精品解析：北京理工大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中练习数学试题

2024--2025学年度第二学期高二年级数学期中练习 考试时间 120 分钟 总分：150分 2025.4 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 10 B. 17 C. 21 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出公差，再应用等差数列通项公式即可求出. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以. 故选：B 2. 若，则的值可以是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数的性质即可求解. 【详解】由可得或，解得或， 故选：A 3. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（      ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的定义及几何意义求解即可. 【详解】由题意得，则， 得到曲线在点处的切线的斜率是3，故B正确. 故选：B 4. 已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知及等比数列的定义可得结果. 【详解】因为为等比数列且通项公式为， 所以公比， 故选：A. 5. 某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ） A. 24种 B. 10种 C. 9种 D. 15种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有中选择； 所以共有种选择. 故选：D 6. 已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次作出在处的切线，根据切线倾斜角的大小进行判断即可. 【详解】依次作出在处的切线， 如图所示．根据图形中切线的斜率可知． 故选：A． 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】构造，利用导数研究其单调性，结合充分条件与必要条件的定义即可求解. 【详解】设， 则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 若，且在上单调递增， 则，即，故充分性成立， 若，即，则或，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导函数，令恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值. 【详解】，令，得， 令， 若函数在上单调递减，则， 当时，， 所以函数在上单调递增，则， 所以. 故选：C 9. 已知在数列中，，则的前项中的最大项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数是减函数，结合递推公式分析即可得解. 【详解】因为，所以函数是减函数， 因为，所以，即， 由函数是减函数，， 得，即， 由函数是减函数，， 得，即， 由函数是减函数，， 得，即， 以此类推，可知数列的最大项为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据指数函数是减函数，结合递推公式类推，是解决本题的关系. 10. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增 C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值 【答案】D 【解析】 【分析】首先理解函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后举反例设可判断A错误；设可得B错误；设可得C错误；由函数单调性的定义可以判断D正确. 【详解】函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率； 对于A：因为是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增， 所以设，则，此时为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A错误； 对于B：设， 由图象可知， 当时，随增大，点与点连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但在不是单调函数，故B错误； 对于C：因为对于任意实数存在实数，使得，说明为有界函数，所以设， 函数在上有界，但当且x趋近于-2时、、且x趋近于2时导函数无界，故割线的斜率不一定有界，如图 当点向点靠近时，割线的斜率近似等于点处切线的斜率，故C错误； 对于D：因为函数满足：当时，， 即， 因为，，所以； 同理，当时，， 即， 因为，，所以； 所以为的最小值，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数表达的是函数图像上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中，的系数为______． 【答案】24 【解析】 【分析】利用二项式定理求解指定项的系数即可. 【详解】由二项式定理得的通项为， 令，解得，则的系数为. 故答案为：24 12. 若函数的图象在点处的切线垂直于轴，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，利用处的导数值为0列式求解的值即可. 【详解】因为函数的图象在点处的切线垂直于轴， 由，可得， 所以由题意得，解得. 故答案为： 13. 在数列中，已知，则的前10项和为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件表示出的前10项和，再由等比数列求和公式得到答案即可. 【详解】因为，所以， ，， ，， 则的前10项和为. 故答案为： 14. 已知函数，若，则不等式的解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】第一空：直接代入，分和解不等式，再取并集即可；第二空：将题设转化为和的实数根的个数为2，分、和依次讨论根的情况，即可求解. 【详解】第一空：若，则，当时，由解得，则； 当时，由，解得，则；综上可得不等式的解集为； 第二空：恰有两个零点等价于和的实数根的个数为2. 当时，显然无解；解得（舍去），也无解，不合题意； 当时，显然无解；的判别式，设的两根为， 则，显然两根一正一负，即有1个实根，不合题意； 当时，令的对称轴为，则在单减，则，则无解； ，显然时不成立，则，令，则，显然在上单减，在单增， 则，又，，则时，有2个根，即恰有两个零点； 综上：. 故答案为：；. 15. 已知数列满足，该数列的前项和为，则下列论断中正确的有_________. ① ② ③非零常数，使得 ④ ，都有 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由已知项计算判断①；由已知递推关系化简计算判断②；由已知递推关系总结数列的规律，再结合反证法判断③；由已知递推关系找到前项和的规律判断④. 【详解】对于①，由，得，①正确； 对于②，由，， 得，②正确； 对于③，设非零常数，，则， 由题意，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，，则为数列的的周期， 同理即也为数列的周期，以此类推，最终可得一个奇数为数列的的周期，不合题意； 所以不存在非零常数，，使得，③错误； 对于④，由，得；由，得； 由，得，，， 因此，， 则当时，， 于是， 所以，④正确. 故答案为：①②④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数（，）的图象过点，且． （1）求，的值； （2）求曲线过点的切线方程． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，由， 可得，联立即可得解； （2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解. 【小问1详解】 因为函数的图象过点，所以①． 又，，所以②， 由①②解得，． 【小问2详解】 由（1）知， 设所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 可得， ， ，解得， 所以切点为，切线方程为． 故曲线过点的切线方程为． 17. 设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可. （2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，解得，则或． 又因为，所以，解得，故，． 【小问2详解】 因为，所以， 则. 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在上的最大值是，求的值． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增；在上单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，根据导函数的正负，对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）根据上问中函数的单调性，建立方程，求解参数即可. 【小问1详解】 依题意得函数的定义域为， 则，． 当时，在上恒成立， 即函数在上单调递增； 当时，令，则； 令，则； 故函数在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增；在上单调递减． 【小问2详解】 若，由（1）可知，函数在上单调递增， 此时不存在最大值，与题意不符， 若，则函数在上单调递增，在上单调递减， 若要使得函数在上存在最大值，则，即， 且此时最大值为． 令，解得，故a的值为． 19. 已知函数的极值点构成数列(). （1）求； （2）求证：数列是等差数列； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 由（1）知，数列的通项公式为，则， 而， 所以数列是等差数列. （3）. 【解析】 【分析】（1）求出导数并求出极值点即得数列通项，进而求出. （2）利用等差数列定义判断即可. （3）由（2）的结论，利用错位相减法求出前项和. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 因此是函数的极小值点，且是唯一极值点，则， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，，则， ， 则， 两式相减，得， 所以. 20. 已知函数． （1）若在处有极值，求的值； （2）当时总是在轴上方，求的取值范围； （3）写出的零点个数（结论不要求证明）． 【答案】（1） （2） （3） 当或时，有一个零点， 当且时，有两个零点. 【解析】 【分析】（1）利用极值的性质建立方程，求解参数，再代回检验即可. （2）对参数范围进行讨论，利用导数结合排除法求出参数范围即可. （3）对参数范围进行讨论，并结合零点存在性定理逐个情况求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在处有极值，所以， 解得，此时，， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 此时在处有极值，符合题意. 【小问2详解】 由题意得当时总是在轴上方， 则在上恒成立， 而，当时，， 此时在上单调递增，且， 故此时在上恒成立，满足题意， 当时，我们对的范围分类讨论，当时，解得， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 得到， 令，则令，而， 令，，令，， 故在上单调递增，在上单调递减，且， 则，则，故，与题意不符，故排除， 当时，解得，令，， 此时在上单调递增，且， 故此时在上恒成立，满足题意， 由已知得当时，在上单调递增， 则，故此时在上恒成立，满足题意， 故，综上可得的取值范围为. 【小问3详解】 令，则， 当时，，此时在上单调递增， 而，故此时有一个零点， 当时，由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，故此时有一个零点， 当时，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，则在上有一个零点， 得到， 由已知得，故，当时，， 则由零点存在性定理得在上有一个零点， 故此时有两个零点， 当时，令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 而，则在上有一个零点， 由已知得， 同理可得，当时，， 则由零点存在性定理得在上有一个零点， 故此时有两个零点， 综上可得，当或时，有一个零点， 当且时，有两个零点. 21. 对于无穷数列、，，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项．已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”． （Ⅰ）写出数列的“收缩数列”； （Ⅱ）证明：数列的“收缩数列”仍是； （Ⅲ）若，求所有满足该条件的数列． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）因为， ， 所以， 所以． 又因为，所以， 所以的“收缩数列”仍是． （Ⅲ），． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据定义求出； （Ⅱ）首先证明满足，然后根据定义求的“收缩数列”即可证； （Ⅲ）由已知等式，得，时得，时，，否定和后证得，因此猜想，．然后进行证明，用反证法：假设是首次不符合的项，则，分三种情况否定：，，． 【详解】解：（Ⅰ）由可得为递增数列，所以， 所以． （Ⅱ）略 （Ⅲ）由可得 当时，； 当时，，即，所以； 当时，，即（*）， 若，则，所以由（*）可得，与矛盾； 若，则，所以由（*）可得， 所以与同号，这与矛盾； 若，则，由（*）可得. 猜想：满足的数列是： ．． 经验证，左式， 右式. 下面证明其它数列都不满足题设条件. 由上述时的情况可知，时，是成立的. 假设是首次不符合的项，则， 由题设条件可得（*）， 若，则由（*）式化简可得与矛盾； 若，则，所以由（*）可得 所以与同号，这与矛盾； 所以，则，所以由（*）化简可得. 这与假设矛盾. 所以，所有满足该条件的数列的通项公式为，． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是理解新定义，并能应用新定义求解．难点是第（Ⅲ）小题，求满足条件的数列，采取从特殊到一般，归纳与猜想、证明的思路求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024--2025学年度第二学期高二年级数学期中练习 考试时间 120 分钟 总分：150分 2025.4 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 10 B. 17 C. 21 D. 35 2. 若，则的值可以是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 3. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（      ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 4. 已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ） A. 24种 B. 10种 C. 9种 D. 15种 6. 已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 9. 已知在数列中，，则的前项中的最大项为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增 C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中，的系数为______． 12. 若函数的图象在点处的切线垂直于轴，则________. 13. 在数列中，已知，则的前10项和为_________. 14. 已知函数，若，则不等式的解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____． 15. 已知数列满足，该数列的前项和为，则下列论断中正确的有_________. ① ② ③非零常数，使得 ④ ，都有 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数（，）的图象过点，且． （1）求，的值； （2）求曲线过点的切线方程． 17. 设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在上的最大值是，求的值． 19. 已知函数的极值点构成数列(). （1）求； （2）求证：数列是等差数列； （3）求数列的前项和. 20. 已知函数． （1）若在处有极值，求的值； （2）当时总是在轴上方，求的取值范围； （3）写出的零点个数（结论不要求证明）． 21. 对于无穷数列、，，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项．已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”． （Ⅰ）写出数列的“收缩数列”； （Ⅱ）证明：数列的“收缩数列”仍是； （Ⅲ）若，求所有满足该条件的数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $