精品解析：福建省厦门第一中学2024-2025学年九年级下学期模拟考试数学试题

2025年福建省厦门一中九年级下学期数学模拟考试 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若一个数的绝对值是2，则这个数是（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值．绝对值的定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．绝对值的性质：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0． 根据绝对值的性质解答即可． 【详解】设这个数为x， 则， ∴． 故选：C． 2. 汉白玉葫芦瓶是中国古代玉雕艺术中的瑰宝，以其精湛的工艺和独特的形态而备受瞩目．作为一件具有重要历史价值和艺术价值的玉器，它展示了古代工匠的技艺和中国古代文化的瑰丽魅力．如图所示，是关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义求解即可，正确把握观察的角度是解题关键． 【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同， 故选：B ． 3. 原子是化学变化中的 最小微粒，按照国际单位制的规定，质量单位是“千克”．例如：1个氧原子的质量是．如果小数0.000…02657用科学记数法表示为，则这个小数中“ ”的个数为（ ） A. 25个 B. 26个 C. 27个 D. 28个 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义还原出原来的小数，即可得出答案． 【详解】∵小数0.000…02657用科学记数法表示为， ∴这个小数中“ ”的个数为26个． 故答案是B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，绝对值小于1的数可以表示为的形式，其中， 为原数中第一个不是零的数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零），表示时关键是要正确确定 和 的值． 4. 下列关于正多边形的说法中，正确的是（ ） A. 各边都相等的多边形是正多边形 B. 各内角都相等的多边形是正多边形 C. 过正n边形一个顶点的对角线有条 D. 正多边形的各边相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的定义，以及对角线数量问题，注意各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立． 根据正多边形的定义即可判断A、B、D，根据多边形从一个顶点出发可以作条对角线判断C． 【详解】解：A、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A错误，不符合题意； B、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项B错误，不符合题意； C、过正n边形一个顶点的对角线有条，故选项C错误，不符合题意； D、正多边形的各边相等，正确，符合题意， 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂除法、平方差公式、完全平方公式等知识点，掌握同底数幂的相关运算法则成为解题的关键． 根据幂的乘方、同底数幂除法、平方差公式、完全平方公式逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故A正确，符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D不正确，不符合题意． 故选：A． 6. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握．利用根与系数关系求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故选：C． 7. 北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．现将四张大小相同的正方形卡片拼成如图所示的正方形靶盘（其中两张卡片上是“春”字，另外两张上是“福”字）．现向该靶盘随机掷两次飞镖，则两次射中的卡片上的字不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图求随机事件的概率，清晰地列出所有可能的情况，并准确找出满足条件的情况，是解题的关键； 首先明确靶盘的布局，然后找出所有可能的投掷结果，并确定其中两次射中卡片上的字不相同的结果数，最后计算概率． 【详解】解：设正方形靶盘被分为四个相等的正方形区域，分别标记为“春1”，“春2”，“福1”，“福2”． 春1 春2 福1 福2 春1 春1春1 春2春1 福1春1 福2春1 春2 春1春2 春2春2 福1春2 福2春2 福1 春1福1 春2福1 福1福1 福2福1 福2 春1福2 春2福2 福1福2 福2福2 两次射中卡片的总情况有16种，即每张卡片都有可能被射中两次，形成种组合． 射中“春”和“福”的组合有8种，即（春1，福1），（春1，福2），（春2，福1），（春2，福2），以及反向的（福1，春1），（福1，春2），（福2，春1），（福2，春2）．这8种情况满足条件． 因此，两次射中的卡片上的字不相同的概率为， 故选：A． 8. 如图，一块矩形木板 斜靠在墙边，，点在同一平面内， ，，，则点 到 的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解直角三角形，作于点 ，作于点 ，可得四边形是矩形，得到，又由四边形 是矩形，可得，，进而可得，再分别解和求出和，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作于点 ，作于点 ， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形 是矩形， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴点 到 的距离等于， 故选： ． 9. 如图， 中，，， 的中垂线与的平分线相交点P，与 相交于点Q，与 相交于D，连接 、 ．若，下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①直接根据垂直平分线的性质即可判断①；②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F，由等量代换可得，可证明可得即,再结合角平分线的定义即可判断②；③由全等三角形的性质、等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合可得 是等腰直角三角形即可判定③；④证明四边形是正方形可得，由等腰三角形的性质可得，然后由勾股定理可得、，进而得到，最后根据平方差和等量代换即可判断④． 【详解】解：①∵是 的垂直平分线， ∴，即①正确； ②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∴, 在 和中， ， ∴，即②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 是等腰直角三角形，即，故③正确； ④∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ，即④正确． 综上， ①②③④正确，正确的有4个． 故选D． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 10. 对于二次函数 ，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接 ，若线段 与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的问题， 分两种情况讨论：当线段 与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，令，，求出n的值，当线段 与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线与y轴交点纵坐标为1，可求n的值，进而得出取值范围； 当线段 与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点，求出n的值，当线段 与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点，可求n的值，进而得出取值范围. 【详解】解：如图1所示：线段 与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当时，，即， 解得． 如图2所示：线段 与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线与y轴交点纵坐标为1， ∴， 解得：． ∴当时，线段 与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段 与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线经过点 ， ∴． 如图4所示：线段 与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得：． ∴时，线段 与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是或， 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 若，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值．对已知等式变形得到，再整体代入计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 12. 时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了“弹珠”。小朋友甲的口袋中有 粒弹珠，其中 粒红色，粒绿色，他随机拿出 颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是__________． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵口袋中有6个小球，分别为2个红球和4个绿球， ∴随机取出一个小球，取出的小球的颜色是红色的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，牢记概率公式是求解本题的关键，难度较小． 13. 某位小朋友利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．过点 作，先证明，然后根据平行线的性质求出，，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：过点 作，如图所示： ∵， ∴， ，， 又，， ，， ． 故答案为：． 14. 如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，若通讯费用为62元，则B方案比A方案的通话时间多_____分钟． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．求出通讯费用为62元时，两种方案的通话时间，即可得到答案． 【详解】解：当时，设A方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系为， 把，代入得：， 解得， ∴， 令得， 解得， ∴通讯费用为62元，A方案通话时间是200分钟； 当时，设B方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系为 ， 把，代入得：， 解得， ∴， 令得， 解得， ∴通讯费用为62元，B方案通话时间是230分钟； ∴B方案比A方案的通话时间多30分钟； 故答案为：30． 15. 如图，在矩形 中，点E是 的中点，的平分线交 于点F，将沿折叠，点D恰好落在上点M处，延长 ，交于点N，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得；易求得，则可得；易求得，即可得，根据等高三角形的面积比等于对应底的比；利用全等三角形的性质可判断④，进而可求得答案． 【详解】解：∵四边形 是矩形，将沿折叠，点D恰好落在上M点处， ∴，．， ∴， ∵平分， ∴． ∴；故①正确． ∵，，平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴．即，故②正确． 在和中， ， ∴． ∴；故④正确． ∴． ∵，，点E是 的中点， ∴． ∴． ∴；故③正确． 综上所述：正确的结论有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了绝对值的化简，三角函数，零指数幂，负整数指数幂，平方根的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先计算各项的值，再进行实数的加减运算，即可解答． 【详解】 17. 解不等式组：’并在数轴上表示出不等式组的解集． 【答案】 解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】略． 18. 如图，将平行四边形 的对角线 向两个方向延长，分别至点E和点F，且使．求证：． 【答案】 证明：∵平行四边形 ， ∴， ， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形 ，可得， ，则，，证明，进而结论得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 19. 如图，小明从点 出发，沿着坡度 （即）为的坡道 向上走了到达点 ，再沿着水平平台 向前走了到达点 ，最后沿着坡角为的坡道 向上走了到达点 ． （1）当小明到达点 时，求他沿垂直方向上升的高度； （2）求点 ， 间的水平距离 的长．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题， （1）过点 作于 ，过点 作于 ，延长 交 于 ，设，根据坡度的概念用 表示出，根据勾股定理求出； （2）根据余弦的定义求出，进而求出 ； 掌握坡度是坡面的铅直高度 和水平宽度 的比是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点 作于 ，过点 作于 ，延长 交 于 ， 设， ∵坡道 的坡度为，， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， 答：他沿垂直方向上升的高度为； 【小问2详解】 如图，过点 作于 ，过点 作于 ，延长 交 于 ， 由（1）可知：， 由题意知：，， ∵，， ∴，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴． 答：点 ， 间的水平距离 长约为． 20. 如图， 为 的直径，点C在 上，的平分线 交 于点D，过点D作．交的延长线于点E． （1）求证：直线 是 的切线； （2）若，，求 的长． 【答案】（1）证明：连接，如图， 是的平分线， ， ， 为 的直径， ， ， ， ， 为 的半径， 直线 是 的切线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决问题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理进行解答即可； （2）设 与 交于点F，利用含 角的直角三角形的性质，勾股定理求得和的长度，再利用相似三角形的判定与性质求得和的长度，最后利用勾股定理进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设 与 交于点F，如图， 为 的直径， ，， ，， ， ，， 过点C作 于点H，则， ， ， ， ， ， 令，则， ， ， ，， ， ， ． 答： 的长为． 21. 年 月日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，标志着我国航天事业的又一重大里程碑，不仅展示了我国在航天技术方面的实力，也体现了对航天员训练和保障体系的不断完善．实验中学为了解本校学生对“航空航天”知识的掌握情况，对全体学生进行了测试（满分分），并随机抽取了部分学生的测试成绩进行整理，如下图表所示．（注：中不含分，以此类推） 成绩 人数 （1）随机抽查了______名学生的成绩，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，成绩为“”所对应的扇形圆心角的度数为______； （3）若该校共有名学生参加此次测试，且测试成绩为“”的为优秀，请估计该校参加测试学生中成绩为优秀的学生人数． 【答案】（1）， 补全频数分布直方图如图所示： （2） （3）名 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图、扇形统计图中的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量是解题的关键． （1）将各部分的人数相加可得到随机抽查的人数，再根据表格补全频数分布直方图即可； （2）先求出成绩为“”的百分比，再用其百分比即可求解； （3）用乘成绩为“”的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：随机抽查的学生有（名）， 故答案为：； 【小问2详解】 成绩为“”的百分比为， 成绩为“”所对应的扇形圆心角为， 故答案为：； 【小问3详解】 （名）， 故该校参加测试学生中成绩为优秀的学生有名． 22. 某文具店出售普通练习本和精装练习本，15本普通练习本和10本精装练习本的销售总额为145元；20本普通练习本和5本精装练习本的销售总额110元． （1）求普通练习本和精装练习本的销售单价； （2）已知普通练习本的进价为2元/本，精装练习本的进价为7元/本，该商店计划购进500本练习本，其中普通练习本的数量不低于精装练习本数量的2倍，请你帮文具店设计进货方案，使这500本练习本全部售完后，文具店获得利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）普通练习本的销售单价是3元，精装练习本的销售单价是10元； （2）当购进334本普通练习本，166本精装练习本时，这500本练习本全部售完后，文具店获得利润最大，最大利润是832元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设普通练习本的销售单价是x元，精装练习本的销售单价是y元，根据“15本普通练习本和10本精装练习本的销售总额为145元；20本普通练习本和5本精装练习本的销售总额110元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m本普通练习本，则购进本精装练习本，根据购进普通练习本的数量不低于精装练习本数量的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设这500本练习本全部售完后获得的总利润为w元，利用总利润=每本的销售利润×购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设普通练习本的销售单价是x元，精装练习本的销售单价是y元， 根据题意得： ， 解得：． 答：普通练习本的销售单价是3元，精装练习本的销售单价是10元； 【小问2详解】 解：设购进m本普通练习本，则购进本精装练习本， 根据题意得：， 解得：． 设这500本练习本全部售完后获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵，且m为正整数， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 此时（本）． 答：当购进334本普通练习本，166本精装练习本时，这500本练习本全部售完后，文具店获得利润最大，最大利润是832元． 23. 如图正比例函数与反比例函数的图象交于、 两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出时 的取值范围； （3）若点 是第二象限反比例函数图象上一点，过点 作 轴的垂线，交 轴于点、交直线 于点，若三个点 、、中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点 、、三点为“和谐点”，直接写出使点 、、三点成为“和谐点”的 的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式和方程的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）由 的 的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式， （2）根据反比例函数和正比例函数图象的中心对称性求得B点的坐标；再由图象即可求解； （3）根据“和谐点”的定义分两种情况，当 在点的下方时， 是线段 的中点，当 在点的上方时，是线段的中点，利用中点坐标公式列方程解题即可． 【小问1详解】 解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于， ， ， ， ∴反比例函数的表达式为， 【小问2详解】 解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于 两点， ； 观察图象，时， 的取值范围是：或 ； 【小问3详解】 解：设，则， 如图1， 当 在点的下方时，则， 解得， ， ， 如图2， 当 在点的上方时，，则， 解得 ， ， ， ∴点 的坐标为或． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与X轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，点A的坐标为，，连接 ． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，P为线段 上一点，连接 ，．当时，求点P的坐标； （3）如图2，若点M、N在抛物线上，点M的横坐标为，点N的横坐标为．过点M作y轴的平行线交线段 于点D，过点N作y轴的平行线交线段 于点H，连接 ．当四边形的面积最大时，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2） （3） 证明：设直线 的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线 的解析式为， ∵点M的横坐标为m， ，， ∵点N的横坐标为， ，， ，， ， ， ， ． ， 当时，四边形的面积最大， 此时， ， ∵ 与都与y轴平行， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数，二次函数图象及性质，二次函数最值问题． （1）根据题意求出，再将，代入中计算即可求得本题答案； （2）根据题意求出，再证明，继而得到，即可得到本题答案； （3）先求出直线BC的解析式，再设，继而表示出，再利用二次函数图象和性质及最值即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 将，代入， 得解得， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当 时，． 解得 ，， ， ． ， ， ， ， 在和中， ， ． ， 点P的坐标为； 【小问3详解】 略 25. 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片 ，得到折痕 ，把纸片展平； 操作二：如图②，在边 上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边 上选一点F，沿折叠，使边 与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与 的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________ ． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作 的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 【答案】[操作判断]45； [探究证明]（1）如图， ∵四边形 是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）如图， 由翻折得，， ∵四边形 是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； [深入研究] 【解析】 【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解； [探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此； [深入研究] 连接 ，先证明，则，由，设，则，而， 则，可得，，，那么，故． 【详解】[操作判断] 解：如图， 由题意得，， ∵四边形 是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：45； [探究证明] 解：（1）略 （2）略 [深入研究] 解：如图，连接 ， ∵四边形 是正方形， ∴，，， ∵是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴, ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年福建省厦门一中九年级下学期数学模拟考试 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若一个数的绝对值是2，则这个数是（ ） A. 2 B. C. D. 0 2. 汉白玉葫芦瓶是中国古代玉雕艺术中的瑰宝，以其精湛的工艺和独特的形态而备受瞩目．作为一件具有重要历史价值和艺术价值的玉器，它展示了古代工匠的技艺和中国古代文化的瑰丽魅力．如图所示，是关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 原子是化学变化中的 最小微粒，按照国际单位制的规定，质量单位是“千克”．例如：1个氧原子的质量是．如果小数0.000…02657用科学记数法表示为，则这个小数中“ ”的个数为（ ） A. 25个 B. 26个 C. 27个 D. 28个 4. 下列关于正多边形的说法中，正确的是（ ） A. 各边都相等的多边形是正多边形 B. 各内角都相等的多边形是正多边形 C. 过正n边形一个顶点的对角线有条 D. 正多边形的各边相等 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 7. 北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．现将四张大小相同的正方形卡片拼成如图所示的正方形靶盘（其中两张卡片上是“春”字，另外两张上是“福”字）．现向该靶盘随机掷两次飞镖，则两次射中的卡片上的字不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一块矩形木板 斜靠在墙边，，点在同一平面内， ，，，则点 到 的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，， 的中垂线与的平分线相交点P，与 相交于点Q，与 相交于D，连接、．若，下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 对于二次函数 ，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 若，则______． 12. 时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了“弹珠”。小朋友甲的口袋中有 粒弹珠，其中 粒红色，粒绿色，他随机拿出 颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是__________． 13. 某位小朋友利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则_____ ． 14. 如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，若通讯费用为62元，则B方案比A方案的通话时间多_____分钟． 15. 如图，在矩形 中，点E是 的中点，的平分线交 于点F，将沿折叠，点D恰好落在 上点M处，延长 ，交于点N，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有________． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 解不等式组：’并在数轴上表示出不等式组的解集． 18. 如图，将平行四边形 的对角线 向两个方向延长，分别至点E和点F，且使．求证：． 19. 如图，小明从点 出发，沿着坡度 （即）为的坡道 向上走了到达点 ，再沿着水平平台 向前走了到达点 ，最后沿着坡角为的坡道 向上走了到达点 ． （1）当小明到达点 时，求他沿垂直方向上升的高度； （2）求点 ， 间的水平距离 的长．（参考数据：，，） 20. 如图， 为 的直径，点C在 上，的平分线 交 于点D，过点D作．交的延长线于点E． （1）求证：直线是 的切线； （2）若，，求 的长． 21. 年 月日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，标志着我国航天事业的又一重大里程碑，不仅展示了我国在航天技术方面的实力，也体现了对航天员训练和保障体系的不断完善．实验中学为了解本校学生对“航空航天”知识的掌握情况，对全体学生进行了测试（满分分），并随机抽取了部分学生的测试成绩进行整理，如下图表所示．（注：中不含 分，以此类推） 成绩 人数 （1）随机抽查了______名学生的成绩，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，成绩为“”所对应的扇形圆心角的度数为______； （3）若该校共有名学生参加此次测试，且测试成绩为“”的为优秀，请估计该校参加测试学生中成绩为优秀的学生人数． 22. 某文具店出售普通练习本和精装练习本，15本普通练习本和10本精装练习本的销售总额为145元；20本普通练习本和5本精装练习本的销售总额110元． （1）求普通练习本和精装练习本的销售单价； （2）已知普通练习本的进价为2元/本，精装练习本的进价为7元/本，该商店计划购进500本练习本，其中普通练习本的数量不低于精装练习本数量的2倍，请你帮文具店设计进货方案，使这500本练习本全部售完后，文具店获得利润最大，并求出最大利润． 23. 如图正比例函数与反比例函数的图象交于、 两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出时 的取值范围； （3）若点 是第二象限反比例函数图象上一点，过点 作 轴的垂线，交 轴于点、交直线 于点，若三个点 、、 中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点 、、 三点为“和谐点”，直接写出使点 、、 三点成为“和谐点”的 的坐标． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与X轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，点A的坐标为，，连接 ． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，P为线段 上一点，连接 ，．当时，求点P的坐标； （3）如图2，若点M、N在抛物线上，点M的横坐标为，点N的横坐标为．过点M作y轴的平行线交线段 于点D，过点N作y轴的平行线交线段 于点H，连接．当四边形的面积最大时，求证：四边形是平行四边形． 25. 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片 ，得到折痕 ，把纸片展平； 操作二：如图②，在边 上选一点E，沿 折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕 ； 操作三：如图③，在边 上选一点F，沿折叠，使边 与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与 的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________ ． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作 的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $