第9章 二元一次方程组知识归纳与题型突破（20类题型清单）-2024-2025学年六年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第9章 二元一次方程组知识归纳与题型突破（20类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、二元一次方程的概念 二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 知识点二、二元一次方程组的概念 二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错易混】 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 知识点三、二元一次方程组的解法 1.代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【易错易混】 1）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单 2.加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 知识点四、二元一次方程组的应用 解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程（组）； 解：解所列出的方程（组）； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 03 题型归纳 题型一　二元一次方程的定义 1．下列方程为二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．根据二元一次方程的定义，可得答案． 【详解】解：A．含有两个未知数，故选项是二元一次方程，符合题意； B．是一元一次方程，故选项不是二元一次方程，不符合题意； C．未知数的次数是2次，故选项不是二元一次方程，不符合题意； D．含有未知数的部分不是整式，故选项不是二元一次方程，不符合题意． 故选：A． 2．若关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，绝对值，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义可得且，解方程或不等式即可求出的值． 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， 且， 且， 解得：， 故选：B． 巩固训练 3．下列方程中：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（    ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程，含有两个未知数，且两个未知数的次数都为的整式方程叫二元一次方程，据此逐一判断即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：下列方程：①；②；③；④；⑤， 是二元一次方程的是①；⑤． 故选：A． 4．已知方程是关于的二元一次方程，则的值是（   ） A．或1 B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， ∴， 故选：D． 5．若方程是关于的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的定义及绝对值，解题的关键是掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义即可得到答案． 【详解】解：根据二元一次方程的定义，方程中只含有2个未知数且未知数的次数为1，得： ， 解得：， 故答案为：． 题型二　二元一次方程的解 6．二元一次方程正整数解的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】要求二元一次方程的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的值，再求得另一个未知数即可． 【详解】解：由，得． 要使x，y都是正整数，必须满足是2的倍数且是正数． 根据以上两个条件可知，合适的x值只能是， 相应的． 所以有2组，分别为，． 故选：B． 7．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握运算法则，正确求出的值； 把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入，得到：，然后解得：； 故选：D． 巩固训练 8．若是方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．根据二元一次方程的解的定义把代入方程中，得到，然后将要求的式子变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴． 故答案为： 9．已知4组数值：①②③④其中， 是二元一次方程的解（填写序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了二元一次方程的解，利用二元一次方程的解的定义，逐一分析各组数值，即可得出结论．牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键． 【详解】解：①当时，方程左边，方程右边， ， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解； ②当时，方程左边，方程右边， ， 方程左边方程右边， 是二元一次方程的解； ③当时，方程左边，方程右边， ， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解； ④当时，方程左边，方程右边， ， 方程左边方程右边， 是二元一次方程的解． ②④是二元一次方程的解． 故答案为：②④． 10．若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】2029 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握二元一次方程的解，代数式求值是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义得出，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴ ， 故答案为：2029． 题型三　二元一次方程组的定义 11．已知方程组是二元一次方程组，则（ ） A．1或 B．2或 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：根据题意得： ， 解得： ． 故选：C． 12．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，二元一次方程的定义：组成二元一次方程组的两个方程共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．利用二元一次方程组的定义逐一分析各选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A．方程组中含未知数的项的最高次数为2，不是一次方程组，选项A不符合题意； B．方程组是二元一次方程组， 选项B符合题意； C．方程组中未知数的最高次数为2，不是一次方程组，选项C不符合题意； D．方程组含有三个未知数，选项D不符合题意． 故选∶ B ． 巩固训练 13．在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“①只有两个未知数；②未知数的项最高次数都应是一次；③都是整式方程”．据此即可判断． 【详解】解：由二元一次方程组的概念：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的整式方程；可判断①②⑤是二元一次方程组． 故选：C． 14．若是关于，的二元一次方程组，则 ， ， ． 【答案】 3或2 【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解． 【详解】解：是关于，的二元一次方程组， ，或0，， 解得：或2，，， 答案：3或2，， 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解． 15．若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【答案】或3或2或 【分析】根据二元一次方程组的定义得到或，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值． 【详解】解：∵方程组是二元一次方程组， ∴或， ∴或3或2或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 题型四　二元一次方程组的解 16．以为解的方程组是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解的定义，将方程组的解代入各个选项中的方程组，判断其是否成立即可．本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的前提． 【详解】解：当，时， 则，，， 故是方程组的解． 故选：D． 17．下列四对数值中，不是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解的概念，解题的关键是将各选项中的值代入方程，看等式是否成立． 依次把每个选项中的值代入方程，判断等式左右两边是否相等． 【详解】A、把代入方程的左边，可得，右边，左边=右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； B、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； C、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； D、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项不是方程的解，符合题意． 故选：D． 巩固训练 18．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是用代入法进行检验．所谓方程组的解，是指未知数的值满足方程组中的每一个方程，据此分别代入即可判断． 【详解】解：把代入方程组， 可知满足方程组中的每一个方程， 故是此方程组的解， 故选：B． 19．有四组数：①②③④其中， 是方程的解， 是方程的解， 是方程组的解（填写序号）． 【答案】 ②③④ ①④ ④ 【分析】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可． 【详解】解：①②③④中， 把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解， 把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即②③④是方程的解； 把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解， 把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即①④是方程的解； ∴④是方程组的解． 故答案为：②③④，①④，④． 20．已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解观察得出两个方程的解中相同的解为方程组的解． 【详解】解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解， 可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】此题主要是考查了方程组的解的定义，能够熟练掌握同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解是解答此题的关键． 题型五　已知二元一次方程组的解求参数 21．若是方程组的解，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D．10 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．理解定义是关键． 把代入方程组得到一个关于的方程组，求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 解得：， 则． 故选：C． 22．小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为，小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解求参数，解题关键是正确理解二元一次方程的解． 把代入②得关于的方程，解方程求出，再把代入①得关于的方程，解方程求出，最后把，的值代入进行计算即可． 【详解】解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ． 故选：． 巩固训练 23．已知是方程组的解，则的值为（  ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数，解题的关键是掌握方程组解的定义． 将代入方程组即可求的值． 【详解】解：将代入中的②式得： 解得 故选：A． 24．李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你想办法帮他找回： ， ． 【答案】 【分析】本题主要查了二元一次方程组的解．把代入可求出，再把把，代入，可求出． 【详解】解：把代入得： ，解得：， 即， 把，代入得： ． 故答案为：，4 25．小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数●和■，求这两个数． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用，解题的关键是将已知的解代入方程组中相应方程求解未知量． 先将已知的值代入含x，y的方程求出的值，再将x，y的值代入另一个方程求出被遮住的数． 【详解】将代入方程得：， 解得：， 将代入方程中， ， 所以． 题型六　代入消元法 26．用代入法解方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用代入消元法求解即可； （3）方程组利用代入消元法求解即可； （4）方程组利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解这个方程，得， 把代入②，得， ∴方程组的解是； （2）解：． 由①得， 把③代入②，得， 解这个方程，得， 把代入③，得 ∴这个方程组的解是； （3）解： ， 由②得， 把③代入①，得， 解这个方程，得， 把代入③，得 ∴这个方程组的解是； （4）解： 由②得， 把③代入①，得， 解这个方程，得， 把代入③，得 ∴这个方程组的解是． 27．用代入消元法解方程组： 【答案】． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，用代入消元法解方程组即可，掌握代入消元法和加减消元法的特点并灵活运用解法是解题的关键． 【详解】解：由，得， 把代入，得， 解这个方程，得， 把代入，得， 所以这个方程组的解是． 巩固训练 28．把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． （1）把x看作已知数求出y即可； （2）把x看作已知数求出y即可． 【详解】（1）解：， 移项得，． （2）解：， 移项得，， ∴． 29．解方程： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：， 由②，可得，把代入①，可得： ，解得：， 把代入，可得：， ∴方程组的解为． 30．用代入消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是正确利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用代入消元法求解即可； 【详解】（1）解： 把代入，得， 整理得， 解得， 把代入，得， ∴； （2）解： 整理得， 把代入，得， 解得， 把代入，解得， ∴． 题型七　加减消元法 31．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】解：， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 则方程组的解为． 32．解下列方程组． 【答案】． 【分析】本题考查的是加减消元法解二元一次方程组．直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， ∴方程组的解为：． 巩固训练 33．用适当的方法解方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 34．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用加减法解答即可； （）先化简方程组，再利用加减法解答即可； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：方程组化简得，， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 35．解方程组 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解二元一次方程组，解方程组时，消元法是关键，同时需验证解的正确性． （1）通过观察方程组的系数特点，直接加减消元可快速求解； （2）需先化简方程，整理为标准形式后再消元进行求解即可． 【详解】（1）解：， 将方程①与方程②相加，可得，解得：， 将代入方程①：，解得：， 该二元一次方程组的解为； （2）解： 方程①：展开并整理得：③， 方程②：展开并整理得：④， 将方程③与方程④相加，可得：，解得：， 将代入方程③：，解得：， 该二元一次方程组的解为． 题型八　二元一次方程组的特殊解法 36．已知关于，的二元一次方程组（其中是常数），不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，将方程组中的两个方程联立消掉m是解题的关键．将方程组中的两个方程变形后消掉m即可得出结论． 【详解】解：， ，得， ∵代数式（是常数）的值始终不变， ∴． 故选D． 37．已知，是关于x，y的二元一次方程组，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是用整体法，把两式相加直接得出结论． 把方程组的两个方程相加得到，进而即可求得． 【详解】解：， 由， 可得， 解得，， ， 故选：A． 巩固训练 38．已知方程组，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，把两个方程相加可得，进而即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得， ∴， ∴， 故答案为：． 39．关于x、y的方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的解的定义，观察两个方程组可知把第二个方程组中的，看做一个整体，那么，的值分别为第一个方程组的解中的x，y的值，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x、y的方程组的解是， ∴方程组的解满足， 解得， 故答案为：． 40．阅读下列材料，学习完“代入消元法”和“加减消元法”解二元一次方程组后，聪明的小燕在解方程组时，采用了一种“平均值换元法”，解法如下： 由①可设，，即，， 代入②，得，解得． 所以，． 所以原方程组的解为． 请你模仿小燕的“平均值换元法”解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组及解一元一次方程，结合已知条件设得，是解题的关键．由题意设，，然后利用含的代数式分别表示出，，再将其代入第二个方程中求得的值，最后将其代入表示，的含的代数式中即可求得答案． 【详解】解：， 由①可设，， 则，， 将其代入②得：， 解得：， 则，， 故原方程组的解为． 题型九　二元一次方程组的错解复原问题 41．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把看错而得到，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：把与代入得：， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， ∴． 故选：D． 42．解方程组时某同学把c看错后得到，而正确的解是，那么a、b、c的值是（   ） A． B．a，b不能确定， C． D．a，b，c的值不能确定 【答案】C 【分析】看错后的解满足，正确的解满足两个方程，进行求解即可． 【详解】解：∵把c看错后得到， ∴满足方程，即： ∵正确的解是， ∴， ∴， 解方程组可得：； ∴； 故选C． 【点睛】本题考查二元一次方程组错解复原以及二元一次方程组的解．熟练掌握方程组的解满足方程组中的方程，以及消元法解二元一次方程组，是解题的关键． 巩固训练 43．小马和小虎两位同学做题不够仔细，在解二元一次方程组时，小马看错了系数，解得小虎看错了系数，解得细心的你可不能马虎哦，仔细想一想，算一算，该二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】将小马得到的方程组的解代入第二个方程求出b的值，将乙小亮到方程组的解代入第一个方程求出a的值，从而求解； 【详解】解：将代入， 解得：b=1， 将代入， 解得：a=-4， 把a=-4，b=1代入中，得， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 44．小红和小风两人在解关于，的方程组时，小红只因看错了系数，得到方程组的解为，小风只因看错了系数，得到方程组的解为，则 ． 【答案】28 【分析】把两组解分别代入正确的方程可求得a和b． 【详解】解：根据题意，不满足方程ax+3y=5，但应满足方程bx+2y=8， 代入此方程，得-b+4=8，解得b=-4． 同理，将代入方程ax+3y=5，得a+12=5， 解得a=-7， ∴ab=28， 故答案为：28． 【点睛】本题主要考查方程组解的定义，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键． 45．甲乙两同学同时解方程，甲看错了a，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程的解为，计算的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及负指数幂、零次幂，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后求出a、b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ∴． 题型十　构造二元一次方程组求解 46．在方格上做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则右表中的值是 3 4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：，即， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 47．若关于x，y的方程，和有公共解，则k的值是（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】联立，，求出x和y的值，然后代入即可求出k的值． 【详解】解：解，得， 把代入，得 ， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． 巩固训练 48．设，当时，；当时，．则当时， ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．将x与y的两对值代入中，得到二元一次方程组，解方程组求出k与b的值，将代入计算即可求出y的值． 【详解】解：当时，；当时，： ∴ 解得：， ∴， 将代入得：． 故答案为：． 49．若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了单项式的乘法法则和同底数幂的乘法的运算．根据单项式的乘法的法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加的性质计算，然后再根据相同字母的次数相同列出方程组，整理即可得到的值． 【详解】解： ， ∴， 两式相加，得， 解得， 故答案为：2． 50．如果二元一次方程，和有公共解，求的值 【答案】3 【分析】将，组成方程组，求出x、y的值，再代入，求出m的值． 【详解】解：将，组成方程组得， ， 解得，， 将代入得，， 解得，． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟悉加减法和代入法是解题的关键． 题型十一　已知二元一次方程组解的情况求参数 51．方程组的解与的值相等，则（   ） A．15或 B．25 C．35 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．由题意把代入方程中即可求出的值，于是得出的值，然后把、的值代入方程中即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， 由题意把，代入方程中，得， ∴． 故选：D． 52．关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组和一元一次方程的能力及二元一次方程的解的概念．由题意联立，求出的值并代入即可得出的值． 【详解】解：二元一次方程组的解满足， 联立，解得， 把代入，可得， 解得． 故选：D． 巩固训练 53．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，根据方程组的解法得出，再根据得到，求出k的值即可． 【详解】解：， 得，， ∴， 又， ， ． 故答案为：10． 54．已知关于x，y的二元一次方程组，给出以下结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当方程组的解x，y都为自然数时，则m值为0； ③无论m取何值，恒成立； ④无论m取什么实数，始终为定值． 其中正确的是 （请填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组、整式的混合运算，求得x、y与m的关系是解答的关键．先解二元一次方程组，得到x、y与m的关系，根据相反数的性质得到m的方程，然后解方程即可求解①；将x、y代入等式的右边，化简即可判断③；根据自然数是非负整数可判断②；利用，得则可判断④． 【详解】解：∵， ∴得， ①∵x，y的值互为相反数 ∴，即， 解得，故①符合题意； ②∵方程组的解都为自然数， ∴或， 当时，符合题意； 当时，符合题意， 故方程组的解x，y都为自然数时，m的值为0或1， 故②不符合题意； ③ ， 故③符合题意； ④由得 ∴， 无论m取什么实数，始终为定值． 故④符合题意， 综上，结论正确的是①③④， 故答案为：①③④． 55．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求的值 (2)若方程组的解满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组．已知二元一次方程组的根的情况求参数以及相反数的应用. （1）解方程组得出，，根据方程组的解互为相反数，得出，即，解关于k的方程即可； （2）解方程组得，然后代入原方程即可求出k的值． 【详解】（1）解： ①②，得， ①②，得． ∵方程组的解互为相反数， ∴， 即， ∴． （2） ②①，得， ∵， 解得， 代入②得：， ∴ 题型十二　方程组同解问题 56．已知关于，的方程组与有相同的解，则，的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键．依据题意重新组成方程组求得x，y的值，再将x，y值代入得到关于a，b的方程组求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ， 解得：， 把分别代入与得：， 解得：； 故选：D． 57．如果方程组的解与方程组的解相同，则的值是（    ） A．3 B．1 C．－1 D．－3 【答案】B 【分析】将和的值代入两个方程，组成新方程组，两方程相加进而可得解． 【详解】解：由题意可得： 得： ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 巩固训练 58．已知关于的方程组和的解相同，的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的求解，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得的值． 由题意可得：方程组和方程组的解集相同，求得的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意可得：方程组和方程组的解集相同 解方程组可得， 将代入可得：， 化简可得： 解得 将代入． 故答案为：． 59．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为 ． 【答案】 【分析】由条件方程组的含义可得，可得，再代入建立方程组，再把两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴， ①+②得：，解得：， 把代入②得：， ∴， ∴， ③+④得：， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是同解方程组，熟练的利用同解方程组是含义建立新的方程组是解本题的关键． 60．已知关于的二元一次方程组和方程组有相同的解，求的值． 【答案】 【分析】根据题意得出方程，解之求出x、y的值，继而代入得到，最后运用平方差公式进行计算，即可作答．此题考查平方差公式，二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组和方程组有相同的解， ∴得， ∴，解得， 解得，把代入， 解得 则， ∴． 题型十三　三元一次方程组的定义与解 61．解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征，即可得解． 【详解】解：， 得： ， 得： ， 方程组变形为，刚好消去， 故选：C． 62．有甲、乙、丙三种货物，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙件、丙件，共需元；现购甲件、乙件，共需（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设购买甲、乙、丙各一件分别需要、、元，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设购买甲、乙、丙各一件分别需要、、元，   由题意得：，   得： ，   即购甲件、乙件，共需元， 故选：C． 巩固训练 63．用高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示关于，，的三元一次方程组，若为定值，则与的关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键．根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， 得：， ∵为定值， ∴． 故答案为：． 64．已知方程组，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，先计算，得出，即可求解． 【详解】解：， ，得， 即， ∴． 故答案为：． 65．解方程组：． 【答案】 【分析】用加减消元法解三元一次方程组即可． 【详解】解：， 由得， 由得， 由得， 得， ∴ 将代入③得 将，代入①得 ， 解得： ∴原方程组解为． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解三元一次方程组的方法，准确计算． 题型十四　三元一次方程组的应用 66．北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡（三种鸡都要买），请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，母鸡有只，小鸡有只，则下列不符合题意的选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 根据总价单价数量，结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于的三元一次方程组，结合均为正整数即可得出的值，从而得出结论． 【详解】解：设公鸡有只，母鸡有只，小鸡有只， 由题意得，， 解得：， ∵均为小于 100 的正整数， ∴， ∴满足条件的的值为． 故选：D． 67．已知某速食店贩售的套餐内容为一片鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价钱比单点一片鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜4元，小王打算到该速食店买两份套餐，若他发现店内有单点一片鸡排就再送一片鸡排的促销活动，且单点一片鸡排再单点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜1元，则根据题意可得到下列哪一个结论（    ） A．一份套餐的价钱必为14元 B．一份套餐的价钱必为12元 C．单点一片鸡排的价钱必为9元 D．单点一片鸡排的价钱必为7元 【答案】C 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，设出未知数，根据题意找对等量关系是解决本题的关键．设一片鸡排的价钱为元，一杯可乐的价钱为元，一份套餐的价钱为元，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设一片鸡排的价钱为元，一杯可乐的价钱为元，一份套餐的价钱为元，根据题意得： ， ①②得：， 一片鸡排的价钱为9元． 故选：C． 巩固训练 68．某人上午先到市场购买只鸡只兔只鸭共元，又去市场购买只鸡只兔只鸭共元如果单价不变，他买只鸡只兔只鸭需要 元． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设1只鸡单价a元，1只兔单价b元，1只鸭单价c元，依题意列出三元一次方程组，求得即可求解． 【详解】解：设1只鸡单价a元，1只兔单价b元，1只鸭单价c元， 依题意得：， 得：， ∴， ∴他买1只鸡1只兔1只鸭需要180元， 故答案为：180． 69．有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元钱，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需 元钱． 【答案】150 【分析】设购一件甲商品需要x元，一件乙商品需要y元，一件丙商品需要z元，建立方程组，整体求解即可． 【详解】解：设购一件甲商品需要x元，一件乙商品需要y元，一件丙商品需要z元，由题意得 ， 把这两个方程相加，得， 即， ∴， ∴购甲、乙、丙三种商品各一件共需150元． 故答案为：150． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的建模及其特殊解法．根据系数特点，将两式相加，整体求解． 70．【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 【答案】(1)， (2)1根丙种钢条长米． 【分析】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米． 题型十五　方案问题 71．端午节前夕，小明和小华相约一起去超市购买粽子．小明购买A品牌和B品牌的粽子各1袋，共花费55元；小华购买A品牌粽子3袋和B品牌粽子2袋，共花费135元．求A、B两种品牌粽子每袋各多少元． 【答案】A品牌粽子每袋25元，B品牌粽子每袋30元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据所给等量关系列二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设A品牌粽子每袋元，B品牌粽子每袋元， 根据题意得， 解得． 答：A品牌粽子每袋25元，B品牌粽子每袋30元． 72．某网站在一段两分钟的视频广告内，计划播放时长为15秒和30秒的两种广告，要求每种广告播放不少于两次，两种广告的播放次数有几种安排方式？ 【答案】有两种安排方式：方案一、15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次；方案二、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放3次． 【分析】本题考查二元一次方程的应用．设15秒的广告播放次，30秒的广告播放次，根据两种视频的播放长度之和为两分钟列出方程，再根据每种广告播放不少于两次求出下，，的值． 【详解】解：设15秒的广告播放次，30秒的广告播放次， 根据题意得， 化简得， ，均不小于2的整数， ∴，或， 有两种安排方式： 方案一、15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次； 方案二、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放3次． 巩固训练 73．几位同学及其家长露营观看五星发射，购买甲、乙两种帐篷共6顶，一顶甲种帐篷400元，一顶乙种帐篷350元，共花费2300元，甲、乙两种帐篷各购买多少顶？ 【答案】甲种帐篷购买4顶，乙种帐篷购买2顶 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设甲种帐篷购买x顶，乙种帐篷购买y顶，根据“购买甲、乙两种帐篷共6顶，一顶甲种帐篷400元，一顶乙种帐篷350元，共花费2300元”列方程组求解即可． 【详解】解：设甲种帐篷购买x顶，乙种帐篷购买y顶， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种帐篷购买4顶，乙种帐篷购买2顶． 74．某中学计划组织七年级全体师生参观风筝博物馆．请根据以下素材，帮助七年级同学设计租车方案． 素材 1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．如果七年级租用45座的客车a辆，那么还剩余15个空座位；如果租用60座的客车可少租3辆，且正好坐满． 2 八年级师生在这个客运公司租了4辆60座的客车和3辆45座的客车到风筝博物馆，一天的租金共计6400元． 3 九年级师生在这个客运公司租了5辆60座和1辆45座的客车到风筝博物馆，一天的租金共计5800元． 问题 （1） 确定人数 参加此次活动的七年级师生共有多少人？ （2） 确定租金 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （3） 设计租车方案 若从该客运公司租用客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，共有几种租车方案？哪一种租车方案最省钱？ 【答案】（1）480人；（2）客运公司60座客车每辆每天的租金是1000元，45座客车每辆每天的租金是800元；（3）共有3种租车方案；租用60座客车8辆最省钱，费用为8000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的方案问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据七年级租用45座的客车a辆，那么还剩余15个空座位；如果租用60座的客车可少租3辆，且正好坐满，列式，解出，即可作答． （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，则，再解方程组，即可作答． （3）依题意，设租用60座客车m辆，45座客车n辆，则，结合，n均为自然数，得出或或，即可作答． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得， ， 参加此次活动的七年级师生共有480人； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是1000元， 45座客车每辆每天的租金是800元. （3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆， 根据题意得：， . 又，n均为自然数， 或或. 共有3种租车方案. 方案1：租用60座客车8辆，费用为元； 方案2：租用60座客车5辆，45座客车4辆，费用为元； 方案3：租用60座客车2辆，45座客车8辆，费用为元 有三种租车方案，租用60座客车8辆最省钱，费用为8000元. 75．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买、两种跳绳若干，已知购买3根种跳绳和1根种跳绳共需105元；购买5根种跳绳和3根种跳绳共需215元．求、两种跳绳的单价． 【答案】种跳绳的单价为25元，种跳绳的单价为30元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元， 由题意，得， 解得． 答：种跳绳的单价为25元，种跳绳的单价为30元． 题型十六　行程问题 76．小强家和小勇家相距，他们各自骑自行车到对方家去．若他们同时出发，则后在路上相遇；若小强出发后小勇才出发，则小勇出发后他们在路上相遇．小强和小勇骑自行车的速度分别是多少？ 【答案】小强和小勇骑自行车的速度分别是 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设小强和小勇骑自行车的速度分别是，根据题意，列出方程组求解即可． 【详解】解：设小强和小勇骑自行车的速度分别是． 根据题意，得 解得， ∴小强和小勇骑自行车的速度分别是． 77．列方程组解应用题：甲、乙二人相距，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，小时相遇．二人的平均速度各是多少？ 【答案】甲的平均速度为，乙的平均速度为． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解题的关键．设甲的平均速度是千米小时，乙的平均速度是千米小时，根据题意列出方程组并求解即可． 【详解】解：设甲的平均速度为，乙的平均速度为， 由题意得：， 解得：． 答：甲的平均速度为，乙的平均速度为． 巩固训练 78．一列火车通过某铁路桥，火车从上桥到完全离开桥共用，而整列火车在桥上的时间为．已知火车的速度为，求铁路桥长和火车的长． 【答案】铁路桥长为，火车长为 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，设铁路桥长为，火车长为，根据火车从上桥到过完桥走过路程为桥长＋火车长，整列火车在桥上的路程为桥长－火车长，列出方程组解答即可． 【详解】解：设铁路桥长为，火车长为， 由题意，得， 解得， 答：铁路桥长为，火车长为． 79．甲、乙两人同时同地练习跑步，如果甲让乙先跑，那么甲跑追上乙．如果让乙先跑，那么甲跑追上乙．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲每秒跑，乙每秒跑 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键，设甲每秒跑，乙每秒跑，再根据甲让乙先跑，那么甲跑追上乙．如果让乙先跑，那么甲跑追上乙，再建立方程组解题即可． 【详解】解：设甲每秒跑，乙每秒跑， 由题意，得， 解得， 答：甲每秒跑，乙每秒跑． 80．在一幅比例尺是的地图上，量得甲、乙两地的距离是10厘米．一列客车和一列货车同时从甲、两地相对开出，5小时相遇．已知客车和货车速度的比是，客车每小时行多少千米？ 【答案】90千米 【分析】设客车每小时行千米，货车每小时行驶，按比例尺计算出两地的实际距离，根据等量关系列出方程即可求解． 【详解】解：解：设客车每小时行千米，货车每小时行驶，由题意得： （千米）， ， 解得：， （千米）， 答：客车每小时行90千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用及比例尺的应用，根据比例尺计算出实际距离是解题的关键． 题型十七　工程问题 81．现有大量的沙石需要运输．“益安”车队原来有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？ 【答案】“益安”车队有5辆载重量为8吨的卡车，7辆载重量为10吨的卡车． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．本题设“益安”车队有辆载重量为8吨的卡车，辆载重量为10吨的卡车，根据“益安”车队原来有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆且全部车辆运输一次能运输110吨沙石，可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：设“益安”车队有辆载重量为8吨的卡车，辆载重量为10吨的卡车， 根据题意得：， 解得：． 答：“益安”车队有5辆载重量为8吨的卡车，7辆载重量为10吨的卡车． 82．某工程队共有120人，分别在甲、乙两工地施工．由于工程需要，现从甲工地调18人去乙工地，这时两工地施工的人数刚好相等，求调动前甲、乙两工地各有多少人． 【答案】调动前甲工地有78人，乙工地有42人 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设调动前甲工地有人，乙工地有人，根据“工程队共有120人，调动之后人数相等”列方程组求解即可． 【详解】解：设调动前甲工地有人，乙工地有人．根据题意，得 ， 解得． 答：调动前甲工地有78人，乙工地有42人． 巩固训练 83．汾河作为太原市的“母亲河”，记录着太原悠久的历史，是太原具有里程碑意义的宝贵资源．为打造汾河太原段滨河区景观，现有一段长为289米的河道治理任务，分别由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天治理13米，乙工程队每天治理9米，共用时25天． (1)课堂上小宇和小军两位同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 小宇： ， 小军：， 请在上面方框中补全两位同学所列的方程组；并根据小宇同学所列的方程组，指出未知数，表示的意义． 小宇：表示______；表示______． (2)请求出甲、乙两工程队分别治理河道多少米？（写出完整的解答过程） 【答案】(1)补全两位同学见解析；甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数 (2)甲工程队整治河道208米，乙工程队整治河道81米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，运用不同设未知数的方法列出不同的方程组解决实际问题是解本题的关键． （1）此题蕴含两个基本数量关系：甲工程队用的时间乙工程队用的时间天，甲工程队整治河道的长度乙工程队整治河道的长度米，由此进行解答即可； （2）选择其中一个方程组解答即可． 【详解】（1）解：小宇同学：设甲工程队用的时间为x天，乙工程队用的时间为y天， 由此列出的方程组为； 小军同学：甲工程队整治河道的长度为x米，乙工程队整治河道的长度为y米， 由此列出的方程组为 ； 故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数． （2）解：选小宇同学所列方程组解答如下： 设甲工程队用的时间为x天，乙工程队用的时间为y天， 则， 得， 解得：， 把代入①得， ∴方程组的解为， 甲工程队整治河道的长度为：， 乙工程队整治河道的长度为：； 答：甲工程队整治河道208米，乙工程队整治河道81米． 84．倡导垃圾分类，共享绿色生活，为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人．已知2台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时共分拣垃圾吨，3台A型机器人和1台B型机器人同时工作2小时共分拣垃圾吨．1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别分拣垃圾多少吨？ 【答案】1台A型机器人每小时拣垃圾吨，1台B型机器人每小时拣垃圾吨 【分析】设1台A型机器人每小时拣垃圾a吨，1台B型机器人每小时拣垃圾b吨，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】设1台A型机器人每小时拣垃圾a吨，1台B型机器人每小时拣垃圾b吨， 根据题意，得， 解得， 故1台A型机器人每小时拣垃圾吨，1台B型机器人每小时拣垃圾吨． 【点睛】本题考查了方程组的应用，熟练列出方程组是解题的关键． 85．某监测站计划在规定时间内检测一批仪器，如果每天检测台，那么在规定时间内只能检测计划数的．现在每天实际检测台，结果不但比原来计划提前了一天完成任务，还多检测了台．问规定时间是多少天？原计划检测多少台？ 【答案】规定时间是天，这批仪器共台． 【分析】设规定时间是x天，这批仪器共y台，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设规定时间是x天，这批仪器共y台， 由题意得：， 解得：， 答：规定时间是天，这批仪器共台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 题型十八　分配问题 86．某工厂现有某种原料，可以用来生产两种产品，每生产种产品需这种原料，生产费用为900元；每生产种产品需这种原料，生产费用为1000元．可用来生产这两种产品的资金为53万元，两种产品各生产多少吨才能使库存原料和资金恰好用完？先列表分析数量关系再解答． 【答案】生产种产品，生产种产品，才能使库存原料和资金恰好用完 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，设产品生产，产品生产，根据生产两种产品需要的原料是和费用为53万元建立方程组求解即可得到答案，根据生产两种产品需要的原料是和费用为53万元建立方程组求解是解决问题的关键． 【详解】解：列表分析数量关系如下： 种产品 种产品 总量 产品原料 产品费用 900元 1000元 53万元 设产品生产，产品生产， 由题意得， 解得， 答：生产种产品，生产种产品，才能使库存原料和资金恰好用完． 87．用二元一次方程组解应用题：用若干节火车车厢运送一批货物．如果每节装35吨，还剩17吨装不下；如果每节多装5吨，则还可再装28吨．问共有几节火车车厢？这批货物共有多少吨？ 【答案】共有节火车车厢，这批货物共有吨， 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设共有节火车车厢，这批货物共有吨，根据货物的总量为定值，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设共有节火车车厢，这批货物共有吨，由题意，得： ，解得：； 答：共有节火车车厢，这批货物共有吨． 巩固训练 88．为提高集团人力资源利用率，某集团对下属甲、乙两地分公司的员工人数进行了如下调整：甲分公司人数增加，乙分公司人数减少5人，已知调整前甲分公司比乙分公司人数少10人，调整后甲比乙多3人，求调整前甲、乙分公司的人数分别为多少人？ 【答案】调整前甲分公司的人数为80人，乙分公司的人数为90人 【分析】设调整前甲分公司的人数为人，乙分公司的人数为人，根据调整前甲分公司比乙分公司人数少10人，调整后甲分公司比乙分公司多3人，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设调整前甲分公司的人数为人，乙分公司的人数为人，根据题意，得 ， 解得：， 答：调整前甲分公司的人数为80人，乙分公司的人数为90人． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 89．用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)横式纸盒做个，竖式纸盒做个 (2)是的整数倍，理由见解析 【分析】（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合，均为正整数，即可得出是的整数倍． 【详解】（1）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做个，竖式纸盒做个； （2）解：是的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是的整数倍． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 90．入秋后，某地发生了洪灾，红星集团及时为灾区购进A，B两种抗洪物资80吨，共用去200万元，A种物资每吨2.2万元，B种物资每吨3.4万元． (1)求A，B两种物资各购进了多少吨？ (2)该集团租用了大、小两种货车若干辆将这些物资一次性运往灾区，每辆大货车可运8吨A种物资和2吨B种物资，每辆小货车可运5吨A种物资和2.5吨B种物资，问租用的大、小货车各多少辆？ 【答案】(1)A种物资购进了60吨，B种物资购进了20吨 (2)租用的大货车为5辆，小货车为4辆 【分析】（1）设A种物资购进了x吨，B种物资购进了y吨，根据题意列二元一次方程组即可求解． （2）设租用的大货车为m辆，小货车为n辆，根据题意列二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：设A种物资购进了x吨，B种物资购进了y吨， 由题意得： 解得：， 答：A种物资购进了60吨，B种物资购进了20吨； （2）解：设租用的大货车为m辆，小货车为n辆， 由题意得：， 解得：， 答：租用的大货车为5辆，小货车为4辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意正确列出方程是解题关键． 题型十九　销售利润问题 91．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进柠檬和苹果两种水果共1500千克进行销售，其中柠檬的购进单价为10元/千克，苹果的购进单价为15元/千克．求柠檬和苹果两种水果各购进多少千克？    【答案】购进柠檬1000千克，购进苹果500千克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设购进柠檬千克，购进苹果千克．再结合该合作社用17500元从农户处购进柠檬和苹果两种水果共1500千克进行销售，其中柠檬的购进单价为10元/千克，苹果的购进单价为15元/千克，进行列方程，即可作答． 【详解】解：设购进柠檬千克，购进苹果千克． 根据题意，得 解得：     答：购进柠檬1000千克，购进苹果500千克． 92．蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，购买两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元．求每顶A种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格？ 【答案】每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设每顶A种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元，由题意易得，进而求解即可． 【详解】解：设每顶A种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元， 依题意可得：， 解得：， 答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元． 巩固训练 93．2025年，个人消费者购买单件销售价格不超过6000元的手机、平板电脑、智能手表（手环）三类数码产品，可享受政府的购新补贴．小路打算购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑，一部B品牌平板电脑比一部A品牌手机便宜600元，已知该地区对A品牌手机每部补贴，对B品牌平板电脑每部补贴，若购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑一共补贴740元，那么一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑的销售价各是多少？ 【答案】一部A品牌手机的销售价是元，一部B品牌平板电脑的销售价是元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 设一部A品牌手机的销售价是元，一部B品牌平板电脑的销售价是元，根据数量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设一部A品牌手机的销售价是元，一部B品牌平板电脑的销售价是元， ∵一部B品牌平板电脑比一部A品牌手机便宜600元， ∴， ∵该地区对A品牌手机每部补贴，对B品牌平板电脑每部补贴，购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑一共补贴740元， ∴， ∴联立方程组得，， 解得，， ∴一部A品牌手机的销售价是元，一部B品牌平板电脑的销售价是元． 94．某校要购置规格分别为/瓶和/瓶的甲、乙两种洗手液若干瓶，已知购买3瓶甲种洗手液和1瓶乙种洗手液需要84元，购买2瓶甲种洗手液和3瓶乙种洗手液需要126元． (1)求甲、乙两种洗手液的单价． (2)七年级师生共有2000人，平均每人每天都需使用的洗手液．若七年级采购甲、乙两种洗手液共花费了7200元，则这批洗手液可使用多少天？ 【答案】(1)甲、乙两种洗手液的单价分别为18元/瓶，30元/瓶 (2)6天 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设甲种洗手液的单价为x元，乙种洗手液的单价为y元，由题意可得方程组，解方程组即可得解； （2）设七年级采购甲、乙两种洗手液各m瓶，n瓶，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲种洗手液的单价为x元/瓶，乙种洗手液的单价为y元/瓶，由题意得： ， 解得：， 答：甲、乙两种洗手液的单价分别为18元/瓶，30元/瓶． （2）解：设七年级采购甲、乙两种洗手液各m瓶，n瓶，由题意得： ， ∴， ∴（天）； 答：这批洗手液可使用6天． 95．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 (2)共有2种购买方案，最大利润是220元 【分析】设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 题型二十　几何问题 96．如图，长方形由7个正方形组成，正方形的边长为，正方形B的边长为．求此长方形的面积． 【答案】长方形的面积为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意得到，解得，进而即可求出长方形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得到， 解得， 长方形的面积． 答：长方形的面积为． 97．已知与互为邻补角，且比的3倍少，求与的度数． 【答案】， 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用、邻补角的定义等知识，正确列出方程组是关键．与互为邻补角，且比的3倍少，据此列出方程组，并解方程组即可． 【详解】解：由题意知 把②代入①，得 解得． 把代入②中，得 所以，，． 巩固训练 98．如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为． (1)求每块小长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． 【答案】(1)长为，宽为 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组解实际应用题、长方形面积等知识，读懂题意列出方程是解决问题的关键． （1）设一块长方形墙砖的长为，宽为，列方程组求解即可得到答案； （2）利用面积公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设一块长方形墙砖的长为，宽为， 依题意得，解得， 答：一块长方形墙砖的长为，宽为； （2）解：求电视背景墙的面积为， 答：电视背景墙的面积为． 99．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．    (1)填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 1只横式无盖铁容器中 (2)现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？ (3)把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)见解析 (2)可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个 (3)最多可以加工成19个铁盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组或二元一次方程． （1）根据图2进行填表即可； （2）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片300张、正方形铁片100张，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，根据裁成的长方形铁片和正方形铁片正好配套，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，均为非负整数，即可得出各裁剪方案，再分别求出各方案所能加工成的铁盒数量，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：根据图2可知：1只竖式无盖铁容器中长方形铁片4张，正方形铁片1张；1只横式无盖铁容器中长方形铁片3张，正方形铁片2张； 填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 4 1 1只横式无盖铁容器中 3 2 （2）解：设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个， 依题意，得：， 解得：． 答：可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个． （3）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，依题意，得： ， ∴， ∵m，n，均为非负整数， ∴或， 当，时，； 当，时，； ∵， ∴最多可以加工成19个铁盒． 100．【综合实践】 主题：制作一个有盖长方体盒子． 操作：如图所示，矩形纸片中，，，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一个底面是正方形的有盖长方体盒子． 计算：求这个有盖长方体盒子的高和底面正方形的边长．    【答案】这个有盖长方体的高为，底面正方形的边长为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，设有盖长方体的高为，底面正方形的边长为，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设有盖长方体的高为，底面正方形的边长为， 依题意得：， ，得：， 把代入②，得：， 解得：， ∴方程组的解为， 答：这个有盖长方体的高为，底面正方形的边长为． 试卷第42页，共43页 1 / 67 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 二元一次方程组知识归纳与题型突破（20类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、二元一次方程的概念 二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 知识点二、二元一次方程组的概念 二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错易混】 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 知识点三、二元一次方程组的解法 1.代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【易错易混】 1）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单 2.加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 知识点四、二元一次方程组的应用 解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程（组）； 解：解所列出的方程（组）； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 03 题型归纳 题型一　二元一次方程的定义 1．下列方程为二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 巩固训练 3．下列方程中：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（    ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 4．已知方程是关于的二元一次方程，则的值是（   ） A．或1 B．0 C． D．1 5．若方程是关于的二元一次方程，则的值为 ． 题型二　二元一次方程的解 6．二元一次方程正整数解的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 7．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 巩固训练 8．若是方程的解，则 ． 9．已知4组数值：①②③④其中， 是二元一次方程的解（填写序号）． 10．若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 题型三　二元一次方程组的定义 11．已知方程组是二元一次方程组，则（ ） A．1或 B．2或 C． D．2 12．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ）． A． B． C． D． 巩固训练 13．在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤ 14．若是关于，的二元一次方程组，则 ， ， ． 15．若方程组是二元一次方程组，求a的值． 题型四　二元一次方程组的解 16．以为解的方程组是（   ）． A． B． C． D． 17．下列四对数值中，不是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 18．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（　　） A． B． C． D． 19．有四组数：①②③④其中， 是方程的解， 是方程的解， 是方程组的解（填写序号）． 20．已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ． 题型五　已知二元一次方程组的解求参数 21．若是方程组的解，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D．10 22．小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为，小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 23．已知是方程组的解，则的值为（  ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 24．李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你想办法帮他找回： ， ． 25．小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数●和■，求这两个数． 题型六　代入消元法 26．用代入法解方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．用代入消元法解方程组： 巩固训练 28．把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式． (1)； (2)． 29．解方程： 30．用代入消元法解下列方程组： (1) (2) 题型七　加减消元法 31．解方程组： 32．解下列方程组． 巩固训练 33．用适当的方法解方程组． (1) (2) 34．解下列方程组： (1) (2) 35．解方程组 (1) (2) 题型八　二元一次方程组的特殊解法 36．已知关于，的二元一次方程组（其中是常数），不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 37．已知，是关于x，y的二元一次方程组，则（   ） A． B． C． D． 巩固训练 38．已知方程组，则 ． 39．关于x、y的方程组的解是，则方程组的解是 ． 40．阅读下列材料，学习完“代入消元法”和“加减消元法”解二元一次方程组后，聪明的小燕在解方程组时，采用了一种“平均值换元法”，解法如下： 由①可设，，即，， 代入②，得，解得． 所以，． 所以原方程组的解为． 请你模仿小燕的“平均值换元法”解方程组：． 题型九　二元一次方程组的错解复原问题 41．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把看错而得到，则的值为（   ） A． B． C． D． 42．解方程组时某同学把c看错后得到，而正确的解是，那么a、b、c的值是（   ） A． B．a，b不能确定， C． D．a，b，c的值不能确定 巩固训练 43．小马和小虎两位同学做题不够仔细，在解二元一次方程组时，小马看错了系数，解得小虎看错了系数，解得细心的你可不能马虎哦，仔细想一想，算一算，该二元一次方程组的解为 ． 44．小红和小风两人在解关于，的方程组时，小红只因看错了系数，得到方程组的解为，小风只因看错了系数，得到方程组的解为，则 ． 45．甲乙两同学同时解方程，甲看错了a，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程的解为，计算的值． 题型十　构造二元一次方程组求解 46．在方格上做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则右表中的值是 3 4 A． B． C． D． 47．若关于x，y的方程，和有公共解，则k的值是（    ） A． B．2 C．1 D． 巩固训练 48．设，当时，；当时，．则当时， ． 49．若，则的值为 ． 50．如果二元一次方程，和有公共解，求的值 题型十一　已知二元一次方程组解的情况求参数 51．方程组的解与的值相等，则（   ） A．15或 B．25 C．35 D． 52．关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固训练 53．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则 ． 54．已知关于x，y的二元一次方程组，给出以下结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当方程组的解x，y都为自然数时，则m值为0； ③无论m取何值，恒成立； ④无论m取什么实数，始终为定值． 其中正确的是 （请填序号） 55．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求的值 (2)若方程组的解满足方程，求的值． 题型十二　方程组同解问题 56．已知关于，的方程组与有相同的解，则，的值为(   ) A． B． C． D． 57．如果方程组的解与方程组的解相同，则的值是（    ） A．3 B．1 C．－1 D．－3 巩固训练 58．已知关于的方程组和的解相同，的值为 ． 59．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为 ． 60．已知关于的二元一次方程组和方程组有相同的解，求的值． 题型十三　三元一次方程组的定义与解 61．解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 62．有甲、乙、丙三种货物，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙件、丙件，共需元；现购甲件、乙件，共需（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 巩固训练 63．用高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示关于，，的三元一次方程组，若为定值，则与的关系为 ． 64．已知方程组，则的值是 ． 65．解方程组：． 题型十四　三元一次方程组的应用 66．北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡（三种鸡都要买），请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，母鸡有只，小鸡有只，则下列不符合题意的选项是（   ） A． B． C． D． 67．已知某速食店贩售的套餐内容为一片鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价钱比单点一片鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜4元，小王打算到该速食店买两份套餐，若他发现店内有单点一片鸡排就再送一片鸡排的促销活动，且单点一片鸡排再单点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜1元，则根据题意可得到下列哪一个结论（    ） A．一份套餐的价钱必为14元 B．一份套餐的价钱必为12元 C．单点一片鸡排的价钱必为9元 D．单点一片鸡排的价钱必为7元 巩固训练 68．某人上午先到市场购买只鸡只兔只鸭共元，又去市场购买只鸡只兔只鸭共元如果单价不变，他买只鸡只兔只鸭需要 元． 69．有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元钱，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需 元钱． 70．【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 题型十五　方案问题 71．端午节前夕，小明和小华相约一起去超市购买粽子．小明购买A品牌和B品牌的粽子各1袋，共花费55元；小华购买A品牌粽子3袋和B品牌粽子2袋，共花费135元．求A、B两种品牌粽子每袋各多少元． 72．某网站在一段两分钟的视频广告内，计划播放时长为15秒和30秒的两种广告，要求每种广告播放不少于两次，两种广告的播放次数有几种安排方式？ 巩固训练 73．几位同学及其家长露营观看五星发射，购买甲、乙两种帐篷共6顶，一顶甲种帐篷400元，一顶乙种帐篷350元，共花费2300元，甲、乙两种帐篷各购买多少顶？ 74．某中学计划组织七年级全体师生参观风筝博物馆．请根据以下素材，帮助七年级同学设计租车方案． 素材 1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．如果七年级租用45座的客车a辆，那么还剩余15个空座位；如果租用60座的客车可少租3辆，且正好坐满． 2 八年级师生在这个客运公司租了4辆60座的客车和3辆45座的客车到风筝博物馆，一天的租金共计6400元． 3 九年级师生在这个客运公司租了5辆60座和1辆45座的客车到风筝博物馆，一天的租金共计5800元． 问题 （1） 确定人数 参加此次活动的七年级师生共有多少人？ （2） 确定租金 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （3） 设计租车方案 若从该客运公司租用客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，共有几种租车方案？哪一种租车方案最省钱？ 75．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买、两种跳绳若干，已知购买3根种跳绳和1根种跳绳共需105元；购买5根种跳绳和3根种跳绳共需215元．求、两种跳绳的单价． 题型十六　行程问题 76．小强家和小勇家相距，他们各自骑自行车到对方家去．若他们同时出发，则后在路上相遇；若小强出发后小勇才出发，则小勇出发后他们在路上相遇．小强和小勇骑自行车的速度分别是多少？ 77．列方程组解应用题：甲、乙二人相距，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，小时相遇．二人的平均速度各是多少？ 巩固训练 78．一列火车通过某铁路桥，火车从上桥到完全离开桥共用，而整列火车在桥上的时间为．已知火车的速度为，求铁路桥长和火车的长． 79．甲、乙两人同时同地练习跑步，如果甲让乙先跑，那么甲跑追上乙．如果让乙先跑，那么甲跑追上乙．求甲、乙两人的速度． 80．在一幅比例尺是的地图上，量得甲、乙两地的距离是10厘米．一列客车和一列货车同时从甲、两地相对开出，5小时相遇．已知客车和货车速度的比是，客车每小时行多少千米？ 题型十七　工程问题 81．现有大量的沙石需要运输．“益安”车队原来有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？ 82．某工程队共有120人，分别在甲、乙两工地施工．由于工程需要，现从甲工地调18人去乙工地，这时两工地施工的人数刚好相等，求调动前甲、乙两工地各有多少人． 巩固训练 83．汾河作为太原市的“母亲河”，记录着太原悠久的历史，是太原具有里程碑意义的宝贵资源．为打造汾河太原段滨河区景观，现有一段长为289米的河道治理任务，分别由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天治理13米，乙工程队每天治理9米，共用时25天． (1)课堂上小宇和小军两位同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 小宇： ， 小军：， 请在上面方框中补全两位同学所列的方程组；并根据小宇同学所列的方程组，指出未知数，表示的意义． 小宇：表示______；表示______． (2)请求出甲、乙两工程队分别治理河道多少米？（写出完整的解答过程） 84．倡导垃圾分类，共享绿色生活，为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人．已知2台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时共分拣垃圾吨，3台A型机器人和1台B型机器人同时工作2小时共分拣垃圾吨．1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别分拣垃圾多少吨？ 85．某监测站计划在规定时间内检测一批仪器，如果每天检测台，那么在规定时间内只能检测计划数的．现在每天实际检测台，结果不但比原来计划提前了一天完成任务，还多检测了台．问规定时间是多少天？原计划检测多少台？ 题型十八　分配问题 86．某工厂现有某种原料，可以用来生产两种产品，每生产种产品需这种原料，生产费用为900元；每生产种产品需这种原料，生产费用为1000元．可用来生产这两种产品的资金为53万元，两种产品各生产多少吨才能使库存原料和资金恰好用完？先列表分析数量关系再解答． 87．用二元一次方程组解应用题：用若干节火车车厢运送一批货物．如果每节装35吨，还剩17吨装不下；如果每节多装5吨，则还可再装28吨．问共有几节火车车厢？这批货物共有多少吨？ 巩固训练 88．为提高集团人力资源利用率，某集团对下属甲、乙两地分公司的员工人数进行了如下调整：甲分公司人数增加，乙分公司人数减少5人，已知调整前甲分公司比乙分公司人数少10人，调整后甲比乙多3人，求调整前甲、乙分公司的人数分别为多少人？ 89．用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 90．入秋后，某地发生了洪灾，红星集团及时为灾区购进A，B两种抗洪物资80吨，共用去200万元，A种物资每吨2.2万元，B种物资每吨3.4万元． (1)求A，B两种物资各购进了多少吨？ (2)该集团租用了大、小两种货车若干辆将这些物资一次性运往灾区，每辆大货车可运8吨A种物资和2吨B种物资，每辆小货车可运5吨A种物资和2.5吨B种物资，问租用的大、小货车各多少辆？ 题型十九　销售利润问题 91．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进柠檬和苹果两种水果共1500千克进行销售，其中柠檬的购进单价为10元/千克，苹果的购进单价为15元/千克．求柠檬和苹果两种水果各购进多少千克？    92．蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，购买两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元．求每顶A种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格？ 巩固训练 93．2025年，个人消费者购买单件销售价格不超过6000元的手机、平板电脑、智能手表（手环）三类数码产品，可享受政府的购新补贴．小路打算购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑，一部B品牌平板电脑比一部A品牌手机便宜600元，已知该地区对A品牌手机每部补贴，对B品牌平板电脑每部补贴，若购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑一共补贴740元，那么一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑的销售价各是多少？ 94．某校要购置规格分别为/瓶和/瓶的甲、乙两种洗手液若干瓶，已知购买3瓶甲种洗手液和1瓶乙种洗手液需要84元，购买2瓶甲种洗手液和3瓶乙种洗手液需要126元． (1)求甲、乙两种洗手液的单价． (2)七年级师生共有2000人，平均每人每天都需使用的洗手液．若七年级采购甲、乙两种洗手液共花费了7200元，则这批洗手液可使用多少天？ 95．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 题型二十　几何问题 96．如图，长方形由7个正方形组成，正方形的边长为，正方形B的边长为．求此长方形的面积． 97．已知与互为邻补角，且比的3倍少，求与的度数． 巩固训练 98．如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为． (1)求每块小长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． 99．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．    (1)填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 1只横式无盖铁容器中 (2)现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？ (3)把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？ 100．【综合实践】 主题：制作一个有盖长方体盒子． 操作：如图所示，矩形纸片中，，，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一个底面是正方形的有盖长方体盒子． 计算：求这个有盖长方体盒子的高和底面正方形的边长．    试卷第42页，共43页 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$