第18章 等腰三角形 易错训练与压轴训练（10易错+6压轴）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第18章 等腰三角形易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　等腰三角形的相关概念 1 易错题型二　找出图中的等腰三角形 3 易错题型三　等边对等角 5 易错题型四　三线合一 7 易错题型五　等腰三角形的判定 10 易错题型六　等腰三角形的性质 13 易错题型七　等边三角形的判定 15 易错题型八　等边三角形的性质 18 易错题型九　线段垂直平分线 21 易错题型十　尺规作图 25 压轴题型一 等腰三角形的存在性问题 42 压轴题型二　等腰三角形中的旋转问题 51 压轴题型三　等腰三角形中的翻折问题 57 压轴题型四　等腰三角形中的平移问题 63 压轴题型五　等腰三角形中的最值问题 69 压轴题型六　等腰三角形中的新定义问题 78 02 易错题型 易错题型一　等腰三角形的相关概念 例题： 1．等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．18 B．21 C．16或20 D．18或21 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行判定是解题的关键．分8为腰长和5为腰长两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可． 【详解】解：当8为为腰长时，三角形的三边长为：8、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为， 当5为腰长时，三角形的三边长为：5、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为， 故选：D． 2．如图，四边形中，，，，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据构成三角形的条件可得，则由等腰三角形的定义可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵为等腰三角形，且，， ∴， 故选：C． 3．如图，是平角内一射线，点是上一定点，点是直线上一动点，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为 ． 【答案】4或2/2或4 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．分与垂直和不垂直两种情况，再根据等腰三角形的定义画图求解即可． 【详解】解：当时， 若是等腰三角形，只有1种情况，如图： 此时，满足题意； 当与不垂直时， 若是等腰三角形，则有3种情况讨论如下： 当时，如图，以点O为圆心，以长为半径作圆，交直线于点，则满足题意； 当时，如图，以点A为圆心，以长为半径作圆，交直线于点，则满足题意； 当时，如图，作线段的垂直平分线，交直线于点，则满足题意； 综上，共有4个点或2个点， 故答案为：4或2． 4．如图数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，6，点C在线段BD上，且不与端点重合． (1)若，求A，B，C，D四点表示的数的和． (2)若线段，，能围成等腰三角形，求x的值． 【答案】(1)A、B、C、D四点表示的数的和为6 (2)x的值为2或5或3.5 【分析】本题主要考查数轴，有理数的加减法以及等腰三角形的定义，正确地进行进行分类讨论是解答本题的关键． （1）直接进行加减运算即可； （2）分别求出，，的长，再根据为底和腰时分别讨论、计算即可． 【详解】（1）解：当时有： ， ∴A、B、C、D四点表示的数的和为6． （2）解：据题意得：，，， 当为底时，则有， ∴ 解得，； 当为腰，且时，， ∴， 解得，； 当为腰，且时， ∴， 解得， ∴x的值为2或5或3.5． 易错题型二　找出图中的等腰三角形 例题： 5．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 6．如图中的点都在格点上，使（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是 （      ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，等腰三角形的定义，勾股定理，根据网格的特点和勾股定理可得都是等腰三角形，而不是等腰三角形，再根据轴对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：根据网格的特点和勾股定理可得都是等腰三角形，即这三个三角形都是轴对称图形， 不是轴对称图形， 故选：B． 7．如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分开来讨论． 【详解】解：当为腰长时，存在个角等腰三角形； 如图 同理当为底边时，有个． 如图 所以题中共有个点使其为等腰三角形． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长解答． 8．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 易错题型三　等边对等角 例题： 9．如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出． 【详解】解：∵是的中线，，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， 故选：D． 10．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质等，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是关键．在中根据等边对等角，以及三角形内角和定理，求得的度数，在中，根据三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解∵旋转， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：A． 11．如图，在中，，将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在边上．若，则 ． 【答案】64 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由垂线的定义得到，则可求出，由旋转的性质可得，则，再根据平角的定义可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：64． 12．如图，在中，，点，在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明全等是解题的关键． （1）由得，利用即可证明全等； （2）由（1）所证得，从而有，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ； （2）解：由（1）可知： ， ； ， ． 易错题型四　三线合一 例题： 13．如图，分别是的中线和高线．若则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三线合一，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出的度数，三线合一求出的度数即可． 【详解】解：∵是高线， ∴， ∵ ∴， ∵，是的中线， ∴； 故选D． 14．如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形中“三线合一”是解题关键．由三线合一知，由等腰三角形两底角相等即可求解． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 15．如图，在中，，于点，点、在边上，点在点的左侧，且，则图中全等三角形的对数共有 对． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力．根据等腰三角形性质得出，，推出，根据推出，根据推出，最后根据推出． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， 即有4对全等三角形， 故答案为：4． 16．如图中，，是中线，的平分线与相交于点D，． 求 (1)的度数． (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等腰三角形性质得，由三角形外角的性质即可求解； （2）由（1）所求可得，由等腰三角形性质及三角形内角和即可求得结果． 【详解】（1）解：∵，是中线， ∴，即， ∴； （2）解：∵平分，， ∴； ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，三角形内角和及三角形外角的性质等知识，掌握这些基础知识是解题的关键． 易错题型五　等腰三角形的判定 例题： 17．如图，，交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据平行线的性质，等量代换得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 18．如图，在四边形中，连接，，，分别交于点E、F，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，先根据平行线的性质求出，然后根据三角形内角和定理和角的和差关系求出，然后根据等角对等边即可得证． 【详解】证明：，， ， 又， ， ， ， ， 是等腰三角形． 19．操作实践：中，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并写出两个等腰三角的顶角度数．（画出一种情况即可） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，如图，首先根据三角形内角和定理求出，分，两种情况分别讨论，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴ 如图所示，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴都是等腰三角形 ∴ ∴两个等腰三角形的顶角分别为 如图所示， ∴ ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴两个等腰三角形的顶角分别为 20．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义求出，得到，最后根据等角对等边即可求证； （2）由（1）可得，根据等腰三角形三线合一即可求得的度数． 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：， ， ，为的中点， ∴平分， ； 易错题型六　等腰三角形的性质 例题： 21．如图，中，，的垂直平分线交于P点． (1)若，求的度数 (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，理解并掌握垂直平分线的性质是解题关键． （1）首先根据垂直平分线的性质可得，由等腰三角形“等边对等角”的性质可知，然后由求解即可； （2）结合，易得的周长，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于P点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：的周长 ， ∵，， ∴的周长． 22．如图，在中，，，平分交于点E，于点D． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练利用上述性质是解题的关键． （1）由证即可； （2）证明为等腰三角形即可解答． 【详解】（1）解：，平分，， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可知：， ∵, , ,    ， ． 23．如图所示，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角及三角形外角的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质确定，再由等边对等角得出，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求解； （2）根据（1）得出，结合图形求周长即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知， ∵， ∴， ∴的周长． 24．如图，中，，平分，交于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等； （1）由可判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由等腰三角形的性质得，即可求解． 熟练运用全等三角形和等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分， ， 在与中 ， （）， ； （2）解：， ， ， ， ． 易错题型七　等边三角形的判定 例题： 25．如图，已知，，，垂足为，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）先由全等三角形的性质得，再根据直角三角形的性质得，进而得，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，垂足为D，，垂足为， 在和中， （）. ； （2）证明：由（1）可知， ， ，点是的中点， ， ， 又， 是等边三角形． 26．如图，在中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若点为中点，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，垂直平分线的判定和性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定是解题的关键． （1）利用证明，进而可得，然后利用垂直平分线的性质即可得出结论； （2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，结合已知条件即可得出的形状． 【详解】（1）证明：，且， ， 在和中， ， ， ， ， ∴垂直平分线段， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，点为中点， ， ， 是等边三角形． 27．如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得，再根据角的和差得，结合得，即可得证； （2）连接，证明，则，而，即可得解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ∴在中，， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： 连接，如图所示： 是的垂直平分线， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义及性质，等边三角形的判定，含的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 28．如图，在中，是的中点，，，垂足分别为，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)当的度数为_________时，为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形判定，等腰三角形的判定与性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键； （1）首先根据等腰三角形的性质得到，，然后证明出，得到，即可证明出为等腰三角形； （2），根据直角三角形的性质求得，再求出，即可证明． 【详解】（1）证明：，是的中点， ，， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ∴为等腰三角形； （2）解：当时，为等边三角形， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴为等边三角形 故答案为：． 易错题型八　等边三角形的性质 例题： 29．如图，分别是以为斜边的直角三角形，是等边三角形． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，，则可证明，证明得到，据此可得，即； （2）根据全等三角形的性质可得，则，进而可得，则． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵为斜边的直角三角形，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 30．如图，为等边三角形，，交于点P，于Q． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等，可得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，进而可得，即可得到答案； （3）证明，得到，则，即求出答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，，则， ∴， ∴， ∵于点Q， ∴． ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：如图， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 31．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据等边三角形的性质得到，运用“边角边”即可求证； （2）根据题意，由，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵在等边中，， ∴． 32．（1）【感知】 如图①， 和都是等边三角形，且点、、在同一条直线上，连接和，直线、相交于点，与相交于点，则线段与的数量关系为 ． ． （2）【探究】 如图②，点、、不在同一条直线上，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由； （3）【应用】 如图③，点、、不在同一条直线上，其他条件不变，此时恰好有 ，若 ，则 ． 【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，然后推出，再利用“边角边”证明，得到，，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，结合，则可得出结论； （3）由（1）（2）可知，得到，由为等边三角形可得，推出，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：（1）和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， 由三角形的外角性质，，， ， 故答案为：，； （2）成立，理由如下： 和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， 又， ； （3）由（1）（2）可知， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识． 易错题型九　线段垂直平分线 例题： 33．已知，平分，，，是垂直平分线，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等的三角形是关键．根据角平分线的性质可以证得，然后根据线段的垂直平分线的性质证得，则可以证明，根据全等三角形的对应边相等证明． 【详解】证明：连接， 平分，，，即， ． 是垂直平分线， ， 在和中， ， ， ． 34．如图，在中，是边上的一点，连接．垂直平分，垂足为，交于点，连接． (1)若的长为6，的周长为7，求的周长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，由的周长为7可得，于是可得的周长，于是得解； （2）由三角形的内角和定理可得，利用可证得，于是可得，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ，， 的周长为7， ， 的周长 ； （2）解：，， ， ∵在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 35．如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，由线段垂直平分线的性质可得，根据角平分线的性质可得，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据角平分线的性质可得，，证明，得到，推出，结合 ， 即可求解． 【详解】（1）证明：连接，， 垂直平分， ， ，，平分， ，， ， ； （2），，平分， ，， ， ， ， ， 由（1）知，， ． 36．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)若，则_________； (2)若，的周长为20，求的周长． 【答案】(1)3 (2)32 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理， 对于（1），根据是的垂直平分线，得，可得答案； 对于（2），先求出，再根据线段垂直平分线的性质定理得，然后根据的周长等于求出，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴． 故答案为：3； （2）解：∵，是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长， 解得， ∴的周长． 易错题型十　尺规作图 例题： 37．如图，已知角，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长； (2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高．（用两种不同的方法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的尺规作图，需要利用直尺和圆规，深刻理解等腰三角形的性质，即两底角相等；等腰三角形“三线合一”的性质，即在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三条特殊线段重合为一条线段，根据给定的底角和底边或高进行作图．解题的关键是利用已知条件，通过得到顶角，或利用两直线平行，同位角相等，来转化相等的角． （1）根据给定的线段长度作出底边，分别以、为顶点，作两底角都等于的角，这两个角的另一边相交于点，即得所求； （2）方法：先作出的补角，即为等腰三角形的顶角，再作顶角的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，在角平分线上截取，过点作，分别交、于点、点，即得所求；方法：先作一个两底角为的等腰三角形，作底边上的高，在上截取，过点作，分别交、于点、点，即为所求． 【详解】（1）解：作法：①作， ②在上取点，使， ③在的上方作，交于点， 则如图，即为所求； （2）作法：①原图中，在角的一边上作一个与相等的角， ②原图中，延长已知角的另一条边，得到，即， ③作， ④作的角平分线， ⑤在上取点，使， ⑥过点作，分别交、于点、点， 则如图，即为所求； 作法：①作一条线段， ②分别以、为顶点，作，，交于点， ③过点作于， ④在上截取，使， ⑤过点作，分别交、于点、点， 则如图，即为所求． 38．操作与实践 (1)学习了尺规作图之后，小桂按以下步骤进行了尺规作图的练习： 第一步：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点； 第二步：过点，作直线． 根据以上作图，可知小桂作的直线是线段的________． (2)小桂的尺规作图笔记里有这么一道题目： 如图，已知线段，，求作，使，且，高． 请你帮助小桂完成尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (3)在（2）所作的图中，已知边上的高为，根据题意补全图形，则与的数量关系是________． 【答案】(1)垂直平分线 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质等知识，熟练掌握尺规作图和等腰三角形的三线合一是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图即可得； （2）先作射线，在射线上截取，再作的垂直平分线，交于点，然后在射线（或射线）上截取，连接即可得； （3）先根据等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质可得，，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：由线段垂直平分线的尺规作图可知，小桂作的直线是线段的垂直平分线， 故答案为：垂直平分线． （2）解：如图，即为所作． ． （3）解：由题意补全图形如下： ∵，， ∴，， ∴， ∵边上的高为，即， ∴， ∴， 故答案为：． 39．尺规作图： (1)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图中作出表示它位置的点． (2)已知等腰三角形腰长为a，腰上的高的长为h，求作这个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图--应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作平分，垂直平分线段，射线交于点P，点P即为所求； （2）作于点D，在射线上截取线段，以A为圆心，a为半径作弧交直线于点B，C，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点P即为所求； （2）如图2中，即为所求． 由作图可知：， 故即为所求． 40．尺规作图： (1)已知点为内部一点，过点用直尺和圆规作直线，直线交、于点，使得．（两种方法） (2)已知点为内部一点，过点用直尺和圆规作直线，直线交、于点，使得为等边三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了尺规作角平分线，线段垂直平分线，作角等于已知角， （1）方法一：先作的角平分线，再过点作角平分线的垂直平分线即可求解；方法二：作等腰三角形，再过点作即可求解； （2）过点作的垂线，交于点，作的垂直平分线交于点，由此即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，连接； 以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，并延长，则是的角平分线； 以点为圆心，任意长为半径画弧交于点， 以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，则垂直平分线段； 连接并延长交于点，交于点， 为的角平分线，， 垂直平分， ； 方法二：以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，连接； 以点为圆心，任意长为半径画弧交直线于点，连接； 以点为圆心，以为半径画弧交直线于点 ，以点为圆心，以为半径画弧交于点， 连接，并延长交于点，交于点， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，以点为圆心，任意长为半径画弧交于点， 分别于点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于于点， 同理，作线段的垂直平分线，交于点，连接，则即为所求图形， 03 压轴题型 压轴题型一　等腰三角形的存在性问题 例题： 41．在中，，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． (1)如图①，点E在运动过程中，求的度数； (2)如图②，若E为中点，探究与的数量关系，写出证明过程； (3)在点E运动过程中，是否存在是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)存在，． 【分析】（1）作交于点F，用全等判定方法证明，得到，即可得出的度数； （2）作交于点G，作于点H，先用全等判定方法证明，得，再由，得，再判定等腰直角得，最后等量代换即可推导出； （3）过点C作交于G，先说明是钝角三角形，则当是等腰三角形时，只存在一种情况：，结合（1）中的结论，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，作交于点F，则， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． （2），理由如下： 如图2，作交于点G，作于点H，则， ， 为中点， ， ， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）在点E运动过程中，存在是等腰三角形， ， ， 是钝角三角形， 当是等腰三角形时，只存在一种情况：， 如图3，过点C作交于G， 由（1）得，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，重点考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，学会运用类比的方法解决同一类型的问题是解题的关键，综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 42．如图，中，，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达B点时，点M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)当点M、N在上运动时，连接、，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时点M、N运动的时间． 【答案】(1)点M、N运动12秒后重合 (2)当点M、N运动4秒时，是等边三角形 (3)存在，当点M、N运动16秒时，是等腰三角形 【分析】本题是三角形的综合问题，主要考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系． （1）首先设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，然后表示出，的长，由于等于，所以只要三角形就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出，的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）设点M、N运动t秒后重合， 则， 解得， ∴点M、N运动12秒后重合； （2）设点M、N运动t秒后，是等边三角形， 如图1，，， 当时，是等边三角形， 即， 解得， ∴当点M、N运动4秒时，是等边三角形； （3）能得到以为底边的等腰三角形；理由如下： 如图2， 设点M、N运动t秒， 则，， 假设是等腰三角形， 则，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴当点M、N运动16秒时，是等腰三角形． 43．【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】 （2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）作，交于点，证明即可得到答案； （3）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故答案为：； （2）在中，，，，如图，作，交于点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 综上所述，的面积为或． 44．如图，直线，平分，过点作交于点C．动点D，E同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为________； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1) (2)或4 (3)2或6 【分析】（1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题； （2）作于，于．由平分，推出，由，，，可得，解方程即可解决问题． （3）存在．由，，可知当时，，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2中， ①当在线段上时，作于，于． 平分， ， ，，， ， ； ②当点运动到延长线上，同法可得时，也满足条件， 当或4时，满足； （3）解：存在某个时间，使得与全等；理由如下： 由（1）知，， 是等腰直角三角形， ，， 当时，， ， ， 时， 当在延长线上时，， 解得：， 综上所述，满足条件的的值为2或6， 故答案为：2或6． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 压轴题型二　等腰三角形中的旋转问题 例题： 45．如图，在和中，，，．将绕着点旋转． (1)当旋转到图1位置时，正好使得、、三点共线时，求此时的度数； (2)当旋转到图2位置时，连接、，并延长交于点，若，求证：； (3)当旋转到图3位置时，连接、，取中点，连接并延长交于点，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线，证明三角形全等． （1）根据，，，得出，证明，得出，证出，根据求解即可． （2）过点作交的延长线于点，证明，得出，结合，得出，证明，即可得． （3）如图延长使，连接，证明，得出，结合，得出，根据，，得出，证明，得出，即可得，根据，得出，即可得，即． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 在和中： ， ， ， ， ， ． （2）证明：过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图延长使，连接， ∵点是中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 46．操作，画，并画的平分线，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、． (1)若，（如图①，与的数量关系是______； (2)把三角尺绕点旋转（如图②，与相等吗？请说明理由； (3)探究：画，并画的平分线，在上任取一点，作．的两边分别与、相交于、两点（如图③，与相等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（1）由角平分线的性质可证明； （2），分两种情况，当时，证明，可得；当与不垂直时，作于点，于点，先证明得，再证明，可得； （3）在上取一点，使，连接，先证明，可得，再由同角的补角相等证明，则，得． 【详解】（1）解：平分，，， ∴； （2）解：，理由如下： 当时，如图①， ，平分， ， ，且， ， ， ， ∴， ； 当与不垂直时，如图②，作于点，于点， ，，， ， ， ，且， ， ， ， ， ∴， ， 综上所述，． （3）解：，理由如下： 如图③，在上取一点，使，连接， 平分， ， ， ∴， ，， ， ，，且， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、多边形的内角和定理等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形． 47．如图1，在中，，，，是经过点的直线，于，于． (1)求证：． (2)若将绕点旋转，使与相交于点如图2，其他条件不变，求证：． (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点（如图3），连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质定理，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，进行解答，即可． （1）根据平角的性质，可得，根据于，于，得到，推出，等量代换，得到，根据全等三角形的判定和性质，可得； （2）根据题意，得，根据，，等量代换，可得，根据全等三角形的判定和性质，即可； （3）过点作交于点，根据平行线的性质，得，推出，根据全等三角形的判定和性质，可得，得到，根据等腰直角三角形的性质，得，再根据全等三角形的判定和性质，推出，得到，等量代换，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵于，于， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）证明：过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）可得，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 48．如图1，在中，于点E，，D是上的一点且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将图1中的绕点E旋转一定的角度后，试判断与 的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将图2中的和都换成等边三角形，其他条件不变，请直接写出与的数量关系和夹角（锐角）的度数． 【答案】(1)， (2)，不变化，见解析 (3)， 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明根据全等三角形的性质证明即可． （3）根据等边三角形的性质，利用边角边原理证明．再根据等边三角形的性质，全等性质，三角形内角和定理证明即可． 【详解】（1）证明：，．证明如下： ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴，， 延长交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故，． （2）证明：，不变．证明如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， 设交于点F，交于点N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故，． （3）证明：，且二线夹的锐角为．理由如下： ∵和都是等边三角形， ，，. ，即， ∵， ∴， ． 如图4，设与的交点为，设交于点H， ∵， ， . 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，对顶角性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 压轴题型三　等腰三角形中的翻折问题 例题： 49．如图1，在中，，，D是的中点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于点． (1)求证：． (2)如图2，连接，过点作，交于点，求证：． (3)如图3，将沿翻折得到，连接，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）利用直角相等，对等角相等，三角形内角和定理，证明． （2）先证明，再证明，利用等腰直角三角形的性质，等量代换证明即可． （3）取的中点，连接，利用三角形全等，线段垂直平分线的性质证明即可． 【详解】（1）证明：， ． ，， ∴， ． （2）证明：， ． ， ， ． ，， ， ，． ，，， ， ． ∵，，， ∴， ， ， ． （3）证明：如图，取的中点，连接， ． 由（2），得， ． ， ， ． ， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了直角性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 50．已知图中和都是等边三角形，点可沿边翻折至边上的点． (1)求证：； (2)试用等式写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质： （1）根据和都是等边三角形推出和全等，然后根据全等三角形的对应边相等即可得证； （2）根据等边三角形的性质和对称的性质即可推出线段，，的数量关系． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵点C与点F关于对称， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴． 51．（1）求证：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度． 根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整． 已知：如图，在中，，___________． 求证：___________． 证明： （2）如图，是一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将角翻折，使得点落在上（如图中的点），折痕交于点，则等于________度． 【答案】（1），，证明见解析（2）15 【分析】本题考查折叠问题，中垂线的判定和性质，等边三角形的判定和性质： （1）根据命题条件和结论分别补全求证的题干和结论，再延长至D，使得，连接，即可证明垂直平分，进一步有是等边三角形，利用三角形内角和定理即可证明． （2）根据折叠的性质，长方形的性质，得到，利用（1）中结论即可得出结果． 【详解】解：（1）已知：如图，在中，，． 求证：． 证明：延长至D，使得，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∵，且． ∴垂直平分 ∴， ∴， 则是等边三角形． ∴． ∴． 故答案为：，． （2）∵长方形，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， 由（1）可知：， ∴， ∴； 故答案为：15． 52．在中，，点在边上，连接，将沿翻折使得点落在边上得，连接． (1)如图，若，，则__________； (2)如图，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由折叠的性质得，即得，再根据角的和差关系即可求解； （）根据可得，根据折叠的性质可得，，根据可得，通 过三角形内角和定理、三角形外角的性质、等量代换可求出，依次求出即可． 【详解】（1）解：∵将沿翻折得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵将沿翻折得， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等，掌握折叠的性质是解题的关键． 压轴题型四　等腰三角形中的平移问题 例题： 53．如图，已知正方形的边长是5，点E在上，将经顺时针旋转后与重合． (1)如果连接，判断是怎样的三角形？请说明理由； (2)将向右平移后到的位置， ①请写出平移的距离是 ； ②试猜想线段和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2)①5；②，，理由见解析 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质． （1）本题考查正方形的性质及旋转的性质，根据旋转得到，结合（1）即可得到答案； （2）①根据平移的性质得到平移的距离是5； ②根据平移的性质结合直角三角形两锐角互余得到位置关系即可得到答案． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴， ∵经顺时针旋转后与重合， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：①∵向右平移后到， ∴平移的距离是； 故答案为：5； ②，，理由如下， ∵向右平移后到， ∴，， ∵， ∴， ∵经顺时针旋转后与重合， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，． 54．已知是等边三角形，将一块含有角的直角三角尺按如图所示放置，让三角尺在所在的直线上向右平移．如图1，当点与点重合时，点恰好落在三角尺的斜边上． (1)利用图1证明；； (2)如图2，在三角尺平移过程中，设，与三角尺的斜边的交点分别为，，猜想线段与存在怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形性质，等边对等角，三角形外角的性质： （1）根据等边三角形的性质和三角形外角的性质证明，，进而可证明，据此根据线段的和差关系即可证明结论； （2）同（1）可证明，再由（1）的结论和线段的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 55．如图所示，平移后得到．    (1)若，，求的度数； (2)若，与相交于点O，则与相等吗？说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查平移的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质和等腰三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据平移性质得到，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）根据平移性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而根据等角对等边可得出结论． 【详解】（1）解：∵平移后得到，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由为： ∵平移后得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 56．如图，等腰是由沿箭头方向平移得到的，，点在一条直线上． (1)若，求的大小； (2)若，，，求的长及点移动的距离． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了平移的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． （1）由平移的性质结合等腰三角形的性质即可得出答案； （2）由平移的性质可得，，计算出的长度，即可得解． 【详解】（1）解：等腰是由沿箭头方向平移得到的，， ∴ （2）解：∵等腰是由沿箭头方向平移得到的， ∴，， ∵， ∴， ∴点移动的距离为． 压轴题型五　等腰三角形中的最值问题 例题： 57．如图，在中，，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F．在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到的长度的最小值是解题的关键．由垂直平分，得到点关于直线对称，于是得到的长度的最小值，即可得到结论． 【详解】∵，D是的中点， ∴， ∵垂直平分， ∴， 如图，当P为与的交点时，取最小值， 此时， ∴的最小值为， 故选：B． 58．在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ∴，， ∴的周长的最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， 为边长为4的等边三角形， ， 的周长的最小值为4． 故选：A． 59．如图，在中，，，的面积是10，的垂直平分线分别交，边于，两点，若为边的中点，在线段上存在一点，使P，B，F三点构成的的周长最小，则周长的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，，三角形的三边关系等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．连接、，由垂直平分线的性质可得A与B关于对称，则当A、P、F三点共线时，周长最小为的长． 【详解】解：连接、，如图． 因为是线段的垂直平分线， 所以点A与点关于对称． 所以， 所以周长， 当A，，三点共线时，周长最小， 因为为边的中点，， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以的周长， 所以周长的最小值为7， 故答案为：7． 60．如图，在中，，的垂直平分线交于N，交于M． (1)若，求的度数． (2)连接，若，． ①求的周长； ②在直线上是否有在点P，使的值最小，若存在，标出点P的位置并求的最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （2）①根据垂直平分线的性质，可得与的关系，再根据三角形的周长，可得答案； ②根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得与的关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图：连接， ①∵垂直平分． ∴， ∴的周长； ②当点P与点M重合时，的值最小，最小值是． 压轴题型六　等腰三角形中的新定义问题 例题： 61．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图中，若和互为“兄弟三角形”，，则 ① ______ 填、或 ②连接线段和，则 ______ 填、或 (2)如图，和互为“兄弟三角形”，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点， ①求的大小； ，求的面积； (3)如图，和互为“兄弟三角形”，，，，、、三点在一条直线上，交于点，、、三点在一条直线上，，，的面积为，求的长． 【答案】(1)①，② (2)①，②2 (3)6 【分析】（1）①由角的数量关系可求解；由“”可证，可得； （2）①由全等三角形的性质可得，即可求解；由等腰直角三角形的性质可求，的长，即可求解； （3）连接，首先得到，然后证明出，然后得到，设的长度为，列方程求解即可． 【详解】（1）解：①和互为“兄弟三角形”， ， 又，， ， 故答案为：； 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①，， ， ， 由（1）②知，， ， ； 过作于，过作于，如图： ， 由知，， ， ， 又是中点， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 的面积为：； （3）解：连接，如图所示： ，且， ， 在和中， ， ， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是公共部分， ， 设的长度为， 则， 解得：负值已舍去， 故的长度为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 62．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在中，为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，且线段的长度为正整数，过点作平行，交的延长线于点，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知四边形是等腰直角三角形，，则与是偏等积三角形吗？请说明理由．    【答案】（1）3（2）（3）是，理由见解析 【分析】（1）根据等底同高的三角形的面积相等，得到，即可； （2）根据等底同高的三角形的面积相等，得到，证明，得到，，利用三角形的三边关系，求出的取值范围，结合为整数，即可得出结果； （3）根据等腰直角三角形的性质，以及周角的定义，得到与不全等，过点作，过点作，证明，得到，根据等底等高，得到与的面积相等，即可出结论． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∴， ∴当时，，且此时为钝角三角形，为直角三角形， ∴当时，与为偏等积三角形． 故答案为：3；   （2）如图：过点作，    ∵与为偏等积三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴， 又为整数， ∴， ∴； （3）与是偏等积三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴与不全等， 过点作，过点作，则：，    ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即：与的面积相等， ∴与是偏等积三角形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系．理解并掌握偏等积三角形的定义，证明三角形全等，是解题的关键． 63．新定义：如图1和图2中，点P是平面内一点，如果或，称点P是线段的友好点．    (1)如图3，中，，，问：点F是否是线段的友好点？请说明理由． (2)如图4，中，，F是线段的友好点，是的角平分线，求证：点H是线段上的友好点． 【答案】(1)点F是线段的友好点，理由见解析； (2)理由见解析． 【分析】（1）在中，根据直角三角形角的性质得：和的关系，由新定义即可解决问题； （2）先根据F是线段的友好点，得出，在中得出，进而得出，再根据是的角平分线，得出，在中，根据，得出，再得出，最终得出， 即可得到点H是线段上的友好点． 【详解】（1）解：点F是线段的友好点，理由如下： 在中，，， ， ， 点F是线段的友好点． （2）证明：F是线段的友好点， ， ， 在中， ， ， ， 是的角平分线， ， 在中，， ， ， ， ， ， 点H是线段上的友好点． 【点睛】本题考查了直角三角形含的性质，等角对等边等性质，理解新定义的友好点是解题的关键． 64．新定义：若一个点四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图，四边形 是“等腰四边形“，BD 为“界线”，若，，则 ． (2)四边形 是“等腰四边形”， 为“界线”，若，，则 ． (3)若在“等腰四边形” 中，，，且为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出的度数． 【答案】(1)45° (2)65°或35°或95° (3)图见解析，90°或135°或45° 【分析】（1）由“等腰四边形”的定义，得，，即可求得，，所以，于是得到问题的答案； （2）由，，且是等腰三角形，得，则，再分三种情况讨论，一是，则，可求得；二是，则，所以，可求得；三是，则，可求得； （3）分三种情况讨论，一是四边形 “等腰四边形”，且，可证明，得，则，，所以；二是四边形“等腰四边形”，且，可证明是等边三角形，则，所以，则，所以；三是四边形 “等腰四边形”，且，设，作于点E，作点C关于直线的对称点F，连接交于点G，连接，可证明是等边三角形，得，则，， ，所以，得． 【详解】（1）如图1，∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴，， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：45°． （2）∵，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 当时，如图2，则， ∴； 当时，如图3，则， ∴， ∴； 当时，如图4，则， ∴， 综上所述，或或， 故答案为：65°或35°或95°． （3）如图5，四边形 “等腰四边形”，且， ∵，， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴； 如图6，四边形 “等腰四边形”，且， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图7，四边形 “等腰四边形”，且，设， 作于点E，作点C关于直线的对称点F，连接交DE于点G，连接， ∴，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的度数为90°或135°或45° 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、新定义问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 35 / 90 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 等腰三角形易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　等腰三角形的相关概念 1 易错题型二　找出图中的等腰三角形 3 易错题型三　等边对等角 5 易错题型四　三线合一 7 易错题型五　等腰三角形的判定 10 易错题型六　等腰三角形的性质 13 易错题型七　等边三角形的判定 15 易错题型八　等边三角形的性质 18 易错题型九　线段垂直平分线 21 易错题型十　尺规作图 25 压轴题型一 等腰三角形的存在性问题 42 压轴题型二　等腰三角形中的旋转问题 51 压轴题型三　等腰三角形中的翻折问题 57 压轴题型四　等腰三角形中的平移问题 63 压轴题型五　等腰三角形中的最值问题 69 压轴题型六　等腰三角形中的新定义问题 78 02 易错题型 易错题型一　等腰三角形的相关概念 例题： 1．等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．18 B．21 C．16或20 D．18或21 2．如图，四边形中，，，，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，是平角内一射线，点是上一定点，点是直线上一动点，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为 ． 4．如图数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，6，点C在线段BD上，且不与端点重合． (1)若，求A，B，C，D四点表示的数的和． (2)若线段，，能围成等腰三角形，求x的值． 易错题型二　找出图中的等腰三角形 例题： 5．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 6．如图中的点都在格点上，使（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是 （      ）    A． B． C． D． 7．如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    易错题型三　等边对等角 例题： 9．如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在边上．若，则 ． 12．如图，在中，，点，在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 易错题型四　三线合一 例题： 13．如图，分别是的中线和高线．若则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，于点，点、在边上，点在点的左侧，且，则图中全等三角形的对数共有 对． 16．如图中，，是中线，的平分线与相交于点D，． 求 (1)的度数． (2)的度数． 易错题型五　等腰三角形的判定 例题： 17．如图，，交于点．求证：是等腰三角形． 18．如图，在四边形中，连接，，，分别交于点E、F，．求证：是等腰三角形． 19．操作实践：中，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并写出两个等腰三角的顶角度数．（画出一种情况即可） 20．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 易错题型六　等腰三角形的性质 例题： 21．如图，中，，的垂直平分线交于P点． (1)若，求的度数 (2)若，，求的周长． 22．如图，在中，，，平分交于点E，于点D． (1)求证： (2)若，，求的长． 23．如图所示，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 24．如图，中，，平分，交于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 易错题型七　等边三角形的判定 例题： 25．如图，已知，，，垂足为，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 26．如图，在中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若点为中点，试判断的形状，并说明理由． 27．如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 28．如图，在中，是的中点，，，垂足分别为，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)当的度数为_________时，为等边三角形． 易错题型八　等边三角形的性质 例题： 29．如图，分别是以为斜边的直角三角形，是等边三角形． (1)求证：； (2)若，求的长． 30．如图，为等边三角形，，交于点P，于Q． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，若，求的值． 31．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 32．（1）【感知】 如图①， 和都是等边三角形，且点、、在同一条直线上，连接和，直线、相交于点，与相交于点，则线段与的数量关系为 ． ． （2）【探究】 如图②，点、、不在同一条直线上，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由； （3）【应用】 如图③，点、、不在同一条直线上，其他条件不变，此时恰好有 ，若 ，则 ． 易错题型九　线段垂直平分线 例题： 33．已知，平分，，，是垂直平分线，求证：． 34．如图，在中，是边上的一点，连接．垂直平分，垂足为，交于点，连接． (1)若的长为6，的周长为7，求的周长． (2)若，，求的度数． 35．如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 36．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)若，则_________； (2)若，的周长为20，求的周长． 易错题型十　尺规作图 例题： 37．如图，已知角，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长； (2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高．（用两种不同的方法） 38．操作与实践 (1)学习了尺规作图之后，小桂按以下步骤进行了尺规作图的练习： 第一步：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点； 第二步：过点，作直线． 根据以上作图，可知小桂作的直线是线段的________． (2)小桂的尺规作图笔记里有这么一道题目： 如图，已知线段，，求作，使，且，高． 请你帮助小桂完成尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (3)在（2）所作的图中，已知边上的高为，根据题意补全图形，则与的数量关系是________． 39．尺规作图： (1)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图中作出表示它位置的点． (2)已知等腰三角形腰长为a，腰上的高的长为h，求作这个等腰三角形． 40．尺规作图： (1)已知点为内部一点，过点用直尺和圆规作直线，直线交、于点，使得．（两种方法） (2)已知点为内部一点，过点用直尺和圆规作直线，直线交、于点，使得为等边三角形． 03 压轴题型 压轴题型一　等腰三角形的存在性问题 例题： 41．在中，，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． (1)如图①，点E在运动过程中，求的度数； (2)如图②，若E为中点，探究与的数量关系，写出证明过程； (3)在点E运动过程中，是否存在是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 42．如图，中，，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达B点时，点M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)当点M、N在上运动时，连接、，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时点M、N运动的时间． 43．【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】 （2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 44．如图，直线，平分，过点作交于点C．动点D，E同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为________； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由． 压轴题型二　等腰三角形中的旋转问题 例题： 45．如图，在和中，，，．将绕着点旋转． (1)当旋转到图1位置时，正好使得、、三点共线时，求此时的度数； (2)当旋转到图2位置时，连接、，并延长交于点，若，求证：； (3)当旋转到图3位置时，连接、，取中点，连接并延长交于点，求证：． 46．操作，画，并画的平分线，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、． (1)若，（如图①，与的数量关系是______； (2)把三角尺绕点旋转（如图②，与相等吗？请说明理由； (3)探究：画，并画的平分线，在上任取一点，作．的两边分别与、相交于、两点（如图③，与相等吗？请说明理由． 47．如图1，在中，，，，是经过点的直线，于，于． (1)求证：． (2)若将绕点旋转，使与相交于点如图2，其他条件不变，求证：． (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点（如图3），连接，求证：． 48．如图1，在中，于点E，，D是上的一点且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将图1中的绕点E旋转一定的角度后，试判断与 的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将图2中的和都换成等边三角形，其他条件不变，请直接写出与的数量关系和夹角（锐角）的度数． 压轴题型三　等腰三角形中的翻折问题 例题： 49．如图1，在中，，，D是的中点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于点． (1)求证：． (2)如图2，连接，过点作，交于点，求证：． (3)如图3，将沿翻折得到，连接，求证：． 50．已知图中和都是等边三角形，点可沿边翻折至边上的点． (1)求证：； (2)试用等式写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由； 51．（1）求证：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度． 根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整． 已知：如图，在中，，___________． 求证：___________． 证明： （2）如图，是一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将角翻折，使得点落在上（如图中的点），折痕交于点，则等于________度． 52．在中，，点在边上，连接，将沿翻折使得点落在边上得，连接． (1)如图，若，，则__________； (2)如图，若，，求的度数． 压轴题型四　等腰三角形中的平移问题 例题： 53．如图，已知正方形的边长是5，点E在上，将经顺时针旋转后与重合． (1)如果连接，判断是怎样的三角形？请说明理由； (2)将向右平移后到的位置， ①请写出平移的距离是 ； ②试猜想线段和的数量关系和位置关系，并说明理由． 54．已知是等边三角形，将一块含有角的直角三角尺按如图所示放置，让三角尺在所在的直线上向右平移．如图1，当点与点重合时，点恰好落在三角尺的斜边上． (1)利用图1证明；； (2)如图2，在三角尺平移过程中，设，与三角尺的斜边的交点分别为，，猜想线段与存在怎样的数量关系？并证明你的结论． 55．如图所示，平移后得到．    (1)若，，求的度数； (2)若，与相交于点O，则与相等吗？说明理由． 56．如图，等腰是由沿箭头方向平移得到的，，点在一条直线上． (1)若，求的大小； (2)若，，，求的长及点移动的距离． 压轴题型五　等腰三角形中的最值问题 例题： 57．如图，在中，，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F．在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（   ） A．9 B． C． D． 58．在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 59．如图，在中，，，的面积是10，的垂直平分线分别交，边于，两点，若为边的中点，在线段上存在一点，使P，B，F三点构成的的周长最小，则周长的最小值为 ． 60．如图，在中，，的垂直平分线交于N，交于M． (1)若，求的度数． (2)连接，若，． ①求的周长； ②在直线上是否有在点P，使的值最小，若存在，标出点P的位置并求的最小值，若不存在，说明理由． 压轴题型六　等腰三角形中的新定义问题 例题： 61．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图中，若和互为“兄弟三角形”，，则 ① ______ 填、或 ②连接线段和，则 ______ 填、或 (2)如图，和互为“兄弟三角形”，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点， ①求的大小； ，求的面积； (3)如图，和互为“兄弟三角形”，，，，、、三点在一条直线上，交于点，、、三点在一条直线上，，，的面积为，求的长． 62．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在中，为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，且线段的长度为正整数，过点作平行，交的延长线于点，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知四边形是等腰直角三角形，，则与是偏等积三角形吗？请说明理由．    63．新定义：如图1和图2中，点P是平面内一点，如果或，称点P是线段的友好点．    (1)如图3，中，，，问：点F是否是线段的友好点？请说明理由． (2)如图4，中，，F是线段的友好点，是的角平分线，求证：点H是线段上的友好点． 64．新定义：若一个点四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图，四边形 是“等腰四边形“，BD 为“界线”，若，，则 ． (2)四边形 是“等腰四边形”， 为“界线”，若，，则 ． (3)若在“等腰四边形” 中，，，且为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出的度数． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$