精品解析：福建省泉州第一中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷-

2024-2025学年福建省泉州一中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 点A（﹣3，4）关于y轴对称点坐标（　　） A. （﹣3，﹣4） B. （3，﹣4 ） C. （﹣3，4） D. （3，4） 3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. （k、b是常数） D. 5. 如果点，，都在反比例函数的图象上，那么，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若分式的值为0，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 7. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 8. 函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，对角线相交于点，过点作，交于点，则的长是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 10. 如图，分别以的三边为一边作，，，且点D，E分别在上．若，的面积分别为，，则的面积为（ ） A B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 将直线向上平移4个单位，所得到的直线为______． 12. 如图，在中，对角线和相交于点O，如果，，，那么m的取值范围是________． 13. 已知到轴和轴的距离相等，则等于______． 14 如图，中，AE平分，，则等于______． 15. 若，则_______． 16. 如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 计算：． 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中a=2． 20. 如图，将平行四边形的边延长至点E，使，连接交于点O，连接，若．求证：四边形是矩形． 21. 本学期初二年级举办了篮球比赛，为了让参赛的运动员更好地训练，体育组计划购买甲，乙两种品牌的篮球，已知甲品牌篮球的单价比乙品牌篮球的单价低40元，且用4800元购买甲品牌篮球的数量是用4000元购买乙品牌篮球数量的倍．求甲、乙两种品牌篮球的单价． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 23. 对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点的“系雅培点”； 例如：的“3系雅培点”为，即． （1）点的“2系雅培点”的坐标为 ； （2）若点在轴的正半轴上，点的“系雅培点”为点，若在中，，求的值； （3）已知点在第四象限，且满足；点是点的“系雅培点”，若分式方程无解，求的值． 24. 如图，平行四边形中，．点是线段的中点．过点作交于点，延长线交于点．且． （1）如图1，①求证：； ②若．求的值； （2）如图2，连接．求证：． 25. 已知反比例函数和的图像如图1所示，点D为函数图像上一点，过点D作x、y轴平行线，交函数图像于点A、B．点C在延长线上，且． （1）若点，，求点B和点C的坐标． （2）若点C在y轴上，求的值； （3）如图2，以为邻边作，且，证明：点三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年福建省泉州一中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义，则分母不为零是解题的关键． 根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：B． 2. 点A（﹣3，4）关于y轴对称的点坐标（　　） A （﹣3，﹣4） B. （3，﹣4 ） C. （﹣3，4） D. （3，4） 【答案】D 【解析】 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解. 【详解】解:点A（﹣3，4）关于y轴对称的点坐标（3，4）． 故选:D． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式（其中为正整数，的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数）． 确定和的值来用科学记数法表示0.0000000256． 【详解】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则． 原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以， 那么0.0000000256用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. （k、b是常数） D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如（k、b常数，）的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可知，只有D选项中的函数是一次函数， 故选：D． 5. 如果点，，都在反比例函数的图象上，那么，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象和性质，根据 可知反比例函数在第二，四象限内y随着x的增大而增大，且在第二象限，在第四象限，进一步判断即可。 【详解】解：∵, ∴反比例函数在第二，四象限内y随着x的增大而增大，且在第二象限，在第四象限，, ∴，，， 又∵， ∴, ∴． 故选：D 6. 若分式的值为0，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0的内容，当分式的值为0时，即分子为，分母不为，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选：B． 7. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、，，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可得四边形是平行四边形，符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：． 8. 函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，分当时，当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意， 故选：C． 9. 如图，在矩形中，，对角线相交于点，过点作，交于点，则的长是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．连接，由矩形的性质可得，，，，由，，可知垂直平分，则可得；设，则，在中，由勾股定理得关于x的方程，求解即可． 【详解】解：连接，如图： 在矩形中，， ∴，，，， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． ∴的长为3． 故选：A． 10. 如图，分别以的三边为一边作，，，且点D，E分别在上．若，的面积分别为，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，过A作交BD的延长线于M，于N，由平行四边形的性质推出，，则可证明，、A、N共线，再由平行四边形的性质得到的面积，的面积，进而可证明，据此可得答案． 【详解】解：过A作交的延长线于M，于N， 四边形是平行四边形， ∴，， ， 、A、N共线， 四边形是平行四边形， 的面积， 同理：的面积， 的面积的面积， 的面积，的面积， 的面积的面积， ， 平行四边形的面积 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 将直线向上平移4个单位，所得到的直线为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何变换的知识点，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化．平移时k的值不变，只有b发生变化，向上平移，只须改变b的值即可． 【详解】解：原直线的，； 向上平移4个单位长度得到了新直线，那么新直线的， 新直线的解析式为， 故答案为 12. 如图，在中，对角线和相交于点O，如果，，，那么m的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，平行四边形的性质，先证明，，再利用三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 故答案为． 13. 已知到轴和轴的距离相等，则等于______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．根据到轴和轴的距离相等列方程，并解方程即可． 【详解】解：由题意得， 或 解得或 故答案为：或． 14. 如图，中，AE平分，，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，熟记平行四边形的性质，角平分线的定义是解题的关键．根据平行四边形的性质结合角平分线的定义即可推出结果． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 又平分， ， ， 故答案为：． 15. 若，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，等式的性质等知识，先判断出，然后等式两边同除以a，得到，然后两边同时平方，根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：当时，左边右边， ∴， ∴两边同除以a，得， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：6． 16. 如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，角平分线的性质，正方形的判定和性质等，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，作交的延长线于点，由角平分线的性质可得，即可得四边形是正方形，由勾股定理得，由对称可得，，设，则，，可得，，即得，可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，作交的延长线于点， ，，， ∴四边形是矩形， 平分，，， ， 又平分，，， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∵点，， ∴，， ∴在中，， 由对称可得，，， 设，则，， ∴，， ， ， ， ， ， 故答案为： 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和，先计算负整数指数幂、零次幂和绝对值，再计算加减． 【详解】解：， ， 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： ， 检验，当时，， ∴时原分式方程的解． 19. 先化简，再求值：，其中a=2． 【答案】 ，4． 【解析】 【分析】先进行分式的除法运算，再进行分式的加减法运算，化简后把数值代入进行计算即可得. 【详解】原式= = =， 当a=2时，原式===4． 20. 如图，将平行四边形的边延长至点E，使，连接交于点O，连接，若．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，再由，可得，可得四边形是平行四边形，再由，可得，从而得到，即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质定理，矩形的判定定理是解题的关键． 21. 本学期初二年级举办了篮球比赛，为了让参赛的运动员更好地训练，体育组计划购买甲，乙两种品牌的篮球，已知甲品牌篮球的单价比乙品牌篮球的单价低40元，且用4800元购买甲品牌篮球的数量是用4000元购买乙品牌篮球数量的倍．求甲、乙两种品牌篮球的单价． 【答案】甲、乙两种品牌篮球的单价分别为160元，200元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意找到等量关系式及不等关系式是解题的关键．设甲品牌篮球的单价为x元，则乙品牌篮球的单价为元，根据用4800元购买甲品牌篮球的数量是用4000元购买乙品牌篮球的数量的倍列方程即可得到答案． 【详解】解：设甲品牌篮球的单价为x元，则乙品牌篮球的单价为元， 由题意可得， 解得：， 经检验是原方程的解， 则， 答：甲、乙两种品牌篮球的单价分别为160元，200元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，函数与三角形的面积问题； （1）将代入，即可确定，将点代入可确定点坐标，将，坐标代入，即可确定一次函数表达式； （2）先求出一次函数与轴交点坐标，可以得到的长度，通过设点坐标为，再利用三角形面积建立等量关系即可确定点坐标； 【小问1详解】 解：将代入，得：， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入，可得， ∴． 把，代入，得， 解得： ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 一次函数表达式为， 令，则，． ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ∵， ， 解得：或， 又∵点在第三象限， ∴点坐标为． 23. 对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点的“系雅培点”； 例如：的“3系雅培点”为，即． （1）点的“2系雅培点”的坐标为 ； （2）若点在轴的正半轴上，点的“系雅培点”为点，若在中，，求的值； （3）已知点在第四象限，且满足；点是点“系雅培点”，若分式方程无解，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了新定义的运算法则，解分式方程，以及点的坐标问题，解题的关键是掌握新定义的运算法则，弄清题意，找到解题的突破口． （1）根据新定义的运算法则，即可求出的坐标； （2）设点P的坐标为，根据“k系雅培点”的概念求出点的坐标，结合列出方程，即可求出k的值； （3）根据点A是点的“系雅培点”，且点A在第四象限，结合，求出的值，根据分式方程无解分两种情况，即可求出c的值． 【详解】解：（1）根据题意，∵， ∴点P的“2系雅培点”的坐标为：， ∴的坐标为：（8，4）； 故答案为（8，4）； （2）根据题意，设点P的坐标为：， ∴点P的“k系雅培点” 为：， 即点为：， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵点A是点的“系雅培点”， ∴点A为：， ∵， 则， 整理得：， ∵点A在第四象限， ∴， ∴； 解分式方程，得， ①当时，方程无解； ②当时，方程无解； 即 解得：； 综上所述，或． 24. 如图，平行四边形中，．点是线段的中点．过点作交于点，延长线交于点．且． （1）如图1，①求证：； ②若．求的值； （2）如图2，连接．求证：． 【答案】（1）①见解析；②的值为1 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据平行四边形的性质得出，，，即可推出结论；②证明，推出，可得结论． （2）如图1中，过点作于，交的延长线于．过点作交的延长线于，连接，设交于．证明是等腰直角三角形，即可解决问题． 【小问1详解】 ①证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，即； ②解：， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点F作于J，交的延长线于过点D作交的延长线于T，连接，设交于 ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，题目有一定难度． 25. 已知反比例函数和的图像如图1所示，点D为函数图像上一点，过点D作x、y轴平行线，交函数图像于点A、B．点C在延长线上，且． （1）若点，，求点B和点C的坐标． （2）若点C在y轴上，求的值； （3）如图2，以为邻边作，且，证明：点三点共线． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据，，得出 ，进而得出，即可求出，再根据等腰三角形的性质，求出，则； （2）设，则，根据等腰三角形的性质得出，则，得出，即可求出； （3）设，，根据，得出，易证：，， ，用待定系数法求出：，即可求证． 【小问1详解】 解：∵，，轴， ∴， 把代入得：， ∴， ∵，轴， ∴点B的横坐标为， 把代入得：， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：设，则 当点C在y轴上时，， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴； 【小问3详解】 解：设， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 把代入得：， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 设的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴的函数表达式为， 把代入得：， ∴点E在直线上， ∴点C、E、O三点共线． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，等腰三角的性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，掌握等腰三角形“三线合一”，平行四边形对边平行且相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$