精品解析：天津市和平区汇文中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷-

2024−2025学年天津市和平区汇文中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个式子中含有二次根式，那么二次根式中的被开方数都必须是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴＞0， 解得x＜3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中被开方数的取值范围的求法，即二次根式中的被开方数是非负数． 3. 下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 5，12，13 C. ，，3 D. 1.5，2，3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 4. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. 2×＝ D. ＝3 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】A.，不能计算，故错误； B.，正确； C.2×不能再化简，故错误； D. ，故错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 5. 如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接 ，若，，则 的长为（　　） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：在中，为斜边上的中线， ， ， ， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 6. 如图，在平行四边形 中，过对角线的交点 ，，，，则四边形的周长是（ ） A. 11 B. 11.5 C. 12 D. 12.5 【答案】C 【解析】 【分析】由在平行四边形 中，过两条对角线的交点 ，证得，则可得，，继而求得四边形的周长． 【详解】解：四边形 是平行四边形， ∴AD//BC，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形的周长是： ， 故选：C． 【点睛】题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 7. 下列给出的条件中，能判定一个四边形是菱形的是（ ） A. 有一组对边平行且相等，有一个角是直角 B. 有一组对边平行且相等，一组邻角相等 C. 有一组对边平行，一组对角相等，两条对角线相等 D. 一组对边平行，一组对角相等，有一组邻边相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定．认识到证明菱形可以先证明它是一个平行四边形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；也可以直接证四条边都相等即可得到答案． 【详解】解：A、有一组对边平行且相等，有一个角是直角，能判定一个四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、有一组对边平行且相等，一组邻角相等，能判定一个四边形是矩形，故本选项不符合题意； C、有一组对边平行，一组对角相等，两条对角线相等，故本选项不符合题意； D、一组对边平行，一组对角相等可以判定是平行四边形，而一组临边相等的平行四边形是菱形，故本选项符合题意． 故选：D 8. 如图，在矩形 中，对角线， 相交于点O，过点C，D分别作 、的平行线交于点E．若，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，，由，可证是等边三角形，再根据，，可证四边形是菱形，即可计算出结果． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴四边形是菱形， ∴菱形的周长为：， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 9. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先证四边形ABCD是菱形，再运用勾股定理求得BO，最后由菱形的面积公式可求解． 【详解】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O， ∵两条纸条宽度相同， ∴AE＝AF． ∵AB//CD，AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE． 又∵AE＝AF． ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD， ∴BO＝＝＝2， ∴BD＝4， ∴四边形ABCD的面积＝＝4． 故选A． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定、菱形的面积，证得四边形ABCD为菱形以及菱形的面积为菱形对角线积的一半是解答本题的关键． 10. 如图，在平行四边形 中，E，F分别为边的中点， 是对角线，下列说法错误的是（ ） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当 平分时，四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，菱形判定，矩形判定等。根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案。 【详解】解：∵平行四边形 ， ∴， ∵E，F分别为边的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，不能得到，故不能判定四边形是菱形，即A选项符合题意， 当时， ∴， ∴四边形是菱形，即B选项不符合题意， 当时，， ∴， ∴四边形是矩形，即C选项不符合题意， 当 平分时，如图，延长 ，交于点， ， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，即D选项不符合题意， 故选：A 11. 如图，点P是 内一点，，,，点D，E，F，G分别是、，、的中点，若四边形的周长为28，则长为（　　） A. 13 B. 9 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，根据三角形的中位线定理得到，，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵ 点D，E，F，G，分别是、，、的中点， ∴，， ∵四边形的周长为28， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 12. 如图，在正方形 中，点P是对角线 上一点（点P不与B、D重合），连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接交 于点G，给出四个结论：①；②；③；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】取 的中点，连接，利用直角三角形性质可得，即，四点共圆，再运用勾股定理即可判断结论①；将绕点 顺时针旋转得到，可证得，即可判断结论②；连接 ，过点 作于，过点 作于，则四边形是矩形，可证得，再结合等腰直角三角形性质即可判断结论③； 【详解】解：如图1，取 的中点，连接， ∵，四边形 是正方形， ， ， ， 四点共圆， ， 在中，， 在中，， ∴；故①正确； 将绕点 顺时针旋转得到，如图2， ， ， 共线， ， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； 连接 ，过点 作于，过点 作于，则四边形是矩形，如图3， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算： （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 ①. ## ②. 20 ③. ## 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键． （1）直接利用二次根式的性质化简得出答案； （2）直接利用二次根式的性质化简得出答案； （3）直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； 故答案为：（1）；（2）；（3）． 14. 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=80°，则∠OAB的大小为_（度）． 【答案】50 【解析】 【分析】根据矩形的性质求出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】解：如图所示： 四边形 是矩形， ，，， ， ； 故答案为：50． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理；解题的关键是熟练掌握矩形的性质，证出． 15. 数学活动中，小伟同学利用一张正方形纸片作如下操作：①如图，先对折正方形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕和线段，．若线段，则线段______ 【答案】 【解析】 【分析】连接，由第一次折叠得，，，由再一次折叠得，可证明是等边三角形，则，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 由第一次折叠得，，， 由再一次折叠得， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、翻折变换的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 16. 若是三角形的三边长，化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，根据三角形三边关系求出的范围，再根据二次根式和绝对值的性质进行化简即可，根据三角形三边关系确定出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：，， 是三角形的三边长， ， 即， ， 故答案为：． 17. 如图，在菱形中，，，点 ， 在上，且，连接，，则的最小值为 ______ 【答案】 【解析】 【分析】解连接，过 作，且，连接．所以四边形是平行四边形，因此，则，即的最小值为，据此解答即可． 【详解】解：连接，交于点 ，过 作，且，连接． 四边形是平行四边形， ， ， 即的最小值为， 四边形是菱形，， ， 又， 在中，， ， ， 在中，， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查菱形的性质和轴对称，勾股定理及平行四边形的判定等知识的综合应用．关键是掌握菱形是轴对称图形，菱形对角线互相垂直且平分． 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形 四个顶点都是格点，是 上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）的长是______； （2） 是与网格线的交点，先画点 关于 的对称点 ，再在 上画点，连接，使 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图−复杂作图，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）利用勾股定理求解； （2）取格点，连接交网格线于点 ，点 即为所求，取格点，连接交 于点，连接，点H即为所求． 【小问1详解】 解： 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，取格点，与格线交于点 ，点N即为所求； 如图所示，取格点，连接交 于点，连接，点H即为所求． 理由：由图可知，与关于直线 对称，即直线 是的垂直平分线， ， ， ，即直线 是的垂直平分线， 点 关于 的对称点为 ， 连接，交 于点， ， ， ， 由图可得， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， , . 三、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式加减运算，二次根式的除法，涉及二次根式性质、合并同类二次根式等知识，熟记二次根式性质及二次根式加减，除法运算规则是解决问题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可得到答案； （2）先由二次根式性质化简，再计算二次根式除法，最后合并同类二次根式即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 20. 如图，在中，的平分线交于，． （1）求、的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得对角相等，，得同旁内角互补，即可求出、的度数； （2）根据平行四边形的性质，得，内错角相等，等量代换，再根据等角对等边，即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形 是平行四边形 ∴， ∴ 又∵的平分线交于， ∴ ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形 是平行四边形 ∴，， ∴ ∵的平分线交于 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的知识、平行线的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质，等角对等边，平行线的性质． 21. 如图，在平行四边形 中，，E，F是对角线 上的点，且，连接，， ，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：如图，设交 于点O，    ∵，四边形 是平行四边形， ∴平行四边形 是菱形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 连接，交 于点O，证明平行四边形 是菱形，得，再证明，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】略 22. 如图，菱形的对角线相交于点O，，． （1）连接，求证：四边形是矩形； （2）若，，则______，______． 【答案】（1）见解析 （2）4，5 【解析】 【分析】（1）先根据，证得四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得出，即可得出结论； （2）先由菱形的性质得出，，再由矩形的性质得出，，然后由勾股定理即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， 由（1）得：四边形是矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：4，． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 23. 如图1，中，， （1）如图2，点是边上一点， 沿着折叠，点恰好与斜边上点 重合，求的长． （2）如图3，点为斜边上上动点，连接，在点的运动过程中，若为等腰三角形，请直接写出AF的长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，则，根据折叠的性质得出，，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解； （2）根据等腰三角形的定义，分类讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：设，则 ∵， ∵ 沿着折叠，点恰好与斜边上点 重合 ∴，， ∴ 在中， ∴ 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等腰三角形， ①， ∴， ②当时，如图， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ③∵点为斜边上上动点，所以不存在， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，掌握分类讨论思想是解题的关键． 24. 如图，在中，和的角平分线与交于点，且点恰好在边上． （1）若，，求的长______． （2）点为的中点，连接，交于点，求证： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、角平分线的定义、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，能够添加合适的辅助线是解题的关键． （1）首先证明，，再利用勾股定理求解； （2）取BE的中点T，连接，通过证明四边形是平行四边形，得出，可得结论． 【小问1详解】 解：四边形 是平行四边形，， ，， ，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ，，， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图所示，取的中点T，连接，连接 ，， ，， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ． 25. 已知：四边形 是正方形，点E在边上，点F在 边上，且． （1）如图1，与有怎样的关系，写出你的结果，并加以证明； （2）如图2，对角线与 交于点O， ，分别与，交于点G，点H． ①求证：； ②连接，若，，求的长． 【答案】（1）；；理由见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，由证明，得出，然后求出， 再求出，然后根据垂直的定义解答即可； （2）①根据正方形的对角线互相垂直平分可得，，对角线平分一组对角可得，然后求出，由证明，即可得出； ②过点O作于M，作于N，根据全等三角形的性质可得：，再由证明，可得，然后证出四边形是正方形，求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据正方形的性质求出即可． 【小问1详解】 解：，；理由如下： ∵四边形 是正方形， ∴，， ∵在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①证明：∵四边形 是正方形， ∴，，， ∴， 由（1）知， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． ②解：过点O作于M，作于N，如图所示， 则， 又∵， ∴， ∴四边行是矩形． ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． ∵， ∴， ∵， ∴． 在中，， ∴正方形 的边长为： ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构造出全等三角形和以为对角线的正方形是解题的关键，也是本题的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年天津市和平区汇文中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 3. 下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 5，12，13 C. ，，3 D. 1.5，2，3 4. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. 2×＝ D. ＝3 5. 如图，在 中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接 ，若，，则 的长为（　　） A. B. C. 4 D. 6. 如图，在平行四边形 中，过对角线的交点，，，，则四边形的周长是（ ） A. 11 B. 11.5 C. 12 D. 12.5 7. 下列给出的条件中，能判定一个四边形是菱形的是（ ） A. 有一组对边平行且相等，有一个角是直角 B. 有一组对边平行且相等，一组邻角相等 C. 有一组对边平行，一组对角相等，两条对角线相等 D. 一组对边平行，一组对角相等，有一组邻边相等 8. 如图，在矩形 中，对角线， 相交于点O，过点C，D分别作 、的平行线交于点E．若，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 9. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　） A. B. C. D. 5 10. 如图，在平行四边形 中，E，F分别为边的中点， 是对角线，下列说法错误的是（ ） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当 平分时，四边形是矩形 11. 如图，点P是 内一点，，,，点D，E，F，G分别是、，、的中点，若四边形的周长为28，则长为（　　） A. 13 B. 9 C. 5 D. 4 12. 如图，在正方形 中，点P是对角线 上一点（点P不与B、D重合），连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接交 于点G，给出四个结论：①；②；③；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算： （1）______； （2）______； （3）______． 14. 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=80°，则∠OAB的大小为_（度）． 15. 数学活动中，小伟同学利用一张正方形纸片作如下操作：①如图，先对折正方形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕和线段，．若线段，则线段______ 16. 若是三角形的三边长，化简______． 17. 如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为 ______ 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形 四个顶点都是格点，是 上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）的长是______； （2）是与网格线的交点，先画点关于 的对称点，再在 上画点，连接，使 三、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，在 中，的平分线交于，． （1）求、的度数； （2）若，，求 的长． 21. 如图，在平行四边形 中，，E，F是对角线 上的点，且，连接，， ， ．求证：四边形是菱形． 22. 如图，菱形的对角线相交于点O，，． （1）连接，求证：四边形是矩形； （2）若 ，，则______，______． 23. 如图1，中，， （1）如图2，点是边上一点， 沿着折叠，点恰好与斜边上点 重合，求 的长． （2）如图3，点为斜边上上动点，连接，在点的运动过程中，若为等腰三角形，请直接写出AF的长． 24. 如图，在 中，和的角平分线与交于点，且点恰好在边上． （1）若，，求的长______． （2）点为的中点，连接，交于点，求证： 25. 已知：四边形 是正方形，点E在边上，点F在 边上，且． （1）如图1，与有怎样的关系，写出你的结果，并加以证明； （2）如图2，对角线与 交于点O， ，分别与，交于点G，点H． ①求证：； ②连接，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $