精品解析： 广东省广州市广大附中大学城校区大奥班2024～2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

广大附中2024-2025学年初二下数学期中考试问卷（奥） 考试时间：120分钟 满分120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 如果，，那么下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 2. 在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ） A. 样本的容量是4 B. 样本的中位数是3 C. 样本的众数是3 D. 样本的平均数是3.5 3. 若关于x的方程无解，则m的值为（ ） A. 1 B. 1或3 C. 1或2 D. 2或3 4. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　） A. B. C. D. 6. 已知抛物线（为常数，）上有四个点，若四个数中有且只有一个数大于0，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）． A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 9. 如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①ΔOAE≅ΔOBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④=−1；⑤SΔPBC：SΔAFC=1：2，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是_________． 12. 如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为15米，则大树的高为______米．（结果保留根号） 13. 如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为______ ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在反比例函数的图象上，点为轴上任意一点．则的面积为______ 15. 如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，动点P的坐标为．若动点P在的内部（不包括边上），则a的取值范围为______． 16. 如图，正方形边长为a，点E是正方形内一点，满足，连接．给出下面四个结论：①；②；③的度数最大值为；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号为___________． 三、计算题（共72分） 17. 先化简，再求值：，其中，选取一个合适的整数． 18. 某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： （1）________，所对应的扇形圆心角是________； （2）请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” （3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 19. 小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 20. 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号） （1）求此时小区楼房的高度； （2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？ 21. 如图，已知为直径，是的弦，的平分线交于D． （1）尺规作图：过点D作交的延长线于点E，交于点F． （2）求证：是的切线； （3）若，求的长． 22. 如图，在中，， （1）求度数． （2）点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． （3）在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，过点P作于点Q，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的平行线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广大附中2024-2025学年初二下数学期中考试问卷（奥） 考试时间：120分钟 满分120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 如果，，那么下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据，得到，，然后利用二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则逐个作出判断即可． 【详解】解：，， ，． ，无意义，①错误； ，②正确； ，③正确； ，④错误； 正确的有②③， 故选：B． 2. 在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ） A. 样本的容量是4 B. 样本的中位数是3 C. 样本的众数是3 D. 样本的平均数是3.5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据方差的计算公式得出样本数据，从而可得样本的容量，再根据中位数与众数的定义、平均数的计算公式逐项判断即可得． 【详解】由方差的计算公式得：这组样本数据为 则样本的容量是4，选项A正确 样本的中位数是，选项B正确 样本的众数是3，选项C正确 样本的平均数是，选项D错误 故选：D． 【点睛】本题考查了中位数与众数的定义、平均数与方差的计算公式等知识点，依据方差的计算公式正确得出样本数据是解题关键． 3. 若关于x的方程无解，则m的值为（ ） A. 1 B. 1或3 C. 1或2 D. 2或3 【答案】B 【解析】 【分析】先将分式方程化成整式方程，再分①整式方程无解，②关于的方程有增根两种情况，分别求解即可得． 【详解】解：将方程化成整式方程为，即， 因为关于的方程无解， 所以分以下两种情况： ①整式方程无解， 则，解得； ②关于的方程有增根， 则，即， 将代入得：，解得； 综上，的值为1或3， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键． 4. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H， ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 5. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长． 6. 已知抛物线（为常数，）上有四个点，若四个数中有且只有一个数大于0，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意求出对称轴，根据四个数中有且只有一个数大于0，得到不等式，进行计算即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为， 关于对称轴的对应点为， ， 抛物线与轴的交点为， 关于对称轴的对应点为， 若四个数中有且只有一个数大于0， 当时，在对称轴左侧随的增大而减小， 故， ， 解得， 当时，在对称轴左侧随的增大而增大， 四个数全都大于，不符合题意； 故选B． 7. 如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，然后过点A作于E，求出，点D的横坐标为，再根据列式求出，进而可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：由题意，设， ∵过原点， ∴， 过点A作于E， ∵是等腰三角形， ∴， ∴，点D的横坐标为， ∵底边轴，轴， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知识，设出点B坐标，正确表示出点D的坐标是解题的关键． 8. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）． A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， ， ． ， ∵， ． 当，时，直线经过第一、三、四象限， 当，时，直线经过第一、二、四象限， 综上所述，一定经过一、四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式． 9. 如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 10. 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①ΔOAE≅ΔOBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④=−1；⑤SΔPBC：SΔAFC=1：2，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】证明△AHG≌△AHB（ASA），得出AF是线段BG的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质和正方形的性质即可得出②正确；设OA=OB=OC=a，由菱形和正方形的性质得出OA=OB，证出∠OAE=∠OBG，由ASA证明△OAE≌△OBG，可得出①正确；求出OG=OE=a-b，由平行线分线段成比例定理可得出④正确；证明△EAB≌△GBC（ASA），得出BE=CG，可得出③正确；证明△FAB≌△PBC（ASA），得出BF=CP，则三角形的面积公式，可得出⑤错误；即可得出结论． 【详解】解：∵AF是∠BAC的平分线， ∴∠GAH=∠BAH， ∵BH⊥AF， ∴∠AHG=∠AHB=90°， 在△AHG和△AHB中， ， ∴△AHG≌△AHB（ASA）， ∴GH=BH， ∴AF是线段BG的垂直平分线， ∴EG=EB，FG=FB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAF=∠CAF=×45°=22.5°，∠ABE=45°，∠ABF=90°， ∴∠BEF=∠BAF+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°-∠BAF=67.5°， ∴∠BEF=∠BFE， ∴EB=FB， ∴EG=EB=FB=FG， ∴四边形BEGF是菱形；②正确； 设OA=OB=OC=a，菱形BEGF的边长为b， ∵四边形BEGF是菱形， ∴GF∥OB， ∴∠CGF=∠COB=90°， ∴∠GFC=∠GCF=45°， ∴CG=GF=b，∠CGF=90°， ∴CF=GF=BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°， ∵BH⊥AF， ∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH， ∴∠OAE=∠OBG， 在△OAE和△OBG中， ， ∴△OAE≌△OBG（ASA），①正确； ∴OG=OE=a-b， ∴△GOE是等腰直角三角形， ∴GE=OG， ∴b=（a-b）， 整理得a=b， ∴AC=2a=（2+）b，AG=AC-CG=（1+）b， ∵四边形ABCD是正方形， ∴PC∥AB， ∴=1+， ∵△OAE≌△OBG， ∴AE=BG， ∴=1+， ∴=-1，④正确； ∵∠OAE=∠OBG，∠CAB=∠DBC=45°， ∴∠EAB=∠GBC， 在△EAB和△GBC中， ， ∴△EAB≌△GBC（ASA）， ∴BE=CG，③正确； 在△FAB和△PBC中， ， ∴△FAB≌△PBC（ASA）， ∴BF=CP， ∴，⑤错误； 综上所述，正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根的判别式，概率，先解方程组求出，根据整数解得到a的值，然后利用抛物线与x轴有交点得到，进而得到满足条件a的值，利用概率公式计算解题． 【详解】解方程组得， ∵有整数解， ∴为，，， 解得为，，，，，； 又∵当二次函数与x轴有交点， ∴，且， 解得：且， ∵当时，函数为， 此时函数与x轴有公共点， ∴符合的a的值为，，， ∴概率是， 故答案为：． 12. 如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为15米，则大树的高为______米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形． 如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，设米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点， 则， 在中，， 设米，米， ， ， 米，米， ， （米）， （米）， 答：大树的高度为米． 故答案为：． 13. 如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积问题，掌握割补法求阴影部分的面积，是解题的关键．连接，则，由折叠得，则是等边三角形，可求得，则，根据勾股定理求出，即可由求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，则， 由折叠得， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在反比例函数的图象上，点为轴上任意一点．则的面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质．过点作 轴于点，设的半径为，求出，然后根据三角形的面积公式计算解题． 【详解】过点作 轴于点， 设的半径为， ∵与轴相切于点， ∴轴， ， ∵点C在反比例函数图象上， 当时，， ∴点C的坐标为， 即点A的坐标为， 则， ， 故答案为：. 15. 如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，动点P的坐标为．若动点P在的内部（不包括边上），则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，求出两点坐标，直线上时的函数值，根据动点P在的内部列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，，当时，， ∴， ∵动点P在的内部， ∴且， ∴； 故答案为： 16. 如图，正方形边长为a，点E是正方形内一点，满足，连接．给出下面四个结论：①；②；③的度数最大值为；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号为___________． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】取中点O，连接，，由勾股定理得，然后根据三角形三边关系可判断①不正确；证明点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动，当三点共线，当三点共线时，有最小值，据此可判断②；当与相切时有最大值，证明，得到，，则，再证明，得到，即可判断③④． 【详解】解：取中点O，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，． ∴，故①错误； ∵， ∴点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动， ∴当三点共线时，有最小值， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为，故②正确； 当与相切时,有最大值， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数最大值不是，故③错误； ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E的运动轨迹是解题的关键． 三、计算题（共72分） 17. 先化简，再求值：，其中，选取一个合适的整数． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确运用分式的运算法则进行运算是解题的关键．先化简，再在的取值内选取适当的值代入即可求解． 【详解】解：原式 ， ， ， 当时，原式． 18. 某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： （1）________，所对应的扇形圆心角是________； （2）请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” （3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了统计图表的综合运用（条形图、扇形图）、用样本估计总体以及概率的计算，准确提取图表信息、掌握概率公式是解题关键． （1）先通过“实验人数及对应百分比”求出抽取的总人数，再用总人数减去其他实验的人数得到；利用“实验人数总人数”计算对应的扇形圆心角； （2）先算出样本中“实验”的人数占比，再用该占比乘以九年级总人数，估计喜欢实验的人数； （3）先确定能产生二氧化碳的实验，再通过列表法列出所有取两个实验的可能结果，最后根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为（人）， 选择的学生人数为（人） ， 所对应的扇形圆心角是； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校九年级名学生中有人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石”． 【小问3详解】 解：本次调查的五个实验中，三个实验均能产生二氧化碳， 列表如下， 由列表可知，共有种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的情况有种， （两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）． 19. 小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 【答案】（1） （2） （3）饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设将、代入得 解得 水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为； 【小问2详解】 在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：依据题意，得：即， 故， 当时， 解得：； 【小问3详解】 由（2），结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次， 到经历286分钟，， 当时， 答：饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃． 20. 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号） （1）求此时小区楼房的高度； （2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？ 【答案】（1）此时小区楼房的高度为米 （2）经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线 【解析】 【分析】（1）过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为E，可知四边形为矩形，再根据平行线的性质可证，可得，设米，则根据题意列方程即可求解； （2）当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点C，过点A作，垂足为G，先利用特殊角的三角函数值求出的度数，接着求出的度数，再通过三角函数求得和，进而得到的值，最后除以无人机的速度即可． 【小问1详解】 如图1，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为E， 由作图可知四边形为矩形， ∴， ∵无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为，， ∴， ∴， ∴， 设米， ∴米，且， ∴， ∴， 解得， 经检验，为原方程的解， ∴米， ∴米， 答：此时小区楼房的高度为米； 【小问2详解】 如图2，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点C，过点A作，垂足为G， 由（1）知，米， ∴（米）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∵无人机速度为5米秒， ∴所需时间为（秒）， 答：经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用、三角函数的问题、矩形的判定和性质和平行线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 21. 如图，已知为直径，是的弦，的平分线交于D． （1）尺规作图：过点D作交的延长线于点E，交于点F． （2）求证：是的切线； （3）若，求的长． 【答案】（1） 线段、、点就是所求的图形． （2） 证明：连接，则， ， 的平分线交于 ， ， ， 交的延长线于点， ， 是的半径，且， 是的切线． （3）5 【解析】 【分析】（1）按照基本作图“过一点作已知直线的垂线”的作法，作交的延长线于点，再连接交于点即可； （2）连接，则，而，则，所以，则，即可证明是的切线； （3）作于点，则，可证明，设，由，得，则，再证明，得，则． 【小问1详解】 解：作法：1．延长； 2．以点为圆心，以适当长度为半径作弧交射线于点、； 3．分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点； 4．作射线交的延长线于点； 5．连接交于点， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于点，则 ∵是的切线． ∴ 平分，作于点，交的延长线于点， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的长是5． 【点睛】此题重点考查尺规作图、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，在中，， （1）求度数． （2）点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． （3）在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，则，证明是等边三角形得出，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）得出的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．结合当点在线段上时，线段最小，即可得解； （3）作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求，当、、共线时，的值最小，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：取的中点，连接、，则， ， ，， 是等边三角形 ∴， 又， ∴， ． 【小问2详解】 解：∵到点的距离等于， ∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆． 当在线段上时，线段最小， 由（1）可得， ∴， 即线段长度最小值为 【小问3详解】 解：存在． 作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求． ， 则， 当、、共线时，的值最小， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴ ∴，即的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，过点P作于点Q，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的平行线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标． 【答案】（1） （2）当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为 （3） 【解析】 【分析】1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，作轴交直线于，交轴于点，求出，得到，由平行线的性质可得，解直角三角形可得，即当取得最大值时，也取得最大值，设，则，表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）设交轴于点，由平行线的性质结合折叠的性质可得，即可得出和都是等腰直角三角形，设，则，，求出，得到，代入二次函数解析式计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交直线于，交轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当取得最大值时，也取得最大值， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，此时有最大值为，也取得最大值为， 当时，，即； 当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为； 【小问3详解】 解：如图，设交轴于点， ∵轴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴和都是等腰直角三角形， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，二次函数综合—线段问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $