该不等式组的解集为，所有非负整数解是0，1． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，正确得出两个不等式的解集是解题关键． 先分别得出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可得不等式组的解集，进而可得不等式组的非负整数解． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴该不等式组的解集为， ∴该不等式组的所有非负整数解是0，1． 【题型七 由不等式组的解的情况求参数或参数的取值范围】 例题：（24-25八年级下·陕西西安·期中）若不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查已知不等式组的解集，求字母的取值范围，根据不等式组的解集得到，求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 故选：C 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果不等式组有解，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式组的含参问题，明确不等式组有解的情况是解决本题的关键． 根据不等式组有解得到两个不等式有公共部分求解即可． 【详解】∵不等式组有解， ∴不等式和有公共部分， ∴m的取值范围是． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组有4个整数解， ∴不等式组的解集为，且4个整数解为：2，1，0，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型八 不等式组和方程组的综合问题】 例题：（24-25八年级下·广东梅州·期中）关于x，y的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得，然后根据已知易得，，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ①②得：， ∵， ∴， 解得：； （2）解：， 解得， ∵、均为非负数， ∴，， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为，最小值为． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·吉林长春·期中）若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组： 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组和方程组的方法，准确计算． （1）先解方程组得出，然后根据x为非正数，y为负数得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可； （2）先将不等式整理为，然后根据不等式的解集为，得出，求出，根据，得出不等式的解集，根据取整数，可得． 【详解】（1）解： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为， 为非正数，为负数， ， ， 解得， 的取值范围是． （2）解：将不等式整理，得， 其解集为， ， 解得， ． 结合取整数，可得， 即当时，不等式的解集为 【题型九 一元一次不等式组的应用】 例题：（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，设购买A型污水处理设备a台，则设购买B型污水处理设备台，根据购买资金不超过106万元可得，根据污水处理量不低于1930吨可得，据此可得答案． 【详解】解：设购买A型污水处理设备a台， 由题意得，， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 2．（24-25九年级下·广东茂名·期中）某网店推出甲、乙两种纪念文化衫，已知每件甲种纪念文化衫的进价比乙种纪念文化衫多元，若该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元． (1)甲、乙两种纪念文化衫每件的进价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，则该网店共有几种进货方案？ 【答案】(1)甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元； (2)该网店共有种进货方案 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、二元一次不等式组的应用． 设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元，根据该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元，可列一元一次方程：，解方程即可求出两种文化衫的单价； 设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件，根据该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，可列关于的一元一次不等式组，解不等式组可得：，又因为为正整数，从而可得：，，，所以共有种进货方案． 【详解】（1）解：设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元， 由题意得：， 解得：， 元， 答：甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元； （2）解：设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件， 由题意得：， 解得：， 为整数， 的值为：，，， 该网店共有3种进货方案． 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川内江·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解，并不解集表示在数轴上，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是关键． 根据不等式的性质求解不等式的解集，再把解集表示在数轴上，由此得到解集即可． 【详解】解：， 解①得，， ∴不等式的解集为， ∴解集表示在数轴上如图所示， 故选：A ． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组的解集为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解集与两个不等式解集间的关系是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集确定的取值范围． 【详解】解：由不等式得，由不等式得， ∵不等式组的解集为， ， 解得：， 故选：A． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）近日，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在今年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则x满足的不等关系为(   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找准各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 利用工作总量工作效率工作时间，结合完成平整土地的任务所用时间不超过3小时，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：C． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知，则下列不等式变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．利用不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、， ， 故A不符合题意； B、， ， 故B不符合题意； C、， ， 故C不符合题意； D、，， ， 故D符合题意； 故选：D． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是(   ) A．或 B． 或 C．或 D． 或 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次不等式，注意分情况讨论是解题的关键．分当，即时，当，即时，两种情况，根据题目所给的新定义建立关于x的不等式进行求解即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选C． 二、填空题 6．（2025七年级下·全国·专题练习）根据下列数量关系列不等式：的倍不大于的不等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于m的不等式可化为，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质：不等式的两边同时乘（或除一个不为0的）负数，不等号方向改变，观察已知条件中的不等式和其解集，然后根据不等式的性质列出关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于m的不等式可化为， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川内江·期中）某校组织七年级同学到教育基地学习，在安排男生宿舍时如果每间宿舍住4人，则还剩22人未住下，如果每间宿舍住8人，则没有空房，且有一间宿舍未住满，则该校七年级有 名男生参加学习？ 【答案】46或50 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组并正确求出整数解是解题关键． 设共有宿舍x间，则共有男生名，根据“如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数即可确定x的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设共有宿舍x间，则共有男生名， 依题意得：， 解得：， 又∵x为整数， ∴x可以为6或7． 当时，； 当时，． ∴该校七年级有46或50名男生参加学习． 故答案为：46或50． 9．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知关于x的不等式组有2个整数解，则m的取值范围是__________________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集是：． 不等式组有2个整数解，则整数解是1，2． 则, 则． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知关于，的方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解得情况，求参数的取值范围．将两个二元一次方程相加，得到的值，根据，求出的取值范围即可． 【详解】解： 得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·吉林长春·期中）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子个和乙种品牌毽子个共需元；购买甲种品牌毽子个和乙种品牌毽子个共需元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共个，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的倍且不超过乙种品牌毽子数量的倍，则有几种购买方案？ 【答案】(1)购买一个甲种品牌毽子需要元，购买一个乙种品牌毽子需要元 (2)共有4种方案，见详解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设购买一个甲种品牌毽子需要元，购买一个乙种品牌毽子需要元，由此列方程组求解即可； （2）设购买了甲种品牌毽子个，则购买乙种品牌毽子个，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个甲种品牌毽子需要元，购买一个乙种品牌毽子需要元， ∴， 解得，， ∴购买一个甲种品牌毽子需要元，购买一个乙种品牌毽子需要元； （2）解：购买甲、乙两种品牌毽子共个， ∴设购买了甲种品牌毽子个，则购买乙种品牌毽子个， ∴，， 解得，，， ∴， ∴购买甲种品牌毽子时，购买乙种品牌毽子个， 购买甲种品牌毽子时，购买乙种品牌毽子个， 购买甲种品牌毽子时，购买乙种品牌毽子个， 购买甲种品牌毽子时，购买乙种品牌毽子个， ∴共有4种方案． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式或不等式组： (1)； (2)解不等式组；． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，以及一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：． 所以不等式组的解集为． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y都为非负数，求a的取值范围． 【答案】 【分析】先求得方程组的解，后根据解的属性建立不等式组，解答即可． 此题考查了利用方程组的解的情况求参数，加减法解二元一次方程组，正确理解方程组的解是非负数得到不等式组是解题的关键． 【详解】解：由， 解得， 由解x，y都为非负数，得， 解不等式组，得， 故a的取值范围是． 15．（2025·广东珠海·一模）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元． (1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ (2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？ 【答案】(1)匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元 (2)①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个 【分析】本题考查了二元一次方程组组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键． （1）设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元，根据购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元列方程组求解即可； （2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个，根据匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元 由题意得： 解得： 答：匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元． （2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个． 由题意得：， 又取正整数， 可取5，6 当时，匹克球数量为：个； 当时，匹克球数量为：个． 答：满足条件的采购方案有两种：①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$