第18章 等腰三角形【单元卷·考点卷】（15大核心考点）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第18章 等腰三角形【单元卷·考点卷】（15大核心考点） 考点一 等腰三角形的相关概念（共4题） 1．两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个等腰三角形，则等腰三角形的周长为（   ） A． B． C． D．12或 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，根据题意分两种情况讨论，然后分别根据三角形三边关系判断，进而求解即可． 【详解】当是腰长时，，围不成三角形， ∴不符合题意； 当是腰长时，，能围成三角形， ∴符合题意 ∴等腰三角形的周长为． 故选：B． 2．若一个等腰三角形的两条边分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．12或9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正确记忆三角形的三边关系分情况讨论是解题关键．分5是腰和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5，2，能组成三角形， 周长， ②5是底边时，三角形的三边分别为2、2、5，因为， 所以不能组成三角形， 故选B． 3．等腰三角形的两边满足，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形的三边关系，由非负数的性质得，，进而根据三角形的三边关系得是等腰三角形的底，是等腰三角形的腰，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形的底，是等腰三角形的腰， ∴该等腰三角形的周长为， 故选：． 4．如图，在直角中，，分别以两直角边为腰作等腰直角三角形，记，其中，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与三角形面积的结合，要求的面积，只要求的值，即的值，通过，与的面积和为9，利用完全平方公式即可求出，由此得解． 【详解】解：、是等腰直角三角形， ，， 与的面积和为9， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 考点二 等腰三角形的判定（共4题） 5．如图，在中，是边上的点，于点，于点，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据垂直定义可得，然后利用证明，即可解答． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴ 6．如图，已知，平分交的延长线于点，且．平分交的延长线于点．，交于点． 求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质与判定进行证明是解决本题的关键． （1）先判定， 得出．再利用平分，平分，证明，再证明，得出，得出，，即可证明； （2）利用平分，得出，利用，得出，则，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 7．已知：如图，点，分别在线段上，，，，交于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据线段的和差关系得，再证明，即可作答． （2）由得，结合等角对等边得，根据线段的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明： ， ， 即， ，， ， ， （2）解：∵ ∴，， ∴， ∵， ， 即． 8．如图，是等腰三角形，，于点D，于点，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求点到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，与三角形高有关的计算，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先得到，再由三角形内角和定理得到，再由角度和差计算得到，则； （2）设点到边的距离为，由面积法得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的两条高线， ∴． 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：设点到边的距离为， ∵是的两条高线 ∴ ∵，，， ∴， ∴ ∴ ∴点到边的距离为． 考点三 等腰三角形的性质（共4题） 9．如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等角对等边、角平分线的定义，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交于点，利用全等三角形的判定定理证出，得出，，由得到，再利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 的长为10． 10．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，求线段的长．    【答案】13 【分析】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出，，那么利用等角对等边可得线段的相等，再利用等量代换可求得． 【详解】解：平分， ； 平分， ； ， ，； ，， ，； ，， ． 11．如图，在中，，为边上的中线．以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据中点的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，得到，求得，进而即可得解． 【详解】（1）证明：为边上的中线 ， 在与中， ， ； （2）解：， ， ，为边上的中线， ， ， ． 12．如图，点，在上，． (1)求证：； (2)连接，若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识． （1）利用证明三角形全等即可． （2）由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出，再根据等边对等角得出，最后根据平角的定义求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 即． 又， ． （2）解：， ， 又， ， ． 考点四 等腰三角形中的动点问题（共4题） 13．已知在中，，，为直线上一动点（点不与点，点重合），以为边作（其中，），连接． (1)如图1，当点在边上时，_____． (2)如图2，当点在边的延长线上运动时，______． (3)如图3，当点在边的延长线上时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质三角形内角和定理，以及等腰直角三角形的性质，证明是解答本题的关键． （1）根据证明推出，由，即可求解； （2）根据证明，推出，，由，即可求解； （3）根据证明，推出，由，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．综合与实践 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在中，，，点D、E分别是上的动点，且，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C作，且使，连接．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）连接__________，的最小值即为线段__________的长度． 【方法应用】如图③，在中，，，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且，当的值最小时，的度数为__________． 【答案】（1）见解析；（2），；方法应用： 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，最短路径问题以及等腰三角形的性质的运用等知识点，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 问题解决：（1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）连接，连接的最小值即为线段的长度． 方法应用：在下方作，使，连接，则最小值为，此时三点在同一直线上，推出，所以，即可得到． 【详解】问题解决：（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， ； （2）解：连接的最小值即为线段的长度． 则， 故的最小值即为线段的长度． 故答案为：； 方法应用：解：在下方作，使，连接． 则． ， 即最小值为，此时三点在同一直线上． ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，在四边形中，，，，点E在上，，．动点P从点B出发，沿折线运动，回到点B停止，速度是每秒1个单位长度，设点P运动的时间为t（秒）． (1)直接写出AE的长度； (2)作，垂足为F，求证：； (3)在点P运动的过程中，若是以为底的等腰三角形时，求t的值； (4)连接，若直线将的面积二等分时，直接写出t的值． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)12或24 (4)8或21 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据线段的和差关系求解即可； （2）先证明，得出，然后根据证明即可； （3）分点P在，，，上讨论即可； （4）设与相交于点G，根据中线的性质可得出G为中点，然后分点P在，，，上讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； （3）解：当点P在上时，此时不存在，故舍去； 当点P在上时， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴（秒）； 当点P在上时， 由（2）知，C到的最小距离为6， ∴P与（2）中的F重合， ∵， ∴， ∴； 当点P在上时， ∵， ∴，不符合题意，舍去， 综上，t的值为12或24； （4）解：设与相交于点G， ∵直线将的面积二等分， ∴， 当P在上时，延长，相交于M， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴不符合题意，舍去； 当P在上时， ∵，，， ∴， ∴， ∴（秒）； 当P在上时，此时P与G重合， ∴， ∴； 当点P在时，直线与重合，不存在直线将的面积二等分，故舍去， 综上，t的值为8或21秒． 16．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)___________（用的代数式表示）． (2)当点在边上运动时，出发 ___________秒后，是等腰三角形． (3)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ 【答案】(1)； (2)； (3)为或或． 【分析】（）根据线段和差即可求解； （）用可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和，三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值； 本题考查了等腰三角形的性质，方程思想和分类讨论思想，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由题意可知，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， ∴出发秒后，能形成等腰三角形； 故答案为：； （3）当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当为或或时，是等腰三角形． 考点五 尺规作等腰三角形（共4题） 17．如图，已知在等腰三角形纸片中，．利用尺规按以下要求作图．（不写作法，保留作图痕迹．） 请从以下两个问题中任选一题作答． A题：作出一条裁剪线，使得该等腰三角形纸片分成两个等腰三角形，并说明理由． B题：作出两条裁剪线，使得该等腰三角形纸片分成三个等腰三角形，并说明理由． 【答案】画图见解析，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理： A题：以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，则裁剪线即为所求； B题：以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，再点B为圆心，的长为半径画弧交于E，连接，则裁剪线、即为所求． 【详解】解：A题：如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，则裁剪线即为所求； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴都是等腰三角形； B题：如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，再点B为圆心，的长为半径画弧交于E，连接，则裁剪线、即为所求； 同理可得， ∴都是等腰三角形． 18．把一张长方形纸片（长方形的各个角都是直角）沿对角线折叠，使点落在点的位置． (1)请用尺规作出点，再分别连接，，与的交点记为点；（要求：不写作法，保留清楚的作图痕迹） (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2)为等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（）过点作，垂足为，并截取，再分别连接，，与的交点记为点，则点即为所求； （）由点关于对称，可得，进而由平行线的性质得到，即可求解； （）由平行线的性质得，进而根据（）得，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：为等腰三角形，理由如下： ∵点关于对称， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴为等腰三角形； （3）解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 19．如图1，在中，，是的平分线．用尺规作，E是边上一点． 小明：如图2．以A为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接，则． 小丽：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题． 小丽：哦…我明白了! (1)给出小明作法中的证明． (2)指出小丽作法中存在的问题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查基本作图及等腰三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，再由等腰三角形三线合一即可证明； （2）根据题意以点D为圆心，长为半径作弧与边可能会有两个交点，其中一个交点与点C的连线不垂直于． 【详解】（1）解：设与交于点F，由题意得： ∵是的平分线， ∴， ∴即． （2）如图，以点D为圆心，长为半径作弧与边可能会有两个交点，其中一个交点与点C的连线不垂直于． 20．八年级某班同学在解题的过程中，发现了几种利用尺规作一个角的半角的方法，具体方法如下： 题目：在中，，求作：． 方法一：如图1所示，以点为圆心，长为半径画弧交延长线于点，连接，可得． 方法二：如图2所示，作的平分线和的外角的平分线，两平分线交于点，可得． 任务： (1)填空：“方法一”依据的数学定理或推理是 （写出一个即可）． (2)请根据“方法二”的操作过程，证明：． (3)如图3，在中，，请用尺规作图作出（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查角平分线的性质，外角的性质，熟练掌握尺规作图是解题的关键； （1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解； （2）根据角平分线的性质，外角的性质即可求解； （3）根据题意，作以为圆心，为半径画弧交于点，根据等腰三角形的底角相等，即可求解，作图即可； 【详解】（1）， ， ∵， ∴， 即：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和， 故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）证明：，分别平分，， ，， 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， ； （3）解：如图所示，即为所求作的角； ， 以为圆心，为半径画弧交于点， ， ， 考点六 等腰三角形的判定与性质综合（共4题） 21．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)若，求证：； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)25；115，小 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； （2）解：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 22．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推导是解题关键． （1）证即可求证； （2）根据，结合全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴由（1）得， ∴， ∵由（1）得， ∴， ∴， ∴； 23．如图，在中，，，点D为直线上的任意一点，过点D作交直线于点E，过点A作，交直线于点F，垂足为点F，直线与直线相交于点G． (1)如图1，当点D在边上时，则线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，则线段，，之间的数量关系是 ，请证明你的结论． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）由题意知，则，由，可得，即，由三角形内角和定理求得，证明，，则，进而可得结果； （2）同（1）可知，，，，证明，，则；进而可得结果． 【详解】（1）解：由题意知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，证明如下： 同（1）可知，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．在本学期的数学探究学习中，同学们发现在利用全等三角形解决问题时存在有一些条件缺失（隐蔽）的问题，这时我们就要寻找题目中的等量条件，适当添加辅助线构造全等三角形来解决问题．如：“中点”、“角平分线”、相等的边或角等都可以成为我们构造全等三角形的条件． 【阅读理解】 （1）如图1，在中，为边上的中线，试探究、、的数量关系．小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，则得到，他所用到的判定定理是_______（用字母表示），从而得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形的三边关系，即可得_______．（填“>”、“<”或“=”） 【问题解决】 （2）如图2，在四边形中，，点E在上，平分，平分． 求证：． 【应用提升】 （3）如图3，四边形中，，，，．若面积为，求的面积． 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，三角形面积，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证明，得出，由三角形三边关系可得出结论； （2）延长交延长线于，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论； （3）过点作交的延长线于点，则，证明，得出，，求出可得出答案． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接． 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）证明：如图2，延长交延长线于， ， ， 平分， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． （3）解：过点作交的延长线于点， ， ， ∵， ， ，， ， ，， 面积 ， ， ， ， 的面积； 考点七 等边三角形的判定（共4题） 25．如图，在中，，；是 边的中点，于， 于，以下四个结论：①；②是等边三角形；③是等腰三角形；④连接，垂直平分．其中正确的结论有(   ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，利用证明，进而解答判断①由，进而得到．求得，求出．所以是等边三角形，即可判断②，进而根据全等三角形的性质可得结合等腰三角形的性质，即可判断③和④，即可求解． 【详解】解：， ． ，， ． 是边的中点， ． ，， ． 在和中， ， ， ，故①正确 ∵， ∴， ． ． 是等边三角形．故②正确 ∵ ∴ 又∵ ∴，故③正确， 连接， ∵ ∴ 又∵ ∴垂直平分，故④正确 故选：A． 26．如图，已知，点在内部，与关于对称，与关于对称，则、、三点所构成的三角形的形状是 ；连接，，交于，交于，，则的周长为 ． 【答案】 等边三角形 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定，由轴对称可得，，，，即得，，即得为等边三角形；又由轴对称的性质得，，即可得的周长，据此即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于对称，与关于对称， ∴，，，， ∴，， ∴为等边三角形； ∵与关于对称，与关于对称， ∴，， ∴的周长， 故答案为：等边三角形；． 27．如图，在中，，在的内部取一点，连接，，，恰有．，．给出下列说法：①；②是等腰三角形；③；④是等腰三角形；⑤是等边三角形．其中所有说法正确的序号是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形判定与性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理等知识，首先利用等腰三角形的性质并结合已知可求出，进而求出，然后根据三角形内角和定理即可求出，据此判断①②；结合角之间的关系可得，利用等量代换可得，接下来结合等腰三角形的性质判断③④；利用等边三角形的判定并结合角之间的关系可判断⑤，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰三角形，故①②符合题意， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③④符合题意， ∵，，， ∴不是等边三角形，故⑤不符合题意， 故答案为：①②③④． 28．如图，在四边形中，，，点在的延长线上，连接，交于点，且． (1)求证：； (2)若，平分，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定等知识点，熟练掌握全等三角形和等边三角形的判定是解题的关键． （1）根据平行线的性质导角，证明即可； （2）由，，得到，由平分，得到，进一步可得，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 考点八 等边三角形的性质（共4题） 29．如图，在等边中，D、E分别是上的点，且，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵是等边三角形， ∴， 由（1）已证：， ∴． 30．如图，已知为边的中点，于点．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中，将绕点顺时针旋转； (2)若为的中点，在图2中，将绕点顺时针旋转． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点G，连接并延长交于点F，则即为绕点顺时针旋转得到的线段，根据等腰三角形三线合一和全等三角形的性质证明即可； （2）同（1）作出点G，连接交于点M，连接并延长交于点H，则即为所求． 【详解】（1）如图所示，    ∵，D为边的中点 ∴，即垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴绕点顺时针旋转得到； （2）如图所示，    ∵为的中点 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵点M在上，点E和点G关于对称 ∴和关于对称 ∴点F和点H关于对称 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴将绕点顺时针旋转得到． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，轴对称性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 31．如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60度 (3)，见解析 【分析】（1）利用等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质解答； （2）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （3）同（1）易证，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 32．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接． (1)当时，试判断的形状，并说明理由； (2)探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)、、 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）先证明，，，再证明即可证明，利用全等三角形的性质与等边三角形的性质证明，从而可得答案； （2）先表示，， ，，再分三种情况讨论：①当，②当，③当，再建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵，， ，， ①当，∴， ∴， ∴； ②当，∴， ∴， ∴； ③当，∴， ∴， ∴． 所以，当α为、、时，是等腰三角形． 考点九 等边三角形的综合（共4题） 33．综合与探究 【课本内容】 如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．    【尝试应用】 （1）学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围．    反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题处理】 （2）如图3，已知是中边上的中线，是上的一点，交于点，，求证：；    【拓展提升】 （3）如图4，在等边中，点是边上一定点，点在边上，以为边作等边，连接．请直接写出，，之间的数量关系．    【答案】（1）见解析，；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握倍长中线法和截长补短法构造全等三角形是解题的关键： （1）证明，进而得到，三角形的三边关系求出的范围，进而求出的范围； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，结合，等边对等角，对顶角相等，得到，即可得证； （3）在上截取，证明，得到，再根据，等量代换即可得出结论． 【详解】解：（1）延长到，使，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）延长至点，使，连接，    同（1）法可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）在上截取，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 34．已知等边三角形，现将一个含角的纸片顶点与点B重合，将该纸片绕点B旋转，使纸片60°角的一边交直线AC于点D，在60°角的另一边上取一点E，使，连接AE． (1)如图1，当点D在线段AC上时，求证：； (2)如图2，当点D在线段CA的延长线上时，线段之间有怎样的数量关系？如图3，当点D在线段AC的延长线上时呢？请直接写出结论． 【答案】(1)见解析 (2)图②结论：．图③结论： 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，推出，证明，由此得到，即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质推出，证明，由此得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：证明：∵是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）图②结论：． 证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． 又， ∴． ∴． ∵， ∴； 图③结论：． 证明：∵是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 35．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键． （1）由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证可得答案； （2）由，知为等边三角形，即，继而由，得到，再利用即可得解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，． ． ． 在和中， ， ． （2）解：如图， ，， 为等边三角形． ， ，， ． ． 36．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，已知，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求的度数； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或或，是等腰三角形． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，根据题意求出，根据三角形内角和定理计算； （3）分三种情况，根据等腰三角形的判定定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当时，， ∴， ②当时，， ∴， ③当时，， ∴， 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了是全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关的判定定理是解题的关键． 考点十 线段的垂直平分线（共4题） 37．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； 由题意易得，，然后即可求解． 【详解】解：解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 38．如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接、，由是的平分线，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证，可得，即得到，据此即可求解． 【详解】解：连接、，如图所示， ，是的平分线， ，， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ， ， 故选：C． 39．如图所示，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 根据三角形的内角和定理可求出，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得，，于是可得，进而求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 40．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在BC的垂直平分线上，理由见解析. (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）连接，，，根据垂直平分线的性质可得出，，则，从而即可求解； （2）由四边形内角和可得的度数，根据题意得即可求解；. 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （2）解：∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点十一 等腰三角形中的旋转问题（共4题） 41．如图，点是等边内一点，若将绕点按逆时针方向旋转一个角度后得到，连接，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转的性质，由旋转得，得，得，可判断出是等边三角形，故可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ 由旋转得， ∴， ∴ 而， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴, 故选：B． 42．如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下四个结论：①是等腰直角三角形；②；③； ④当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），．上述结论中始终正确的有（  ） A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键．利用证明得，，从而解决问题． 【详解】解：∵，，点P是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误． 故选：C． 43．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的全等的判定和性质，过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，，得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 的面积为：． 故答案为：4． 44．已知和是具有共同顶点A的等边三角形，现将绕点A旋转一定角度． (1)如图①，若顺时针旋转角，连结相交于点P，求证：； (2)在（1）的条件下，连结，猜想线段之间有怎样的数量关系？并说明理由： (3)若将在如图②的基础上逆时针旋转，连结相交于点P，连结，猜想线段之间有怎样的数量关系？请画出图形并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)；理由见解析 (3)；图见解析；理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等边三角形的性质证明即可； （2）在上截取一点F，使得，连接；由得；再证明，则有，，从而得，则有是等边三角形，，最后由即可求解； （3）根据题意补充图形；在上截取一点F，使得，连接，由 ，得；证明，则可得，，从而得，是等边三角形，， 由即得三线段的关系． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，， ， 即； 在和中， ， ， ； （2）解：； 理由：在上截取一点F，使得，连接，如图， ， ； 在和中， ， ， ，， ， 即， 是等边三角形， ， ； （3）解：； 画图如下： 理由：在上截取一点F，使得，连接，如图； ， ； 在和中， ， ， ，， ， 即， 是等边三角形， ， ． 考点十二 等腰三角形的折叠问题（共4题） 45．如图，在中，，于点H，点D在上，且，将沿折叠得到，交于点E． (1)求证：平分； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），作，先根据角平分线的性质定理得，再由折叠可得平分，进而根据角平分线的性质定理得， 即可得，最后根据角平分线的判定定理得出结论； 对于（2），连接，先根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可知是等边三角形，再证明，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点D作，垂足分别为M，N，G， ∵于点H， ∴平分． ∵， ∴． 由折叠可得，即平分． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴点D在的角平分线上， ∴平分； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，折叠的性质，准确的作出辅助线是解题的关键． 46．已知中，，点是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点对应点为点． (1)如图1，当点恰好落在边上，求证：是等边三角形； (2)如图2，当点恰好落在内，且的延长线恰好经过点，，求的大小； (3)如图3，当点恰好落在外，交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)3 【分析】（1）利用平行线的性质得出，再利用翻折变换的性质得出，进而得出，即可得出结论； （2）由折叠的性质得出，，得出，由等腰三角形的性质得出，设，由三角形的外角性质得出，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； （3）同（1）得出是等边三角形，，得出，由折叠的性质得出，由直角三角形的性质得出，得出，由已知得出，求出，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，，， ， 沿折叠，点对应点为点， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：，， ， 沿折叠，点对应点为点， ，， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ； （3）解：同（1）得：，是等边三角形，， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了折叠变换的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 47．在中，，将折叠，使得点与点重合，折痕分别交于点． (1)如图1，若平分，，试判断与的数量关系； (2)如图2，若，当中有两个角相等时，求的度数． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了折叠的性质、含角的直角三角形、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握折叠、含角的直角三角形、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及分类讨论的思想方法是解决本题的关键． （1）利用折叠的性质和角平分线的定义求出，利用三角形的内角和定理求出，最后利用含角的直角三角形的性质即可得出结论； （2）分三种情况，利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质先求出的度数，再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，， ， 又平分， ， ， ， ， 在中，， ， ． （2）解：由折叠的性质得，， ， ， 中有两个角相等， 下面分3种情况讨论： ①若，则， 解得：； ②若， ， ， ， 解得：； ③若， ， ， 即， 解得：； 综上所述，的度数为或或． 48．某学习小组在综合与实践活动课上进行平行线及三角形外角知识的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答任务中的问题： 任务 利用平行线的性质及三角形的外角性质进行角度计算和结论探究 日期 2024年11月25日 知识储备 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等； 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 问题解决 如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边上的点，将沿直线折叠，使点落在点处． 任务1 （1）如图1，若，探究和的数量关系，并说明理由； 任务2 （2）如图2，若，则与的数量关系是______； （3）如图3，若点落在下方，探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；理由见解析；（2）；（3）．理由见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角，平行线的性质，三角形的外角性质． （1）利用平行线的性质求得，，即可求解； （2）判断出点恰好在上，利用三角形的外角性质即可求解； （3）连接，利用三角形的外角性质求得，，据此求解即可． 【详解】解：（1）；理由如下， 由折叠的性质知， ∵， ∴，， ∴； （2）由折叠的性质知， ∵， ∴点恰好在上， ∴； 故答案为：； （3）．理由如下： 连接， 由折叠的性质知，，， ∴，， ∴，， ∴． 考点十三 等腰三角形的存在性问题（共4题） 49．在中，，点在射线（点不与点，重合）上运动，连接，作，交射线于点．    (1)如图1，点在线段上运动，当时． ①求证：； ②若，求边的长． (2)如图2，点在线段的延长线上运动，当时，（1）中①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若，在线段的延长线上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②； (2)（1）中①的结论仍然成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）①根据等边对等角得，结合三角形外角的性质得，再利用“”即可得证； ②由已知可得，，再根据全等三角形的对应边相等得，可得结论； （2）（1）中①的结论仍然成立，根据等边对等角得，由等角的补角相等得，继而得到，最后利用“”即可得证； （3）分两种情况：当时；当时，分别求解即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴边的长为； （2）解：（1）中①的结论仍然成立． 证明：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：①当时，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点．掌握全等三角形的判定和性质、等边对等角是解题的关键． 50．如图，在等边中，，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿边向点A以每秒4个单位的速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示：______，______； (2)当点Q到达中点时，判断与的位置关系，并请说明理由； (3)在点P、Q的运动过程中，是否存在t，使得与全等？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由； 【答案】(1)，； (2)，见解析； (3)能， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，30度的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合等边三角形的性质得，再根据动点的运动方向以及速度，即可作答； （2）分别算出点Q是中点，，运动时间是秒，，再根据30度所对的直角边是斜边的一半，得，即可作答． （3）因为与全等，故分类讨论，即或，再根据对应边相等列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵在等边中，，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿边向点A以每秒4个单位的速度移动． ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵点Q是中点， ∴， ∴此时， ∴， 过点作，如图所示： ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， 即点P与点H重合， ∴； （3）解：存在，理由如下： ∵，且与全等， ∴当时，则， ∴， 即（舍去）； ∴当时，则， ∴， 即， 综上：在点P、Q的运动过程中，当时，． 51．如图①，在中，，，在中，，边与重合，边在上．如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，分别与交于点M，N．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求t的值； (2)当t为何值时，点M在的平分线上？ (3)当点N为的中点时，求t的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形，若存在请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3) (4)或6或9 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平移的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的定义可得，据此可得答案； （2）连接，证明，得到，据此可得答案； （3）连接，由平移的性质可得，可证明垂直平分，则，导角证明，得到，则，据此可得答案； （4）分，和三种情况，根据等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解；如图所示，∵垂直平分， ∴， 在图①中， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵点M在的平分线上， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由平移的性质可得， ∵，即， ∴， ∵点N为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：当时，过点B作于G， 在图①中，∵， ∴， ∴； 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴点E与点G重合， ∵，， ∴， ∴； 当时，则； 当时，则点F在的垂直平分线上， ∴同理可得， ∴； 综上所述，t的值为或6或9． 52．如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边CD上任意一点（点不与点、重合），连接PQ、QE． (1)请直接用含，的代数式表示线段QD的长度； (2)当时. ①若点是CD的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若与全等，求DE的长； (3)若在边AD上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点，，），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)线段的长度为 (2)①；②或 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，列代数式，一元一次不等式的应用；熟练掌握相关定理是解题的关键．注意当不能确定对应点的时候要注意分情况讨论． （1）利用路程，速度，时间的关系求出，即可解决问题； （2）当时．由题意得：， ①若点是的中点，则，根据题意只有，解答即可． ②由题意得：，当时：当时，分别建立方程，解方程即可求解； （3）由，知，故，得，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：根据题意，， ， ∴线段的长度为； （2）解：当时． 由题意得：， ①若点是的中点，则， 当时，，解得：． ②当时，， 解得：， 此时； 当时：， 解得：， 此时； 综上所述：或时，与全等； （3）解：， ， 由知：， 解得：， ， ， 即． ， ， ， 即； 由①②解得：， ∴满足条件的取值范围为． 考点十四 等腰三角形中的最值（共4题） 53．【提出问题】如图1，已知在直线l同侧有两点A、B，请在直线l上找一点C，使得最小． 【分析问题】如图2，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点． 因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得． 所以 ． 以上问题的解决过程中运用的数学基本事实是 ． 【解决问题】如图3，在四边形中，，在边，上分别确定点P，点Q，使得周长最小． （1）尺规作图：作出（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若，求的度数． 【答案】，，两点之间线段最短；（1）见解析；（2）80° 【分析】[分析问题]利用轴对称的性质，两点之间线段最短解决问题； [解决问题]①作点D关于的对称点，关于的对称点，连接分别交于点P，交于点Q，连接，即可； ②求出可得结论． 【详解】解：[分析问题]：如图2中，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点． 因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得． 所以． 上问题的解决过程中运用的数学基本事实是：两点之间线段最短； [解决问题]：①如图3中，即为所求； 根据轴对称可知：，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，轴对称最短问题，角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 54．如图，在等腰三角形中，，点，在上，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作等腰三角形的对称轴． (2)如图2，为线段上一点，请在等腰三角形的对称轴上找一点，使得点到，两点的距离之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、轴对称最值问题， （1）如图，连接，交于点，连接，则直线即为等腰的对称轴； （2）如图，连接，则与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点，连接，则直线即为等腰的对称轴． 理由如下： ， ， ， ，， ， ， 由等腰三角形的对称性可知：点与点、点与点都关于的对称轴对称， 连接，交于点，则点在等腰的对称轴上， 直线即为等腰的对称轴； （2）解：如图，连接，则与直线的交点即为所求的点． 理由如下： 点在等腰的对称轴上， ， 由“两点之间，线段最短”可知：当点在与对称轴的交点处时，点到、两点的距离之和最短． 55．如图1和图2，中，平分，点E在线段上，平分，点F在线段上，点P是线段上一动点． (1)若，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图1，若，点D是的中点，的值最小，请你在图1中画出点P（写出画法，保留画图痕迹）； (3)如图2，连接，若平分，，判断线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理结合角平分线的定义推出，再利用三角形外角的性质即可求解； （2）连接交于点P即为所求，连接，根据题意易证是等腰三角形，再根据垂直平分线的性质推出，得到此时有最小值； （3），在线段上截取，证明，推出，由，得到，结合，推出，进而证明，推出，即可证明． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点P，点P为所求； ∵，平分，点D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， 此时，点三点共线，则有最小值； （3）解：，证明如下： 如图，在线段上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，对称的性质求最短路径，三角形内角和定理，三角形外角的性质，垂直平分线的性质，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 56．如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M． (1)若求的度数． (2)连接，若 ①求的周长； ②在直线上是否有在点P，使的值最小，若存在，标出点P的位置并求的最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②当点P与点M重合时，的值最小，最小值是 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路径问题，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得，三角形内角和定理等，关键是运用线段垂直平分线的性质解题． （1）根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案． （2）①根据垂直平分线的性质可得与的关系，再根据三角形的周长可得答案． ②根据2点之间线段最短可得点与点的关系，可得与的关系． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ①垂直平分， ， ； ②∵点P当点在的垂直平分线上， ， ， ∴点P与点重合时，的值最小，最小值是． 考点十五 等腰三角形中的新定义（共4题） 57．定义：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 如图①，线段，把分成三个等腰三角形，则线段，叫做的三分线． (1)请你在图②中画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形的顶角的度数； (2)如图③，在中，，线段，是的三分线，点，分别在边，上，且，．求的度数． 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的定义、三角形的三分线的定义画出图形即可得； （2）先根据等腰三角形的性质可得，，，再设，根据三角形的内角和定理、三角形的外角性质可得，，，则，然后分两种情况：①和②，根据等腰三角形的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：画图如下：（答案不唯一） （2）解：∵，， ∴是等腰三角形，，， ∵， ∴是等腰三角形，， 又∵线段，是的三分线， ∴是等腰三角形， 设， ∴， ， ， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，是等腰三角形， 则，即，解得； ②当时，是等腰三角形， 则，即，解得； 综上，的度数为或． 58．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 【答案】（1）③ ；（2），证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】解：（1）∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 59．请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 任务图 探究任务 任务1 如图1，在中，，，和_____等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． 任务3 在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 【答案】任务1：是；任务2：见解析；任务3：或 【分析】任务1：推出，,从而得出结论; 任务2：可计算得出，得出是等腰三角形，再结合，从而得出结论； 任务3：当是等腰三角形时，分为：三种情形讨论即可； 本题是在新定义的基础上，考查了等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类讨论． 【详解】解：任务1：是 ∵ 和是等角三角形； 任务2： 在中，， 则， 为角平分线， ， ， 则， ，， ， 则， ，，，， 为的等角分割线． 任务3： ①当时，如图1， ， 是的等角分割线， ， ②当时，如图2， ， 是的等角分割线， ， 则， ③当时，， 则， 那么（舍去）， 故的度数为或． 60．定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (3)在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的度数为或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，三角形的内角和与三角形的外角性质，解题的关键是数形结合、分类讨论． （1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求； （2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）如图即为所求： （3）当，时，， ， ， ； 当，时，， ， ； 当时，， ， ， ； 当，时，，， ， ， 此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意； 综上所述，的度数为或或． 1 / 91 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 等腰三角形【单元卷·考点卷】（15大核心考点） 考点一 等腰三角形的相关概念（共4题） 1．两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个等腰三角形，则等腰三角形的周长为（   ） A． B． C． D．12或 2．若一个等腰三角形的两条边分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．12或9 D．11 3．等腰三角形的两边满足，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C． D．或 4．如图，在直角中，，分别以两直角边为腰作等腰直角三角形，记，其中，则图中阴影部分面积为 ． 考点二 等腰三角形的判定（共4题） 5．如图，在中，是边上的点，于点，于点，且．求证：． 6．如图，已知，平分交的延长线于点，且．平分交的延长线于点．，交于点． 求证： (1)； (2)是等腰三角形． 7．已知：如图，点，分别在线段上，，，，交于点． 求证： (1)； (2)． 8．如图，是等腰三角形，，于点D，于点，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求点到边的距离． 考点三 等腰三角形的性质（共4题） 9．如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 10．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，求线段的长．    11．如图，在中，，为边上的中线．以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12．如图，点，在上，． (1)求证：； (2)连接，若，，，求的度数． 考点四 等腰三角形中的动点问题（共4题） 13．已知在中，，，为直线上一动点（点不与点，点重合），以为边作（其中，），连接． (1)如图1，当点在边上时，_____． (2)如图2，当点在边的延长线上运动时，______． (3)如图3，当点在边的延长线上时，求的度数． 14．综合与实践 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在中，，，点D、E分别是上的动点，且，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C作，且使，连接．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）连接__________，的最小值即为线段__________的长度． 【方法应用】如图③，在中，，，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且，当的值最小时，的度数为__________． 15．如图，在四边形中，，，，点E在上，，．动点P从点B出发，沿折线运动，回到点B停止，速度是每秒1个单位长度，设点P运动的时间为t（秒）． (1)直接写出AE的长度； (2)作，垂足为F，求证：； (3)在点P运动的过程中，若是以为底的等腰三角形时，求t的值； (4)连接，若直线将的面积二等分时，直接写出t的值． 16．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)___________（用的代数式表示）． (2)当点在边上运动时，出发 ___________秒后，是等腰三角形． (3)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ 考点五 尺规作等腰三角形（共4题） 17．如图，已知在等腰三角形纸片中，．利用尺规按以下要求作图．（不写作法，保留作图痕迹．） 请从以下两个问题中任选一题作答． A题：作出一条裁剪线，使得该等腰三角形纸片分成两个等腰三角形，并说明理由． B题：作出两条裁剪线，使得该等腰三角形纸片分成三个等腰三角形，并说明理由． 18．把一张长方形纸片（长方形的各个角都是直角）沿对角线折叠，使点落在点的位置． (1)请用尺规作出点，再分别连接，，与的交点记为点；（要求：不写作法，保留清楚的作图痕迹） (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，求的度数． 19．如图1，在中，，是的平分线．用尺规作，E是边上一点． 小明：如图2．以A为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接，则． 小丽：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题． 小丽：哦…我明白了! (1)给出小明作法中的证明． (2)指出小丽作法中存在的问题． 20．八年级某班同学在解题的过程中，发现了几种利用尺规作一个角的半角的方法，具体方法如下： 题目：在中，，求作：． 方法一：如图1所示，以点为圆心，长为半径画弧交延长线于点，连接，可得． 方法二：如图2所示，作的平分线和的外角的平分线，两平分线交于点，可得． 任务： (1)填空：“方法一”依据的数学定理或推理是 （写出一个即可）． (2)请根据“方法二”的操作过程，证明：． (3)如图3，在中，，请用尺规作图作出（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 考点六 等腰三角形的判定与性质综合（共4题） 21．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)若，求证：； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 22．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 23．如图，在中，，，点D为直线上的任意一点，过点D作交直线于点E，过点A作，交直线于点F，垂足为点F，直线与直线相交于点G． (1)如图1，当点D在边上时，则线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，则线段，，之间的数量关系是 ，请证明你的结论． 24．在本学期的数学探究学习中，同学们发现在利用全等三角形解决问题时存在有一些条件缺失（隐蔽）的问题，这时我们就要寻找题目中的等量条件，适当添加辅助线构造全等三角形来解决问题．如：“中点”、“角平分线”、相等的边或角等都可以成为我们构造全等三角形的条件． 【阅读理解】 （1）如图1，在中，为边上的中线，试探究、、的数量关系．小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，则得到，他所用到的判定定理是_______（用字母表示），从而得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形的三边关系，即可得_______．（填“>”、“<”或“=”） 【问题解决】 （2）如图2，在四边形中，，点E在上，平分，平分． 求证：． 【应用提升】 （3）如图3，四边形中，，，，．若面积为，求的面积． 考点七 等边三角形的判定（共4题） 25．如图，在中，，；是 边的中点，于， 于，以下四个结论：①；②是等边三角形；③是等腰三角形；④连接，垂直平分．其中正确的结论有(   ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 26．如图，已知，点在内部，与关于对称，与关于对称，则、、三点所构成的三角形的形状是 ；连接，，交于，交于，，则的周长为 ． 27．如图，在中，，在的内部取一点，连接，，，恰有．，．给出下列说法：①；②是等腰三角形；③；④是等腰三角形；⑤是等边三角形．其中所有说法正确的序号是 ． 28．如图，在四边形中，，，点在的延长线上，连接，交于点，且． (1)求证：； (2)若，平分，请判断的形状并说明理由． 考点八 等边三角形的性质（共4题） 29．如图，在等边中，D、E分别是上的点，且，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 30．如图，已知为边的中点，于点．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中，将绕点顺时针旋转； (2)若为的中点，在图2中，将绕点顺时针旋转． 31．如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 32．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接． (1)当时，试判断的形状，并说明理由； (2)探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 考点九 等边三角形的综合（共4题） 33．综合与探究 【课本内容】 如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．    【尝试应用】 （1）学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围．    反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题处理】 （2）如图3，已知是中边上的中线，是上的一点，交于点，，求证：；    【拓展提升】 （3）如图4，在等边中，点是边上一定点，点在边上，以为边作等边，连接．请直接写出，，之间的数量关系．    34．已知等边三角形，现将一个含角的纸片顶点与点B重合，将该纸片绕点B旋转，使纸片60°角的一边交直线AC于点D，在60°角的另一边上取一点E，使，连接AE． (1)如图1，当点D在线段AC上时，求证：； (2)如图2，当点D在线段CA的延长线上时，线段之间有怎样的数量关系？如图3，当点D在线段AC的延长线上时呢？请直接写出结论． 35．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 36．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，已知，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求的度数； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 考点十 线段的垂直平分线（共4题） 37．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 38．如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．如图所示，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，求的度数． 40．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 考点十一 等腰三角形中的旋转问题（共4题） 41．如图，点是等边内一点，若将绕点按逆时针方向旋转一个角度后得到，连接，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C． D． 42．如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下四个结论：①是等腰直角三角形；②；③； ④当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），．上述结论中始终正确的有（  ） A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 43．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为 ． 44．已知和是具有共同顶点A的等边三角形，现将绕点A旋转一定角度． (1)如图①，若顺时针旋转角，连结相交于点P，求证：； (2)在（1）的条件下，连结，猜想线段之间有怎样的数量关系？并说明理由： (3)若将在如图②的基础上逆时针旋转，连结相交于点P，连结，猜想线段之间有怎样的数量关系？请画出图形并说明理由． 考点十二 等腰三角形的折叠问题（共4题） 45．如图，在中，，于点H，点D在上，且，将沿折叠得到，交于点E． (1)求证：平分； (2)求的度数． 46．已知中，，点是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点对应点为点． (1)如图1，当点恰好落在边上，求证：是等边三角形； (2)如图2，当点恰好落在内，且的延长线恰好经过点，，求的大小； (3)如图3，当点恰好落在外，交于点，连接，若，，求的长． 47．在中，，将折叠，使得点与点重合，折痕分别交于点． (1)如图1，若平分，，试判断与的数量关系； (2)如图2，若，当中有两个角相等时，求的度数． 48．某学习小组在综合与实践活动课上进行平行线及三角形外角知识的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答任务中的问题： 任务 利用平行线的性质及三角形的外角性质进行角度计算和结论探究 日期 2024年11月25日 知识储备 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等； 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 问题解决 如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边上的点，将沿直线折叠，使点落在点处． 任务1 （1）如图1，若，探究和的数量关系，并说明理由； 任务2 （2）如图2，若，则与的数量关系是______； （3）如图3，若点落在下方，探究和的数量关系，并说明理由． 考点十三 等腰三角形的存在性问题（共4题） 49．在中，，点在射线（点不与点，重合）上运动，连接，作，交射线于点．    (1)如图1，点在线段上运动，当时． ①求证：； ②若，求边的长． (2)如图2，点在线段的延长线上运动，当时，（1）中①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若，在线段的延长线上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 50．如图，在等边中，，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿边向点A以每秒4个单位的速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示：______，______； (2)当点Q到达中点时，判断与的位置关系，并请说明理由； (3)在点P、Q的运动过程中，是否存在t，使得与全等？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由； 51．如图①，在中，，，在中，，边与重合，边在上．如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，分别与交于点M，N．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求t的值； (2)当t为何值时，点M在的平分线上？ (3)当点N为的中点时，求t的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形，若存在请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 52．如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边CD上任意一点（点不与点、重合），连接PQ、QE． (1)请直接用含，的代数式表示线段QD的长度； (2)当时. ①若点是CD的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若与全等，求DE的长； (3)若在边AD上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点，，），请直接写出的取值范围． 考点十四 等腰三角形中的最值（共4题） 53．【提出问题】如图1，已知在直线l同侧有两点A、B，请在直线l上找一点C，使得最小． 【分析问题】如图2，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点． 因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得． 所以 ． 以上问题的解决过程中运用的数学基本事实是 ． 【解决问题】如图3，在四边形中，，在边，上分别确定点P，点Q，使得周长最小． （1）尺规作图：作出（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若，求的度数． 54．如图，在等腰三角形中，，点，在上，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作等腰三角形的对称轴． (2)如图2，为线段上一点，请在等腰三角形的对称轴上找一点，使得点到，两点的距离之和最小． 55．如图1和图2，中，平分，点E在线段上，平分，点F在线段上，点P是线段上一动点． (1)若，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图1，若，点D是的中点，的值最小，请你在图1中画出点P（写出画法，保留画图痕迹）； (3)如图2，连接，若平分，，判断线段，，之间的数量关系，并加以证明． 56．如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M． (1)若求的度数． (2)连接，若 ①求的周长； ②在直线上是否有在点P，使的值最小，若存在，标出点P的位置并求的最小值，若不存在，说明理由． 考点十五 等腰三角形中的新定义（共4题） 57．定义：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 如图①，线段，把分成三个等腰三角形，则线段，叫做的三分线． (1)请你在图②中画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形的顶角的度数； (2)如图③，在中，，线段，是的三分线，点，分别在边，上，且，．求的度数． 58．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 59．请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 任务图 探究任务 任务1 如图1，在中，，，和_____等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． 任务3 在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 60．定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (3)在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$