精品解析：北京市铁路第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

北京市铁路第二中学2024-2025学年第二学期 高二数学期中考试试卷 （试卷满分150分 考试时长120分钟） 考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题纸交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 在等比数列中， ，则公比q的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 3. 已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 A. 13万件 B. 11万件 C. 9万件 D. 7万件 4. 设数列｛｝的前n项和=，则的值为 A. 15 B. 16 C. 49 D. 64 5. 如果等差数列中，++=12，那么++…+= A. 14 B. 21 C. 28 D. 35 6. 观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则= A. B. C. D. 7. 设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）． A. B. C. D. 8. 一不均匀硬币抛掷一次，正面向上概率为p，设抛掷五次正面向上次数为随机变量X， ，则（ ） A. B. C. D. 9. 设，若函数有大于零的极值点，则（ ） A. B. C. D. 10. 一袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球.则下列结论中不正确的是（ ） A. 取出的最大号码不服从超几何分布 B. 取出的黑球个数服从超几何分布 C. 取出2个白球的概率为 D. 若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 设等比数列的前项和为，若，则________. 12. 若函数在处取极值，则___________ 13. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的一个值可以是__________. 14. 一批排球中正品有个，次品有个，，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，表示抽到的次品个数，则__________；若，则__________. 15. 记数列满足：为的前项和，则下列正确结论的序号是__________. ① ② ③若为奇数，则 ④ 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知是公比为的等比数列，且. （1）求的值； （2）设是首项为2，公差为的等差数列，其前项和为.当时，试比较与的大小. 17. 已知函数． （1）过原点作曲线的切线，求该切线的方程； （2）设，求在的最值． 18. 甲盒子中有以下除颜色和序号外完全相同的六个球：红球（1号），红球（2号），蓝球（3号），蓝球（4号），白球（5号），白球（6号）． （1）从甲盒中摸出一球，摸出红色球和摸出偶数序号球这两事件相互独立吗，回答并给出理由； （2）现有摸球游戏，从甲盒摸出两个球，若颜色不同，记录分数为其序号之和，若颜色相同，记录分数为10，设分数为随机变量X，求X的分布列和均值．并求分数不低于9的条件下，两球颜色相同的概率． 19. 已知函数 （1）若时，求函数在处的切线方程； （2）求函数的极值. 20. 为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立. （1）设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求； （2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列； （3）假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 21. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：有最大值； （3）证明：当时，对任意，都存在正整数，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市铁路第二中学2024-2025学年第二学期 高二数学期中考试试卷 （试卷满分150分 考试时长120分钟） 考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题纸交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数公式求出导数，进而求出指定点的导数值. 【详解】函数，求导得，所以. 故选：A 2. 在等比数列中， ，则公比q的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】，选A. 3. 已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 A. 13万件 B. 11万件 C. 9万件 D. 7万件 【答案】C 【解析】 【详解】解：令导数y′=-x2+81＞0，解得0＜x＜9； 令导数y′=-x2+81＜0，解得x＞9， 所以函数y=- x3+81x-234在区间（0，9）上是增函数， 在区间（9，+∞）上是减函数， 所以在x=9处取极大值，也是最大值，故选C． 4. 设数列｛｝的前n项和=，则的值为 A. 15 B. 16 C. 49 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】利用求解即可. 【详解】因为数列｛｝的前n项和=， 所以， 故选：A. 【点睛】本题主要考查本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式. 5. 如果等差数列中，++=12，那么++…+= A. 14 B. 21 C. 28 D. 35 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：等差数列中，，则 考点：等差数列的前项和 6. 观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则= A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D． 7. 设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：依题意有，解得，所以. 考点：等差数列的基本概念. 【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． 8. 一不均匀硬币抛掷一次，正面向上概率为p，设抛掷五次正面向上次数为随机变量X， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知有，应用二项分布的概率公式及已知列方程求. 【详解】由题意，，即， 所以，可得. 故选：B 9. 设，若函数有大于零的极值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，由导函数有大于0的变号零点求解即可. 【详解】函数，求导得， 依题意，函数有大于0的变号零点，即方程有正根， 此时，因此. 故选：B 10. 一袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球.则下列结论中不正确的是（ ） A. 取出的最大号码不服从超几何分布 B. 取出的黑球个数服从超几何分布 C. 取出2个白球的概率为 D. 若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】利用超几何分布的定义判断AB；求出给定事件的概率判断CD. 【详解】对于AB，超几何分布是反映在个对象（包含个特定对象）中随机不放回取出个对象， 含有特定对象数的概率分布，被取出的个对象中特定对象数是变化的， 任意取出的4个号码，最大号码都只有1个，个数保持不变，不服从超几何分布， 取出的黑球个数服从超几何分布，AB正确； 对于C，取出2个白球的概率为，C错误； 对于D，取出四个黑球的总得分最大，概率为，D正确． 故选：C 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 设等比数列的前项和为，若，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】首先根据，求出，再计算即可. 【详解】当时，，舍去. 当时，，即， 整理得到，. 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查等比数列的前项和的计算，熟练掌握公式为解题的关键，属于简单题. 12. 若函数在处取极值，则___________ 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：=．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3 . 考点：利用导数研究函数的极值． 13. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的一个值可以是__________. 【答案】（答案不唯一，满足均可） 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导函数有正数的零点求得的范围即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由曲线存在垂直于轴的切线，得方程有正根， 因此，所以实数的一个值可以是. 故答案为： 14. 一批排球中正品有个，次品有个，，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，表示抽到的次品个数，则__________；若，则__________. 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】由题意知随机变量，由期望、方差计算公式即可求解. 【详解】每次随机取一个是次品的概率为， 由题意知，随机变量， 所以 则方差，又，则， 解得， 故答案为: ；3. 15. 记数列满足：为的前项和，则下列正确结论的序号是__________. ① ② ③若为奇数，则 ④ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由数列的递推公式，逐项计算判断①；由求解判断②；利用并项求和及等差数列前项和公式求解判断③；由为奇数可得，再求得即可判断④. 【详解】对于①，当时，，由，得；当时，，则，①正确； 对于②，当时，得，则，②错误； 对于③，当为奇数时， ，③正确； 对于④，当为奇数，，，两式作差，可得， 由，得，，，，…，则，， 当时，，因此，④正确. 故选：①③④ 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知是公比为的等比数列，且. （1）求的值； （2）设是首项为2，公差为的等差数列，其前项和为.当时，试比较与的大小. 【答案】（1）或. （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由通项公式列出等式求解即可； （2）分别求出等比数列的通项公式及前项和，分类作出比较得答案． 【小问1详解】 由已知可得2 ， ∵是等比数列，，∴. 解得或. 【小问2详解】 当时，易知，， 当时，恒成立， 即当时，， 当时 ， ，， 当时，；当时，；当时,, 所以当时，；当时，；当时，. 综上所述：当时，， 当时， 时，； 时，； 时，. 17. 已知函数． （1）过原点作曲线的切线，求该切线的方程； （2）设，求在的最值． 【答案】（1） （2）最小值为，最大值 【解析】 【分析】（1）求导，根据斜率可求解，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，根据导函数的正负即可求解. 【小问1详解】 设切点为，由得， 所以所求切线的斜率为，即， 所以，即，故切点为， 所以所求切线的斜率为，切线方程为，即， 故所求切线的方程为． 【小问2详解】 由条件知，． 所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在单调性为：单调递减，单调递增， 所以． 又 ，所以最大值为： 所以在的最小值为，最大值为： 18. 甲盒子中有以下除颜色和序号外完全相同的六个球：红球（1号），红球（2号），蓝球（3号），蓝球（4号），白球（5号），白球（6号）． （1）从甲盒中摸出一球，摸出红色球和摸出偶数序号球这两事件相互独立吗，回答并给出理由； （2）现有摸球游戏，从甲盒摸出两个球，若颜色不同，记录分数为其序号之和，若颜色相同，记录分数为10，设分数为随机变量X，求X的分布列和均值．并求分数不低于9的条件下，两球颜色相同的概率． 【答案】（1）从甲盒中摸出红色球和摸出偶数序号球这两件事相互独立，理由见解析 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率计算，结合相互独立事件的概率公式，可得答案； （2）根据离散型随机变量分布列的计算方法，结合均值的计算公式以及条件概率，可得答案. 【小问1详解】 设事件A：从甲盒中摸出红色球，设事件B：从甲盒中摸出偶数序号球． 样本空间总数为6． 由古典概型可知，，， ，故从甲盒中摸出红色球和摸出偶数序号球这两件事相互独立． 【小问2详解】 X的取值有4，5，6，7，8，9，10， ；；； ；；； X 4 5 6 7 8 9 10 ， 设事件C：摸球分数不低于9；设事件D：从甲盒中摸出两球颜色相同． ，，． 19. 已知函数 （1）若时，求函数在处的切线方程； （2）求函数的极值. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）按求出定义域及导数，进而求出极值. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，函数的定义域为， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，无极小值； 当时，函数的定义域为， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极大值，无极小值. 20. 为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立. （1）设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求； （2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列； （3）假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 【答案】（1） （2） 4000 3000 2000 1000 0 （3）元 【解析】 【分析】（1）先应用互斥事件概率和公式计算项目挑战成功的概率，再应用概率乘积公式计算即可求解； （2）先求出甲参赛队可能获得的奖金为元的所有可能取值，再应用独立事件概率乘积公式求出每个值所对应的概率，即可求解； （3）先求出甲参赛队可获得奖金的数学期望，再结合参加的队数估计需提供的奖金总额即可. 【小问1详解】 每个项目挑战成功的概率 ， 则 . 【小问2详解】 甲参赛队获得奖金数为随机变量的所有可能取值为4000，3000，2000，1000，0. ；； ； ；. ∴甲获得奖金数的分布列为： 4000 3000 2000 1000 0 【小问3详解】 由（2）得出甲参赛队获得奖金数数学期望 元， 因为假设本届比赛共有36支参赛队，估计其需提供的奖金总额为元 21. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：有最大值； （3）证明：当时，对任意，都存在正整数，使得. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，求得，结合导数的几何意义，求得曲线的切线方程； （2）当时，求得，令，求得，的得到在上单调递减，结合，，得到存在，使得，得到得单调，即可证得函数有最大值； （3）当时，可得，令，求得，得到在上单调递减，结合，得到存在，使得，得到的单调性，得出最大值为，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数， 可得， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 解：当时，，其中， 当时，，令， 则，所以在上单调递减， 又因为，， 所以存在，满足，即， 当变化时，变化情况如下表： 0 极大值 所以当时，函数有最大值. 【小问3详解】 解：当时，可得， 令，可得， 所以在上单调递减， 且， 则存在，使得，即， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 且当时，， 所以，当时，函数取得最大值，最大值为， 所以对任意，都存在正整数，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $