专题04 一次函数（考题猜想，19大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（湘教版）

专题04 一次函数（8大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 函数的概念 · 题型二 求自变量的取值范围 · 题型三 求自变量的值或函数值 · 题型四 函数图象识别（高频） · 题型五 从函数的图象获取信息 · 题型六 动点问题的函数图象（易错） · 题型七 根据一次函数的定义求参数 · 题型八 求一次函数自变量或函数值 · 题型九 正比例函数的图像与性质 · 题型十 一次函数的图像与性质（重点） · 题型十一 一次函数图象平移问题 · 题型十二 求一次函数解析式 · 题型十三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集（高频） · 题型十四 根据两条直线的交点求不等式的解集（高频） · 题型十五 两直线的交点与二元一次方程组的解（高频） · 题型十六 求直线围成的图形面积（易错） · 题型十七 一次函数的实际应用（高频） · 题型十八 一次函数与几何综合 · 题型十九 一次函数的新定义问题（难点） 题型一 函数的概念 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数概念； 对于自变量x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，此时称y是x的函数；据此逐一进行判断即可． 【详解】解：A.对于x的一个取值，y的取值不唯一，故y不是x的函数； B.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； C.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； D.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）下列式子：①，②，③，④其中y是x的函数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 根据以下特征进行判断即可：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；（3）对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【详解】解：①是的函数； ②，当取一个值时，有两个值与之对应，故不是的函数； ③是的函数； ④是的函数； 所以其中是的函数的个数是3， 故选：C． 3．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）下列图象中，表示是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，据此即可确定答案.． 【详解】解：A、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象； B、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象； C、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象； D、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 题型二 求自变量的职值范围 4．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性即可得． 【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性得：， 解得：，故C正确． 故选：C． 5．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解题的关键是掌握函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 根据分式有意义的条件，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】由题意得， 解得， 故答案为∶． 6．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于0，负整指数幂的底数不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 7．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）函数中自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，解题的关键是根据二次根式以及分母不为得到且，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， ∴自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 题型三 求自变量的值或函数值 8．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）常值函数并不是没有自变量，而是可以看作一次函数中自变量的系数为0，比如常值数即是，那么在这个函数中，当时，（    ） A．10 B．0 C．2 D．任意数 【答案】C 【分析】本题考查求函数值，把代入函数解析式，计算即可解题． 【详解】解：当时，， 故选C． 9．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）已知函数，当 时，函数值为0． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了求自变量的值，直接把代入中求出x的值即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·湖南永州·期末）弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 物体的质量（） 弹簧的长度（） 根据表中信息分析，当物体的质量为时，弹簧的长度可能为 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，解题的关键在于能够从表格中的数据发现其变化规律．由表可知，当物体的质量每增加 ，弹簧的长度伸长 ，由此可得与的关系式． 【详解】解：分析表格可知，当物体的质量每增加 ，弹簧的长度伸长 ， 与的关系式为， ∴当时，． 故答案为：． 题型四 函数图象识别 11．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）小明的爸爸去散步，从家走了20分钟到了离家900米的报亭，在报亭待了10分钟后，用15分钟返回家中，下面图象中能表示爸爸离家后的时间与距离之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与路程问题有关的函数图象．解题的关键在于理解题意．根据当时间为0时，路程为0；当时间为20时，路程为900；当时间为30时，路程为900；当时间为45时，路程为0；找出满足以上条件的图象即可． 【详解】解：由题意知，当时间为0时，路程为0； 当时间为20时，路程为900； 当时间为30时，路程为900； 当时间为45时，路程为0； ∴满足以上条件的函数关系为D选项， 故选：D． 12．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列各曲线中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的判断，根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应进行即可，正确理解函数的定义是解题的关键． 【详解】、对每一个的值，有几个值与之对应，不是的函数； 、对每一个的值，有几个值与之对应，不是的函数； 、对给定的的值，有几个值与之对应，不是的函数； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数； 故选：． 13．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）下列图象中，表示是的函数的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义，在某变化过程中有两个变量,如果对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应,那么就称是的函数，由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是函数图象，符合题意； B、对每一个的值，不是有唯一确定的值与之对应，不是函数图象，不符合题意； C、对每一个的值，不是有唯一确定的值与之对应，不是函数图象，不符合题意； D、对每一个的值，不是有唯一确定的值与之对应，不是函数图象，不符合题意； 故选：A． 题型五 从函数的图象获取信息 14．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图是汽车行驶速度（千米/时）和时间（分）的图，下列说法中正确的个数为（ ） （1）汽车以千米/时的速度行驶了分钟； （2）表示汽车匀速行驶； （3）在第分钟时，汽车的速度是千米/时； （4）第分钟时，汽车停下来． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，根据横轴和纵轴的意义依次分析即可求解． 【详解】解：读图可得，段的速度为千米/时，行驶的时间为分钟，故（1）说法正确； 段的速度一直是为千米/时，速度不变，故（2）说法正确； 在时，速度为，故（3）说法正确； 第分钟时，速度为，故（4）说法正确； 故选：D． 15．（23-24八年级下·湖南·期末）快车与慢车分别从广州、永州两地同时相向出发，匀速而行，快车到达永州后停留，然后按原路原速返回，快车比慢车晚到达广州，快慢两车距各自出发地的路程与所用的时的关系如图所示．下列说法：①广州、永州两地之间的路程为；②慢车的速度是；③出发，快慢两车第一次相遇．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，一元一次方程的应用，根据图象逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可得，广州、永州两地之间的路程为，故正确； 由题意和图象可得，快车从广州到达永州的时间为， ∵快车按原路原速返回， ∴快车从永州到达广州的时间为， ∴快车往返全程的时间为， ∵快车比慢车晚到达广州， ∴慢车从永州到达广州的时间为， ∴慢车的速度为，故正确； ∵快车从广州到达永州的时间为， ∴快车的速度为， 设出发小时两车第一次相遇， 则， 解得，故错误； 综上，正确的有， 故答案为：． 题型六 动点问题的函数图象 16．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图1，在四边形中，，直线，当直线沿射线的方向从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点、．设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图2所示．则下列结论正确的是（    ） ①的长为；②的长为；③当时，的面积为；④当时，的面积不变 A．①③ B．①②③ C．①② D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，以及动点问题的函数图象，根据图象逐项计算可得答案． 【详解】解：①．由图象可知，直线经过点前逐渐增大，经过点后且经过点前保持不变，所以的长为，故①正确； ②．由图象可知，当直线经过点时，，， ，故②错误； ③．时，， ， ， ， ， 的面积 ，故③正确； ④．当时，的高不变，但底逐渐增大，所以面积逐项增大，故④错误； 故选：A． 17．（22-23八年级下·河南南阳·期末）如图1，点P从矩形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图象，则a的值为 ．    【答案】 【分析】当点P在边上运动时，y的值不变，可知，，求出；当点P在上运动时，y逐渐减小，可得，然后在中利用勾股定理构建方程，求出a的值即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴当点P在边上运动时，y的值不变， ∴，， ∴， ∴， 当点P在上运动时，y逐渐减小， 由图象可知：点从点运动到点共用了， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值已舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理．解题的关键是理解点P运动时面积的变化情况． 18．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图1，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿，，运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当的面积为7.5时，求x的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时，； (2)当的面积为7.5时，x的值为3或10． 【分析】考查了动点问题的函数图象、矩形的有关知识，解决本题的关键是读懂图意，将矩形中的数据与梯形中各边之间的关系相对应，此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力． 分或或时，结合三角形面积公式求解即可； 根据题意可知或，分别代入函数解析式求解x即可． 【详解】（1）解：当时，点P在上，则， 即； 当时，点P在上，， 即； 当时，点P在上，， 即； （2）解：∵， ∴或， 当时，，解得； 当时，，解得：； 综上所述，当的面积为7.5时，x的值为3或10． 题型七 根据一次函数的定义求参数 19．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）下列命题中，不正确的是（    ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．若是关于的一次函数，则的值为2 C．在建立了平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应 D．矩形的对角线互相平分且垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、一次函数的定义、平面直角坐标系、矩形的性质等知识点，掌握相关定义和性质是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定、一次函数的定义、平面直角坐标系、矩形的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A、 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合，说法正确，不符合题意； B、若是y关于x的一次函数，则m的值为2，说法正确，不符合题意； C、在建立了平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应，说法正确，不符合题意； D、矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 20．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）若函数是关于的一次函数，则常数的值是 ． 【答案】2 【分析】根据一次函数的定义进行解答即可． 【详解】解： 是关于的一次函数 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 题型八 求一次函数自变量或函数值 21．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图所示，点，，，……在轴上，点点，，，……在直线上．已知，轴，……，……，，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，求一次函数的值，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，，的规律是解题的关键．根据题意可知是等腰三角形，从而推出，根据平行线的性质同理可推出，……，，代入，即可得到坐标． 【详解】解： 是等腰三角形 又轴， ， ，轴 是等腰三角形，且 同理，,，是等腰三角形 当时， 点的坐标为 故答案为：． 22．（22-23八年级下·湖南株洲·期末）如果点在函数的图象上，那么 ． 【答案】5 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 23．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知函数，当时，y的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将代入中，求出y值即可得出结论． 【详解】解：当时，． 故答案为：3． 题型九 正比例函数的图像与性质 24．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）若正比例函数的图象经过点，则a的值为（    ）． A． B．2 C．0.5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征：函数图象经过点，则该点的坐标满足函数解析式；据此解答即可． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ， 即； 故选：B． 25．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）下列各点中，不在正比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征来验证四个选项中的点是否在正比例函数图象上，此题得解． 【详解】解：A、当时，， ∴点在正比例函数的图象上，选项A不符合题意； B. 当时，， ∴点在正比例函数的图象上，选项B不符合题意； C. 当时，， ∴点不在正比例函数的图象上，选项C不符合题意； D. 当时，， ∴点在正比例函数的图象上，选项D不符合题意； 故选：D． 颗型十 一次函数的图像与性质 26．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知其，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定、的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确．本题考查了一次函数图象：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为． 【详解】解：A、如图：当一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，此时的图象也经过第一、二、三象限，所以A选项不符合题意； B、如图：当一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，此时的图象经过第一、二、四象限，所以B选项符合题意； C、如图：当一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，此时的图象经过第一、三、四象限，所以C选项不符合题意； D、如图：当一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，此时的图象经过第一、二、四象限，所以D选项不符合题意； 故选：B． 27．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的性质，先根据一次函数中，判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 28．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移2个单位长度后经过原点，则一次函数的图象不经过第　　象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】先根据题意得出的值，再由一次函数的性质即可得出结论．本题考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，熟练掌握点的平移规律：左减右加，上加下减是解题的关键． 【详解】解：一次函数的图象向上平移2个单位长度后经过原点，， ， 解得， 一次函数可化为， ，， 此函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 29．（23-24八年级下·湖南永州·期末）关于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数值随自变量的增大而增大 B．图象经过第一、三、四象限 C．图象与轴交于点 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：因为，所以函数值随自变量的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； B、因为，，所以图象经过第一、三、四象限，故本选项正确，不符合题意； C、当时，，所以图象与轴交于点，故本选项正确，不符合题意； D、当时，，所以当时，，故本选项错误，不符合题； 故选：D 30．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）对于函数，说法正确的是（    ） A．点在这个函数图象上 B．y随着x的增大而增大 C．它的图象必过一、三象限 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象、一次函数的性质，根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：函数， 当时，，故选项A不符合题意； 随的增大而减小，故选项B错误，不符合题意； 它的图象经过第一、二、四象限，故选项C错误，不符合题意； 当时，，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 31．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质即可求解，掌握一次函数的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：． 32．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）已知，是一次函数图象上不同的两个点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及不等式求解，根据一次函数的性质即可求出的范围． 【详解】是一次函数图像上不同的两个点 两式相减可得： 即： 故答案为：． 33．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）若点在一次函数的图象上，则的值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．根据题意，将点代入函数解析式即可求得的值，变形即可求得所求式子的值． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ， ， ， ， 故答案为：10． 34．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）一次函数的图象不经过第 象限. 【答案】二/2 【分析】本题考查一次函数的性质，根据，可得一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 【详解】解：一次函数， ， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 35．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，图象与轴的交点坐标为，由题意得出，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 36．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，得出，再解不等式，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴ ∴ 故答案为： 37．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与轴的交点，熟练掌握一次函数图像与坐标轴的交点坐标的关系是解题的关键．令，得到即可得到答案． 【详解】解；根据题意可得； 直线与轴的交点，则； 将代入，可得： 故答案为： 38．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）在一次函数中，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质进行解题． 根据一次函数的性质，即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而增大， ∴， ∴； 故答案为：． 39．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）一次函数的图象经过．且y随x增大而减小，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质．根据一次函数的图象过点，可以求得m的值，由y随x增大而减小，可以得到，从而可以确定m的值． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得：或， ∵y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 40．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）若一次函数函数的图象y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据一次函数的增减性求参数的范围，根据一次函数的图象y随x的增大而减小，则，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵一次函数函数的图象y随x的增大而减小， ∴， 解得：， 故答案为：． 41．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）已知点，在一次函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数中或的图象规律是解题关键． 根据一次函数的性质即可判断，的大小关系． 【详解】解：一次函数中 函数随的增大而减小， 点，在一次函数的图象上，且 ． 故答案为：． 42．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）已知和是函数上的点且，则与的大小关系为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 一次函数解析式中，则有该直线随的增大而增大，再根据，即可得出与的大小关系． 【详解】解：∵函数中， ∴该直线随的增大而增大， 又∵， ∴， 故答案为：． 题型十一 一次函数图象平移问题 43．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）将函数的图象沿y轴向上平移4个单位长度后，得到的函数图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换．根据“上加下减”，即可找出平移后的函数关系式，此题得解． 【详解】解：根据平移的性质可知：将函数的图象沿轴向上平移4个单位长度后的函数关系式为． 故选：A． 44．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）直线是由（ ）单位长度得到的． A．向右平移8个 B．向左平移8个 C．向下平移8个 D．向上平移8个 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据“上加下减，左加右减”的法则求得新的一次函数解析式． 【详解】解：， 将一次函数的图象向上平移8个单位长度，得到直线． 故选：D． 45．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）在平面直角坐标系中，把直线 向上平移个单位长度，平移后的直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的平移，根据“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”的平移规律即可求解，掌握函数图象平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，平移后的直线的解析式为， 故选：A ． 46．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）在平面直角坐标系中，把直线向下平移1个单位后，所得的直线与x轴交点的坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移；一次函数与坐标轴的交点坐标，解题的关键是熟练掌握一次函数平移的性质，从而完成求解．根据平移的性质先求解平移后的解析式，再求解交点坐标即可； 【详解】解：把直线向下平移1个单位后， 平移后的直线解析式为：， 即， 当时，， 解得：， ∴直线与x轴交点的坐标为； 故答案为：． 47．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）将一次函数的图象沿y轴向下平移2个单位长度后，所得新的一次函数图象与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移．得出一次函数图象平移后的解析式即可求解． 【详解】解：函数的图象沿轴向下平移2个单位后得解析式为， 令得， 故新的一次函数图象与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 48．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）把直线向下平移2个单位长度得直线 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的平移，解题关键是知道一次函数平移规律“左加右减，上加下减”．据此求解即可． 【详解】把直线向下平移2个单位长度得直线， 故答案为：． 题型十二 求一次函数解析式 49．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）一次函数的图像经过，则这个一次函数与x轴的交点是 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、一次函数与坐标轴的交点问题，正确求出函数解析式是解答的关键．利用待定系数法求出函数解析式为，将代入，求出，即可求解． 【详解】解：将点代入中，得， 解得：， ∴该一次函数解析式为， 当时，由得， ∴该一次函数与x轴的交点坐标为， 故答案为：． 50．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）若直线平行于直线，且经过点，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查两直线平行问题，根据直线平行于直线可设直线的解析式为，把点代入即可求出，可确定解析式．确定直线的一次项系数是解题的关键． 【详解】解：∵直线平行于直线， 即直线平移后与直线重合， 设直线的解析式为， ∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 51．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）已知是的正比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1) (2)当时，的最大值为 【分析】本题考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据正比例函数的性质计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由（1）可得， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，为， ∴当时，的最大值为． 52．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知一次函数． (1)若y是x的正比例函数，求k的值； (2)若该函数图像过点，求一次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及正比例函数的定义； （1）根据正比例函数的定义求解； （2）根据待定系数法求解． 【详解】（1）由题意得：且， 解得：； （2）由题意得：且， 解得：， 次函数的解析式为． 53．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知，一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图像； 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、画一次函数图像熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）确定A，B两点的位置，过两点作直线即可； 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴该一次函数的解析式是． （2）画出函数图像，如下图所示： 54．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）一次函数的图象经过，两点． (1)求此函数的表达式． (2)试判断点是否在此函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式及函数图像上点的坐标特征， （1）设一次函数解析式为，然后将，分别代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）利用（1）中的解析式，通过计算自变量为对应的函数值可判断点是否在此函数的图像上； 解题的关键是掌握：求一次函数的解析式需要两组、的值． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， ∵该一次函数的图像经过，两点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）点不在此函数的图像上． 理由如下： ∵当时，， ∴点不在直线上． 55．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）已知一个一次函数的图象过点和． (1)求这个函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）设这个一次函数的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为， ∵的图象过点和， ， 解方程组得， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：当时，． 56．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知函数． (1)若该函数是正比例函数，求m的值； (2)若这个函数图象过点，求这个函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义，一次函数解析式的求解，一元一次方程的求解，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据正比例函数定义可得，求出m的值即可； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：函数是正比例函数， ， ； （2）将点代入函数解析式，得： ， 解得：， 因此函数解析式为：． 题型十三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 57．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）如图，直线过点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与不等式．数形结合是解题的关键． 根据不等式的解集为一次函数图象在轴上方部分，所对应的的取值范围，结合图象作答即可． 【详解】解：由题意知，不等式的解集为一次函数图象在轴上方部分，所对应的的取值范围， 由图象可知，不等式的解集是， 故选：D． 58．（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（   ）    A．y 随 x 增大而增大 B．图象经过第三象限 C． D．当时， 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象：从左往右逐渐下降，与y轴交于正半轴，再逐项判断即可得． 【详解】解：A、由图象可得：随增大而减小，则此项错误，不符合题意； B、图象不经过第三象限，则此项错误，不符合题意； C、函数图象与轴的交点的纵坐标为，则，不符合题意； D、由图象可得，当时，，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点坐标问题，能正确的识图是解本题的关键． 59．（22-23八年级下·湖南衡阳·期末）如图：根据图象回答问题：当x 时，．    【答案】 【分析】根据图象，得出该函数的增减性，即可进行解答． 【详解】解：由图可知，该函数经过，y随x的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和不等式，解题的关键是根据图形，得出自变量的取值范围． 题型十四 根据两条直线的交点求不等式的解集 60．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线都在直线的上方，当时，直线在x轴上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】设由图示A点的纵坐标是2，设A点坐标为， 把代入， 得，解得， 则A点坐标为， 所以当时，， ∵函数的图象经过点， ∴时，， ∴不等式的解集为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 61．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）一次函数与的图象如图所示，其交点，则不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：观察函数图象，可知：当时，直线在直线的上方， 不等式的解集为． 在数轴上表示为： ． 故选：C． 62．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线与直线相交于点根据图象可知，关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．先求出的值，根据直线在直线的上方时，即可得出结论． 【详解】解：点在直线上， ，解得， ， 根据图象可得：不等式的解集为：， 故选：A 63．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡．设消费的次数为x时，所需的费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．观察图象可知，当消费的次数x的取值范围满足 时，选择乙种消费卡更为划算． 【答案】 【分析】本题考查了函数与不等式的关系．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：由图象得：当时，甲乙费用一样，当时，乙的费用较少， 故答案为：． 64．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式组的解集是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式组，根据图象分别求得每个不等式的解集，即可求解，利用数形结合的数学思想是解题关键． 【详解】解：由图象可知正比例函数与一次函数交于点， 则由图象得的解集为，的解集为， ∴不等式组的解集是 故答案为：． 题型十五 两直线的交点与二元一次方程组的解 65．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，若直线直线相交于点，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，明确一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键． 根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程组的解． 【详解】解：∵直线直线相交于点， ∴方程组的解是． 故答案为：． 66．（22-23八年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知直线和直线交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图像的性质，两条直线相交的交点的公共解，掌握一元函数图像的性质是解题的关键． 根据函数图像可知，两条直线的交点坐标为，由此即可求解． 【详解】解：∵直线和直线的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：． 67．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）已知一次函数与（k是常数）的图像的交点坐标是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 本题考查一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数与（k是常数）的图像的交点坐标是， ∴方程组的解是． 故答案为：． 68．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）直线与交点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：直线与交点的横坐标为， 纵坐标为， 两直线交点坐标， 的方程组的解为， 故答案为：． 69．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数图象交点的求法，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键． （1）联立两个函数解析式，解方程组可求出点A的坐标； （2）根据函数图象可得答案； （3）分别求出B、C两点坐标，然后可得的面积． 【详解】（1）解：联立两函数解析式得， 解得：， ∴点A的坐标为； （2）解：由图象可得：当时，则； （3）解：当时，即，解得：， ∴， 当时，即，解得：， ∴， ∴， ∴的面积为：． 70．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）综合与实践：利用函数图象探究．的性质及函数与不等式的关系． 下面是创新组的探究过程，请补充完整： (1)列表：如下表是x与y的几组对应值，则_____，____． x … 0 n 2 3 4 … y 2 m 0 (2)在平面直角坐标系中，描出表中以各对x、y的值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)请根据画出的图象，探究一条该函数的性质： ______； (4)已知直线过点与，结合函数图象直接写出关于x的不等式的解集为______． 【答案】(1)0，1 (2)见解析 (3)①图象由两条有公共端点的射线组成；②当时，函数有最小值为－3；③当时，y随x的增大而增大；④当时，y随x的增大而减小；⑤函数图象关于直线对称，……（只需写一条） (4)或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据已知函数式，求出对应函数值和自变量值即可； （2）根据表中各对x、y的值描出坐标的点，即可得到函数图象； （3）根据函数图象写出性质即可； （4）利用描点法画出函数的图象，再找出函数的图象在函数图象上方的部分，即可得到解集． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得， ，， 故答案为：0，1； （2）解：函数图象如下图： （3）解：观察图象，得到该函数的性质：①图象由两条有公共端点的射线组成； ②当时，函数有最小值为－3； ③当时，y随x的增大而增大； ④当时，y随x的增大而减小； ⑤函数图象关于直线对称，…（只需写一条）； （4）解：由图象可知，函数与的交点坐标为和， 当或，函数的图象在函数图象的上方， 不等式的解集为或， 故答案为：或． 题型十六 求直线围成的图形面积 71．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点，则的面积为（为坐标原点）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，先确定点和点的坐标，继而得出，，再根据三角形的面积公式即可得出结论．确定一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，得：， 当时，得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 72．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）如图，已知一次函数与正比例函数图像相交于点A，与x轴交于点B． (1)求点A的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，两条直线相交与坐标轴围成的三角形面积，正确求出点A的坐标是关键； （1）解两个函数表达式组成的方程组即可得点A的坐标； （2）求出一次函数与x轴的交点B的坐标，则可求得长度，从而求得结果． 【详解】（1）解：解方程组，得， ∴． （2）解：把代入得：， ∴， ∴且点A到的距离为4， ∴． 73．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，直线与坐标轴交于，两点，与直线交于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)求，值； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)10 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法的应用，坐标与图形性质等知识，熟知函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． （1）将点P坐标代入可求出n的值，得到，然后利用待定系数法求出，再把代入即可求出m的值； （2）求出点C坐标，可得，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴， 把，代入得，， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴，； （2）解：当时， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 74．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为． (1)求n、k、b的值； (2)求C点坐标； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用： （1）把代入，可求出n，再把点，代入，求出k，b的值； （2）由（1）得：直线的解析式为，令，即可求解； （3）联立两函数解析式，可求出点D的坐标为，再求出点A的坐标为，然后根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点D的坐标为， 把点，代入得： ，解得：； （2）解：由（1）得：直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点C的坐标为； （3）解：联立得：， 解得：， ∴点D的坐标为， 对于， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵，点C的坐标为， ∴，， ∴四边形的面积 题型十七 一次函数的实际应用 75．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知甲种玩具的售价为每个元，乙种玩具的售价为每个元．若超市购进甲种玩具个和乙种玩具个需要元，购进甲种玩具个和乙种玩具个需要元． (1)求甲、乙两种玩具的进价； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种玩具共个，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种玩具个，求有几种购买方案？哪种方案下超市获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)甲种玩具进价为每个元，乙种玩具进价为每个元 (2)有种方案，当甲个，乙个时，利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式组，以及一次函数关系式是解题的关键． （1）设甲种玩具进价为每个x元，乙种玩具进价为每个y元，根据“购进甲种玩具个和乙种玩具个需要元，购进甲种玩具个和乙种玩具个需要元”列出二元一次方程组，即可求解； （2）设购买甲种玩具个，则购进个乙种玩具，根据投入资金不少于元又不多于元，即可得出关于的一元一次不等式组，得到的取值范围，又因为为整数，共有种方案，记利润为元，得到，所以当时，利润最大． 【详解】（1）解：设甲种玩具进价为每个x元，乙种玩具进价为每个y元， 有，则， 答：甲种玩具进价为每个元，乙种玩具进价为每个元； （2）解：， ， 又为整数， ， 有种方案， 记利润为元，， 为整数， 时，最大利润， 甲个，乙个时，利润最大，最大利润为元． 76．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元 (2)共有4种购买方案，最低费用是5780元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据买套甲型号和10套乙型号共用900元列一元一次方程求解即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 根据总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的倍列一元一次不等式组求解得，再设总费用为元，列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得，． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； （2）解：设需购进甲种型号“文房四宝”套，则需购进乙种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又为正整数， 可以取26，27，28，29； 共有4种购买方案， 设总费用为元，则， ， 随着的增大而增大， 当时，最小，最小值为， 答：共有4种购买方案，最低费用是5780元． 77．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件（2种服装都要），其进价与售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为件，销售完甲、乙两种汉服的利润为元. (1)求与之间的函数关系式，写出自变量范围； (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购选多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润。 【答案】(1) (2)当甲汉服购进件时，该店在销售完这两种汉服获利最多，最大利润为元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次 不等式的应用，二元一次方程的应用，读懂题目信息，理解数量关系并确定出等量关系是解答本题的关键； （1）根据总利润=两种服装利润之和列出函数解析式； （2）根据乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，得出x的取值范围，再根据函数的性质求出函数的最值即可． 【详解】（1）解：由题意得 ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵乙的数量不能超过甲的数量的２倍， ∴ 解得， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，y最大， 答：当甲汉服购进40件时，该店在销售完这两 种汉服获利最多，最大利润为元． 78．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求 A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆． ①求n关于m的关系式； ②请你帮助该公司设计购买方案；若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在你给出的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元 (2)①；②有三种方案，方案一：购进A型车2辆，B型车13辆；方案二：购进A型车4辆，B型车8辆；方案三：购进A型车6辆，B型车3辆；方案一利润最大，最大利润为元 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据题意，得，化简得，即可求解； ②根据题意，得，两种车都买，故m，n都是正整数，得到，解得，且m是偶数，得到方案；设总获利W元，根据题意，得，根据一次函数的性质，m最小时，利润最大解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的增减性，熟练掌握方程组，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 根据题意，得：， 解得：， 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元． （2）①设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 根据题意，得， 化简得， 得到． 故； ②根据题意，得，由两种车都买，故m，n都是正整数， 得到，解得，且m是偶数， 具体如下： ，，， 故有三种方案，方案一：购进A型车2辆，B型车13辆；方案二：购进A型车4辆，B型车8辆；方案三：购进A型车6辆，B型车3辆； 设总获利W元，根据题意，得，根据一次函数的性质，m最小时，利润最大，故方案一，利润最大，最大利润为元． 79．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）“数学源于生活，又服务于生活”，某学习小组结合图像设计了一个问题情境．已知浩然所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍，图书馆离宿舍．周末，浩然从宿舍出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆停留借书后，匀速走了返回宿舍．给出的图像反映了这个过程中浩然离宿舍的距离与离开宿舍的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开宿舍的时间/ 2 5 20 23 30 离宿舍的距离/      ____      ____ ____ (2)填空： ①食堂到图书馆的距离为 ； ②浩然从食堂到图书馆的速度为 ； ③浩然从图书馆返回宿舍的速度为 ； (3)当时，请写出y关于x的函数解析式．在整个过程中，当浩然离宿舍的距离为时，请求出他离开宿舍的时间． 【答案】(1)；；1 (2)；； (3)；他离开宿舍的时间为6分钟或62分钟 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是准确从函数图象中获取信息并依据获得的信息解答问题． （1）根据图象信息填表即可； （2）根据图象信息填空即可； （3）分段写出当时的两个一次函数解析式，并利用解析式解答时的值即可． 【详解】（1）解：填表：浩然从宿舍到食堂的速度为； 离开宿舍的时间/ 2 5 20 23 30 离宿舍的距离/                     1 故答案为：． （2）解：填空： ①食堂到图书馆的距离为； ②浩然从食堂到图书馆的速度为； ③浩然从图书馆返回宿舍的速度为； 故答案为：． （3）解：当时，， 当时，设函数解析式为， ， 解得， ∴当时，． ∴； 当浩然离宿舍的距离为时，分两种情况讨论如下： 当时，，解得(分钟)； 当时，他离开宿舍的时间为：(分钟)， ∴当浩然离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为6分钟或62分钟． 80．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）Ⅰ号无人机从海拔处出发，以的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔处同时出发，以的速度匀速上升，经过两架无人机位于同一海拔高度．无人机海拔高度与时间的关系如图．两架无人机都上升了． (1)求的值及Ⅱ号无人机海拔高度与时间的关系式； (2)问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高米． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是一次函数的应用，根据题意确定和的表达式是解题关键． （1）根据题意，先求出的值，再利用待定系数法求解即可； （2）由题意得，即可求解． 【详解】（1）解：， 设函数的表达式为， 将、代入上式得，解得， 故函数表达式为． （2）解：由题意得：， 解得， 故无人机上升，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高米． 81．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）近年来，全球对可再生能源的需求日益增长，（光伏建筑一体化）技术渐渐广受关注，某社区拟修建，两种光伏车棚，已知修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元，修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元． (1)求修建个种光伏车棚，种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍，问修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1)修建个种光伏车棚需投资万元，修建个种光伏车棚需投资万元 (2)修建种光伏车棚个时，投资总额最少，最少投资总额为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）设修建个种光伏车棚需投资万元，修建个种光伏车棚需投资万元，根据修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元，修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建，两种光伏车棚共投资万元，先根据修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍，列出不等式，求出的范围，然后求出关于的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：设修建个种光伏车棚需投资万元，修建个种光伏车棚需投资万元，根据题意得： ，解得， 答：修建个种光伏车棚需投资万元，修建个种光伏车棚需投资万元； （2）解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个， 根据题意得：，解得， 设修建，两种光伏车棚共投资万元，则， 即， ， 随的增大而增大， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，最小值为， 答：修建种光伏车棚个时，投资总额最少，最少投资总额为万元． 题型十八 一次函数与几何综合 82．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图，将直线：向上平移个单位后得到直线，直线与直线：和轴分别相交于点、点． (1)求直线l2的函数表达式； (2)点P是x轴上任意一点，若以点A、B、P为顶点的三角形为直角三角形，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式即可； （2）分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ∴，，即点． 依题意设直线的表达式为． 将点的坐标代入， 得， 解得， ∴． （2）解：若以点A、、为顶点的三角形为直角三角形，由题意可知为锐角，故只有或可能为直角． 当为直角时，将点设为点， 过点A作轴于点，则， ∵点， ∴此时点为； 当为直角时，将点设为点． 过点A作于交轴于点，则， 在中，令，得， ∴点为，即， ∵点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点． 故点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，一次函数与几何综合，等腰三角形的判定和性质，熟知相关知识是解题的关键． 83．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图1，平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是的中点，直线过定点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，当时， 过点C作，交于点F，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由． (3)点N在直线上，且，连接，点M为的中点，连接．求线段的长度的最大值，并直接写出此时点N的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)， 【分析】（1）根据，得到直线过定点，即可； （2）先求出点的坐标、正方形的边长，过点作，证明，推出为等腰直角三角形，得到当点与点重合时，满足题意，再根据对称性求出点在点上方时，点的坐标即可； （3）取点，连接，易得为的中点，得到，进而得到最大时，最大，根据，得到三点共线时，有最大值为的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴直线过定点， ∴； （2）存在： 当时，直线为：， 当时，， ∴， ∵正方形的边在轴上，点是的中点，， ∴，， ∴， 过点作，则：，， ∵过点C作，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵点在直线上，且是等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，满足题意， 此时：； 当点在点上方时，则：时，满足题意， 即点为的中点， ∴， 综上：或； （3）取点，连接， 则：， ∴为的中点，， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，即在的延长线上时，有最大值为的长，此时的值最大，如图： ∵， ∴的最大值为， ∴的最大值为：； 过点作轴，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 84．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足：，点在轴的负半轴上，连接，． (1)如图1，若，求点的坐标． (2)如图2，点在上，点在上，连接，过点作轴于点，若，求证：． (3)在（1）的条件下，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度在间往返移动，即先沿方向移动，到达点点后反向移动．设移动的时间为，四边形与的面积分别记为，，是否存在时间，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用非负数的性质，求出，的值，再求出，可得结论． （2）证明，可得结论． （3）由题意秒点到达点，当时点达点，秒点到达点秒点再次到达点，分五种情形：当，当，当，当，当，分别求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 解得， ，， ， ， ， ； （2）证明：轴， 轴， ， ， ， ， ； （3）解：存在． 理由：由题意秒点到达点，当时点达点，秒点到达点秒点再次到达点， 故当，，，由， 解得； 当，，，由， 解得，舍弃； 当，，，由， 解得，符合题意； 当，，， 解得，舍弃； 当，的最大值为17.5，的最小值为35，不存在． 综上，或时，使． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，非负数的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 85．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过定点，，直线与交于点． (1)求出k，b的值和点C的坐标； (2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在， 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象和性质，以及轴对称图形的性质，根据题意作出轴对称图形是解题的关键． （1）将直线上点的坐标代入直线的函数解析式即可求得答案． （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短，先求得直线的函数解析式，即可求得点E的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，且经过定点， ∴， ∴， ∴直线， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， 把代入，得到 ∴，． （2）解：存在． 理由如下：作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接，则的周长最小， ∵，， 设解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得到， ， ∴存在一点，使的周长最短． 题型十九 一次函数的新定义问题 86．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）定义：对于给定的一次函数（a，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“衍生函数”的定义，找出一次函数的“衍生函数”是解题的关键．找出一次函数的“衍生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值． 【详解】解：由定义知，一次函数的“衍生函数”为， ∵点在一次函数的“衍生函数”图象上， ∴． 故选：D． 87．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为 　　； (2)若点在x轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且，求值； (3)如图，点的坐标为，点A在函数的图象上，且点A是点B的“属派生点”，当线段最短时，求B点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“属派生点”的定义计算即可得出答案； （2）设点的坐标为，且，得出，从而得出，，结合，得出，计算即可得出答案； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，将代入函数得出点在直线上，推出点的坐标为，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ∴的坐标为； （2）解：由题意，设点的坐标为，且，则，即， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点A在函数的图象上， ∴， 整理得：， ∴点在直线上， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，线段最短，最短为，此时，即． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的性质，勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键． 88．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）我们约定：若关于x的一次函数和同时满足，，则称函数和互为“真诚函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的一次函数和互为“真诚函数”，求m，n的值； (2)若关于x的一次函数的“真诚函数”经过点，且与的交点P在第三象限，求k的取值范围； (3)在平面直角坐标系中，点，点，若关于x的一次函数与它的“真诚函数”交于点N，在平面内是否存在点M，使得以A、B、M、N为顶点，且为一边的四边形为菱形．若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)或或 【分析】（1）根据题意得到，，，即可求解． （2）由题意可知，的“真诚函数”为，联立可得交点，根据的“真诚函数”经过点得，由点在第三象限即可求解． （3）分三种情况：①若点在点的上方，四边形是菱形，②若点在点的下方，四边形是菱形，③若点在点的下方，四边形是菱形，分别求解即可． 本题是一次函数综合题，考查了新定义、菱形的性质、勾股定理等，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题． 【详解】（1）解：由题意可知：，，， ，，， 关于的一次函数和互为“真诚函数”， ，， ，； （2）由题意可知，的“真诚函数”为， 联立得，解得， 点， 的“真诚函数”经过点， ， ， 点， 点在第三象限， ， 的取值范围为； （3）解：由（2）可知， 点，点， ， ①若点在点的上方，四边形是菱形，如图1，    则， 点的坐标为； ②若点在点的下方，四边形是菱形，如图2，    则， 点的坐标为； ③若点在点的下方，四边形是菱形，如图3，    则， 与互相平分， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或或 89．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）定义：形如（，，、为常数）的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中叫“分移值”．例如，函数的“分移函数”为其中“分移值”为1． (1)已知点在的“分移函数”的图象上，则的值为　　　； (2)已知点，在函数的“分移函数”的图象上，求的值； (3)已知矩形顶点坐标为，，，．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与新定义的综合，涉及待定系数法求解析式，分段函数，一次函数的图象和性质，理解“分移函数”的含义并运用数形结合思想是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）将点代入函数的“分移函数”的解析式，可得关于和的二元一次方程组，求解即可； （3）根据函数的“分移函数”图象与矩形的性质，通过计算函数图象分别过点和过点时的值，即可确定图象与矩形有两个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 故答案为：4； （2）根据题意，设函数的“分移函数”为， 将点代入， 得①， 将点代入， 得②， 得， ∴； （3）解：∵函数的“分移函数”的“分移值”为3， ∴， 当时，函数图象与矩形没有交点， 当时，当函数图象经过点B时，此时函数图象与矩形有一个交点， 将点代入， 得， 解得， 当函数图象经过点D时，此时函数图象与矩形有三个交点， 将点代入， 得， 解得， ∴当函数图象与矩形有两个交点时，k的取值范围是． 90．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）【定义】对于点，规定，那么就把叫点的“点和数”． 例如：若，则，那么叫的“点和数”． 【概念理解】（）①在平面直角坐标系中，已知点，则以下个点，，中，与点的“点和数”相等的是______； ②若点在直线上，且与点的“点和数”相等，则点的坐标是______． 【尝试应用】（）点是矩形边上的任意点，点，，，，先在如下的平面直角坐标系中画出矩形，这时如果点是直线上的任意点，若存在两点的“点和数”相同，求的取值范围． 【答案】（） ； ；（）． 【分析】本题考查了一次函数的性质 ，理解“和合数”定义并运用数形结合思想解答是解题的关键． （1）①分别求出各点的“和合数”，即可求解；②设点，由“和合数”的定义列出方程即可求解； （2）由“和合数”的定义可得点在直线上，结合图形解答即可求解． 【详解】解：（1）①∵点的“和合数”，点的“和合数”，点的“和合数”，点的“和合数”， ∴与点的“和合数”相等的点为点， 故答案为：； ②设点， 由题意可得，， ∴， ∴点， 故答案为：； （2）如图，设点， ∵的“和合数”相同， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∴点是直线与矩形的交点， 当点在直线上时，， ∴， 当点在直线上时，， ∴， ∴当时，存在两点的“和合数”相同， ∴的取值范围为． $$专题04 一次函数（19大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 函数的概念 · 题型二 求自变量的取值范围 · 题型三 求自变量的值或函数值 · 题型四 函数图象识别（高频） · 题型五 从函数的图象获取信息 · 题型六 动点问题的函数图象（易错） · 题型七 根据一次函数的定义求参数 · 题型八 求一次函数自变量或函数值 · 题型九 正比例函数的图像与性质 · 题型十 一次函数的图像与性质（重点） · 题型十一 一次函数图象平移问题 · 题型十二 求一次函数解析式 · 题型十三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集（高频） · 题型十四 根据两条直线的交点求不等式的解集（高频） · 题型十五 两直线的交点与二元一次方程组的解（高频） · 题型十六 求直线围成的图形面积（易错） · 题型十七 一次函数的实际应用（高频） · 题型十八 一次函数与几何综合 · 题型十九 一次函数的新定义问题（难点） 题型一 函数的概念 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）下列式子：①，②，③，④其中y是x的函数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）下列图象中，表示是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型二 求自变量的职值范围 4．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）函数中，自变量x的取值范围是 ． 6．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）函数中自变量x的取值范围是 ． 7．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）函数中自变量的取值范围是 ． 题型三 求自变量的值或函数值 8．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）常值函数并不是没有自变量，而是可以看作一次函数中自变量的系数为0，比如常值数即是，那么在这个函数中，当时，（    ） A．10 B．0 C．2 D．任意数 9．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）已知函数，当 时，函数值为0． 10．（23-24八年级下·湖南永州·期末）弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 物体的质量（） 弹簧的长度（） 根据表中信息分析，当物体的质量为时，弹簧的长度可能为 题型四 函数图象识别 11．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）小明的爸爸去散步，从家走了20分钟到了离家900米的报亭，在报亭待了10分钟后，用15分钟返回家中，下面图象中能表示爸爸离家后的时间与距离之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列各曲线中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）下列图象中，表示是的函数的是（    ） A．B． C． D． 题型五 从函数的图象获取信息 14．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图是汽车行驶速度（千米/时）和时间（分）的图，下列说法中正确的个数为（ ） （1）汽车以千米/时的速度行驶了分钟； （2）表示汽车匀速行驶； （3）在第分钟时，汽车的速度是千米/时； （4）第分钟时，汽车停下来． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（23-24八年级下·湖南·期末）快车与慢车分别从广州、永州两地同时相向出发，匀速而行，快车到达永州后停留，然后按原路原速返回，快车比慢车晚到达广州，快慢两车距各自出发地的路程与所用的时的关系如图所示．下列说法：①广州、永州两地之间的路程为；②慢车的速度是；③出发，快慢两车第一次相遇．其中正确的有 ．（填序号） 题型六 动点问题的函数图象 16．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图1，在四边形中，，直线，当直线沿射线的方向从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点、．设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图2所示．则下列结论正确的是（    ） ①的长为；②的长为；③当时，的面积为；④当时，的面积不变 A．①③ B．①②③ C．①② D．①③④ 17．（22-23八年级下·河南南阳·期末）如图1，点P从矩形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图象，则a的值为 ．    18．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图1，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿，，运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当的面积为7.5时，求x的值． 题型七 根据一次函数的定义求参数 19．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）下列命题中，不正确的是（    ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．若是关于的一次函数，则的值为2 C．在建立了平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应 D．矩形的对角线互相平分且垂直 20．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）若函数是关于的一次函数，则常数的值是 ． 题型八 求一次函数自变量或函数值 21．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图所示，点，，，……在轴上，点点，，，……在直线上．已知，轴，……，……，，则的坐标为 ． 22．（22-23八年级下·湖南株洲·期末）如果点在函数的图象上，那么 ． 23．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知函数，当时，y的值为 ． 题型九 正比例函数的图像与性质 24．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）若正比例函数的图象经过点，则a的值为（    ）． A． B．2 C．0.5 D． 25．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）下列各点中，不在正比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 颗型十 一次函数的图像与性质 26．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知其，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 28．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移2个单位长度后经过原点，则一次函数的图象不经过第　　象限． A．一 B．二 C．三 D．四 29．（23-24八年级下·湖南永州·期末）关于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数值随自变量的增大而增大 B．图象经过第一、三、四象限 C．图象与轴交于点 D．当时， 30．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）对于函数，说法正确的是（    ） A．点在这个函数图象上 B．y随着x的增大而增大 C．它的图象必过一、三象限 D．当时， 31．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）已知，是一次函数图象上不同的两个点，若，则的取值范围是 ． 33．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）若点在一次函数的图象上，则的值是 ． 34．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）一次函数的图象不经过第 象限. 35．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是 ． 36．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是 ． 37．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）直线与轴的交点坐标为 ． 38．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）在一次函数中，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 39．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）一次函数的图象经过．且y随x增大而减小，则 ． 40．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）若一次函数函数的图象y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 41．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）已知点，在一次函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 42．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）已知和是函数上的点且，则与的大小关系为 题型十一 一次函数图象平移问题 43．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）将函数的图象沿y轴向上平移4个单位长度后，得到的函数图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）直线是由（ ）单位长度得到的． A．向右平移8个 B．向左平移8个 C．向下平移8个 D．向上平移8个 45．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）在平面直角坐标系中，把直线 向上平移个单位长度，平移后的直线是（   ） A． B． C． D． 46．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）在平面直角坐标系中，把直线向下平移1个单位后，所得的直线与x轴交点的坐标 ． 47．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）将一次函数的图象沿y轴向下平移2个单位长度后，所得新的一次函数图象与y轴的交点坐标为 ． 48．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）把直线向下平移2个单位长度得直线 ． 题型十二 求一次函数解析式 49．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）一次函数的图像经过，则这个一次函数与x轴的交点是 50．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）若直线平行于直线，且经过点，则直线的解析式为 ． 51．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）已知是的正比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的最大值． 52．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知一次函数． (1)若y是x的正比例函数，求k的值； (2)若该函数图像过点，求一次函数的解析式． 53．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知，一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图像； 54．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）一次函数的图象经过，两点． (1)求此函数的表达式． (2)试判断点是否在此函数的图象上，并说明理由． 55．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）已知一个一次函数的图象过点和． (1)求这个函数的解析式； (2)当时，求y的值． 56．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知函数． (1)若该函数是正比例函数，求m的值； (2)若这个函数图象过点，求这个函数的解析式． 题型十三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 57．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）如图，直线过点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 58．（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（   ）    A．y 随 x 增大而增大 B．图象经过第三象限 C． D．当时， 59．（22-23八年级下·湖南衡阳·期末）如图：根据图象回答问题：当x 时，．    题型十四 根据两条直线的交点求不等式的解集 60．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 61．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）一次函数与的图象如图所示，其交点，则不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ） A． B． C． D． 62．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线与直线相交于点根据图象可知，关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 63．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡．设消费的次数为x时，所需的费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．观察图象可知，当消费的次数x的取值范围满足 时，选择乙种消费卡更为划算． 64．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式组的解集是 ． 题型十五 两直线的交点与二元一次方程组的解 65．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，若直线直线相交于点，则关于的方程组的解是 ． 66．（22-23八年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知直线和直线交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．    67．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）已知一次函数与（k是常数）的图像的交点坐标是，则方程组的解是 ． 68．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）直线与交点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 69．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． 70．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）综合与实践：利用函数图象探究．的性质及函数与不等式的关系． 下面是创新组的探究过程，请补充完整： (1)列表：如下表是x与y的几组对应值，则_____，____． x … 0 n 2 3 4 … y 2 m 0 (2)在平面直角坐标系中，描出表中以各对x、y的值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)请根据画出的图象，探究一条该函数的性质： ______； (4)已知直线过点与，结合函数图象直接写出关于x的不等式的解集为______． 题型十六 求直线围成的图形面积 71．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点，则的面积为（为坐标原点）（    ） A． B． C． D． 72．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）如图，已知一次函数与正比例函数图像相交于点A，与x轴交于点B． (1)求点A的坐标； (2)求的面积． 73．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，直线与坐标轴交于，两点，与直线交于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)求，值； (2)求的面积. 74．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为． (1)求n、k、b的值； (2)求C点坐标； (3)求四边形的面积． 题型十七 一次函数的实际应用 75．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知甲种玩具的售价为每个元，乙种玩具的售价为每个元．若超市购进甲种玩具个和乙种玩具个需要元，购进甲种玩具个和乙种玩具个需要元． (1)求甲、乙两种玩具的进价； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种玩具共个，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种玩具个，求有几种购买方案？哪种方案下超市获得的利润最大？最大利润为多少？ 76．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 77．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件（2种服装都要），其进价与售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为件，销售完甲、乙两种汉服的利润为元. (1)求与之间的函数关系式，写出自变量范围； (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购选多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润。 78．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求 A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆． ①求n关于m的关系式； ②请你帮助该公司设计购买方案；若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在你给出的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 79.（23-24八年级下·湖南长沙·期末）“数学源于生活，又服务于生活”，某学习小组结合图像设计了一个问题情境．已知浩然所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍，图书馆离宿舍．周末，浩然从宿舍出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆停留借书后，匀速走了返回宿舍．给出的图像反映了这个过程中浩然离宿舍的距离与离开宿舍的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开宿舍的时间/ 2 5 20 23 30 离宿舍的距离/      ____      ____ ____ (2)填空： ①食堂到图书馆的距离为 ； ②浩然从食堂到图书馆的速度为 ； ③浩然从图书馆返回宿舍的速度为 ； (3)当时，请写出y关于x的函数解析式．在整个过程中，当浩然离宿舍的距离为时，请求出他离开宿舍的时间． 80．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）Ⅰ号无人机从海拔处出发，以的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔处同时出发，以的速度匀速上升，经过两架无人机位于同一海拔高度．无人机海拔高度与时间的关系如图．两架无人机都上升了． (1)求的值及Ⅱ号无人机海拔高度与时间的关系式； (2)问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高米． 81．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）近年来，全球对可再生能源的需求日益增长，（光伏建筑一体化）技术渐渐广受关注，某社区拟修建，两种光伏车棚，已知修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元，修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元． (1)求修建个种光伏车棚，种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍，问修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 题型十八 一次函数与几何综合 82．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图，将直线：向上平移个单位后得到直线，直线与直线：和轴分别相交于点、点． (1)求直线l2的函数表达式； (2)点P是x轴上任意一点，若以点A、B、P为顶点的三角形为直角三角形，请求出点P的坐标． 83．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图1，平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是的中点，直线过定点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，当时， 过点C作，交于点F，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由． (3)点N在直线上，且，连接，点M为的中点，连接．求线段的长度的最大值，并直接写出此时点N的坐标． 84．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足：，点在轴的负半轴上，连接，． (1)如图1，若，求点的坐标． (2)如图2，点在上，点在上，连接，过点作轴于点，若，求证：． (3)在（1）的条件下，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度在间往返移动，即先沿方向移动，到达点点后反向移动．设移动的时间为，四边形与的面积分别记为，，是否存在时间，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 85．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过定点，，直线与交于点． (1)求出k，b的值和点C的坐标； (2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十九 一次函数的新定义问题 86．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）定义：对于给定的一次函数（a，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 87．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为 　　； (2)若点在x轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且，求值； (3)如图，点的坐标为，点A在函数的图象上，且点A是点B的“属派生点”，当线段最短时，求B点坐标． 88．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）我们约定：若关于x的一次函数和同时满足，，则称函数和互为“真诚函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的一次函数和互为“真诚函数”，求m，n的值； (2)若关于x的一次函数的“真诚函数”经过点，且与的交点P在第三象限，求k的取值范围； (3)在平面直角坐标系中，点，点，若关于x的一次函数与它的“真诚函数”交于点N，在平面内是否存在点M，使得以A、B、M、N为顶点，且为一边的四边形为菱形．若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由． 89．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）定义：形如（，，、为常数）的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中叫“分移值”．例如，函数的“分移函数”为其中“分移值”为1． (1)已知点在的“分移函数”的图象上，则的值为　　　； (2)已知点，在函数的“分移函数”的图象上，求的值； (3)已知矩形顶点坐标为，，，．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形有两个交点，求的取值范围． 90．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）【定义】对于点，规定，那么就把叫点的“点和数”． 例如：若，则，那么叫的“点和数”． 【概念理解】（）①在平面直角坐标系中，已知点，则以下个点，，中，与点的“点和数”相等的是______； ②若点在直线上，且与点的“点和数”相等，则点的坐标是______． 【尝试应用】（）点是矩形边上的任意点，点，，，，先在如下的平面直角坐标系中画出矩形，这时如果点是直线上的任意点，若存在两点的“点和数”相同，求的取值范围． $$