第8章 圆柱与圆锥 易错训练与压轴训练（10易错+5压轴）-2024-2025学年六年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第8章 圆柱与圆锥易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　圆柱的认识及特征 1 易错题型二　圆柱的展开图 3 易错题型三　圆柱的侧面积 5 易错题型四　圆柱的表面积 7 易错题型五　圆柱的体积 10 易错题型六　圆柱的容积 13 易错题型七　圆锥的认识及特征 15 易错题型八　求圆锥的侧面积 18 易错题型九　求圆锥底面半径 21 易错题型十　圆柱与圆锥体积的关系 25 压轴题型一 圆柱相关压轴计算 42 压轴题型二　圆锥相关压轴计算 51 压轴题型三　组合体的表面积 57 压轴题型四　组合体的体积 63 压轴题型五　不规则物体的体积算法 69 02 易错题型 易错题型一　圆柱的认识及特征 例题： 1．有一块正方体的木料，它的棱长是．把这块木料加工成一个最大的圆柱．这个圆柱的底面半径是（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 巩固训练 2．沿着圆柱的高剪开，侧面展开得到一个 ，它的一条边就等于圆柱的 ，另一条边就等于圆柱的 ． 3．底面半径为的圆柱体，它的底面周长和底面积相等． 4．用一条长的绳子围着一个圆柱形容器绕4圈，还余，这个容器的直径是多少？ 易错题型二　圆柱的展开图 例题： 5．如果圆柱的侧面展开图是一个边长为6.28分米的正方形；圆柱的高是 分米，底面积是 平方分米．（取3.14） 巩固训练 6．云南特产饮品酸角汁深受人们喜爱，为庆国庆回馈新老客户，公司特推出圆柱形大瓶装，它的侧面加一层庆国庆的包装纸围满．已知底面圆的半径为，高为，则下列图形，适合做此饮品侧面包装纸的是（　　） A． B． C． D． 7．一个圆柱形油桶的侧面展开图是一个正方形，已知这个油桶的底面半径是35厘米，那么油桶的高是 厘米． 8．用一张长方形铁皮（如图）裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶．    (1)请你在图中画出水桶的底面和侧面展开图． (2)这个水桶的底面直径是________dm，高是________dm． (3)这个水桶最多能盛水多少升？（铁皮厚度忽略不计） 易错题型三　圆柱的侧面积 例题： 9．用铁皮焊接一节长，底面直径的圆柱形通风管，至少需要铁皮（    ）平方米． A．0.628 B．1.884 C．0.314 D．188.4 巩固训练 10．一个圆柱体的高是cm，侧面展开后正好得到一个正方形，圆柱的底面积是 ，侧面积是 ． 11．如图，制作一个底面直径20厘米，长50厘米的圆柱形通风管，至少要用多大面积的铁皮？（不计损耗） 12．做一根长3米的圆柱形通风管，横截面直径是米，做这根通风管至少需要材料（    ）平方米． A． B． C． D． 易错题型四　圆柱的表面积 例题： 13．一个底面直径是6分米，高是3分米的圆柱，若沿底面直径垂直切割分开，则表面积增加 平方分米；若平行于底面切割成2个圆柱，则表面积增加 平方分米． 巩固训练 14．一个圆柱形无盖铁皮水桶，底面直径6分米，高8分米，做这个水桶至少需要铁皮多少平方分米？（π取3.14） 15．一个圆柱形铁皮水桶（无盖）的底面直径是，高，制作这个水桶至少用铁皮多少平方厘米？（取） 16．一个长方形的两邻边的长分别为2厘米和4厘米，绕它的一边所在的直线旋转所得几何体的表面积是 平方厘米．（结果保留） 易错题型五　圆柱的体积 例题： 17．底面周长为的圆柱体，从中间斜着截去一段后，截后的形状如图所示，则截后的体积 ．（取） 巩固训练 18．将内半径为的圆柱形水桶里的水往另一小的圆柱形水桶倒，直到倒满为止．已知小圆柱内半径为，高是．当小水桶倒满时，求大水桶水面下降了多少．若设大水桶水面下降了，则可列方程 ． 19．一个高10厘米的圆柱．如果底面半径不变，把它的高截去3厘米，那么表面积就比原来减少94.2平方厘米．这个圆柱原来的体积是（    ）立方厘米 A．785 B．765 C．685 D．665 20．孙悟空出自四大名著之一的《西游记》，是中国著名的神话人物之一，在某一时刻金箍棒的底面半径变为，如果这根金箍棒是铁制的，每立方厘米铁的质量是，这根金箍棒的质量大约是多少千克？（得数保留两位小数） 易错题型六　圆柱的容积 例题： 21．有一种饮料瓶，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），瓶子的容积是，现在瓶中装有一些饮料，瓶子正放时饮料高度为，倒放时空余部分的高度为，那么现在瓶内现有多少毫升饮料？ 巩固训练 22．化工厂计划在一块长10米、宽8米的长方形空地上挖一个尽可能大的圆柱形蓄水池．如果挖成的水池深5米，这个水池能蓄水多少吨？（每立方米水重1吨） 23．一瓶装满的矿泉水，喝了一些后，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10cm，内直径是6cm． (1)喝了多少毫升水？ (2)在解决这道题时用了（    ）数学思想方法． 24．有一玻璃密封器皿如图1所示，测得其底面直径为高为，现内装蓝色溶液若干，当如图2所示放置时，测得液面高为，当如图3所示放置时，测得液面高为． 求该玻璃密封器皿的总容量（结果保留）． 易错题型七　圆锥的认识及特征 例题： 25．（圆锥体积）学校有一个底面直径2米、高5米的圆锥形沙堆，将其填铺到一个长8米、宽3.14米的沙坑里，可以铺多厚？（取3.14，结果保留两位小数） 巩固训练 26．一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米、4厘米，如果以这个直角三角形的一条直角边为轴旋转后会形成一个圆锥，这个圆锥体积最大是 立方厘米. 27．一个正方体木料，加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是正方体体积的．（    ） 28．【体积计算】如果分别从两个体积之和为的正方体木块中挖去最大的圆锥做成两个如图所示的工件模具，那么这两个模具的体积之和为 ．（取3.14） 易错题型八　求圆锥的侧面积 例题： 29．小昆为参加学校组织的元旦晚会，准备制作一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面直径为，母线长为，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为 （结果保留）． 巩固训练 30．“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此草锅盖的侧面积约是 ． 31．圆锥绣球是虎耳草料绣球属植物，圆锥状聚伞花序见塔形，长达，胸径约，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．小然按照其形状制作了如下：母线长为，底面直径长为的圆锥绣球模型，则此圆锥的侧面积为 ． 32．2025年元旦即将来临，小聪同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形“小丑”帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形“小丑”帽子的底面半径为．那么这张扇形纸板的面积是 ． 易错题型九　求圆锥底面半径 例题： 33．如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 巩固训练 34．已知一矩形材料的长，宽，要在矩形上裁剪一个最大的扇形，做成一个圆锥形灯罩，则那个圆锥形灯罩的底面半径为 ． 35．如图，用圆心角为，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是 ． 36．综合实践课上，珍珍用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是（   ）． A． B． C．3 D．6 易错题型十　圆柱与圆锥体积的关系 例题： 37．一个圆锥比与它等底等高的圆柱的体积少，这个圆锥的体积是 ，圆柱的体积是 巩固训练 38．蒙古包，作为蒙古族传统的居住形式，承载着浓厚的游牧文化和历史底蕴．它的上面近似于圆锥形，下面近似于圆柱形．如图，一个蒙古包圆柱底面的周长是，高是，圆锥的高是． (1)蒙古包的上面圆锥部分的侧面展开图是 （填图形名称）；下面圆柱部分的侧面展开图是 （填图形名称），圆柱部分的侧面展开图的面积是 （结果保留π）． (2)这个蒙古包的体积是多少立方米？（结果保留π）． 39．实验室里有一个圆柱形空水槽，底面直径为，高为． (1)将底面半径为，高度为的圆锥形容器装满水全部倒入圆柱形水槽内，此时水槽内水的高度为多少？ (2)在（1）的条件下，将一个圆柱形铁锭放入水槽内，全部浸入水面以下，水面上升了，如果这个圆柱形铁锭的底面半径为，那么这个圆柱形铁锭的高是多少？ (3)在（1）的条件下，如果将一个高为，底面半径为的圆柱形铁锭竖直放入水槽内，那么水面上升了多少？ 40．一个密闭玻璃容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，里面装有一些水（如图1，单位：厘米，玻璃的厚度忽略不计）． (1)容器中水的体积是多少立方厘米？ (2)如果将这个容器倒过来（如图2），从水面到圆锥顶点的高度是多少厘米？ 03 压轴题型 压轴题型一　圆柱相关压轴计算 例题： 41．阿基米德是古希腊著名的数学家．他发现当“圆柱容球”时，球的体积正好是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱表面积的．（此题取3） (1)已知，求圆柱的体积； (2)在（1）的基础上，现有一规格大小与该圆柱完全相同的玻璃杯，置入一与图中球同样大小的冰球，冰球完融化成水后，水与之前冰的体积比是9：10，则融化后水的高度是多少厘米？ (3)若往（2）中杯里垂直放入一个圆柱形铅锤，已知铅锤的底面半径是3厘米，铅锤的高是13厘米，求圆柱形杯中水面上升的高度是多少？ 巩固训练 42．一个装水的四柱体玻璃杯，底面直径是20厘米，杯中放入一个不规则的铁块，当铁块完全浸入水中，杯中水面上升2厘米．（结果保留） (1)求不规则铁块的体积； (2)把铁块取出，削减成一个圆柱，它的体积比原来减少了，圆柱的底面半径为2厘米，求圆柱铁块的高是多少？ (3)把（2）中的圆柱体铁块放入另一个圆柱体玻璃杯中，圆柱体铁块的一个底面与圆柱形水杯底面完全接触，仍有高的铁块露出水面．如果再把钢材垂直露出水面5厘米，则玻璃杯中水面下降2厘米，求这个圆柱体玻璃杯中水的体积是多少立方厘米？ 43．笑笑将一张长方形纸分别沿其长和宽围成两个不同的圆柱形纸筒，若给这两个纸筒都配上两个底面，则这两个圆柱相比较，它们（    ）（如图，接头处尽可能不重叠）    A．体积相等，表面积也相等 B．体积不相等，表面积相等 C．体积相等，表面积不相等 D．体积不相等，表面积也不相等 44．有两个圆柱型空烧杯，底面直径和高分别为6，10和4，4，（单位：厘米，取3）． (1)如图1，有一冰块体积为33立方厘米，当冰块可以全放入大烧杯时，冰化成了水，此时大烧杯内的液体高度是多少厘米？（冰融化成水后体积减少） (2)如图2，在（1）的条件下，将小烧杯放入装有水的大烧杯（小烧杯的底面与大烧杯的底面没有缝隙），这时大烧杯内的液面高度变为多少厘米？若在大烧杯底部增加一个进水管，进水的速度为2立方厘米/秒，为了让小烧杯内的液体高度达到3厘米，则需要从进水管向大烧杯注水多少秒？ 压轴题型二　圆锥相关压轴计算 例题： 45．综合与实践： 小明和小红假期到某厂参加社会实践，发现该厂用一批长为，宽为的白纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时，工厂一般将白纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分不再使用．请根据活动完成相应的任务． 活动一 如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长 方体包装盒． 任务1：请直接计算出方案甲中包装盒的容积为 ． 活动二 为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙． 任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（取3）．并判断容积是否变大． 活动三 小明：设计成圆柱形的容积确实变化了． 小红：那么是否还有容积更大的情况呢？ 小明与小红通过研究发现了无盖圆柱形包装盒设计的新方案，且容积还大于． 任务3：请在下列白纸板上画出他们的方案，并计算其容积（取3） 巩固训练 46．一个装满水的圆锥形容器，底面积是，高是，将这些水全部倒入一个长方体水槽中，已知这个长方体水槽的长、宽、高分别是 (1)求这个长方体水槽中水的深度； (2)如果把一个底面半径是2厘米的圆柱形铁块垂直放入长方体水槽中，当它的一个底面在水中与长方体水槽的底面完全接触时，仍有的铁块露出水面，求这个圆柱形铁块的高；（取3） (3)冰雪节马上就要到了，萧红中学组织学生制作小冰灯．小明决定将（2）问长方体水槽中的圆柱形铁块移动到水槽中央，作为冰灯的支架，然后放入4个相同的彩灯，冷冻成长方体小冰灯（彩灯是由等底等高的圆柱和圆锥组合而成）．已知水结成冰后体积增加，如果彩灯的底面半径是厘米，那么能够放入的彩灯的高最大是多少厘米，才会使冻成的冰灯表面恰好不会溢出水槽？（取3） 47．在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想． (1)小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并量的这个长方形的长是厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？ (2)生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图），它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱体的高． 小明在学习了《圆的面积》后，也想用类似的方法研究圆柱体的体积，他将一个圆柱体等分成若干分，拼成了一个近似的长方体（如图），他发现把圆柱体等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱体的体积，故由长方体的体积推导出圆柱体的体积.如果设这个圆柱体底面的半径为，高为，体积为，那么这个长方体的长= ，宽= ，所以圆柱体的体积 ． (3)将一个底面周长是厘米的圆柱体斜着截去一段，截后的形体如图所示，求这个截后的体积是多少立方厘米？ 48．某施工场地有一条宽的道路需要用石子铺设，在另一处有一个圆锥形石堆，石堆的底面积是，石堆的高是．现在准备安排若干辆卡车去运回这堆石子来铺设道路． (1)用这堆石子在这条宽的道路上铺厚的路面，能铺这条道路多少米？（结果保留两位小数） (2)一辆型卡车从施工场地出发前往石堆所在地，出发小时后，一辆型卡车也从施工场地出发前往石堆所在地，当这辆型卡车又行驶小时到达石堆所在地时，型卡车行驶的路程比施工场地与石堆所在地路程的少千米，已知型卡车与型卡车的速度比为：，求施工场地与石堆所在地之间的路程是多少千米？ (3)在（2）的条件下，已知型卡车每辆满载可装石子，每辆型卡车满载石子的体积是每辆型卡车满载石子体积的，每辆型卡车每千米油费元，每辆型卡车每千米油费比每辆型卡车每千米油费多，施工场地已经有辆型卡车去运石子，现在施工场地只剩余辆型卡车和足够多的型卡车，为了确保运石总油费支出最少，并且能够将石子全部运回施工场地铺路，还应该怎样再派卡车？ 压轴题型三　组合体的表面积 例题： 49．蜂窝煤是由煤炼制而成的．如图1，每个蜂窝煤中都有12个相同的空心小圆柱，每个蜂窝煤底面的直径为，高为，其中空心小圆柱底面的直径均为． (1)求一个蜂窝煤大约需要用煤多少立方厘米（结果保留）？ (2)如图2，现有一堆煤，近似于一个圆锥，它的底面直径为4米，高为0.9米，如果用这堆煤来制作图1中的蜂窝煤，可以制作多少个蜂窝煤？ (3)如图3，若将12个这样蜂窝煤按如图所示的方式放入有盖的包装箱内，则这个箱子的表面积至少是多少（箱子厚度忽略不计）？ 巩固训练 50．计算: (1)把一根圆木锯成一半(如图,单位:厘米),求这个半圆柱木料的表面积． (2)计算该物体的体积（单位：厘米） 51．如图，从一个棱长为3cm的正方体的一顶点处挖去一个棱长为1cm的正方体，则剩余部分的体积和表面积． 52．个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？ 压轴题型四　组合体的体积 例题： 53．分析统计图，解下列各问题 某校开展以“我最喜欢的2022年冬奥会冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占调查人数的40%． (1)在这次调查中，一共抽取 名学生，调查的同学中，喜欢冰壶的人数为 ； (2)如果该学有2000名学生，估计最喜欢高山滑雪的学生共有 名； (3)冬奥会项目设有单板滑雪U形池赛道，赛道简化模型示意图如下，形状可看成一个长方体中挖去了半个圆柱体．已知冬奥会标准U形池的规格∶长为，宽为，高为，其中挖去圆柱体的底面直径为．求该U形池所占空间．（π取3.14） 巩固训练 54．据国家粮食和物资储备局发布，截至2024年9月30日，主产区各类粮食企业累计收购2024年度夏粮7503万吨，同比增加642万吨，收购市场总体平稳．图1是某“粮仓”的示意图． (1)该粮仓的示意图可以由图2中的图________旋转一周后得到； (2)求该“粮仓”的体积．（结果保留） 55．一个底面内半径和高分别是、的空心圆锥和空心圆柱组合成如图①所示的容器．若在这个密封容器内注入一些细沙，则不仅能填满圆锥，还能填注部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高．若将这个容器如图②倒立，则沙子的高度是多少厘米？ 56．某地要修建一个如图1所示足球场，足球场的中间是一个长为宽为的长方形、两边为两个半圆形，建设过程中足球场场地要铺上一层厚的石灰土做垫层，如图2，石灰土堆放近似于一个圆锥，底面圆的直径为，高为．（π取3） (1)通过计算说明这堆石灰土是否够用？ (2)压路机的前轮直径是2米，轮宽是米，前轮每分钟转动2周，若4台压路机同时工作，将的长方形区域压完一次至少需要多少时间？（压路机掉头时间忽略不计，压路时无缝隙、无重叠） (3)计划由甲、乙两个工程队来共同铺设石灰土垫层，已知甲、乙两个工程队每天所铺设的面积之比为，实际铺设时，甲、乙两个工程队一起铺了7天后，乙工程队因故离开，由甲工程队又单独铺了2天，恰好将这足球场的石灰土垫层全部铺完，求甲、乙两个工程队每天各铺多少平方米？ 压轴题型五　不规则物体的体积算法 例题： 57．向一个内棱长是的正方体容器中装水，现将一个钢块完全浸在水中，此时水面的高度是，这个钢块的体积是多少立方分米？ 巩固训练 58．在一个长30厘米，宽15厘米，高50厘米的长方体容器里，水深15厘米，把一个圆柱形的铁块竖直的放到容器内，刚好没入水中，水面上升3厘米．求铁块的体积． 59．把一个棱长为2厘米的正方体在同一平面上的四条棱的中点用线段连接起来（如图所示），然后再把正方体所有顶点上的三角锥锯掉．那么最后所得的立方体的体积是 立方厘米． 60．某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体，如图，圆柱底面的半径是8米，高是3米，圆锥的高是3米．如果每立方米小麦约重750千克． (1)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库至少需要多少个这样的粮囤存储这些小麦（取3）? (2)由于粮囤使用多年，需要对所有粮囤进行翻新维修，粮库将此工程承包给甲乙两个队，甲工程队单独修需要8天，甲工程队单独完成需要的时间比乙工程队单独完成时间少，现在两队同时进行维修几天后，乙队因有其他任务调走，余下的工程量甲工程队需要3天时间完成，乙工程队维修了几天？ (3)若在（2）的条件下，已知每天甲工程队的费用是900元，每天甲工程队的费用与每天乙工程队的费用之比是，维修所有粮囤后，请你计算出甲乙两队的总费用． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 圆柱与圆锥易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　圆柱的认识及特征 1 易错题型二　圆柱的展开图 3 易错题型三　圆柱的侧面积 5 易错题型四　圆柱的表面积 7 易错题型五　圆柱的体积 10 易错题型六　圆柱的容积 13 易错题型七　圆锥的认识及特征 15 易错题型八　求圆锥的侧面积 18 易错题型九　求圆锥底面半径 21 易错题型十　圆柱与圆锥体积的关系 25 压轴题型一 圆柱相关压轴计算 42 压轴题型二　圆锥相关压轴计算 51 压轴题型三　组合体的表面积 57 压轴题型四　组合体的体积 63 压轴题型五　不规则物体的体积算法 69 02 易错题型 易错题型一　圆柱的认识及特征 例题： 1．有一块正方体的木料，它的棱长是．把这块木料加工成一个最大的圆柱．这个圆柱的底面半径是（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】A 【分析】加工成最大的圆柱则圆柱底面圆直径等于正方体的棱长，由此即可得到答案． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题主要考查了求圆柱的底面圆半径，正确理解加工成最大的圆柱则圆柱底面圆直径等于正方体的棱长是解题的关键． 巩固训练 2．沿着圆柱的高剪开，侧面展开得到一个 ，它的一条边就等于圆柱的 ，另一条边就等于圆柱的 ． 【答案】 长方形或正方形 底面周长 高 【分析】根据圆柱的特征，圆柱的上下底是面积相等的两个圆，把圆柱的侧面沿着它的一条高剪开，圆柱的侧面展开是一个长方形或正方形（当底面周长和高相等时）．由此解答即可． 【详解】解：沿着圆柱的高剪，侧面展开得到一个长方形或正方形，它的一条边就等于圆柱的底面周长，另一条边就等于圆柱的高． 故答案为：长方形或正方形，底面周长，高． 【点睛】此题主要考查圆柱的特征，及圆柱的侧面展开图的形状，是侧面积公式推导的主要依据，必须牢固掌握才能正确的计算圆柱的侧面积． 3．底面半径为的圆柱体，它的底面周长和底面积相等． 【答案】× 【分析】圆柱的底面半径已知，依据圆的周长和面积公式即可分别计算出底面的周长和面积，再根据圆的周长和面积的意义进行判断即可． 【详解】解：底面周长：， 底面积：， 底面周长和底面积虽然数值相等，但是圆的周长指围成圆的曲线的长度，而圆的面积是指围成的圆的面的大小，所以二者不能比较． 故答案为：错误． 【点睛】本题考查了圆柱底面的周长和面积的意义，解答此题的关键是明白，圆的周长和面积的意义不同． 4．用一条长的绳子围着一个圆柱形容器绕4圈，还余，这个容器的直径是多少？ 【答案】米 【分析】先求出4圈绳子的长度，再求出每圈的长度，再根据圆周长公式即可得到答案． 【详解】解：， ， 答：这个容器的直径是米． 【点睛】此题考查了圆周长和圆柱等知识，读懂题意和准确计算是解题的关键． 易错题型二　圆柱的展开图 例题： 5．如果圆柱的侧面展开图是一个边长为6.28分米的正方形；圆柱的高是 分米，底面积是 平方分米．（取3.14） 【答案】 6.28 3.14 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图以及底面积，根据展开图是正方形，得出圆柱的高是6.28分米，展开图的宽是底面积的周长，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵圆柱的侧面展开图是一个边长为6.28分米的正方形， ∴圆柱的高是6.28分米； 则底面积的半径是（分米）； 则底面积为（平方分米） 故答案为：6.28，3.14 巩固训练 6．云南特产饮品酸角汁深受人们喜爱，为庆国庆回馈新老客户，公司特推出圆柱形大瓶装，它的侧面加一层庆国庆的包装纸围满．已知底面圆的半径为，高为，则下列图形，适合做此饮品侧面包装纸的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的展开图； 先求出圆柱形大瓶底面圆的周长，再根据选项利用排除法求解． 【详解】解：由题意得，圆柱形大瓶底面圆的周长为， ∴侧面包装纸横向的长度应为，排除A，B； 而D选项中无法完成完整的拼接，故排除D， 适合做此饮品侧面包装纸的是C， 故选：C． 7．一个圆柱形油桶的侧面展开图是一个正方形，已知这个油桶的底面半径是35厘米，那么油桶的高是 厘米． 【答案】 【分析】圆柱的侧面展开是正方形，说明圆柱的底面周长和圆柱的高相等，进行解答，然后选择即可． 【详解】解：圆柱的底面半径是35厘米， 底面周长为：(厘米)， 它的侧面展开是一个正方形， 圆柱的高也是厘米， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了圆柱的计算，几何体的展开图，正方形的性质等知识点，能根据题意得出方程是解此题的关键． 8．用一张长方形铁皮（如图）裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶．    (1)请你在图中画出水桶的底面和侧面展开图． (2)这个水桶的底面直径是________dm，高是________dm． (3)这个水桶最多能盛水多少升？（铁皮厚度忽略不计） 【答案】(1)见解析 (2)， (3)这个水桶最多能盛水6.28升 【分析】（1）根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。通过观察图形可知，这个圆柱形水桶的底面直径是2分米，根据圆的画法，画出直径是2分米的圆，铁皮的长减去2分米就是圆柱的底面周长。据此作图即可； （2）根据圆柱的侧面积公式：，圆的面积公式：，把数据代入公式解答； （3）根据圆柱的体积（容积）公式：，把数据代入公式解答． 【详解】（1）作图如下：    （2）（分米） （分米） 答：这个水桶的底面直径是,高是． 故答案为：，； （3）（立方分米） 6.28立方分米=6.28升 答：这个水桶最多能盛水6.28升． 【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆柱展开图的特征，圆柱的侧面积公式、圆的面积公式、圆柱的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式． 易错题型三　圆柱的侧面积 例题： 9．用铁皮焊接一节长，底面直径的圆柱形通风管，至少需要铁皮（    ）平方米． A．0.628 B．1.884 C．0.314 D．188.4 【答案】B 【分析】此题主要考查圆柱侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 根据生活经验可知，圆柱形通风管只有侧面，没有底面，根据圆柱的侧面积公式：，把数据代入公式解答． 【详解】解：米 （平方米） 答：至少需要铁皮1.884平方米． 故选：B． 巩固训练 10．一个圆柱体的高是cm，侧面展开后正好得到一个正方形，圆柱的底面积是 ，侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆柱侧面积公式的应用，掌握圆柱侧面积公式以及底面积公是解题的关键． 依据题意可知，圆柱的底面周长等于高，由此计算底面半径，利用圆的面积半径半径，圆柱的侧面积底面周长高，结合题中数据计算即可． 【详解】解：厘米， 平方厘米， 平方厘米． 答：底面积是平方厘米，侧面积是平方厘米． 故答案为：；． 11．如图，制作一个底面直径20厘米，长50厘米的圆柱形通风管，至少要用多大面积的铁皮？（不计损耗） 【答案】3140平方厘米 【分析】本题考查求圆柱体的侧面积，根据圆柱体的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意列式得（平方厘米）． 12．做一根长3米的圆柱形通风管，横截面直径是米，做这根通风管至少需要材料（    ）平方米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据通风管的横截面直径，可先求出横截面的周长，进而得出圆柱的侧面积，即为通风管需要的材料． 【详解】解：因为通风管的横截面直径是米， 所以横截面的周长为米． 又圆柱形通风管的长为3米， 所以圆柱形通风管的侧面积为：平方米． 即需要的材料至少为平方米． 故选：A． 【点睛】本题考查圆柱的侧面积计算，在求通风管需要材料时，熟知不能加上两个底面的面积是解题的关键． 易错题型四　圆柱的表面积 例题： 13．一个底面直径是6分米，高是3分米的圆柱，若沿底面直径垂直切割分开，则表面积增加 平方分米；若平行于底面切割成2个圆柱，则表面积增加 平方分米． 【答案】 36 56.52 【分析】本题考查的是圆柱的表面积，解答本题需明确两种不同的切法增加的两种不同的图形，熟练掌握长方形的面积公式和圆面积公式；若将圆柱沿底面直径垂直切割分开，表面积增加2个长为圆柱的底面直径、宽为圆柱的高的长方形的面积；若平行于底面切割成2个圆柱，则表面积增加两个底面的面积，据此解答； 【详解】解：沿底面直径垂直切割：（平方分米） 平行于底面切割： （平方分米） 答：若沿底面直径垂直切割分开，则表面积增加36平方分米；若平行于底面切割成2个圆柱，则表面积增加56.52平方分米。 故答案为：36；56.52 巩固训练 14．一个圆柱形无盖铁皮水桶，底面直径6分米，高8分米，做这个水桶至少需要铁皮多少平方分米？（π取3.14） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆柱的表面积计算，分别求出圆柱的侧面积和底面积，然后求和即可得到答案． 【详解】解： ， 答：制作这个水桶至少用铁皮． 15．一个圆柱形铁皮水桶（无盖）的底面直径是，高，制作这个水桶至少用铁皮多少平方厘米？（取） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆柱的表面积计算，分别求出圆柱的侧面积和底面积，然后求和即可得到答案． 【详解】解： ， 答：制作这个水桶至少用铁皮． 16．一个长方形的两邻边的长分别为2厘米和4厘米，绕它的一边所在的直线旋转所得几何体的表面积是 平方厘米．（结果保留） 【答案】或/或 【分析】本题是考查了圆柱的表面积的计算方法，注意要求表面积就要先分清底面半径和圆柱的高．分两种情况根据圆柱的表面积公式计算即可． 【详解】解：当把长方形2厘米的一边所在直线为轴旋转一周，那么圆柱的底面半径为4厘米，高为2厘米， 则圆柱的侧面积为（平方厘米）， 两个底面的面积为（平方厘米）， 所以圆柱体的表面积为（平方厘米）； 当把长方形4厘米的一边所在直线为轴旋转一周，那么圆柱的底面半径为2厘米，高为4厘米， 所以圆柱的侧面积为（平方厘米）， 两个底面的面积为（平方厘米）， 所以圆柱体的表面积为（平方厘米）． 故答案为：或． 易错题型五　圆柱的体积 例题： 17．底面周长为的圆柱体，从中间斜着截去一段后，截后的形状如图所示，则截后的体积 ．（取） 【答案】 【分析】此题主要考查了圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键，难点是再取一个截后的几何体，用两个这样的几何体拼成一个圆柱体．先求出圆柱体底面圆的半径为：（厘米），再将截后的几何体倒过来拼成一个圆柱体，则拼成圆柱体的高为：，然后利用圆柱的体积公式求出所拼成的圆柱体的体积，进而可得截后几何体的体积． 【详解】解：圆柱体的底面圆的周长为， 该圆柱体底面圆的半径为：， 再取一个截后的几何体，用两个这样的几何体拼成一个圆柱体， 则拼成圆柱体的高为：， 所拼成的圆柱体的体积为：， 截后几何体的体积为：． 故答案为： 巩固训练 18．将内半径为的圆柱形水桶里的水往另一小的圆柱形水桶倒，直到倒满为止．已知小圆柱内半径为，高是．当小水桶倒满时，求大水桶水面下降了多少．若设大水桶水面下降了，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的体积在实际问题的应用，根据圆柱体的体积公式，利用“小水桶内水的体积=大水桶内倒出的水的体积”，即可列出方程． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：． 19．一个高10厘米的圆柱．如果底面半径不变，把它的高截去3厘米，那么表面积就比原来减少94.2平方厘米．这个圆柱原来的体积是（    ）立方厘米 A．785 B．765 C．685 D．665 【答案】A 【分析】本题考查圆柱的体积，侧面积．设圆柱的底面圆的半径是，由圆柱侧面积计算公式，可求出圆柱的底面圆半径，再由圆柱体积公式即可计算．关键是掌握圆柱体积，侧面积的计算公式． 【详解】解：设圆柱的底面圆的半径是， 由题意得：， ∴， ∴圆柱的体积（立方厘米）， 故选：A 20．孙悟空出自四大名著之一的《西游记》，是中国著名的神话人物之一，在某一时刻金箍棒的底面半径变为，如果这根金箍棒是铁制的，每立方厘米铁的质量是，这根金箍棒的质量大约是多少千克？（得数保留两位小数） 【答案】千克 【分析】本题主要考查圆柱的体积的公式，熟练掌握公式并灵活运用．根据圆柱的体积公式：底面积×高，进行计算即可求解． 【详解】解： （） 答：这根金箍棒的质量大约是千克 易错题型六　圆柱的容积 例题： 21．有一种饮料瓶，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），瓶子的容积是，现在瓶中装有一些饮料，瓶子正放时饮料高度为，倒放时空余部分的高度为，那么现在瓶内现有多少毫升饮料？ 【答案】瓶内现有毫升饮料 【分析】本题考查了圆柱的体积（容积），熟记公式是解题关键．根据题意可知，这个瓶子的容积相当于一个高为厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式，求出瓶子的底面积，再乘以饮料高度，即可求解． 【详解】解：毫升立方厘米， 圆柱的底面积为平方厘米， 瓶内现有饮料的容积为立方厘米毫升， 答：瓶内现有毫升饮料． 巩固训练 22．化工厂计划在一块长10米、宽8米的长方形空地上挖一个尽可能大的圆柱形蓄水池．如果挖成的水池深5米，这个水池能蓄水多少吨？（每立方米水重1吨） 【答案】这个水池能蓄水251.2吨 【分析】此题考查圆柱的容积公式的实际应用，根据容积公式解决问题，注意容积单位与质量单位的换算，1立方米水重1吨．由题意可知，在一块长10米、宽8米的长方形空地上挖一个尽可能大的圆柱形蓄水池，这个圆柱形蓄水池的底面直径等于长方形的宽时最大．根据圆柱的容积公式：，把数据代入公式求出蓄水池的容积，再根据（每立方米水重1吨），换算成用吨作单位即可． 【详解】解：（立方米）， 251.2立方米=251.2吨； 答：这个水池能蓄水251.2吨； 23．一瓶装满的矿泉水，喝了一些后，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10cm，内直径是6cm． (1)喝了多少毫升水？ (2)在解决这道题时用了（    ）数学思想方法． 【答案】(1)喝了毫升水 (2)转化 【分析】本题考查求圆柱的体积： （1）根据喝掉的水为底面直径为6cm，高为10cm的圆柱体的容积进行计算即可； （2）用到了转化的数学思想． 【详解】（1）解：（毫升）； 答：喝了毫升水． （2）在解决这道题时用了转化的数学思想； 故答案为：转化． 24．有一玻璃密封器皿如图1所示，测得其底面直径为高为，现内装蓝色溶液若干，当如图2所示放置时，测得液面高为，当如图3所示放置时，测得液面高为． 求该玻璃密封器皿的总容量（结果保留）． 【答案】该玻璃密封器皿的总容量为 【分析】本题考查圆柱的容积公式，先分别计算出液体和缺口部分的容积，再用总体积减去缺口容积即可． 【详解】解：半径为：， 如图2，液体部分容积：， 玻璃容器加缺口部分容积：， 如图3，液体部分加缺口部分容积：， 则缺口部分容积为：， ， 故该玻璃密封器皿的总容量为． 易错题型七　圆锥的认识及特征 例题： 25．（圆锥体积）学校有一个底面直径2米、高5米的圆锥形沙堆，将其填铺到一个长8米、宽3.14米的沙坑里，可以铺多厚？（取3.14，结果保留两位小数） 【答案】可以铺0.21米厚 【分析】此题主要考查圆锥的体积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 首先根据圆锥的体积公式求出沙的体积，然后用沙的体积除以长方体沙坑的底面积即可，据此解答． 【详解】解： （米） 答：可以铺0.21米厚． 巩固训练 26．一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米、4厘米，如果以这个直角三角形的一条直角边为轴旋转后会形成一个圆锥，这个圆锥体积最大是 立方厘米. 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的体积公式，分两种情况：以3厘米的边为轴旋转一周，可以得到一个圆锥；以4厘米的边为轴旋转一周，可以得到一个圆锥；分别根据圆锥的体积公式计算，比较即可得出答案． 【详解】解：以3厘米的边为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，体积为：（立方厘米）， 以4厘米的边为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，体积为：（立方厘米）， 故如果以这个直角三角形的一条直角边为轴旋转后会形成一个圆锥，这个圆锥体积最大是立方厘米， 故答案为：． 27．一个正方体木料，加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是正方体体积的．（    ） 【答案】 【分析】本题考查了正方形和圆锥的体积，正方体的棱长为，则圆锥的高是，圆锥的底面直径是，底面半径是，分别求出正方体和圆锥的体积即可判断求解，掌握正方体和圆锥的体积计算公式是解题的关键． 【详解】解：设正方体的棱长为，则圆锥的高是，圆锥的底面直径是，底面半径是， ∴正方体的体积为 圆锥的体积为， ∴圆锥的体积是正方体的体积的， ∴原题说法错误， 故答案为：． 28．【体积计算】如果分别从两个体积之和为的正方体木块中挖去最大的圆锥做成两个如图所示的工件模具，那么这两个模具的体积之和为 ．（取3.14） 【答案】88.6 【分析】本题考查组合图形的体积以及正方形体积和圆锥体积公式的应用． 每个圆锥的底面积与正方形底面积比为，圆锥高等于正方体的高，则每个里面圆锥体积占正方体体积的，两个正方体内的圆锥体体积也就占总体积的，用总体积减去里面圆锥的体积也就是模具的体积． 【详解】解：因为每个圆锥的底面积与正方形底面积比为，圆锥高等于正方体的高，则每个里面圆锥体积占正方体体积的，两个正方体内的圆锥体体积也就占总体积的 所以， 故答案为：88.6． 易错题型八　求圆锥的侧面积 例题： 29．小昆为参加学校组织的元旦晚会，准备制作一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面直径为，母线长为，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的表面积，掌握圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键． 先利用圆的周长公式求出底面周长，再根据圆锥的侧面积底面周长母线长计算即可． 【详解】解：∵纸帽的底面直径为，母线长为， ∴底面周长， ∴侧面面积． 故答案为：． 巩固训练 30．“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此草锅盖的侧面积约是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：此草锅盖的侧面积约是：， 故答案为：． 31．圆锥绣球是虎耳草料绣球属植物，圆锥状聚伞花序见塔形，长达，胸径约，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．小然按照其形状制作了如下：母线长为，底面直径长为的圆锥绣球模型，则此圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵底面直径长为， ∴底面圆周长为，即展开图扇形的弧长为， ∵母线长为， 此圆锥的侧面积为． 故答案为：． 32．2025年元旦即将来临，小聪同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形“小丑”帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形“小丑”帽子的底面半径为．那么这张扇形纸板的面积是 ． 【答案】/平方厘米 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】解：这张扇形纸板的面积是． 故答案为：． 易错题型九　求圆锥底面半径 例题： 33．如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，设圆锥的底面半径为r， 则， 解得， 所以圆锥的底面半径为． 故选：A． 巩固训练 34．已知一矩形材料的长，宽，要在矩形上裁剪一个最大的扇形，做成一个圆锥形灯罩，则那个圆锥形灯罩的底面半径为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了扇形和围成的圆锥的关系，解题的关键是掌握扇形的弧长等于围成的圆锥的底面周长． 根据题意画出图形，求出扇形半径，设圆锥的底面半径为r然后根据扇形的弧长等于围成的圆锥的底面周长列方程求解即可． 【详解】如图所示， ∵，宽， ∴ ∴设圆锥的底面半径为r ∴ ∴． 故答案为：10． 35．如图，用圆心角为，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 求出扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：扇形的弧长， 圆锥的底面半径为． 故答案为：． 36．综合实践课上，珍珍用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是（   ）． A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥底面半径，根据圆锥底面周长为展开图扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：； 故选C． 易错题型十　圆柱与圆锥体积的关系 例题： 37．一个圆锥比与它等底等高的圆柱的体积少，这个圆锥的体积是 ，圆柱的体积是 【答案】 【分析】此题主要考查圆柱和圆锥的体积，熟练掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间关系是解题的关键．因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积差相当于圆锥体积的倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积． 【详解】解：这个圆锥的体积是， 圆柱的体积是， 答：这个圆锥的体积是，圆柱的体积是． 故答案为：；． 巩固训练 38．蒙古包，作为蒙古族传统的居住形式，承载着浓厚的游牧文化和历史底蕴．它的上面近似于圆锥形，下面近似于圆柱形．如图，一个蒙古包圆柱底面的周长是，高是，圆锥的高是． (1)蒙古包的上面圆锥部分的侧面展开图是 （填图形名称）；下面圆柱部分的侧面展开图是 （填图形名称），圆柱部分的侧面展开图的面积是 （结果保留π）． (2)这个蒙古包的体积是多少立方米？（结果保留π）． 【答案】(1)扇形，长方形， (2)立方米 【分析】本题考查圆柱及圆锥的侧面展开图及体积计算，有理数混合运算的实际应用： （1）圆锥的侧面展开图是扇形，圆柱的侧面展开图是长方形，圆柱的侧面展开图的面积等于底面周长乘以高； （2）先求出圆柱的底面半径，再根据圆柱及圆锥的体积公式列式求解． 【详解】（1）解：上面圆锥部分的侧面展开图是扇形，下面圆柱部分的侧面展开图是长方形， 圆柱部分的侧面展开图的面积是：， 故答案为：扇形，长方形，； （2）解：圆柱底面半径为：， 答：这个蒙古包的体积是立方米． 39．实验室里有一个圆柱形空水槽，底面直径为，高为． (1)将底面半径为，高度为的圆锥形容器装满水全部倒入圆柱形水槽内，此时水槽内水的高度为多少？ (2)在（1）的条件下，将一个圆柱形铁锭放入水槽内，全部浸入水面以下，水面上升了，如果这个圆柱形铁锭的底面半径为，那么这个圆柱形铁锭的高是多少？ (3)在（1）的条件下，如果将一个高为，底面半径为的圆柱形铁锭竖直放入水槽内，那么水面上升了多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用、圆锥的体积，圆柱的体积，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）由题意可知：圆锥的体积水槽中水的体积，然后先算出圆锥的体积，再除以圆柱的底面积，求解即可； （2）根据圆柱形铁锭的体积水槽中上升的水的体积，先算出圆柱形铁锭的体积，再除以圆柱形铁锭的底面积，求解即可； （3）设水面上升了．根据圆柱形铁锭浸入水的体积=水槽中上升的水的体积，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， 答：水的高度为． （2）解：， ， 答：这个圆柱的高为． （3）解：设水面上了， 则， 即， 解得：， 答：水面上升了． 40．一个密闭玻璃容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，里面装有一些水（如图1，单位：厘米，玻璃的厚度忽略不计）． (1)容器中水的体积是多少立方厘米？ (2)如果将这个容器倒过来（如图2），从水面到圆锥顶点的高度是多少厘米？ 【答案】(1)立方厘米 (2)10厘米 【分析】本题主要考查了圆锥与圆柱的体积计算： （1）直接根据圆柱的体积计算公式求解即可； （2）先求出这个容器的总体积，进而求出图2中空白部分的体积，再求出空白部分圆柱的高即可得到答案． 【详解】（1）解：容器中水的体积：（立方厘米） 答：容器中水的体积是立方厘米． （2）解：圆柱的体积：（立方厘米） 圆锥的体积：（立方厘米） 所以图2中空白部分的体积为（立方厘米） 所以从水面到圆锥顶点的高度：（厘米） 答：从水面到圆锥顶点的高度是10厘米． 03 压轴题型 压轴题型一　圆柱相关压轴计算 例题： 41．阿基米德是古希腊著名的数学家．他发现当“圆柱容球”时，球的体积正好是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱表面积的．（此题取3） (1)已知，求圆柱的体积； (2)在（1）的基础上，现有一规格大小与该圆柱完全相同的玻璃杯，置入一与图中球同样大小的冰球，冰球完融化成水后，水与之前冰的体积比是9：10，则融化后水的高度是多少厘米？ (3)若往（2）中杯里垂直放入一个圆柱形铅锤，已知铅锤的底面半径是3厘米，铅锤的高是13厘米，求圆柱形杯中水面上升的高度是多少？ 【答案】(1)圆柱的体积为 (2)融化后水的高度是 (3)圆柱形杯中水面上升的高度是 【分析】本题考查了圆柱的体积公式，比的应用，熟练掌握圆柱的体积公式，是解题的关键； （1）根据圆柱的体积公式，进行计算即可求解； （2）根据球的体积正好是圆柱体积的，得出冰球的体积，根据冰球完融化成水后，水与之前冰的体积比是9：10，得出水的体积，再除以水杯的底面积，即可求解． （3）先求得圆柱形铅锤体积，结合（2）的结论，得出水的高度，减去之前的高度，即可求解． 【详解】（1）解：，， ∴圆柱的体积为：， 答：圆柱的体积为； （2）解：球的体积正好是圆柱体积的， ∴， ∵冰球完融化成水后，水与之前冰的体积比是9：10， ∴， 圆柱的底面积为， ∴融化后水的高度是， 答：融化后水的高度是； （3）解：圆柱形铅锤体积为 放入铅锤后，水的总体积增加了铅锤的体积，因此新的水的体积为： 新的水的高度为：． ∴水面上升的高度为：． 答：圆柱形杯中水面上升的高度是． 巩固训练 42．一个装水的四柱体玻璃杯，底面直径是20厘米，杯中放入一个不规则的铁块，当铁块完全浸入水中，杯中水面上升2厘米．（结果保留） (1)求不规则铁块的体积； (2)把铁块取出，削减成一个圆柱，它的体积比原来减少了，圆柱的底面半径为2厘米，求圆柱铁块的高是多少？ (3)把（2）中的圆柱体铁块放入另一个圆柱体玻璃杯中，圆柱体铁块的一个底面与圆柱形水杯底面完全接触，仍有高的铁块露出水面．如果再把钢材垂直露出水面5厘米，则玻璃杯中水面下降2厘米，求这个圆柱体玻璃杯中水的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)立方厘米 (2)厘米 (3)立方厘米 【分析】本题考查圆柱的体积． （1）求出上升的水的体积即为铁块的体积； （2）先求圆柱的体积，再根据圆柱体积的计算公式，进行求解即可； （3）根据钢材垂直露出水面5厘米，则玻璃杯中水面下降2厘米，求出玻璃杯的底面积，再用玻璃杯的底面积减去铁块的底面积乘以高度，进行求解即可． 掌握圆柱的体积公式，是解题的关键． 【详解】（1）解：厘米，立方厘米； 不规则铁块的体积是立方厘米； （2）圆柱的体积为：， 圆柱的高为厘米； （3）因为钢材垂直露出水面5厘米，则玻璃杯中水面下降2厘米， 所以玻璃杯的底面积为， 圆柱体铁块的一个底面与圆柱形水杯底面完全接触时，水的高度为厘米； 所以玻璃杯中水的体积为：立方厘米． 43．笑笑将一张长方形纸分别沿其长和宽围成两个不同的圆柱形纸筒，若给这两个纸筒都配上两个底面，则这两个圆柱相比较，它们（    ）（如图，接头处尽可能不重叠）    A．体积相等，表面积也相等 B．体积不相等，表面积相等 C．体积相等，表面积不相等 D．体积不相等，表面积也不相等 【答案】D 【分析】根据圆柱的表面积公式和体积公式，即可判断解答． 【详解】解：圆柱的表面积侧面积底面积， 题中两个圆柱的侧面积就是长方形的面积，但是底面积不相等，故两个圆柱的表面积不相等； 设长方形的长为，宽为，根据圆的周长公式，可得两个圆柱的底面半径分别为，，根据圆柱的体积公式可得，两个圆柱的体积为，，因为长方形的长和宽不相等，所以， 故答案为：D． 【点睛】本题考查了圆柱的侧面积和圆柱的体积，熟知相关公式是解题的关键． 44．有两个圆柱型空烧杯，底面直径和高分别为6，10和4，4，（单位：厘米，取3）． (1)如图1，有一冰块体积为33立方厘米，当冰块可以全放入大烧杯时，冰化成了水，此时大烧杯内的液体高度是多少厘米？（冰融化成水后体积减少） (2)如图2，在（1）的条件下，将小烧杯放入装有水的大烧杯（小烧杯的底面与大烧杯的底面没有缝隙），这时大烧杯内的液面高度变为多少厘米？若在大烧杯底部增加一个进水管，进水的速度为2立方厘米/秒，为了让小烧杯内的液体高度达到3厘米，则需要从进水管向大烧杯注水多少秒？ 【答案】(1)厘米 (2)2厘米；33秒 【分析】（1）设此时大烧杯内的液体高度是x厘米，根据体积相等列出方程，解方程即可得出答案； （2）用水的体积除以两个烧杯的底面积之差，即可求出这时大烧杯内的液面高度，用两个烧杯的底面积之差乘以4再加上小烧杯的底面积乘以3，得出总体积，用总体积减去30，再除以进水的速度，即可求出注水的时间． 【详解】（1）：设此时大烧杯内的液体高度是x厘米， 由题意得：， 解得：， 答：此时大烧杯内的液体高度是厘米． （2） 答：大烧杯内的液面高度变为2厘米，需要从进水管向大烧杯注水33秒． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用及圆柱体体积计算，掌握圆柱体体积计算公式，根据题意找出相等关系是解题的关键． 压轴题型二　圆锥相关压轴计算 例题： 45．综合与实践： 小明和小红假期到某厂参加社会实践，发现该厂用一批长为，宽为的白纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时，工厂一般将白纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分不再使用．请根据活动完成相应的任务． 活动一 如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长 方体包装盒． 任务1：请直接计算出方案甲中包装盒的容积为 ． 活动二 为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙． 任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（取3）．并判断容积是否变大． 活动三 小明：设计成圆柱形的容积确实变化了． 小红：那么是否还有容积更大的情况呢？ 小明与小红通过研究发现了无盖圆柱形包装盒设计的新方案，且容积还大于． 任务3：请在下列白纸板上画出他们的方案，并计算其容积（取3） 【答案】任务一：324；任务二：变大；任务三：见解析 【分析】本题考查长方体、圆柱的体积公式，以及一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，数形结合． 任务1：根据体积等于底面积乘以高，列式求解即可； 任务2：设底面圆的半径为，根据长方形的长作为底面圆的周长，算出半径，再利用体积等于底面积乘以高，算出体积，与任务1中结果进行比较，即可； 任务3：根据将圆柱侧面展开长方形的长等于底圆周长，即可解题． 【详解】任务1：解：由图知，， 盒子底面的四边形是正方形， 无盖包装盒的高为， 方案甲中包装盒的容积为：； 任务：解：长方形的长作为底面圆的周长， 设底面圆的半径为， 根据题意得：， 解得， 无盖包装盒的高为， 方案甲中包装盒的容积为：， ， 容积变大了； 任务：解：设计方案：在长方形左侧作底圆直径为右侧裁剪的成长为，宽为的长方形，当为圆柱的高时，无盖圆柱型包装盒容积大于． 由设计方案可知， 解得， ∴该无盖圆柱型包装盒的容积为， ∴此方案可行，容积为． 巩固训练 46．一个装满水的圆锥形容器，底面积是，高是，将这些水全部倒入一个长方体水槽中，已知这个长方体水槽的长、宽、高分别是 (1)求这个长方体水槽中水的深度； (2)如果把一个底面半径是2厘米的圆柱形铁块垂直放入长方体水槽中，当它的一个底面在水中与长方体水槽的底面完全接触时，仍有的铁块露出水面，求这个圆柱形铁块的高；（取3） (3)冰雪节马上就要到了，萧红中学组织学生制作小冰灯．小明决定将（2）问长方体水槽中的圆柱形铁块移动到水槽中央，作为冰灯的支架，然后放入4个相同的彩灯，冷冻成长方体小冰灯（彩灯是由等底等高的圆柱和圆锥组合而成）．已知水结成冰后体积增加，如果彩灯的底面半径是厘米，那么能够放入的彩灯的高最大是多少厘米，才会使冻成的冰灯表面恰好不会溢出水槽？（取3） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）长方体水槽内的水的体积=装满水的圆锥内水的体积=圆锥的体积底面积×高，所以长方体水槽中水的深度=水的体积÷长方体水槽的底面积，从而求得结果； （2）圆柱形铁块的体积=长方形水槽的底面积×圆柱形铁块放入水槽后水面上升的高度，通过设出圆柱形铁块的高为，然后列出方程，从而求得结果；． （3）要使冻成的冰灯表面恰好不会溢出水槽，则圆柱形铁块在冰内的高度为，设彩灯的高最大是，根据水的体积圆柱形铁块在长方形冰灯内的体积个彩灯的体积=长方体水槽的体积，列出方程，解得彩灯的最大高度． 【详解】（1）长方体水槽内的水的体积， 长方体水槽中水的深度． ∴这个长方体水槽中水的深度是． （2）设圆柱形铁块的高为h cm，则圆柱形铁块在水下的高度为，水面上升的高度， ， ， ， 解得. ∴这个圆柱形铁块的高是． （3）设彩灯的高最大是x厘米，才会使冻成的冰灯表面恰好不会溢出水槽， 则1个彩灯的体积， 圆柱形铁块在长方体冰灯内的体积， ， 解得， ∴彩灯的高最大是． 【点睛】本题考查了圆柱与圆锥的有关计算，以及简单方程的应用，根据已知数量和所求数量找到等量关系，建立方程模型是解题的关键． 47．在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想． (1)小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并量的这个长方形的长是厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？ (2)生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图），它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱体的高． 小明在学习了《圆的面积》后，也想用类似的方法研究圆柱体的体积，他将一个圆柱体等分成若干分，拼成了一个近似的长方体（如图），他发现把圆柱体等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱体的体积，故由长方体的体积推导出圆柱体的体积.如果设这个圆柱体底面的半径为，高为，体积为，那么这个长方体的长= ，宽= ，所以圆柱体的体积 ． (3)将一个底面周长是厘米的圆柱体斜着截去一段，截后的形体如图所示，求这个截后的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)平方厘米 (2)，， (3)立方厘米 【分析】（1）求出圆的半径，再根据圆的面积公式求出结果即可； （2）由（1）可知拼成的长方体的长、宽，再根据长方体体积的计算公式进行计算即可； （3）求出圆柱的底面半径，再根据截后的体积底面半径为2，高为2的圆柱体体积的一半底面半径为2，高为3的圆柱体的体积进行计算即可． 【详解】（1）解：设圆的半径为厘米，由题意得， ， 解得， 圆的面积为（平方厘米）， 答：这个圆的面积是28.26平方厘米； （2）由（1）可知，所拼成的长方体的长为圆周长的一半，即，宽为圆的半径， 由于长方体的体积为长宽高， 所以圆柱的体积为， 故答案为：，，； （3）设圆柱底面半径为厘米，则， 解得， 所以截后的体积为 （立方厘米）， 答：截后的体积为50.24立方厘米． 【点睛】本题考查认识立体图形，截一个几何体，掌握圆面积、圆周长、长方体体积、圆柱体积的计算方法是正确解答的前提． 48．某施工场地有一条宽的道路需要用石子铺设，在另一处有一个圆锥形石堆，石堆的底面积是，石堆的高是．现在准备安排若干辆卡车去运回这堆石子来铺设道路． (1)用这堆石子在这条宽的道路上铺厚的路面，能铺这条道路多少米？（结果保留两位小数） (2)一辆型卡车从施工场地出发前往石堆所在地，出发小时后，一辆型卡车也从施工场地出发前往石堆所在地，当这辆型卡车又行驶小时到达石堆所在地时，型卡车行驶的路程比施工场地与石堆所在地路程的少千米，已知型卡车与型卡车的速度比为：，求施工场地与石堆所在地之间的路程是多少千米？ (3)在（2）的条件下，已知型卡车每辆满载可装石子，每辆型卡车满载石子的体积是每辆型卡车满载石子体积的，每辆型卡车每千米油费元，每辆型卡车每千米油费比每辆型卡车每千米油费多，施工场地已经有辆型卡车去运石子，现在施工场地只剩余辆型卡车和足够多的型卡车，为了确保运石总油费支出最少，并且能够将石子全部运回施工场地铺路，还应该怎样再派卡车？ 【答案】(1)米 (2)千米 (3)应再派8辆C型卡车 【分析】本题考查了圆锥体积计算，比例的应用，百分数的应用，根据题意列出式子是解题的关键； （1）根据圆锥的体积公式进行计算，进而根据道路的体积等于石堆的体积列出方程，解方程，即可求解； （2）设总路程为 千米，根据题意得出型卡车行驶的路程为：根据型卡车行驶的路程得出，解方程求得千米时，进而求得路程； （3）分别求得和型卡车的油费，为了最小化油费，应优先使用型卡车，先求得辆型卡车运的石子体积，再根据剩余石子体积，除以型卡车满载石子体积，得出卡车的数量，即可求解． 【详解】（1）解：石堆的体积立方米 计算铺设道路所需的体积（体积 道路宽度 铺设厚度 道路长度）： 解方程求道路长度：米 答：能铺这条道路米； （2）设总路程为千米， 型卡车的总行驶时间为：小时； 设型卡车的速度为千米时，则型卡车的速度为千米时，型卡车的行驶时间为小时， 根据题意，型卡车行驶的路程为： 型卡车行驶的路程为：，即 即 解得：千米时 千米 答：施工场地与石堆所在地之间的路程是千米 （3）解：依题意，型卡车：立方米车；型卡车：立方米车，总石子体积：立方米． 已有辆型卡车运石子，每辆运立方米，共运立方米． 剩余石子体积：立方米． 型卡车的油费：元车 型卡车的油费：元车 每立方米石子的油费：型卡车：元立方米 型卡车：元立方米 为了最小化油费，应优先使用型卡车． 即需要辆型卡车． 答：应再派辆型卡车， 压轴题型三　组合体的表面积 例题： 49．蜂窝煤是由煤炼制而成的．如图1，每个蜂窝煤中都有12个相同的空心小圆柱，每个蜂窝煤底面的直径为，高为，其中空心小圆柱底面的直径均为． (1)求一个蜂窝煤大约需要用煤多少立方厘米（结果保留）？ (2)如图2，现有一堆煤，近似于一个圆锥，它的底面直径为4米，高为0.9米，如果用这堆煤来制作图1中的蜂窝煤，可以制作多少个蜂窝煤？ (3)如图3，若将12个这样蜂窝煤按如图所示的方式放入有盖的包装箱内，则这个箱子的表面积至少是多少（箱子厚度忽略不计）？ 【答案】(1)一个蜂窝煤大约需要用煤 (2)可以制5000个蜂窝煤 (3) 【分析】（1）用蜂窝煤的体积减去空心小圆柱的体积即可得到答案； （2）先算出这堆煤的体积，然后结合（1）所求进行求解即可； （3）先求出长方体的长宽高，然后根据长方体表面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得一个蜂窝煤大约需要用煤 ， 答：一个蜂窝煤大约需要用煤； （2）解：由题意得这堆煤的体积， 所以可以制作个， 答：可以制5000个蜂窝煤； （3）解：由题意得，这个长方体包装箱的长宽高分别为、、10cm， 所以这个箱子的表面积至少是 【点睛】本题主要考查了圆柱，圆锥的体积公式，长方体的表面积公式，熟知相关公式是解题的关键． 巩固训练 50．计算: (1)把一根圆木锯成一半(如图,单位:厘米),求这个半圆柱木料的表面积． (2)计算该物体的体积（单位：厘米） 【答案】(1)729.84平方厘米 (2)75.36立方厘米 【分析】（1）根据圆柱平均锯成两半的方法可得，这个半圆柱木料的表面积是这个圆柱的表面积的一半加上长为20厘米，宽为12厘米的长方形的面积，即可进行解答． （2）根据图形求得圆柱的体积与圆锥的体积，求和即可求解． 【详解】（1）解：半圆柱的表面积= =3.14×36+3.14×120+240 =113.04+376.8+240 =729.84（平方厘米）； （2） =75.36（立方厘米）． 【点睛】此题考查了利用圆柱的表面积公式求半圆柱的表面积，圆柱体的体积，圆锥的体积公式，掌握以上知识是解题的关键． 51．如图，从一个棱长为3cm的正方体的一顶点处挖去一个棱长为1cm的正方体，则剩余部分的体积和表面积． 【答案】剩余部分的体积是，表面积是． 【分析】根据正方体的特征，在大正方体的顶点处挖去一个小正方体后，体积减少了，但表面积不变．根据正方体的体积公式：，表面积公式：，把数据分别代入公式解答． 【详解】解：剩余部分的体积是； 表面积是； 答：剩余部分的体积是26，表面积是54． 【点睛】此题主要考查了正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 52．个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？ 【答案】个 【分析】表面涂漆的小正方体都在大正方体的表面上，由此可以先求得内部没有涂色的小正方体的个数，再利用小正方体的总个数﹣没有涂色的即可解答． 【详解】解：共有小正方体：（个）， 其中没有涂色的为：（个）， 所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为（个）． 答：至少有一面被油漆漆过的小正方体为个． 【点睛】本题考查正方体的表面积，理解涂色的小正方体都在大正方体的表面上是解题关键． 压轴题型四　组合体的体积 例题： 53．分析统计图，解下列各问题 某校开展以“我最喜欢的2022年冬奥会冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占调查人数的40%． (1)在这次调查中，一共抽取 名学生，调查的同学中，喜欢冰壶的人数为 ； (2)如果该学有2000名学生，估计最喜欢高山滑雪的学生共有 名； (3)冬奥会项目设有单板滑雪U形池赛道，赛道简化模型示意图如下，形状可看成一个长方体中挖去了半个圆柱体．已知冬奥会标准U形池的规格∶长为，宽为，高为，其中挖去圆柱体的底面直径为．求该U形池所占空间．（π取3.14） 【答案】(1)60，8名 (2)400 (3)该U形池所占空间为 【分析】本题考查的是条形统计图，用样本估计总体和几何体的体积，组合体体积的计算． （1）用最喜欢短道速滑的学生人数除以所占的百分比即可得出抽取的总人数，用总人数减去其它项目的人数，即可求出最喜欢冰壶项目的人数； （2）用2000乘最喜欢高山滑雪的学生人数所占的百分比即可； （3）用长方体的体积减去半圆柱的体积即可． 【详解】（1）解：在这次调查中，一共抽取（名）学生， 调查的同学中，喜欢冰壶的人数为（名）； 故答案为：60，8名； （2）解：估计最喜欢高山滑雪的学生共有（名）； 故答案为：400； （3）解：， 答：该U形池所占空间为． 巩固训练 54．据国家粮食和物资储备局发布，截至2024年9月30日，主产区各类粮食企业累计收购2024年度夏粮7503万吨，同比增加642万吨，收购市场总体平稳．图1是某“粮仓”的示意图． (1)该粮仓的示意图可以由图2中的图________旋转一周后得到； (2)求该“粮仓”的体积．（结果保留） 【答案】(1)① (2)． 【分析】本题主要考查立体图形的体积，点、线、面、体之间的关系． （1）根据图形可知该几何体是由圆锥和圆柱所构成，然后问题可求解； （2）根据圆柱及圆锥的体积公式及图中所给数据可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可知是由①旋转而成的， 故答案为：①； （2）解：由题意得“粮仓”的体积为圆柱的体积加圆锥的体积：， 答：该“粮仓”的体积为． 55．一个底面内半径和高分别是、的空心圆锥和空心圆柱组合成如图①所示的容器．若在这个密封容器内注入一些细沙，则不仅能填满圆锥，还能填注部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高．若将这个容器如图②倒立，则沙子的高度是多少厘米？ 【答案】厘米 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积，根据图形求出沙子的总体积，再求出圆柱的底面积，用总体积除以圆柱的底面积即可得到沙子的高度，掌握圆柱和圆锥的体积计算公式是解题的关键． 【详解】解：由图可得，沙子的总体积为， 圆柱的底面积为， ∴将这个容器如图②倒立，沙子的高度是， 答：沙子的高度是厘米． 56．某地要修建一个如图1所示足球场，足球场的中间是一个长为宽为的长方形、两边为两个半圆形，建设过程中足球场场地要铺上一层厚的石灰土做垫层，如图2，石灰土堆放近似于一个圆锥，底面圆的直径为，高为．（π取3） (1)通过计算说明这堆石灰土是否够用？ (2)压路机的前轮直径是2米，轮宽是米，前轮每分钟转动2周，若4台压路机同时工作，将的长方形区域压完一次至少需要多少时间？（压路机掉头时间忽略不计，压路时无缝隙、无重叠） (3)计划由甲、乙两个工程队来共同铺设石灰土垫层，已知甲、乙两个工程队每天所铺设的面积之比为，实际铺设时，甲、乙两个工程队一起铺了7天后，乙工程队因故离开，由甲工程队又单独铺了2天，恰好将这足球场的石灰土垫层全部铺完，求甲、乙两个工程队每天各铺多少平方米？ 【答案】(1)这堆石灰土够用 (2)压完一次至少需要50分钟 (3)甲、乙两个工程队每天各铺500平方米、600平方米 【分析】本题考查了圆锥的体积、圆的面积、一元一次方程的应用、圆柱的侧面积： （1）先求出足球场需要石灰的体积，再利用圆锥的体积公式计算出石灰的体积，再进行比较即可求解； （2）利用圆柱的表面积公式求出4台压路机每分钟压过的面积，再利用总面积除以4台机器每分钟压过的面积即可求解； （3）设甲每天铺平方米，则乙每天铺平方米，先计算出足球场的面积，再根据甲乙工程队的总工程量等于足球场的面积为等量关系列出方程即可求解； 理清题意，熟练掌握相关面积公式及找准等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：足球场需要石灰： （）， 石灰有： （）， ， 答：这堆石灰土够用． （2）4台压路机每分钟压过的面积为： （）， （分钟）， 答：压完一次至少需要50分钟． （3）设甲每天铺平方米，则乙每天铺平方米， 足球场的面积为： （平方米）， ， 解得：， 甲每天铺：（平方米）， 乙每天铺：（平方米）， 答：甲、乙两个工程队每天各铺500平方米、600平方米． 压轴题型五　不规则物体的体积算法 例题： 57．向一个内棱长是的正方体容器中装水，现将一个钢块完全浸在水中，此时水面的高度是，这个钢块的体积是多少立方分米？ 【答案】1.2立方分米 【分析】此题属于不规则物体的体积计算，用排水法来解答，注意单位的换算．已知正方体容器内棱长,向容器中倒入4.8L水，再将一个钢块完全浸在水中，此时水面的高度是；根据正方体的体积公式，求出正方体内4.8升水与钢块的体积和，减去4.8升水的体积就是钢块的体积．由此解答． 【详解】解：4.8升立方分米，15厘米分米， （立方分米） 答：这个钢块的体积是1.2立方分米． 巩固训练 58．在一个长30厘米，宽15厘米，高50厘米的长方体容器里，水深15厘米，把一个圆柱形的铁块竖直的放到容器内，刚好没入水中，水面上升3厘米．求铁块的体积． 【答案】这个铁块的体积是1350立方厘米 【分析】本题主要考查长方体体积公式的灵活运用，根据题意可知，把铁块放入这个容器中，上升部分水的体积就等于这个铁块的体积，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】解： （立方厘米） 答：这个铁块的体积是1350立方厘米 59．把一个棱长为2厘米的正方体在同一平面上的四条棱的中点用线段连接起来（如图所示），然后再把正方体所有顶点上的三角锥锯掉．那么最后所得的立方体的体积是 立方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了三棱锥的体积公式，正方体的体积公式，通过观察可知，一共锯掉8个三角锥，每个三角锥的体积相同，三角锥的体积底面积高，已知三角锥的底面积是一个底为1厘米、高为1厘米的等腰直角三角形，这个三角锥的高也是1厘米，根据三角形的面积求出一个三角锥的底面积，再求出每个三角锥的体积，然后乘8即可求出8个三角锥的体积，用正方体的体积减去三角锥的体积，即可解答，解答本题的关键是掌握三角锥体积的求解方法，要注意它的体积求法和圆锥的一样． 【详解】解：三角锥的体积为：（立方厘米） 最后所得的几何题的体积是立方厘米， 故答案为：． 60．某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体，如图，圆柱底面的半径是8米，高是3米，圆锥的高是3米．如果每立方米小麦约重750千克． (1)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库至少需要多少个这样的粮囤存储这些小麦（取3）? (2)由于粮囤使用多年，需要对所有粮囤进行翻新维修，粮库将此工程承包给甲乙两个队，甲工程队单独修需要8天，甲工程队单独完成需要的时间比乙工程队单独完成时间少，现在两队同时进行维修几天后，乙队因有其他任务调走，余下的工程量甲工程队需要3天时间完成，乙工程队维修了几天？ (3)若在（2）的条件下，已知每天甲工程队的费用是900元，每天甲工程队的费用与每天乙工程队的费用之比是，维修所有粮囤后，请你计算出甲乙两队的总费用． 【答案】(1)10个 (2)乙工程从维修了3天 (3)7200元 【分析】该题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，工程问题以及比例的应用，解答的关键是掌握圆柱和圆锥的体积计算公式，以及由题意得出等量关系式； （1）先算出圆柱半径，根据半径算出粮囤体积，得出一个粮囤存储小麦数量，再用1440吨除以一个粮囤存储小麦数量即可求出； （2）先算出乙工程队单队完成时间，甲乙各自的工作效率，设乙工程队维修了x天，列出方程求解即可； （3）设乙工程队的费用为元，根据每天甲工程队的费用与每天乙工程队的费用之比是，列出比例式求解即可解答； 【详解】（1）圆柱半径： 粮囤体积为：， 一个粮囤存储小麦数量为：， 个； （2）乙工程队单队完成时间为：天， 甲工作效率为：，乙工作效率为： 设乙工程队维修了x天，由题意得，， 解得：， 答：乙工程从维修了3天； （3）设乙工程队的费用为元， 解得：， 由（2）知甲工程队维修了天，乙维修了3天， 甲乙总费用：元； 36 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$