专题10 分式全章必考点训练（12个知识点+37种题型+170道题）-【名校压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题精讲精练（浙教版2024）

第五章 分式全章必考点训练（12个知识点+37种题型+170道题） 5.1 分式 2 知识点1 分式的概念 2 题型01 分式的识别（基础） 3 题型02 根据要求列分式（基础） 4 知识点2 分式有、无意义的条件 6 题型03 分式有、无意义的条件（基础） 6 知识点3 分式的值为0的条件 8 题型04 分式的值为0的条件（基础） 9 题型05 根据分式值的情况求字母参数取值范围（中档） 11 题型06 求使分式的值为整数时字母的的整数值（中档） 12 题型07 分式求值（培优） 14 5.2 分式的基本性质 16 知识点4 分式的基本性质 16 题型08 判断分式变形是否正确（基础） 16 题型09 利用分式的基本性质判断分式值的变化（基础） 19 知识点5 分式的约分 21 题型10 最简分式（基础） 21 题型11 约分（基础） 23 知识点6 分式的通分 26 题型12 最简公分母（基础） 26 题型13 通分（基础） 28 题型14 将分子分母的最高次数项化为正数（基础） 31 题型15 将分式的分子分母各项系数化为整数（基础） 33 5.3 分式的乘除 34 知识点7 分式的乘除 34 题型16 分式的乘除与乘方运算（基础） 35 5.4 分式的加减 38 知识点8 分式的加减 38 题型17 分式的加减--同分母分式运算（基础） 39 题型18 分式的加减--异分母分式运算（基础） 42 题型19 分式的加减--分式与整式相加（基础） 47 题型20 整数指数幂运算（基础） 49 题型21 科学计数法表示绝对值小于1的数（基础） 53 知识点9 分式的混合运算 55 题型22 分式的混合运算（中档） 55 题型23 已知分式恒等式确定分子或分母（中档） 60 题型24 分式的化简求值--先化简再求值（中档） 62 题型25 分式的化简求值--整体代入求值（中档） 64 题型26 分式的化简求值--选择代入求值（中档） 66 5.4 分式方程 69 知识点10 分式方程 69 题型27 分式方程的辨别（基础） 69 知识点11 解分式方程 71 题型28 分式方程的一般解法（基础） 72 题型29 分式方程的增根问题（中档） 79 题型30 分式方程无解问题（中档） 81 题型31 由分式方程解的情况求字母的范围（中档） 84 知识点12 分式方程的应用 86 题型32 根据题意列分式方程（基础） 87 题型33 分式方程的应用--行程问题（中档） 89 题型34 分式方程的应用--工程问题（中档） 94 题型35 分式方程的应用--销售问题（中档） 98 题型36 分式有关规律探究问题（培优-创新题） 102 题型37 阅读理解与新定义（培优-创新题） 108 考点清单 5.1 分式 知识点1 分式的概念 1.一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。分式中，A叫做分子，B叫做 分母 。 2.一个式子是分式需要满足的三个条件： (1)形如；(2)A，B都为整式；(3)分母B中含有字母。 说明：分式是一种表达形式，如是分式，,若不是的形式，那就不能算是分式了，如：(x+1)÷(x+2),它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但若用负指数次幂表示的某些代数式，如(a+b)-2，则为分式。因为=仅为分式是一种数学上的规定,而非一种运算形式。 注意： (1)判断一个式子是不是分式,关键是看它的分母中是否含有字母,π除外。 (2)分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母。从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不看化简后的。 专项练习 题型01 分式的识别（基础） 1．在式子，，，，，，中，分式的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式A、B，且B中含有字母，则形如的式子叫做分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：在式子，，，，，，中，分式为、、，共3个， 故选：A． 2．下列有理式、、、、中，是分式的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式． 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：、、中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式， 、的分母中含有字母，因此是分式，共2个． 故选：B． 3．下列代数式：，，，，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母中含有字母的式子是分式即可得出答案，熟练掌握分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：， ，，是分式，共个， 故选：C． 4．在，，，，，中，分式的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．熟练掌握分式的定义是解答本题的关键． 【详解】解：在所列代数式中，分式有，，，，共4个． 故选：D． 5．在下列式子：，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，的分母中含有字母，属于分式，其它的属于整式． 故选：B． 题型02 根据要求列分式（基础） 6．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是按要求构造分式，解题关键是正确理解题意并列出分式． 先由题意得出该汽车在其它路段行驶的平均速度，再由时间路程速度即可得出汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间． 【详解】解：依题得：该汽车在海底隧道行驶的平均速度为， 则该汽车在其它路段行驶的平均速度为， 汽车通过海底隧道所用的时间为小时，汽车通过其他路段所用的时间为小时， 该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为小时． 故选：． 7．春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．求出原计划用的天数，再求出实际用的天数，作差即可． 【详解】解：由题意得，原计划用的天数为天，实际用的天数为天， 这些消毒液提前天用完． 故选：C． 8．甲、乙两地相距千米，高速列车原计划每小时行驶千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，找已知量，确定数量关系，列方程是解题关键． 【详解】解：甲、乙两地相距千米，原计划每小时行驶千米， 原计划所需时间为：小时， 实际每小时降速千米， 实际每小时行驶千米， 实际所需时间为：小时， 列车从甲地到乙地所需时间比原来增加：小时． 故选：C． 9．某防疫封控小区进行全员核酸筛查，计划m个人a天完成任务，照这样计算，若减少n个人时，完成工作所要的天数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先表示出一个人每天的工作量是，则个人一天的工作是：，则完成这件工作所要的天数即可表示出来． 【详解】． 故选：C 【点睛】本题主要考查了列代数式，把总工作量当作1，正确表示出一个人每天的工作量是解决本题的关键． 10．在一次数学测验中，甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分，则这两个班的总平均成绩为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】先求出两班的总分，再运用求平均数公式即可求出平均成绩． 【详解】解：∵甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分， ∴两班在这次测验中的总分为：分， ∴两班在这次测验中的总平均分是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键． 知识点2 分式有、无意义的条件 1.分式有意义的条件：分式的分母 不等于 0。 2.分式无意义的条件：分式的分母 等于 0。 说明： (1)因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0。 (2)分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用。 注意：分母不为0，并不是分母中的字母不能为0，是表示分母的式子的值不能为0。 专项练习 题型03 分式有、无意义的条件（基础） 11．下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件分析四个选项哪个方式分母不为零，进而可得答案． 【详解】A、 ， ，则，无论 取何值，分式都有意义，故此选项符合题意； B、当时，分式分母，分式无意义，故此选项不符合题意； C、当时，分式分母，分式无意义，故此选项不符合题意； D、当时，分式分母，分式无意义，故此选项不符合题意． 故选：A． 12．要使分式有意义，则应满足（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，据此判断即可， 当分母不为0时，分式有意义． 【详解】解：由题意可得， 且， 且． 故选：D． 13．当时，分式无意义，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式无意义，分母等于0分别列方程求解即可． 【详解】∵当时，分式无意义， ∴当时，， 代入得，解得， 故答案为：． 14．按要求填空． （1）分式有意义时，的取值范围是 ． （2）分式无意义时，的值是 ． （3）分式的值为0时， ． 【答案】 0 【解析】略 15．没有意义的实数解共有（   ）个 A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了分式没有意义的条件．根据“分式没有意义，分母等于0”列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得， 解，得； 解，得； 解，得； 综上，共有4个解， 故选：C． 知识点3 分式的值为0的条件 1.当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为 0 。 2.分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式的值为0的条件是 A=0 且 B≠0 ,两者缺一不可。 方法：使分式的值为0，求字母的值的解题方法 先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值为0，当分母的值不为0时，这个值就是所求的字母的值。 专项练习 题型04 分式的值为0的条件（基础） 16．若分式的值是零，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据“分式的值为零，需同时具备两个条件分子为0，分母不为0”列式计算即可求解． 【详解】解：因为分式的值为零， 所以，， 解得：． 故答案为：． 17．已知分式的值为0，则x的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 18．当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式值为0分子为0，分母不为0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴时，分式的值为0． 故答案为：2． 19．对于分式 当 时，分式有意义；当 时，分式无意义；当 时，分式的值为． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为的条件，完全平方公式，利用开平方解方程，熟练掌握分式有意义的条件，分式的值为的条件，以及完全平方公式是解题的关键．利用分式有意义的条件是分式的分母不等于零，分式的值为的条件是分式的分子为零且分母不为零，结合完全平方公式和开平方解方程求解即可． 【详解】解：由分式有意义， ∴， 即， 解得：， ∴时分式有意义，时分式无意义； 由分式的值为， ∴，且， 即，且， 解得：， 故答案为：；；． 20．若分式的值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件，熟练掌握“分式的值为零，必须同时具备两个条件，即分子为零，分母不为零”是解题关键． 根据题意，由分式的值为零的条件即可求出的值． 【详解】解：根据题意，得：， ， 解得：或， ， 且， ． 故答案为：． 题型05 根据分式值的情况求字母参数取值范围（中档） 21．若分式的值是负数，则的取值范围是（    ）. A． B．或 C．且 D．或 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可． 【详解】∵是负数， ∴或 ∴或. 故选D. 【点睛】此题考查分式的值，解题关键在于掌握运算法则 22．若分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，根据分式的值为负数，绝对值为非负数，得到且，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴； 故答案为：． 23．若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由分式的值为正数，得到，，即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴，， 解得且， 即x的取值范围是且． 故答案为：且 【点睛】此题考查了分式的性质，熟练掌握两数相除，同号得正，异号得负是解题的关键． 24．若分式的值为负数，则x的取值范围是 . 【答案】x<3. 【分析】将原题中的分式的分子配方，得到分子的值恒大于0，根据值为负数得到分母必小于0，进而得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范围． 【详解】= ， ∵(x+1) ⩾0，∴(x+1) +2>0， 根据题意得：x−3<0，解得：x<3. 故答案为x<3. 【点睛】此题考查了配方法的利用以及对不等式解法的掌握．利用配方判断得到分式的分子恒大于0是解本题的关键． 25．若分式的值恒为负值，试求x的取值范围. 【答案】． 【分析】首先要使分式有意义，然后再进一步通过约分化简分式，此时若分式的值恒为负值，则分子、分母异号，进而求解． 【详解】首先x2+4x+4≠0，(x+2)2≠0，x≠−2.又， 要使其值为负值，则x+2<0， 解得x<−2. 【点睛】本题考查分式和完全平方公式，解题的关键是用完全平方公式化简. 题型06 求使分式的值为整数时字母的的整数值（中档） 26．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【答案】4 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 27．使得为整数的自然数的个数为 个． 【答案】6 【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数且x为自然数， ∴或2或3或4或6或12， ∴或1或2或3或5或11， 共6个， 故答案为：6． 28．若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 题型07 分式求值（培优） 29．分式，则分式的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的求值，根据题意得出是解决问题的关键．先根据题意得出，再代入分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ； 故选：A． 30．已知实数满足并且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是已知条件式求解分式的值，由条件可得，，，可得，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 31．已知：，则 . 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，比例式的正确利用是解题关键．根据，设，，代入式子化简即可． 【详解】解： ， 设，， ． 故答案为：． 32．已知，那么的值为 ． 【答案】/0.125 【分析】本题考查分式的求值，利用设参法进行求解即可．熟练掌握设参法，是解题的关键． 【详解】解：设，则：， ∴； 故答案为：． 33．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，因式分解，先由分式有意义的条件得到，再由推出，把代入所求式子中化简求解即可． 【详解】解：∵分式要有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 5.2 分式的基本性质 知识点4 分式的基本性质 1.分式的分子与分母都乘(或除以)同一个 不等于零 的整式，分式的值 不变 。 2.用式子表示为 = ， = (其中M是不等于零的整式）。 3.利用分式的基本性质可解决的问题 (1)分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分式的基本性质可以将分式的分子、分母中的系数化为整数。 (2)解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母分别为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号。 (3)处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的。 注意： (1)运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式值的大小，只改变其形式。 (2)运用分式的基本性质时，要注意限制条件M≠0和隐含条件B≠0。 (3)分子和分母是多项式时，要把分子和分母分别看成一个整体。 专项练习 题型08 判断分式变形是否正确（基础） 34．下列等式中，成立的是（   ） A． B． C． D．（且） 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A. ，故此选项不符合题意； B. ，故此选项不符合题意； C. ，故此选项符合题意； D. （且），故此选项不符合题意； 故选C． 35．下列式子中，从左往右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质“分式的分子分母同乘除一个不为的数或代数式，分式的值不变”逐项判断即可． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项符合题意； 故选：D． 36．下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，特别要注意同乘或同除的数或整式是否为0． 根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或整式，分式的值不变，即可得出答案． 【详解】解：选项A、D是分子、分母同加或同减，不符合分式的基本性质，故选项A、D错误； b有可能为0，故选项B错误； 分式的分子和分母同乘，且，符合分式的基本性质，故选项C正确． 故选C． 37．下列变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A. ，可能为0，此选项错误，不符合题意；     B. ，此选项正确，符合题意；     C. ，此选项错误，不符合题意； D. ，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 38．下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，依次分析各个选项，即可求出答案． 【详解】解：A、，变形正确，符合题意； B、，变形错误，不符合题意； C、，变形错误，不符合题意； D、的分子和分母不能约分，，变形错误，不符合题意； 故选：A． 题型09 利用分式的基本性质判断分式值的变化（基础） 39．若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．不变 D．缩小4倍 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的分别用替换，再约分化简即可得到答案． 【详解】解：把分式中和的值都扩大2倍后变形为， ∴分式的值不变， 故选：C． 40．将分式中的和都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小到原来的一半 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案． 【详解】解：； 分式的值不变； 故选：A 41．如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，则的内容可能是（　　） A．4 B． C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：当表示4时，，它的值与原分式的值相等，故A不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的4倍，故B不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的2倍，故C符合题意； 当表示9时，，它的值与原分式的值相等，故D不符合题意； 故选：C． 42．分式中的x，y的值都扩大到原来的10倍，则分式的值为（    ） A．扩大为原来10倍 B．不变 C．缩小为原来的倍 D．缩小为原来的倍 【答案】C 【分析】本题考查利用分式的性质判断分式值的变化，利用分式的性质即可求解． 【详解】解：将的值均扩大为原来的10倍后： 故分式的值缩小为原来的． 故选：C． 43．若把分式的，同时扩大5倍，则分式的值也扩大5倍，则“□”可以是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，x和y都扩大5倍，则扩大到原来的25倍，要使分式的值也扩大5倍，则扩大到原来的5倍，即可解答，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【详解】解：∵x和y都扩大5倍， ∴扩大到原来的：倍， ∵分式的值也扩大5倍， ∴扩大到原来的5倍， ∵x扩大5倍， ∴“□”也要扩大到原来的5倍， ∴“□”可以是， 故选：B． 知识点5 分式的约分 1.把一个分式的分子和分母的 公因式 约去，叫做分式的约分。约分要约去分子、分母所有的公因式。分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。 2.确定公因式的方法 确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： (1)定系数：即确定各项系数的最大公约数； (2)定字母：即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)； (3)定指数：即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂。 注意：对分式进行约分时，一般先分别对分子、分母进行因式分解。 专项练习 题型10 最简分式（基础） 44．分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最简分式的定义分析即可． 【详解】解：，，故不是最简分式，不符合题意； ，是最简分式，符合题意； 故选C． 45．分式中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握等式的性质是解题的关键． 直接利用分式的性质性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案． 【详解】解：∵，∴不是最简分式； ∵，∴是最简分式； ∵，∴不是最简分式； ∵，∴不是最简分式． ∴最简分式有1个． 故选：Ａ． 46．分式，，，，中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，约分的计算，掌握分式的性质是关键． 如果一个分式中没有可约的因式，则为最简分式，结合分式的性质即可求解． 【详解】解：是最简分式， ，原分式不是最简分式， 是最简分式， 是最简分式， ∴最简分式的有3个， 故选：C ． 47．下列分式，，，，中，最简分式的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质和最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．根据最简分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，，，这三个不是最简分式， 所以最简分式有：，共2个， 故选：B． 48．在分式，，，中，最简分式有 个 【答案】2 【分析】本题考查最简最简分式，最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答． 【详解】解：，故不是最简分式； ，故不是最简分式； ，不能继续化简，是最简分式． ∴最简分式有2个． 故答案为：2． 题型11 约分（基础） 49．约分： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式． （1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：；． 50．化简： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分； （1）直接约分即可求解； （2）先把分子分母因式分解，再约分； （3）先把分子分母因式分解，再约分． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． （3） 故答案为：． 51．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题考查分式化简，涉及因式分解、约分等知识，熟练掌握分式运算法则是解决问题的关键． （1）直接约分即可得到答案； （2）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案； （3）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案； （4）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 52．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到答案； （2）分子分母同时约去公因式即可得到答案； （3）先提取公因式，再约分即可得到答案； （4）先提取公因式，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 53．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到答案； （2）分子分母同时约去公因式即可得到答案； （3）先提取公因式，再约分即可得到答案； （4）分子和分母分别利用提取公因式法和完全平方公式法分解因式，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 知识点6 分式的通分 1.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母 的分式，叫做分式的通分。 2.几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的 积 为公分母，它叫做 最简公分母 。 3.通分的步骤：(1)求各分式的最简公分母；(2)用这个最简公分母除以分式的分母；(3)用所得的商去乘原各分式的分子、分母。 注意：分母互为相反数时，每个分母都可以作为最简公分母。 专项练习 题型12 最简公分母（基础） 54．分式，，的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的最简公分母；先把各分式的分母进行因式分解，找出所有因式的最高次幂的乘积即是最简公分母． 【详解】解：， 故最简公分母为：； 故答案为：． 55．、的最简公分母是 ；与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的概念解答即可． 【详解】解：，，的最简公分母是， ， 与的最简公分母是， 故答案为：；． 56．分式和的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查求最简公分母，利用三定法：系数的最小公倍数，所有字母的最高次幂，进行求解即可． 【详解】解：分式和的最简公分母是； 故答案为：． 57．直接写出下列各组分式的最简公分母： (1)；__________；(2)；__________；(3)；__________ (4)；__________；(5)．__________ 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5) 【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． （1）（2）（3）（4）（5）根据最简公分母的定义求解即可． 【详解】（1）的最简公分母． 故答案为：； （2）的最简公分母． 故答案为：； （3）的最简公分母． 故答案为：； （4）的最简公分母． 故答案为：； （5）的最简公分母． 故答案为：． 题型13 通分（基础） 58．已知（过中A、B均为常数），则 ， ． 【答案】 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求． 【详解】解： ， ， 解得． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分． 59．通分： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质． （1）根据通分的定义把分式变形即可； （2）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：，，． 60．求出下列各组分式的最简公分母． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了最简公分母，掌握确定最简公分母的方法是本题的关键． 根据确定最简公分母的方法是：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母分别找出最简公分母． （1）分母和，系数和的最小公倍数，的最高次，的最高次，所以最简公分母是； （2）分母，，，系数、3、4的最小公倍数是12，的最高次3，的最高次1，的最高次2，所以最简公分母； （3）分母、、，统一为的幂，取最高次幂，所以最简公分母是； （4）分解后的分母是，，和，因此，它们的最简公分母是． 【详解】（1）解：和的最简公分母是； （2）解：的最简公分母是； （3）解：的最简公分母是； （4）解：的最简公分母是． 61．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)． (2)， (3)，， (4)，， 【分析】此题主要考查了通分，通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． （1）首先找出两式的最简公分母，然后进行通分． （2）首先找出两式的最简公分母，然后进行通分． （3）首先找出两式的最简公分母，然后进行通分． （4）首先找出两式的最简公分母，然后进行通分． 【详解】（1）解：最简公分母为， ． （2）解：最简公分母为， ， ． （3）解：最简公分母为， ， ， ． （4）解：最简公分母为， ， ， ． 62．通分： (1)与； (2)，，； (3)，，； (4)，． 【答案】(1)， (2)，， (3)，， (4)， 【分析】（1）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解； （2）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解； （3）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解； （4）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解； 【详解】（1）解：，． （2）解：， ， ． （3）解：， ， ． （4）解：， 【点睛】本题主要考查了分式的通分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 题型14 将分子、分母的最高次数项化为正数（基础） 63．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 64．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 65．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数． 【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==． 故选D． 【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号． 66．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 67．.不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故选D. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 题型15 将分式的分子、分母各项系数化为整数（基础） 68．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可. 【详解】解：． 故选：C 69．不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 70．不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握其性质是解题的关键． 根据分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B ． 71．将方程中分母化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查将分母化为整数，分子分母各自乘一个不为零的数，或等式左右两边同乘一个不为零的数，根据上述两种方式逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意得，整理得，故C正确，A错误； 或，整理得，故B和D错误． 故选：C． 72．把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得： ==， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解答的关键是熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 5.3 分式的乘除 知识点7 分式的乘除 1.乘法法则：分式乘分式，用 分子 的积做积的分子， 分母 的积做积的分母。用式子表示为。 2.除法法则：分式除以分式，把除式的 分子 、 分母 颠倒位置后，与被除式相乘。用式子表示为：=。 注意：当整式与分式相乘时，要把整式(看做是分母为1的式子)与分式的分子相乘做积的分子，分式的分母做积的分母。当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，能约分的先约分，再相乘。 3.拓展：分式的乘方 一般地，当n是正整数时， 这就是说，分式乘法要把分子、分母分别 乘方 。 注意：分式乘方时，先确定乘方结果的符号，正数的任何次方都是正数，负数的偶次方是正数，负数的奇次方是负数。如：， 。 专项练习 题型16 分式的乘除与乘方运算（基础） 73．计算： (1)； (2)； (3)． (4)； (5) ； (6)； (7) ． (8)； (9) ； (10) ； (11)． (12)； (13) ． (14) ； (15)； (16)； (17)． (18)． (19)． (20)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)；(13)；(14)；(15)；(16)；(17)；(18)；(19)；(20)； 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 （7）解：原式 （8）解：原式 ； （9）原式 ； （10）原式 ； （11）原式 ． （12）解：原式 ； （13）解：原式 ． （14）解： ． （15）解： ． （16）解： ． （17）解：原式 ． （18）解：原式 （19）解：原式 （20）解：原式＝ ． 5.4 分式的加减 知识点8 分式的加减 1.同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分式的分母 不变 ，把分子相 加减 。用式子表示为=。 2.异分母分式的加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母 相同 的分式，叫做通分，经过 通分 ，异分母分式的加减就转化为 同分母 分式的加减。用式子表示为： = = 。 注意： (1)异分母分式相加减，化异分母分式为同分母分式是解题的关键。同分母分式相减时,减式的分子是多项式的要加括号，避免产生符号错误。 (2)异分母分式相加减，当分式中的分子与分母有公因式时，先约分，再通分。 专项练习 题型17 分式的加减--同分母分式运算（基础） 74．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． (5)； (6)； (7)； (8)． (9)； (10)； (11)； (12)； (13)． (14)； (15)． 【答案】(1)；(2)1；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)1；(11)；(12)2；(13)；(14)；(15)。 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解： ； （4）解： ． （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． （9）解： （10）解： （11）解： （12）解： （13）解： （14） ． （15） ． 题型18 分式的加减--异分母分式运算（基础） 75．计算： (1)． (2)； (3)； (4)； (5)． (6)； (7)； (8)； (9)． (10)． (11)； (12)． (13)． (14)； (15)． (16) ． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)；(13)；(14)；(15)；(16) 【详解】(1)解： ． （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ； （9）解： ． (10)解： ． （11）解：原式 ； （12）解： ． (13)解： ． （14）解： （15）解： ． (16)解： 题型19 分式的加减--分式与整式相加（基础） 76．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 77．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式计算方法是解题的关键．先通分，再分子展开，合并化简，化为最简分式即可． 【详解】 78．计算：(1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了分式的运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据分式的加减计算法则求解即可； （2）先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，再进行约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 79．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减，熟练掌握分式加减运算法则是解答的关键；先通分，再算加减即可． 【详解】解： ． 80．下面是某同学计算的解题过程： 解： ① ② ③ ④ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． 【答案】从第①步开始出现错误，正确的解题过程见解析 【分析】本题考查分式的加减运算，利用异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．掌握相应的运算法则、公式是解题的关键． 【详解】解：上述解题过程从第①步开始出现错误． 正确的解题过程如下： ． 题型20 整数指数幂运算（基础） 81．计算： (1)； (2) (3) (4) (5)． (6)． 【答案】(1)；(2)x10；(3)；(4)；(5)；(6) 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，整数指数幂的运算，解题的关键是熟记负整数幂的法则及同底数幂的乘除法则． （1）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （2）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （3）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （4）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （5）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （6）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 82．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6) 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，解题的关键是熟记负整数幂的法则及同底数幂的乘除法则． （1）根据负整数指数次幂和同底数幂的运算法则求解即可； （2）根据负整数指数次幂和积的乘方以及同底数幂的除法法则求解即可； （3）根据幂的混合运算法则求解即可； （4）根据幂的混合运算法则求解即可； （5）根据幂的混合运算法则求解即可； （6）根据幂的混合运算法则求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ， ， ； （5）解： ； （6）解： ， ， ． 83．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算； （1）先计算零次幂，负整数指数幂，乘方运算，再计算即可； （2）按照整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 84．计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查了整数指数幂的运算，涉及单项式乘法，除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据单项式的乘法进行计算即可； （2）根据幂的乘方的性质进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答； （3）先根据积的乘方的性质与单项式的除法进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 85．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)-5；(2)2 022；(3) 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）按照负整数指数幂的运算法则和有理数的混合运算计算即可； （2）先按照负整数指数幂的运算法则计算，再按照有理数加法和乘法计算即可； （3）按照整数指数幂的计算法则计算即可； 【详解】（1） ； （2） =2022； （3） ． 题型21 用科学计数法表示绝对值小于1的数（基础） 86．目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.000001125立方米．将数据0.000001125用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为负整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：将数据0.000001125用科学记数法可表示为， 故选：B． 87．2025年最新研发的纳米机器人宽度约为25纳米（即0.00000025米），“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法表示较小数，把一个数表示成，（，为整数），当原数的绝对值时，为正数；当原数的绝对值时，为负数，的值等于原数左边起第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的零），解题的关键是正确确定的值和的值．按照科学记数法的记数要求回答即可． 【详解】解：， 故选：D． 88．新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，但它在病毒家族里却算是大个子，某新型冠状病毒的直径是0.00075m，将数字0.00075m用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：， 故选：C． 89．人体内某种细胞可近似的看作球体，它的直径为，将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较小的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，用科学记数法表示需要把小数点向右移动位，所以的指数就是． 【详解】解：． 故选：D． 90．中国科学院研发的新型纳米机器人的大小仅为0.000000098米，数据0.000000098用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点9 分式的混合运算 分式的混合运算,，要注意运算顺序，分式与实数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。 注意： 分式的混合运算中要注意分式中分子、分母符号的处理,当分子或分母是单项式，且系数是负数时，要把“-”移到分式的前面. 专项练习 题型22 分式的混合运算（中档） 91．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是按照分式的混合运算顺序先进行乘方运算，然后是乘除运算，最后进行加减运算，有括号先算括号里面的． （1）把除法变成乘法，再约分计算； （2）先算括号里面的，再把除法变成乘法约分计算； （3）先算括号里面的，再约分计算； （4）先算括号里面的，再把除法变成乘法约分计算； 【详解】（1）解： = =； （2）解： = = = =； （3） = = = =； （4） = = = = = = 92．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先进行幂的、积的乘方运算，再进行分式的乘除混合运算； （2）利用分式的乘法运算法则计算即可； （3）先将除法化为乘法，再由乘法分配律计算； （4）先通分，化为同分母分式加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 93．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的性质是关键． （1）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 95．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1；(2)；(3)；(4)． 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可； （2）直接利用除法法则进行计算即可； （3）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可； （4）先进行除法运算，再进行减法运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 ； （4）原式 ． 95．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先把除法写成乘法计算，利用平方差公式因式分解，再利用乘法分配律去括号约分，最后进行同分母加法后，合并同类项再约分即可． （2）先利用乘法分配律去括号，再提公因式后约分，最后合并同类项即可． （3）先把除法写成乘法计算，再提公因式后约分即可． （4）先把除法写成乘法计算，利用平方差公式和完全平方公式因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型23 已知分式恒等式确定分子或分母（中档） 96．已知，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的加减法、解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先利用异分母分式的加减法计算得到，从而得到关于的方程组，求解方程即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：5． 97．若恒成立，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将等式的左边通分并化简得出，再根据等式恒成立得出，根据题意列二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解： 恒成立， ， 故答案为：． 98．若，，为常数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，代入即可求出的值． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：1． 99．若 ，其中a，b为常数，则 ． 【答案】1 【分析】原等式整理变形后得：，可得，求出a、b即可得到答案． 【详解】解：已知等式整理得： ， ∴， 可得， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式的变形求值，正确得到是解题的关键． 100．已知，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查异分母分式的加减法，根据异分母的分式的加减法则，进行计算即可． 【详解】解：， 由题意可知：， 解得：，． 题型24 分式的化简求值--先化简再求值（中档） 101．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 先进行括号内加法计算，再将除法化为乘法，化到最简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 102．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 103．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 104．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 105．先化简，后求值：，其中． 【答案】 【分析】题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的减法，再计算除法运算，最后代入求值即可． 【详解】解： 当时，原式 题型25 分式的化简求值--整体代入求值（中档） 106．已知，求代数式的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的化简是关键． 根据分式的性质化简，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∴ 当时，原式 ． 107．已知实数满足，先化简，再求值． 【答案】；0 【分析】本题考查分式的化简求值，先化简题目中的式子，然后根据即可求得，再得，最后直接代入可以解答本题． 【详解】解： ， 又∵， ∴， ∴， ∴． 108．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据题意得到，再把所求式子的分子和分母都分解因式后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 109．已知，求代数式的值． 【答案】1 【分析】该题考查了分式化简求值，根据题意得出，再将代数式化简后代入求值即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 110．先化简再求值，其中是方程的实根． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确进行分式化简是解题关键．首先进行括号内的运用，并将除法转化为乘法，再根据分式的性质进行化简，结合题意易知，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 是方程的实根， ， 原式． 题型26 分式的化简求值--选择代入求值（中档） 111．先化简：，再从，1，3三个数中选取一个合适的数值作为的值代入求值． 【答案】，2 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据运算法则正确化简分式，利用分式有意义的条件排除不合适的数是解答本题的关键．把括号内通分，并将除法转换成乘法约分化简，根据分式有意义的条件得到，然后将适合的数值代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 112．先化简：，然后从的范围内选择一个合适的整数作为m的值代入并求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．先根据分式的混合运算法则将原式化简，再选取合适的的值代入计算即可求解． 【详解】解： ∵，且为整数， ∴ ∴原式 113．先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：， ， ， ， ； 根据分式有意义的条件，x不能为，0， 当时，原式． 114．先化简，再求值：且，请选一个合适的整数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握化简的步骤，分式有意义的条件是解题的关键．首先根据分式的乘除混合运算法则化简，然后选择使分式有意义的数代入求解即可． 【详解】解： ， ，且， 满足条件的整数为． 要使分式有意义， 必须满足且且， 不能为． 取． 当时，原式． 115．先化简再求值：，其中满足，请选一个合适的的整数值代入求值． 【答案】，当时， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特别要注意的值必须使所求的代数式有意义． 先把括号内的两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，再把除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，由于不能取，所以可把入计算． 【详解】解：原式 ， ∵，且为整数， ∴可能取的整数值为， 又 ∵， ∴能取， 当时，原式． 5.4 分式方程 知识点10 分式方程 1.分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程。 2.分式方程的重要特征 (1)是方程；(2)分母中含有未知数。 注意：(1)判断一个方程是不是分式方程的关键 看分母中是否含有未知数，判断时不能对方程进行约分、通分，更不能用等式的性质对方程进行变形。 (2)分式方程可以转化为整式方程。 专项练习 题型27 分式方程的辨别（基础） 116．下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 故选：C． 117．已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 118．下列方程中，是分式方程的有 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】②③ 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个分析即可判断． 【详解】解：是整式方程，不是分式方程，故①不符合题意； 是分式方程，故②符合题意； 是分式方程，故③符合题意； 是整式方程，不是分式方程，故④不符合题意； 综上所述，是分式方程的有②③． 故答案为：②③． 119．下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 【答案】⑤ 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，是解此题的关键． 【详解】解：方程①、②、③、④的分母中都不含未知数，不是分式方程，⑤的分母中含有未知数，是分式方程， 所以分式方程有⑤． 故答案为：⑤． 120．下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有 ．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：依题意，②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； ∴是分式方程的是②④， 故答案为：②④ 知识点11 解分式方程 1.解分式方程的基本思路 将分式方程化为 整式方程 。具体做法是“去分母”，即方程两边乘 最简公分母 。这也是解分式方程的一般方法。 2.解分式方程的一般步骤 3.增根与无解的区别：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的。分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不仅包括使最简公分母为0的数，还包括分式方程化为整式方程后，整式方程无解的情况。 注意： (1)如果分式的分子是多项式，去分母时，要给多项式加上括号。 (2)方程两边各项乘最简公分母时，不要漏乘不含分母的项。 (3)增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0以确定增根； ②)化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值。 专项练习 题型28 分式方程的一般解法（基础） 121．解下列方程：(1) ． (2)． (3) ； (4)． (5) (6) (7) 【答案】(1)．(2)无解；(3)无解；(4)无解；(5)；(6)；(7)无解。 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】(1)解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． (2)解：去分母，得：， 整理，得：， 解得：； 检验：当时，， ∴是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解． (3)解： 去分母得，， 去括号得， 移项、合并同类项得， 当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解． (4)解：， 去分母，得：， 得：， 解得：， 经检验，当时，， 则为增根， 原方程无解． (5)解：， ， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：． （6）解：， ∴， 去分母得：， ∴， 解得：， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （7）解：， 去分母得：， ∴ 解得：， 检验，当时，， 所以该分式方程无解． 122．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)方程无解 (2) 【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去分母，化为整式方程，再解整式方程，并检验即可得到答案； （2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程，并检验即可得到答案； 【详解】（1）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验：把代入， ∴是原方程的增根，原方程无解； （2）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 检验：把代入， ∴是原方程的解． 123．解方程： (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)；(2)分式方程无解．(3)；(4)． 【分析】本题考查了解分式方程，熟知分式方程需检验是解题的关键． （1）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （2）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， ∴， 解得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解． （3）解： ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：； （4）解：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：． 124．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)无解；(4) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程要先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程求出未知数的值后要把求出的数代入最简公分母检验是否增根． 方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出，再把代入最简公分母检验是否增根即可； 方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出，把代入最简公分母检验是否增根即可； 方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出，把代入最简公分母检验是否增根即可； 方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出，再把代入最简公分母检验是否增根即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解； （2）解：， 整理得： 方程两边同时乘以去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解； （3）解：， 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 把代入， 可得：， 是原分式方程的增根， 原分式方程无解； （4）解：， 方程两边同时乘以可得：， 整理得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解． 125．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是原方程增根，原方程无解；(2)；(3)；(4) 【分析】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程，必须要检验． （1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答； （2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． （3）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． （4）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴分式方程无解． （2）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根． （3）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根； （4）解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根； 题型29 分式方程的增根问题（中档） 126．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的增根，理解“分式方程的增根是去分母后所化为整式方程的根”是解决问题的关键，分式方程有增根与分式方程无解意义不同．先解方程，再根据方程的增根为，可求出k值． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母得，， 关于的分式方程的增根是， ， 故答案为：3． 127．关于的分式方程有增根，则m的值是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了解分式方程．根据方程有增根得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：将分式方程两边都乘以得， ， 即， ∵原分式方程有增根， ∴， ∴或， 当时，，所以， 当时，，所以， ∴m的值是或， 故答案为：或． 128．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的增根，原方程整理得，再由增根得到，得到或，分两种情况分别求解即可． 【详解】解：两边都乘以得，， 整理得，， 由分式有增根，则， ∴或， 把代入得，，解得； 把代入得，，解得； 故答案为：或． 129．若方程有增根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程求出k的值即可．此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的步骤和解法． 【详解】解：将原方程两边同时乘以，得， 当时，方程有增根， 此时， 将代入，得， 解得． 故答案为：1 130．已知关于的方程：，若方程有增根，求的值． 【答案】或6 【分析】本题考查分式方程有增根问题，将分式方程转化为整式方程，求出使最简公分母为0的未知数的值，代入整式方程中，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：； ∵方程有增根， ∴或， ∴或； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上：或6． 题型30 分式方程无解问题（中档） 131．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查分式方程增根情况及运用，解题的关键是注意关键词“无解”与增根的关系． 找出方程中的最简公分母：，然后方程两边同乘最简公分母，化为整式方程可解，然后根据分式有无意义即可得出结果． 【详解】解： 根据题意，原分式方程无解， ①当时，即时，整式方程无解，所以原分式方程无解，符合题意； ②当原分式方程最简公分母时，即，是原分式方程的增根，也符合题意， 此时，， 解得； ∴的值是1或2， 故选：D． 132．若关于的方程无解，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考据分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解的问题是解题的关键． 根据分式方程无解的问题可进行求解． 【详解】解：由方程可得：，整理得：， ∵该方程无解， ∴当时，则有，即； 当时，则； 故选：B． 133．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵方式方程无解， ①当整式方程无解时：，解得：； ②当分式方程有增根时，则：，解得， 把，代入，得：， 解得：； 故答案为：1或3． 134．若关于x的分式方程无解，求参数a的值． 【答案】a的值为 【分析】本题考查了解分式方程；先按照解分式方程的过程求出x，再根据方程无解的情况即可求得a的值． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得：， 当时，方程无解，从而分式方程无解， 解得：； 当时，方程解为， 分式方程的增根为或， 当时，解得； 当时，解得； 综上，分式方程无解时，a的值为． 135．若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】m的值为或 【分析】本题考查的是分式方程无解的知识，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵原分式方程无解． ∴，即或． 解得或． 当时，； 当时，． ∴m的值为或． 题型31 由分式方程解的情况求字母的范围（中档） 136．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程以及分式方程有意义的条件，解出分式方程，根据解是非负数求出m取值范围，再根据是分式方程的增根，求出此时m的值，即可得到答案． 【详解】解： ． ∵分式方程的解是非负数， ∴，且， 解得：且， 故选：A 137．关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0，解分式方程，得到含m的解，根据“该分式方程的解是负数”，得到两个不等式，解之，即可得到m的取值范围． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， ∵该分式方程的解是负数， ∴，且 ∴且， ∴，且， 解得：，且， 故选：C． 138．若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 【答案】3，4，0 【分析】本题考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根据解为整数即可求得整数m的值． 【详解】解：方程两边乘以，得：， 整理得：； 由于方程有解，则，即， ∴； 由于方程有整数解，则， 解得：或或或， 当时，，此时方程无解； 综上，整数m的值为3，4，0． 139．若关于的方程有无数多个解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，将分式方程变为，根据分式为0的条件得出，化简得出，根据有无数多个解，得出，求出k的值即可． 【详解】解：， ， ， ∴， 整理得：， ∵方程有无数多个解， ∴， 解得：． 故答案为：． 140．若关于x的分式方程的解为正整数，则正数m的值为多少？ 【答案】正数的值是 6 或 9 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，正确求出方程的解为是解题的关键． 先按照解分式方程的步骤求出，再根据结合分式方程的解为正整数进行求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为 1 得：， ， ∴， ， ， ∵分式方程有正整数解， ∴正数的值是 6 或 9 ． 知识点12 分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系 (1)工程问题：工作效率×工作时间=工作量，总工作量=各工作量之和。 (2)利润问题：利润=售价-进价，利润率=×100%，总利润=单件的利润×销售的数量。 (3)行程问题：速度×时间=路程。 (4)储蓄问题：本息和=本金+利息。 2.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：审清题意，弄清已知量和未知量； (2)设：设未知数(可以直接设未知数，也可以间接设未知数)； (3)列：列出分式方程； (4)解：解分式方程； (5)验：既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义； (6)答：写出答案。 注意：(1)选择合适的等量关系 在实际问题中，有时题目中包含多个等量关系，在列分式方程时，一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的等量关系列方程。 (2)①列分式方程解应用题时，一定不要忘记检验； ②)在实际问题中要舍去不符合实际意义的分式方程的解。 专项练习 题型32 根据题意列分式方程（基础） 141．某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，然后分别表示行驶的时间，最后由“乙同学比甲同学提前到达活动地点”建立方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为： 由题意得：， 故选：A． 142．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．一汽车销售公司销售某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年月份每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量是去年一整年的，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据今年月份每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量是去年一整年的，销售总额比去年一整年的少，列出方程即可． 【详解】解：设今年月份每辆车的销售价格为万元，由题意，得： ； 故选A． 143．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作．从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人工作效率相同，结果提前3天完成此项工作．设甲志愿者计划完成此项工作需用x天，用方程表示问题中的数量关系为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，关键根据工程问题常用的等量关系“工效×时间=工作总量”列方程求解． 由题意可得甲的工作时间为天，乙是第三个工作日起加入，所以乙的工作时间为天，甲工作量+乙工作量=1，列出方程即可． 【详解】由已知甲志愿者计划完成此项工作需x天，因为提前3天完成此项工作，所以甲的工作时间为天，乙是第三个工作日起加入，所以乙的工作时间为天，甲和乙的工作效率相同，每天都做，则， 故选A． 144．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题列出分式方程，设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子，根据“甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同”列出分式方程即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 145．在物理学中，物质的密度等于物体的质量m与它的体积V之比，即．已知两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积小．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接进行求解 【详解】解：设物体A的体积是，则物体B的体积是，根据题意，得． 故选D． 题型33 分式方程的应用--行程问题（中档） 146．某汽车评估机构对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．（续航里程一般指汽车油箱加满或电池满电时，跑到完全不能继续移动时一共跑过的里程数．）相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两款车的续航里程均为S千米． (1)燃油车每千米行驶费用为 元，纯电新能源车每千米行驶费用为 元；（用含S的代数式表示） (2)若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．请求出这两款车的每千米行驶费用． 【答案】(1) (2)燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，列代数式等知识． （1）根据总的油价和电价分别除以续航里程S即可得出答案． （2）根据燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元列出关于S的分式方程，解分式方程即可得出S，再进一步求各自的每千米行驶费用即可． 【详解】（1）解：燃油车每千米行驶费用为：元， 纯电新能源车每千米行驶费用为：元， （2）解：由题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴分式方程的解为， ∴（元），（元）， 答：燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元． 147．下面是小琼学习了分式方程后所做的课堂笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某中学组织学生们到离学校的郊区进行社会调查．一部分学生步行前往，另一部分学生在步行的学生出发后，骑自行车沿相同路线行进，步行的学生与骑自行车的学生同时到达目的地，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，分别求步行和骑自行车的速度． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：步行的时间﹣骑自行车时间＝ 解法二 设… 等量关系：步行的速度＝骑自行车的速度 任务： (1)解法一所列的方程中的x表示_________，解法二所列的方程中的x表示_________； A．步行的速度为 B．骑自行车的速度为 C．步行的时间为 (2)任选一种方法，分别求出步行和骑自行车的速度． 【答案】(1)A，C (2)步行的速度为，骑自行车的速度为 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是根据等量关系列出方程． （1）根据列表中给出的等量关系得出结论； （2）根据分式方程的解法解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意知，解法一所列的方程中的x表示步行的速度为； 解法二所列的方程中的x表示步行的时间为． 故答案为：A，C； （2）解法一：设步行的速度为，则骑自行车的速度为， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， 答：步行的速度为，骑自行车的速度为； 解法二：设步行的时间为，则骑自行车的时间为， 根据题意得：， 解得： ， 经检验，是原方程的解， 此时，， 答：步行的速度为，骑自行车的速度为． 148．如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米． (1)若水流速度为每小时5千米，这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，求该货轮在静水中的速度． (2)若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，段河流水速为每小时a千米，段因受降水影响，水速变为每小时b千米．设货轮在段的逆水航行时间为，在段的逆水航行时间为，请判断与的大小关系，通过计算说明理由． 【答案】(1)该货轮在静水中的航行速度为千米/时． (2)，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程与异分母分式的加减．解题的关键在于正确的列分式方程与分式的比较大小． （1）设轮船在静水中的航行速度为千米/时，故可知顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，列分式方程，求解即可； （2）由题意知，然后代入作减法比较即可． 【详解】（1）解：设货轮在静水中的航行速度为， 则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时； 故有， 解得， 经检验得是原方程的解， ∴该货轮在静水中的航行速度为千米/时． （2）由题意知， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 149．小明到离家2400米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有40分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？ (2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？ 【答案】(1)小明步行的速度是80米/分 (2)小明不能在球赛开始前赶到体育馆 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，正确找出题目中的等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）设小明步行速度为x米/分，则自行车的速度为米/分，根据题意列出分式方程求解即可； （2）求出小明总共需要的时间进行比较即可． 【详解】（1）解：设小明步行速度为x米/分，则自行车的速度为米/分， 根据题意得：， 解得： 经检验是原方程的解． 答：小明步行的速度是米/分． （2）解：根据题意得，小明总共需要： ． 答：小明不能在球赛开始前赶到体育馆． 150．如图，某森林公园从山脚B到山顶A有一段12千米长的山路，已知小牧下山的平均速度是上山的平均速度的倍，他从山脚走到山顶、再从山顶走到山脚一共需要5小时． (1)求小牧上山的平均速度； (2)在此山路上有一处C，小牧从C处走到山顶A所用的时间等于从C处走到山脚B所用的时间，则C处离山顶A有多远？ 【答案】(1)4千米/时 (2)千米 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程在行程问题中的应用；解题关键是根据路程、速度、时间关系，分别找出总时间和两段路程时间相等的等量关系，列出方程求解． （1）设小牧上山平均速度为千米/时，根据路程千米、下山速度是上山速度倍及总时间小时，利用“时间 = 路程÷速度”，列出上山时间与下山时间之和为小时的分式方程，求解并检验得到上山平均速度． （2）设C处离山顶A为a千米，依据第（1）问求出的速度，结合“小牧从处走到山顶所用时间等于从处走到山脚所用时间”这一条件，根据“时间 = 路程÷速度”列出方程，求解得出处离山顶的距离． 【详解】（1）解：设小牧上山的平均速度是x千米/时，根据题意，得 ． 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：小牧上山的平均速度是4千米/时． （2）设C处离山顶A为a千米． 根据题意，得． 解得． 答：C处离山顶A 4.8千米． 题型34 分式方程的应用--工程问题（中档） 151．现安排甲、乙两个工程队对某地的道路进行改造．已知甲工程队改造米的道路与乙工程队改造米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造米，求乙工程队每天改造道路的长度是多少米？ 【答案】乙工程队每天改造道路的长度是米 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设乙工程队每天改造道路的长度是米，根据题意，列出分式方程，进行解答即可． 【详解】解：设乙工程队每天改造道路的长度是米， 由题意得：， 解得：． 经检验，是所列方程的解． 答：乙工程队每天改造道路的长度是米． 152．晋阳高速公路改扩建项目是年山西省级的重点项目，现有一段路由甲、乙两个工程队共同承包修建．其中甲工程队需要修千米，乙工程队需要修千米，已知乙工程队每个月的修建速度是甲工程队的倍，最终乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，问甲工程队每个月修建多少千米？ 【答案】甲工程队每个月修建千米． 【分析】本题考查的知识点是分式方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设甲工程队每个月修建千米，则乙工程队每个月修建千米，根据乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲工程队每个月修建千米，则乙工程队每个月修建千米， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：甲工程队每个月修建千米． 153．重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶900个销售．工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工45个，又加工了4天才完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前4天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个； (2)乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为50个． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程及一元一次方程是解答此题的关键． （1）设甲车间增加工人后每天加工玩偶个，则增加前每天加工个，根据题意列出方程，解方程即可得到答案； （2）设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个，根据“提前4天完成任务”，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人后每天加工玩偶个，则增加前每天加工个， 由题意得：， 解得：， ∴ 增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个； （2）解：设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴ 乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为50个． 154．某玩具车间准备用10天时间生产6000个“哪吒”套盒，计划先安排甲组工人生产4天，再安排乙组工人加入共同生产，则刚好能如期完成．已知甲组每天比乙组少生产200个套盒． (1)求甲组每天生产多少个套盒？ (2)实际生产过程中，甲组生产4天后，车间负责人给甲、乙两个小组分别增加2名工人，并将剩下的任务平均分给两个小组．增加人员后，甲、乙两小组每天生产的数量比为，甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，求增加人员前，甲组有多少名工人？（每人每天生产的数量相同） 【答案】(1)甲组每天生产个套盒 (2)增加人员前，甲组有名工人 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解即可． （1）设乙组每天生产个套盒，则甲组每天生产个，由此列一元一次方程求解即可； （2）设甲组每天生产数量为个，乙组每天生产数量为个，由此列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵甲组每天比乙组少生产200个套盒， ∴设乙组每天生产个套盒，则甲组每天生产个， ∴， 解得，， ∴， ∴甲组每天生产个套盒； （2）解：甲组生产4天，则剩下的任务数量为：（个）， ∴甲、乙两组各分得（个）， ∵甲、乙两小组每天生产的数量比为， ∴设甲组每天生产数量为个，乙组每天生产数量为个， ∵甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天， ∴， 解得，， 经检验：是方程的解， ∴增加2名工人后，甲组每天生产数量为个/天，乙组每天生产数量为个/天， ∴甲组每人每天可生产个， ∴甲组原有人数为（人），即增加人员前，甲组有名工人． 155．为推动传统农业向智慧农业转型，某农场决定配备两款施肥无人机共架．每架款施肥无人机需要人协同操控，每架款施肥无人机需要人协同操控，农场负责施肥的操控人员共有人． (1)求款施肥无人机和款施肥无人机分别有多少架？ (2)该农场共有亩农田需要施肥， 两款施肥无人机负责施肥亩数相同，已知每架款施肥无人机每小时施肥亩数是每架款施肥无人机每小时施肥亩数的倍，所有款施肥无人机同时施肥比所有款施肥无人机同时施肥提前小时完成施肥，求每架款施肥无人机每小时施肥多少亩？ 【答案】(1)款施肥无人机有架，款施肥无人机有架， (2)每架款施肥无人机每小时施肥亩． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设款施肥无人机有架，款施肥无人机有架，根据题意列出方程，然后解方程即可； （）设每架款施肥无人机每小时施肥亩，则每架款施肥无人机每小时施肥，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设款施肥无人机有架，款施肥无人机有架， 根据题意得：，解得：， 答：款施肥无人机有架，款施肥无人机有架， （2）解：设每架款施肥无人机每小时施肥亩，则每架款施肥无人机每小时施肥， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴每架款施肥无人机每小时施肥， 答：每架款施肥无人机每小时施肥亩． 题型35 分式方程的应用--销售问题（中档） 156．孝敬父母是中华民族的传统美德．“母亲节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动．购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元． (1)求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？ (2)“母亲节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降低了元，玫瑰花束单价降低了m元，节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍，且康乃馨花束的销售额为1800元，玫瑰花束的销售额为900元，求m的值． 【答案】(1)康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元 (2)m的值为5 【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程或方程组． （1）设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束单价为y元，根据“购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元”列出方程组，即可解得答案； （2）根据“节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍”可列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束单价为y元， 由题意，得：， 解得：， 答：康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元． （2）解：依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 答：m的值为5． 157．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进、两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本种书籍的进价为25元，每本种书籍的进价为40元，其中购进的种书籍的数量比种书籍数量的2倍多4本． (1)求、两种书籍分别购进多少本？ (2)该书城在“世界读书日”当天售出、两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中种书籍的销售额是1200元，已知每本种书籍的售价是每本种书籍售价的1.6倍，求每本种书籍的售价是多少元？ 【答案】(1)种书籍购进本，两种书籍购进本 (2)48元 【分析】本题考查一元一次方程、分式方程的应用，理解题目间的数量关系是解题的关键． （1）设B种书籍购进本，则A种书籍购进本，根据“购进、两种畅销书籍，共花费3700元”列方程求解； （2）设每本种书籍售价元，则每本种书籍售价元，根据“当天售出、两种书籍共63本”列分式方程计算求解． 【详解】（1）解：设B种书籍购进本，则A种书籍购进本，由题意可得： ，解得， （本）， 答：种书籍购进本，两种书籍购进本； （2）解：设每本种书籍售价元，则每本种书籍售价元，由题意可得： ，解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）， 答：每本种书籍的售价是48元． 158．近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校2022年至2024年图书馆购进新书总支出如图所示： (1)该校图书馆2024年购进新书总支出比2023年提高了，2022年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ (2)为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，2025年新书购进计划在2024年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加80册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比2024年降低20元，那么学校计划2025年购进自然科学类图书多少册？ 【答案】(1) (2)180册 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）根据题意算出2024年购进新书总支出，2022年购进社会科学类图书支出，2024年购进社会科学类图书支出，根据占比的计算方法即可求解； （2）设2024年购进自然科学类图书x册，那么2025年计划购进此类图书为册，由此列分式方程求即可． 【详解】（1）解：2024年购进新书总支出：元， 2022年购进社会科学类图书支出：元， 2024年购进社会科学类图书支出：元， 2024年与2022年相比，社会科学类图书支出的增长率：； （2）解：2024年购进自然科学类图书支出：元， 设2024年购进自然科学类图书x册，那么2025年计划购进此类图书为册， 由题意得 ， 整理得，， 解得， 经检验，是原方程的根，但不符题意，应舍去， ∴， 答：2025年计划购入自然科学类图书180册． 159．宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】(1)12万元，10万元 (2)15万元 【分析】（1）设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得，解方程即可． （2）设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得， 解得， ∴， 答：A款机器人价格为12万元，B款机器人价格为万元． （2）解：设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得， 解得． 答：该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是15万元． 160．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表所示： 单枪充电桩 双枪充电桩 总价：50000元 总价：45000元 单价：元个 单价： 元/个 若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多8个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 【答案】单枪新能源充电桩的价格为2500元/个，双枪新能源充电桩的价格为3750元/个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．根据单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多8个，列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个）． 答：单枪新能源充电桩的价格为2500元/个，双枪新能源充电桩的价格为3750元/个． 题型36 分式有关规律探究问题（培优-创新题） 161．给定一列分式：，，，，…（其中，），那么第n个分式是 ，这列分式中第n个分式除以第个分式的商是 ． 【答案】 ； 【分析】本题侧重考查知识分式的定义，掌握分式的化简是解题的关键．观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为乘以y的n次幂，据此得到第n个分式；用第二个分式除以第一个分式，第三个分数除以第二个分式，…，你能发现规律不难得到相除所得的商相等，至此问题便可迎刃而解了． 【详解】解：观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为乘以y的n次幂， ∴第n个分式为； ， ， …… 综上可知规律是：任意一个分式除以前面一个分式，商都为； 故这列分式中第n个分式除以第个分式的商是． 故答案为：；． 162．已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题，从题目所给的式子中发现并总结出一般规律是解题的关键． 先找到一般规律：的值每个一循环，再求出，由可得，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 的值每个一循环， ， 且， ， 故答案为：． 163．《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出第n个等式可表示为是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（2）中的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：． 当时， 第7个等式为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， 第n个等式可表示为：． 证明如下： 左边右边， 所以此等式成立； （3）解：由（2）知， 当时， ， 所以， 则原式． 故答案为：1． 164．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．． 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：___________； (2)写出你猜想的第个等式：___________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】此题考查的是归纳总结能力，分式混合运算，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键． （1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案； （2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边第一项的分母为，分子是，第二项是，等式右边为．根据分式加减运算法则和分式混合运算法则进行验证即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则第5个等式为：； （2）解：， 证明：左边， 右边， 左边右边，即等式成立． 165．观察以下等式： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题考查算式规律的归纳能力，分式的化简求值，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． 根据前个等式的规律可知，第个等式应是，可得等式：； 由中的规律可知，第个等式应是，分别把等式左边、右边的分式化简，可得结果都为，即可证明等式成立． 【详解】（1）解：第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 根据规律可得，第6个等式：； 故答案为：； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：左边， ， 左边右边， 故猜想成立． 题型37 阅读理解与新定义（培优-创新题） 166．阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 167．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 168．阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)3；4 (2) (3)3或 【分析】本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【详解】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 169．阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判段与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”． (2)已知分式，与互为“关联分式”，且“关联值”． ①_____（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于_____． 【答案】(1)2 (2)①；②1 【分析】此题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则是关键． （1）根据定义进行计算即可； （2）①根据定义求出的值即可；②根据分式的值为正整数进行解答即可． 【详解】（1）解：， ， 与互为“关联分式”，“关联值”； （2）解：①， ， 与互为“关联分式”，且“关联值”， ， ， 故答案为： ② ， 分式的值为正整数． 或，此时的值为1或， 为正整数， 的值为1． 故答案为：1 170．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ，即， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组； (3)已知、、为实数，，，，求分式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求出的值即可得到答案； （2）先把原方程组化为，令，则，解方程组即可得到答案； （3）先由得到，同理可得，据此可得，则可得到的值，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∴， 令，则， 解得， ∴， 经检验，是原方程组的解； （3）解：∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 分式全章必考点训练（12个知识点+37种题型+170道题） 5.1 分式 1 知识点1 分式的概念 1 题型01 分式的识别（基础） 2 题型02 根据要求列分式（基础） 3 知识点2 分式有、无意义的条件 4 题型03 分式有、无意义的条件（基础） 4 知识点3 分式的值为0的条件 5 题型04 分式的值为0的条件（基础） 5 题型05 根据分式值的情况求字母参数取值范围（中档） 5 题型06 求使分式的值为整数时字母的的整数值（中档） 6 题型07 分式求值（培优） 6 5.2 分式的基本性质 7 知识点4 分式的基本性质 7 题型08 判断分式变形是否正确（基础） 7 题型09 利用分式的基本性质判断分式值的变化（基础） 8 知识点5 分式的约分 9 题型10 最简分式（基础） 9 题型11 约分（基础） 10 知识点6 分式的通分 11 题型12 最简公分母（基础） 11 题型13 通分（基础） 11 题型14 将分子分母的最高次数项化为正数（基础） 13 题型15 将分式的分子分母各项系数化为整数（基础） 13 5.3 分式的乘除 14 知识点7 分式的乘除 14 题型16 分式的乘除与乘方运算（基础） 15 5.4 分式的加减 17 知识点8 分式的加减 17 题型17 分式的加减--同分母分式运算（基础） 17 题型18 分式的加减--异分母分式运算（基础） 19 题型19 分式的加减--分式与整式相加（基础） 20 题型20 整数指数幂运算（基础） 21 题型21 科学计数法表示绝对值小于1的数（基础） 23 知识点9 分式的混合运算 24 题型22 分式的混合运算（中档） 24 题型23 已知分式恒等式确定分子或分母（中档） 26 题型24 分式的化简求值--先化简再求值（中档） 26 题型25 分式的化简求值--整体代入求值（中档） 27 题型26 分式的化简求值--选择代入求值（中档） 28 5.4 分式方程 29 知识点10 分式方程 29 题型27 分式方程的辨别（基础） 29 知识点11 解分式方程 30 题型28 分式方程的一般解法（基础） 31 题型29 分式方程的增根问题（中档） 33 题型30 分式方程无解问题（中档） 34 题型31 由分式方程解的情况求字母的范围（中档） 34 知识点12 分式方程的应用 35 题型32 根据题意列分式方程（基础） 36 题型33 分式方程的应用--行程问题（中档） 37 题型34 分式方程的应用--工程问题（中档） 39 题型35 分式方程的应用--销售问题（中档） 41 题型36 分式有关规律探究问题（培优-创新题） 44 题型37 阅读理解与新定义（培优-创新题） 46 考点清单 5.1 分式 知识点1 分式的概念 1.一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。分式中，A叫做分子，B叫做 分母 。 2.一个式子是分式需要满足的三个条件： (1)形如；(2)A，B都为整式；(3)分母B中含有字母。 说明：分式是一种表达形式，如是分式，,若不是的形式，那就不能算是分式了，如：(x+1)÷(x+2),它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但若用负指数次幂表示的某些代数式，如(a+b)-2，则为分式。因为=仅为分式是一种数学上的规定,而非一种运算形式。 注意： (1)判断一个式子是不是分式,关键是看它的分母中是否含有字母,π除外。 (2)分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母。从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不看化简后的。 专项练习 题型01 分式的识别（基础） 1．在式子，，，，，，中，分式的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．下列有理式、、、、中，是分式的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列代数式：，，，，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．在，，，，，中，分式的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在下列式子：，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 根据要求列分式（基础） 6．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 7．春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 8．甲、乙两地相距千米，高速列车原计划每小时行驶千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 9．某防疫封控小区进行全员核酸筛查，计划m个人a天完成任务，照这样计算，若减少n个人时，完成工作所要的天数是（    ） A． B． C． D． 10．在一次数学测验中，甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分，则这两个班的总平均成绩为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 知识点2 分式有、无意义的条件 1.分式有意义的条件：分式的分母 不等于 0。 2.分式无意义的条件：分式的分母 等于 0。 说明： (1)因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0。 (2)分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用。 注意：分母不为0，并不是分母中的字母不能为0，是表示分母的式子的值不能为0。 专项练习 题型03 分式有、无意义的条件（基础） 11．下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 12．要使分式有意义，则应满足（   ） A． B． C． D．且 13．当时，分式无意义，则的值为 ． 14．按要求填空． （1）分式有意义时，的取值范围是 ． （2）分式无意义时，的值是 ． （3）分式的值为0时， ． 15．没有意义的实数解共有（   ）个 A．2 B．1 C．4 D．3 知识点3 分式的值为0的条件 1.当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为 0 。 2.分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式的值为0的条件是 A=0 且 B≠0 ,两者缺一不可。 方法：使分式的值为0，求字母的值的解题方法 先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值为0，当分母的值不为0时，这个值就是所求的字母的值。 专项练习 题型04 分式的值为0的条件（基础） 16．若分式的值是零，则的值为 ． 17．已知分式的值为0，则x的值是 ． 18．当 时，分式的值为0． 19．对于分式 当 时，分式有意义；当 时，分式无意义；当 时，分式的值为． 20．若分式的值为，则 ． 题型05 根据分式值的情况求字母参数取值范围（中档） 21．若分式的值是负数，则的取值范围是（    ）. A． B．或 C．且 D．或 22．若分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 23．若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 24．若分式的值为负数，则x的取值范围是 . 25．若分式的值恒为负值，试求x的取值范围. 题型06 求使分式的值为整数时字母的的整数值（中档） 26．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 27．使得为整数的自然数的个数为 个． 28．若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07 分式求值（培优） 29．分式，则分式的值为（      ） A． B． C． D． 30．已知实数满足并且，则 ． 31．已知：，则 . 32．已知，那么的值为 ． 33．已知，求的值为 ． 5.2 分式的基本性质 知识点4 分式的基本性质 1.分式的分子与分母都乘(或除以)同一个 不等于零 的整式，分式的值 不变 。 2.用式子表示为 = ， = (其中M是不等于零的整式）。 3.利用分式的基本性质可解决的问题 (1)分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分式的基本性质可以将分式的分子、分母中的系数化为整数。 (2)解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母分别为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号。 (3)处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的。 注意： (1)运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式值的大小，只改变其形式。 (2)运用分式的基本性质时，要注意限制条件M≠0和隐含条件B≠0。 (3)分子和分母是多项式时，要把分子和分母分别看成一个整体。 专项练习 题型08 判断分式变形是否正确（基础） 34．下列等式中，成立的是（   ） A． B． C． D．（且） 35．下列式子中，从左往右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 36．下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 37．下列变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 38．下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型09 利用分式的基本性质判断分式值的变化（基础） 39．若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．不变 D．缩小4倍 40．将分式中的和都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小到原来的一半 41．如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，则的内容可能是（　　） A．4 B． C． D．9 42．分式中的x，y的值都扩大到原来的10倍，则分式的值为（    ） A．扩大为原来10倍 B．不变 C．缩小为原来的倍 D．缩小为原来的倍 43．若把分式的，同时扩大5倍，则分式的值也扩大5倍，则“□”可以是（    ） A．5 B． C． D． 知识点5 分式的约分 1.把一个分式的分子和分母的 公因式 约去，叫做分式的约分。约分要约去分子、分母所有的公因式。分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。 2.确定公因式的方法 确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： (1)定系数：即确定各项系数的最大公约数； (2)定字母：即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)； (3)定指数：即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂。 注意：对分式进行约分时，一般先分别对分子、分母进行因式分解。 专项练习 题型10 最简分式（基础） 44．分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 45．分式中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 46．分式，，，，中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．下列分式，，，，中，最简分式的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．在分式，，，中，最简分式有 个 题型11 约分（基础） 49．约分： （1） ； （2） ． 50．化简： （1） ； （2） ； （3） ． 51．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 52．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 53．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点6 分式的通分 1.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母 的分式，叫做分式的通分。 2.几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的 积 为公分母，它叫做 最简公分母 。 3.通分的步骤：(1)求各分式的最简公分母；(2)用这个最简公分母除以分式的分母；(3)用所得的商去乘原各分式的分子、分母。 注意：分母互为相反数时，每个分母都可以作为最简公分母。 专项练习 题型12 最简公分母（基础） 54．分式，，的最简公分母为 ． 55．、的最简公分母是 ；与的最简公分母是 ． 56．分式和的最简公分母是 ． 57．直接写出下列各组分式的最简公分母： (1)；__________；(2)；__________；(3)；__________ (4)；__________；(5)．__________ 题型13 通分（基础） 58．已知（过中A、B均为常数），则 ， ． 59．通分：(1)； (2)． 60．求出下列各组分式的最简公分母． (1)； (2)； (3)； (4)． 61．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 62．通分： (1)与； (2)，，； (3)，，； (4)，． 题型14 将分子、分母的最高次数项化为正数（基础） 63．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 64．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 65．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 66．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（   ） A． B． C． D． 67．.不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（    ） A． B． C． D． 题型15 将分式的分子、分母各项系数化为整数（基础） 68．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 69．不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 70．不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 71．将方程中分母化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 72．把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（    ） A． B． C． D． 5.3 分式的乘除 知识点7 分式的乘除 1.乘法法则：分式乘分式，用 分子 的积做积的分子， 分母 的积做积的分母。用式子表示为。 2.除法法则：分式除以分式，把除式的 分子 、 分母 颠倒位置后，与被除式相乘。用式子表示为：=。 注意：当整式与分式相乘时，要把整式(看做是分母为1的式子)与分式的分子相乘做积的分子，分式的分母做积的分母。当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，能约分的先约分，再相乘。 3.拓展：分式的乘方：一般地，当n是正整数时， 这就是说，分式乘法要把分子、分母分别 乘方 。 注意：分式乘方时，先确定乘方结果的符号，正数的任何次方都是正数，负数的偶次方是正数，负数的奇次方是负数。如：， 。 专项练习 题型16 分式的乘除与乘方运算（基础） 73．计算： (1)； (2)； (3)． (4)； (5) ； (6)； (7) ． (8)； (9) ； (10) ； (11)． (12)； (13) ． (14) ； (15)； (16)； (17)． (18)． (19)． (20)． 5.4 分式的加减 知识点8 分式的加减 1.同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分式的分母 不变 ，把分子相 加减 。用式子表示为=。 2.异分母分式的加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母 相同 的分式，叫做通分，经过 通分 ，异分母分式的加减就转化为 同分母 分式的加减。用式子表示为： = = 。 注意： (1)异分母分式相加减，化异分母分式为同分母分式是解题的关键。同分母分式相减时,减式的分子是多项式的要加括号，避免产生符号错误。 (2)异分母分式相加减，当分式中的分子与分母有公因式时，先约分，再通分。 专项练习 题型17 分式的加减--同分母分式运算（基础） 74．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． (5)； (6)； (7)； (8)． (9)； (10)； (11)； (12)； (13)． (14)； (15)． 题型18 分式的加减--异分母分式运算（基础） 75．计算： (1)． (2)； (3)； (4)； (5)． (6)； (7)； (8)； (9)． (10)． (11)； (12)． (13)． (14)； (15)． (16) ． 题型19 分式的加减--分式与整式相加（基础） 76．计算：． 77．计算：． 78．计算：(1)； (2)． 79．计算：． 80．下面是某同学计算的解题过程： 解： ① ② ③ ④ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． 题型20 整数指数幂运算（基础） 81．计算： (1)； (2) (3) (4) (5)． (6)． 82．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 83．计算： (1)； (2)． 84．计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式． (1)； (2)； (3)． 85．计算： (1)； (2)； (3)． 题型21 用科学计数法表示绝对值小于1的数（基础） 86．目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.000001125立方米．将数据0.000001125用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 87．2025年最新研发的纳米机器人宽度约为25纳米（即0.00000025米），“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 88．新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，但它在病毒家族里却算是大个子，某新型冠状病毒的直径是0.00075m，将数字0.00075m用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 89．人体内某种细胞可近似的看作球体，它的直径为，将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 90．中国科学院研发的新型纳米机器人的大小仅为0.000000098米，数据0.000000098用科学记数法表示为 ． 知识点9 分式的混合运算 分式的混合运算,，要注意运算顺序，分式与实数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。 注意： 分式的混合运算中要注意分式中分子、分母符号的处理,当分子或分母是单项式，且系数是负数时，要把“-”移到分式的前面. 专项练习 题型22 分式的混合运算（中档） 91．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 92．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 93．计算：(1)； (2)． 95．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 95．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型23 已知分式恒等式确定分子或分母（中档） 96．已知，则 ． 97．若恒成立，则的值是 ． 98．若，，为常数，则的值为 ． 99．若 ，其中a，b为常数，则 ． 100．已知，求的值． 题型24 分式的化简求值--先化简再求值（中档） 101．先化简，再求值：，其中． 102．先化简，再求值：，其中． 103．先化简，再求值：，其中． 104．先化简，再求值：，其中 105．先化简，后求值：，其中． 题型25 分式的化简求值--整体代入求值（中档） 106．已知，求代数式的值． 107．已知实数满足，先化简，再求值． 108．已知，求代数式的值． 109．已知，求代数式的值． 110．先化简再求值，其中是方程的实根． 题型26 分式的化简求值--选择代入求值（中档） 111．先化简：，再从，1，3三个数中选取一个合适的数值作为的值代入求值． 112．先化简：，然后从的范围内选择一个合适的整数作为m的值代入并求值． 113．先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 114．先化简，再求值：且，请选一个合适的整数代入求值． 115．先化简再求值：，其中满足，请选一个合适的的整数值代入求值． 5.4 分式方程 知识点10 分式方程 1.分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程。 2.分式方程的重要特征 (1)是方程；(2)分母中含有未知数。 注意：(1)判断一个方程是不是分式方程的关键 看分母中是否含有未知数，判断时不能对方程进行约分、通分，更不能用等式的性质对方程进行变形。 (2)分式方程可以转化为整式方程。 专项练习 题型27 分式方程的辨别（基础） 116．下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 117．已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 118．下列方程中，是分式方程的有 （填序号）． ①；②；③；④． 119．下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 120．下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有 ．（填序号） 知识点11 解分式方程 1.解分式方程的基本思路 将分式方程化为 整式方程 。具体做法是“去分母”，即方程两边乘 最简公分母 。这也是解分式方程的一般方法。 2.解分式方程的一般步骤 3.增根与无解的区别：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的。分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不仅包括使最简公分母为0的数，还包括分式方程化为整式方程后，整式方程无解的情况。 注意： (1)如果分式的分子是多项式，去分母时，要给多项式加上括号。 (2)方程两边各项乘最简公分母时，不要漏乘不含分母的项。 (3)增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0以确定增根； ②)化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值。 专项练习 题型28 分式方程的一般解法（基础） 121．解下列方程：(1) ． (2)． (3) ； (4)． (5) (6) (7) 122．解方程：(1)； (2) 123．解方程： (1)； (2)． (3) (4) 124．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 125．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型29 分式方程的增根问题（中档） 126．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 127．关于的分式方程有增根，则m的值是 ． 128．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 129．若方程有增根，则的值为 ． 130．已知关于的方程：，若方程有增根，求的值． 题型30 分式方程无解问题（中档） 131．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 132．若关于的方程无解，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 133．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 134．若关于x的分式方程无解，求参数a的值． 135．若关于的分式方程无解，求的值． 题型31 由分式方程解的情况求字母的范围（中档） 136．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　） A．且 B．且 C． D． 137．关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 138．若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 139．若关于的方程有无数多个解，则 ． 140．若关于x的分式方程的解为正整数，则正数m的值为多少？ 知识点12 分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系 (1)工程问题：工作效率×工作时间=工作量，总工作量=各工作量之和。 (2)利润问题：利润=售价-进价，利润率=×100%，总利润=单件的利润×销售的数量。 (3)行程问题：速度×时间=路程。 (4)储蓄问题：本息和=本金+利息。 2.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：审清题意，弄清已知量和未知量； (2)设：设未知数(可以直接设未知数，也可以间接设未知数)； (3)列：列出分式方程； (4)解：解分式方程； (5)验：既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义； (6)答：写出答案。 注意：(1)选择合适的等量关系 在实际问题中，有时题目中包含多个等量关系，在列分式方程时，一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的等量关系列方程。 (2)①列分式方程解应用题时，一定不要忘记检验； ②)在实际问题中要舍去不符合实际意义的分式方程的解。 专项练习 题型32 根据题意列分式方程（基础） 141．某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 142．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．一汽车销售公司销售某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年月份每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量是去年一整年的，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 143．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作．从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人工作效率相同，结果提前3天完成此项工作．设甲志愿者计划完成此项工作需用x天，用方程表示问题中的数量关系为（   ）． A． B． C． D． 144．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 145．在物理学中，物质的密度等于物体的质量m与它的体积V之比，即．已知两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积小．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 题型33 分式方程的应用--行程问题（中档） 146．某汽车评估机构对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．（续航里程一般指汽车油箱加满或电池满电时，跑到完全不能继续移动时一共跑过的里程数．）相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两款车的续航里程均为S千米． (1)燃油车每千米行驶费用为 元，纯电新能源车每千米行驶费用为 元；（用含S的代数式表示） (2)若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．请求出这两款车的每千米行驶费用． 147．下面是小琼学习了分式方程后所做的课堂笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某中学组织学生们到离学校的郊区进行社会调查．一部分学生步行前往，另一部分学生在步行的学生出发后，骑自行车沿相同路线行进，步行的学生与骑自行车的学生同时到达目的地，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，分别求步行和骑自行车的速度． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：步行的时间﹣骑自行车时间＝ 解法二 设… 等量关系：步行的速度＝骑自行车的速度 任务： (1)解法一所列的方程中的x表示_________，解法二所列的方程中的x表示_________； A．步行的速度为 B．骑自行车的速度为 C．步行的时间为 (2)任选一种方法，分别求出步行和骑自行车的速度． 148．如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米． (1)若水流速度为每小时5千米，这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，求该货轮在静水中的速度． (2)若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，段河流水速为每小时a千米，段因受降水影响，水速变为每小时b千米．设货轮在段的逆水航行时间为，在段的逆水航行时间为，请判断与的大小关系，通过计算说明理由． 149．小明到离家2400米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有40分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？ (2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？ 150．如图，某森林公园从山脚B到山顶A有一段12千米长的山路，已知小牧下山的平均速度是上山的平均速度的倍，他从山脚走到山顶、再从山顶走到山脚一共需要5小时． (1)求小牧上山的平均速度； (2)在此山路上有一处C，小牧从C处走到山顶A所用的时间等于从C处走到山脚B所用的时间，则C处离山顶A有多远？ 题型34 分式方程的应用--工程问题（中档） 151．现安排甲、乙两个工程队对某地的道路进行改造．已知甲工程队改造米的道路与乙工程队改造米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造米，求乙工程队每天改造道路的长度是多少米？ 152．晋阳高速公路改扩建项目是年山西省级的重点项目，现有一段路由甲、乙两个工程队共同承包修建．其中甲工程队需要修千米，乙工程队需要修千米，已知乙工程队每个月的修建速度是甲工程队的倍，最终乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，问甲工程队每个月修建多少千米？ 153．重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶900个销售．工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工45个，又加工了4天才完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前4天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 154．某玩具车间准备用10天时间生产6000个“哪吒”套盒，计划先安排甲组工人生产4天，再安排乙组工人加入共同生产，则刚好能如期完成．已知甲组每天比乙组少生产200个套盒． (1)求甲组每天生产多少个套盒？ (2)实际生产过程中，甲组生产4天后，车间负责人给甲、乙两个小组分别增加2名工人，并将剩下的任务平均分给两个小组．增加人员后，甲、乙两小组每天生产的数量比为，甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，求增加人员前，甲组有多少名工人？（每人每天生产的数量相同） 155．为推动传统农业向智慧农业转型，某农场决定配备两款施肥无人机共架．每架款施肥无人机需要人协同操控，每架款施肥无人机需要人协同操控，农场负责施肥的操控人员共有人． (1)求款施肥无人机和款施肥无人机分别有多少架？ (2)该农场共有亩农田需要施肥， 两款施肥无人机负责施肥亩数相同，已知每架款施肥无人机每小时施肥亩数是每架款施肥无人机每小时施肥亩数的倍，所有款施肥无人机同时施肥比所有款施肥无人机同时施肥提前小时完成施肥，求每架款施肥无人机每小时施肥多少亩？ 题型35 分式方程的应用--销售问题（中档） 156．孝敬父母是中华民族的传统美德．“母亲节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动．购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元． (1)求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？ (2)“母亲节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降低了元，玫瑰花束单价降低了m元，节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍，且康乃馨花束的销售额为1800元，玫瑰花束的销售额为900元，求m的值． 157．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进、两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本种书籍的进价为25元，每本种书籍的进价为40元，其中购进的种书籍的数量比种书籍数量的2倍多4本． (1)求、两种书籍分别购进多少本？ (2)该书城在“世界读书日”当天售出、两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中种书籍的销售额是1200元，已知每本种书籍的售价是每本种书籍售价的1.6倍，求每本种书籍的售价是多少元？ 158．近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校2022年至2024年图书馆购进新书总支出如图所示： (1)该校图书馆2024年购进新书总支出比2023年提高了，2022年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ (2)为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，2025年新书购进计划在2024年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加80册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比2024年降低20元，那么学校计划2025年购进自然科学类图书多少册？ 159．宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 160．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表所示： 单枪充电桩 双枪充电桩 总价：50000元 总价：45000元 单价：元个 单价： 元/个 若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多8个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 题型36 分式有关规律探究问题（培优-创新题） 161．给定一列分式：，，，，…（其中，），那么第n个分式是 ，这列分式中第n个分式除以第个分式的商是 ． 162．已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 163．《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 164．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．． 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：___________； (2)写出你猜想的第个等式：___________（用含的等式表示），并证明． 165．观察以下等式： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 题型37 阅读理解与新定义（培优-创新题） 166．阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 167．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 168．阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 169．阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判段与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”． (2)已知分式，与互为“关联分式”，且“关联值”． ①_____（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于_____． 170．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ，即， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组； (3)已知、、为实数，，，，求分式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$