精品解析：北京理工大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中练习数学试题

2024--2025学年度第二学期高二年级数学期中练习 考试时间 120 分钟 总分：150分 2025.4 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 10 B. 17 C. 21 D. 35 2. 若，则的值可以是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 3. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处切线的斜率是（      ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 4. 已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ） A 24种 B. 10种 C. 9种 D. 15种 6. 已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 9. 已知在数列中，，则的前项中的最大项为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增 C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中，的系数为______． 12. 若函数的图象在点处的切线垂直于轴，则________. 13. 在数列中，已知，则的前10项和为_________. 14. 已知函数，若，则不等式的解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____． 15. 已知数列满足，该数列的前项和为，则下列论断中正确的有_________. ① ② ③非零常数，使得 ④ ，都有 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数（，）的图象过点，且． （1）求，的值； （2）求曲线过点的切线方程． 17. 设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在上的最大值是，求的值． 19. 已知函数的极值点构成数列(). （1）求； （2）求证：数列等差数列； （3）求数列的前项和. 20. 已知函数． （1）若在处有极值，求值； （2）当时总是在轴上方，求取值范围； （3）写出的零点个数（结论不要求证明）． 21. 对于无穷数列、，，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项．已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”． （Ⅰ）写出数列的“收缩数列”； （Ⅱ）证明：数列的“收缩数列”仍是； （Ⅲ）若，求所有满足该条件的数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024--2025学年度第二学期高二年级数学期中练习 考试时间 120 分钟 总分：150分 2025.4 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 10 B. 17 C. 21 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出公差，再应用等差数列通项公式即可求出. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以. 故选：B 2. 若，则的值可以是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数的性质即可求解. 【详解】由可得或，解得或， 故选：A 3. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（      ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的定义及几何意义求解即可. 【详解】由题意得，则， 得到曲线在点处的切线的斜率是3，故B正确. 故选：B 4. 已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知及等比数列的定义可得结果. 【详解】因为为等比数列且通项公式为， 所以公比， 故选：A. 5. 某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ） A. 24种 B. 10种 C. 9种 D. 15种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有中选择； 所以共有种选择. 故选：D 6. 已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次作出在处的切线，根据切线倾斜角的大小进行判断即可. 【详解】依次作出在处的切线， 如图所示．根据图形中切线的斜率可知． 故选：A． 7. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，通过求导分析函数在上单调递减，在上单调递增，故由“”可得“”，举反例可说明由“”不能得到“”，以此可确定选项. 【详解】设，，则， 由得，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，，即成立. 当成立时，可能有，，此时. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导函数，令恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值. 【详解】，令，得， 令， 若函数在上单调递减，则， 当时，， 所以函数在上单调递增，则， 所以. 故选：C 9. 已知在数列中，，则的前项中的最大项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数是减函数，结合递推公式分析即可得解. 【详解】因为，所以函数是减函数， 因为，所以，即， 由函数是减函数，， 得，即， 由函数是减函数，， 得，即， 由函数是减函数，， 得，即， 以此类推，可知数列的最大项为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据指数函数是减函数，结合递推公式类推，是解决本题的关系. 10. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增 C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值 【答案】D 【解析】 【分析】首先理解函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后举反例设可判断A错误；设可得B错误；设可得C错误；由函数单调性的定义可以判断D正确. 【详解】函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率； 对于A：因为是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增， 所以设，则，此时为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A错误； 对于B：设， 由图象可知， 当时，随增大，点与点连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但在不是单调函数，故B错误； 对于C：因为对于任意实数存在实数，使得，说明为有界函数，所以设， 函数在上有界，但当且x趋近于-2时、、且x趋近于2时导函数无界，故割线的斜率不一定有界，如图 当点向点靠近时，割线的斜率近似等于点处切线的斜率，故C错误； 对于D：因为函数满足：当时，， 即， 因为，，所以； 同理，当时，， 即， 因为，，所以； 所以为的最小值，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数表达的是函数图像上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中，的系数为______． 【答案】24 【解析】 【分析】利用二项式定理求解指定项的系数即可. 【详解】由二项式定理得通项为， 令，解得，则的系数为. 故答案为：24 12. 若函数的图象在点处的切线垂直于轴，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，利用处的导数值为0列式求解的值即可. 【详解】因为函数的图象在点处的切线垂直于轴， 由，可得， 所以由题意得，解得. 故答案为： 13. 在数列中，已知，则的前10项和为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件表示出的前10项和，再由等比数列求和公式得到答案即可. 【详解】因为，所以， ，， ，， 则的前10项和为. 故答案为： 14. 已知函数，若，则不等式解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】第一空：直接代入，分和解不等式，再取并集即可；第二空：将题设转化为和的实数根的个数为2，分、和依次讨论根的情况，即可求解. 【详解】第一空：若，则，当时，由解得，则； 当时，由，解得，则；综上可得不等式的解集为； 第二空：恰有两个零点等价于和的实数根的个数为2. 当时，显然无解；解得（舍去），也无解，不合题意； 当时，显然无解；的判别式，设的两根为， 则，显然两根一正一负，即有1个实根，不合题意； 当时，令的对称轴为，则在单减，则，则无解； ，显然时不成立，则，令，则，显然在上单减，在单增， 则，又，，则时，有2个根，即恰有两个零点； 综上：. 故答案为：；. 15. 已知数列满足，该数列的前项和为，则下列论断中正确的有_________. ① ② ③非零常数，使得 ④ ，都有 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由已知项计算判断①；由已知递推关系化简计算判断②；由已知递推关系总结数列的规律，再结合反证法判断③；由已知递推关系找到前项和的规律判断④. 【详解】对于①，由，得，①正确； 对于②，由，， 得，②正确； 对于③，设非零常数，，则， 由题意，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，，则为数列的周期， 同理即也为数列的周期，以此类推，最终可得一个奇数为数列的的周期，不合题意； 所以不存在非零常数，，使得，③错误； 对于④，由，得；由，得； 由，得，，， 因此，， 则当时，， 于是， 所以，④正确. 故答案为：①②④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数（，）的图象过点，且． （1）求，的值； （2）求曲线过点切线方程． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，由， 可得，联立即可得解； （2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解. 【小问1详解】 因为函数的图象过点，所以①． 又，，所以②， 由①②解得，． 【小问2详解】 由（1）知， 设所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 可得， ， ，解得， 所以切点为，切线方程为． 故曲线过点的切线方程为． 17. 设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可. （2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，解得，则或． 又因为，所以，解得，故，． 【小问2详解】 因为，所以， 则. 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在上的最大值是，求的值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，根据导函数的正负，对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）根据上问中函数的单调性，建立方程，求解参数即可. 【小问1详解】 依题意得函数的定义域为， 则，． 当时，在上恒成立， 即函数在上单调递增； 当时，令，则； 令，则； 故函数在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增；在上单调递减． 【小问2详解】 若，由（1）可知，函数在上单调递增， 此时不存在最大值，与题意不符， 若，则函数在上单调递增，在上单调递减， 若要使得函数在上存在最大值，则，即， 且此时最大值为． 令，解得，故a的值为． 19. 已知函数的极值点构成数列(). （1）求； （2）求证：数列是等差数列； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 分析】（1）求出导数并求出极值点即得数列通项，进而求出. （2）利用等差数列定义判断即可. （3）由（2）的结论，利用错位相减法求出前项和. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 因此是函数的极小值点，且是唯一极值点，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，数列的通项公式为，则， 而， 所以数列是等差数列. 【小问3详解】 由（2）知，，则， ， 则， 两式相减，得， 所以. 20. 已知函数． （1）若在处有极值，求的值； （2）当时总是在轴上方，求的取值范围； （3）写出的零点个数（结论不要求证明）． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用极值的性质建立方程，求解参数，再代回检验即可. （2）对参数范围进行讨论，利用导数结合排除法求出参数范围即可. （3）对参数范围进行讨论，并结合零点存在性定理逐个情况求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在处有极值，所以， 解得，此时，， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 此时在处有极值，符合题意. 【小问2详解】 由题意得当时总是在轴上方， 则在上恒成立， 而，当时，， 此时在上单调递增，且， 故此时在上恒成立，满足题意， 当时，我们对的范围分类讨论，当时，解得， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 得到， 令，则令，而， 令，，令，， 故在上单调递增，在上单调递减，且， 则，则，故，与题意不符，故排除， 当时，解得，令，， 此时在上单调递增，且， 故此时在上恒成立，满足题意， 由已知得当时，在上单调递增， 则，故此时在上恒成立，满足题意， 故，综上可得的取值范围为. 【小问3详解】 令，则， 当时，，此时在上单调递增， 而，故此时有一个零点， 当时，由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，故此时有一个零点， 当时，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，则在上有一个零点， 得到， 由已知得，故，当时，， 则由零点存在性定理得在上有一个零点， 故此时有两个零点， 当时，令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 而，则在上有一个零点， 由已知得， 同理可得，当时，， 则由零点存在性定理得在上有一个零点， 故此时有两个零点， 综上可得，当或时，有一个零点， 当且时，有两个零点. 21. 对于无穷数列、，，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项．已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”． （Ⅰ）写出数列的“收缩数列”； （Ⅱ）证明：数列的“收缩数列”仍是； （Ⅲ）若，求所有满足该条件的数列． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ），． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据定义求出； （Ⅱ）首先证明满足，然后根据定义求的“收缩数列”即可证； （Ⅲ）由已知等式，得，时得，时，，否定和后证得，因此猜想，．然后进行证明，用反证法：假设是首次不符合的项，则，分三种情况否定：，，． 【详解】解：（Ⅰ）由可得为递增数列，所以， 所以． （Ⅱ）因为， ， 所以， 所以． 又因为，所以， 所以的“收缩数列”仍是． （Ⅲ）由可得 当时，； 当时，，即，所以； 当时，，即（*）， 若，则，所以由（*）可得，与矛盾； 若，则，所以由（*）可得， 所以与同号，这与矛盾； 若，则，由（*）可得. 猜想：满足的数列是： ．． 经验证，左式， 右式. 下面证明其它数列都不满足题设条件. 由上述时的情况可知，时，是成立的. 假设是首次不符合的项，则， 由题设条件可得（*）， 若，则由（*）式化简可得与矛盾； 若，则，所以由（*）可得 所以与同号，这与矛盾； 所以，则，所以由（*）化简可得. 这与假设矛盾. 所以，所有满足该条件的数列的通项公式为，． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是理解新定义，并能应用新定义求解．难点是第（Ⅲ）小题，求满足条件的数列，采取从特殊到一般，归纳与猜想、证明的思路求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$