精品解析：辽宁省七校协作体2024-2025学年高二下学期5月期中联考数学试卷

2024-2025学年度（上）七校协作体5月高二联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题校：瓦房店市高级中学 葫芦岛市第一高级中学 第一部分（客观题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（ ） X 0 1 2 3 P a 5a A. B. C. D. 2. 设等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 27 D. 48 3. 已知函数（是的导函数），则（ ） A 1 B. 2 C. D. 4. 等差数列和的前项和分别记为与，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（ ） A. 0.02 B. 0.98 C. 0.049 D. 0.05 6. 针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能是（ ） 附:. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 48 B. 54 C. 60 D. 66 7. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 2 8. 高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2023 D. 2024 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. D. 设函数且，则 10. 已知数列前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若是等比数列，则 B. 若，则 C. 若等差数列， ，若，则 D. 若，，则 11. 设一个正方体，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个相邻顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 第二部分（主观题共92分） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某种零件的尺寸（单位：mm）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为______． 13. 甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不高于甲以获胜的概率，则的取值范围为________. 14. 已知数列的首项为2，前项和为，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为________. 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等比数列中，，数列的前n项和. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前n项和，求. 16. 某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. （1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格概率； （2）求离散型随机变量的分布列与期望. 17. 当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表． 1 2 3 4 5 6 1 1.5 3 6 12 （1）公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位） （2）根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少? 经验回归方程 残差平方和 参考公式及数据：，，，，，，，， ． 18. 已知数列满足，且. （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）在数列中，，，求的通项公式； （3）记数列满足，求数列的前项和. 19. 2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. （1）从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； （2）以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率； （3）若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度（上）七校协作体5月高二联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题校：瓦房店市高级中学 葫芦岛市第一高级中学 第一部分（客观题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（ ） X 0 1 2 3 P a 5a A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列中各概率之和为1求得参数，进一步将所求变形为即可求解. 【详解】由题意，解得， 而. 故选：A. 2. 设等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 27 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件得到，从而得到，再求即可. 【详解】设等比数列的公比为，由，则， 所以，解得， 则有. 故选：C. 3. 已知函数（是的导函数），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过对求导，结合赋值法求得，从而求得，再求结果即可. 详解】由函数，可得， 令，可得，解得， 则，所以. 故选：A. 4. 等差数列和的前项和分别记为与，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列下标和的性质可得，进而代值计算即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 5. 若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（ ） A. 0.02 B. 0.98 C. 0.049 D. 0.05 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率以及对立事件的概率，结合题意写出对应概率，利用全概率公式，可得答案. 【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件， 则 故所求概率，解得. 故选：A. 6. 针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能是（ ） 附:. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 48 B. 54 C. 60 D. 66 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件设男生人数为，结合独立性检验公式得出不等式，根据的取值，即可求解. 【详解】设男生人数为，因为被调查的男、女生人数相同， 所以女生人数也为，根据题意列出列联表： 男生 女生 合计 喜欢冰雪运动 不喜欢冰雪运动 合计 则， 因为依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关， 所以，即，解得，又， 所以B、C、D正确，A错误. 故选：A 7. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图象上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 故选：D 8. 高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2023 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据累加法得到的通项公式，并对进行放缩得到，进而采用裂项相消法解得结果即可. 【详解】由得， 因此数列为首项为，公比为的等比数列，故， 进而根据累加法得： ， 所以， 由， 因为， 又， 所以，令， 所以， 所以， 所以， 代入得，所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列中新概念问题，重点是对的放缩. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. D. 设函数且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】结合导数的求导法则依次求解． 【详解】对于A项，，则，故A项正确； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，由，得，故D项错误； 故选：AC 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若是等比数列，则 B. 若，则 C. 若是等差数列， ，若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由等比数列和的性质列式计算即可；对于B，根据的正负即可去掉绝对值符号，进而代入公式计算即可；对于C，利用等差数列的通项及求和公式计算即可；对于D，由可得是等差数列，代入公式即可求. 【详解】对于A，因为是等比数列， 所以成等比数列， 所以，即，解得，故A错误； 对于B，因为，所以，所以是等差数列， 由得， 所以 ，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为， 因为，所以，故C正确； 对于D， 因为，所以， 所以，又，所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以，所以，故D正确. 故选：BCD 11. 设一个正方体，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个相邻顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由，可判定A正确；再由，得到，得出数列为等比数列，求得，可判定B、D不正确；结合等比数列的求和公式，可判定C正确. 【详解】解：由题意得，所以A正确； 蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则它前一步只有两种情况： ①本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率为； ②若上一步在下底面，第步不在上底面的概率为， 如果爬上来，其概率应为， 所以，整理得，即， 所以数列构成首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以，所以B、D不正确； 因为数列构成首项为，公比为的等比数列， 所以，所以C正确. 故选：AC. 第二部分（主观题共92分） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某种零件的尺寸（单位：mm）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为______． 【答案】1600 【解析】 【分析】解法一：根据题意利用正态分布的对称性求零件合格的概率，进而可得结果；解法二：根据题意利用正态分布的对称性求零件不合格的概率，进而可得结果. 【详解】解法一：因为X服从正态分布，且， 所以该企业生产的该种零件合格的概率， 所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为． 解法二：因为X服从正态分布，且， 所以， 所以该企业生产该种零件不合格的概率为， 所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为． 故答案为：1600. 13. 甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不高于甲以获胜的概率，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求得甲以获胜的概率，甲以获胜的概率，再由求解. 【详解】解：题意可知，甲以获胜的概率为， 甲以获胜的概率为， 因为， 所以， 解得， 故的取值范围为. 故答案为： 14. 已知数列的首项为2，前项和为，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为________. 【答案】7 【解析】 【分析】利用数列和与项的关系、裂项法求数列通项公式、累加法求数列前项和的知识解答即可. 【详解】当时， 故即， 又当时，，则， 故数列为首项为,公比为的等比数列，故的通项公式为 故， 则， 故当时，即，即又可得最小值为. 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等比数列中，，数列的前n项和. （1）求数列通项公式； （2）若数列的前n项和，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出公比，再代入求出，即可求出的通项公式，再根据作差即可求出的通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 在等比数列中，，， 所以， 所以，所以，所以， 又数列的前项和， 当时， 当时， 经检验当时也成立，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， ， 两式相减得， 即， 也即 . 16. 某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. （1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率； （2）求离散型随机变量的分布列与期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为． 【解析】 【分析】（1）设出事件，结合独立事件概率公式和对立事件及互斥事件概率公式求出概率值； （2）根据互斥和独立事件概率求出分布列，进一步求出期望值. 【小问1详解】 记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分，3，”， 则，，； 记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分，3，”， 则，，； 事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”， 则（C）， 则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为． 【小问2详解】 由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，，，，，， 则离散型随机变量的分布列为 2 4 6 8 10 所以数学期望． 17. 当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表． 1 2 3 4 5 6 1 1.5 3 6 12 （1）公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位） （2）根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少? 经验回归方程 残差平方和 参考公式及数据：，，，，，，，， ． 【答案】（1）， （2）②的拟合效果好，预测销售量是千件 【解析】 【分析】（1）根据经验回归方程的求法求得正确答案. （2）通过计算决定系数确定拟合效果较好的方案，并由此进行预测. 【小问1详解】 ， 所以， 所以. 由，两边取以为底的对数得，即， ， 所以，所以. 【小问2详解】 ， 对于，；对于，， 所以②的拟合效果好，当时，预测值千件. 18. 已知数列满足，且. （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）在数列中，，，求的通项公式； （3）记数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式结合等比数列定义证明，再应用通项公式求解； （2）累加法求数列通项公式； （3）先分奇偶项求和再应用错位相减法计算. 【小问1详解】 ， 变形得：， 又，故，所以是首项为3，公比为3的等比数列. 从而，即. 【小问2详解】 由题意可得， 所以当时，，，，， 上式累加可得， ， 又，所以， 当时，满足上式， 所以 【小问3详解】 由（1）、（2）知， 则在前项中， , , 作差得 . . 从而. 19. 2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. （1）从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； （2）以样本频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率； （3）若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 【答案】（1）分布列见解析，； （2）； （3）或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 【解析】 【分析】（1）结合频率分布直方图和分层抽样，可得在中抽4人，在中抽2人，进而可得随机变量的取值，列出分布列，求得期望； （2）由全概率公式，即可求解； （3）由题设得，利用二项分布概率公式及不等性质解决最大概率问题. 【小问1详解】 由直方图可知，分数在中的学生有32人，分数在中的学生有16人， 所以根据分层抽样，在中抽4人，在中抽2人， 则成绩优秀的学生人数可取，所以 ；；. 所以分布列为 0 1 2 则期望. 【小问2详解】 记事件：成绩优秀的学生，事件：高一年级的学生， 由已知条件可知，， 所以. 【小问3详解】 记随机抽取人中竞赛成绩优秀的人数为， 由题意可知，， 所以，令， 则， 令，则，所以时，， 令，则，所以时，， 令，则，所以， 所以当或时，最大，即或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$