精品解析： 福建省泉州第五中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

泉州五中2024-2025学年下学期初二年期中考试 数学科试卷 全卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：（单项选择，每小题4分，共40分，在答题卡上相应题目的答题区域内作答） 1. 分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为0是解题的关键． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项错误，不符合题意； B．是分式方程，故选项错误，不符合题意； C．是一元二次方程，故选项正确，符合题意； D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 3. 计算7﹣1的结果是（ ） A. 7 B. ﹣7 C. D. ﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】根据负整数指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解：7﹣1＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了负整数指数幂的法则，属于基础题，熟记负整数指数幂的法则是解决本题的关键． 4. 在平行四边形中，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，邻角互补，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，，，则AD的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明DA=DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD，AB=CD， ∴∠DEA=∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∴∠DAE=∠DEA， ∴DE=AD， ∵， ∴ ∵ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 6. 活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定：三个角都是直角的四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．根据矩形的判定逐项判断即可得． 【详解】解：A、测量是否有三个角是直角，能判定四边形是矩形，则此项符合题意； B、测量对角线是否相等，不能判定四边形是矩形，则此项不符合题意； C、测量两组对边是否分别相等，能判定四边形是平行四边形，但不能判定四边形是矩形，则此项不符合题意； D、测量对角线是否互相垂直，不能判定四边形是矩形，则此项不符合题意； 故选：A． 7. 如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，点F在DC的延长线上，连接AF交BC于点G，则∠FGC的度数为（　　） A 67.5° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的性质和菱形的性质可得∠CAB＝45°＝∠ACB，∠ABC＝90°，∠CAF＝∠EAF＝∠CAB＝22.5°，由三角形的外角性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB＝45°＝∠ACB，∠ABC＝90°， ∵四边形AEFC是菱形， ∴∠CAF＝∠EAF＝∠CAB＝22.5°， ∴∠FGC＝∠ACB+∠CAF＝67.5°， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，三角形的外角性质，掌握这些性质是本题的关键． 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，由矩形的性质可得，，，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，灵活运用矩形的性质是本题的关键． 9. 已知：，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知等式两边除以，求出的值，再代入即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的混合运算，化简求值，运用了整体代入的思想方法．解题的关键是利用了等式的两边同时除以不为零的数，等式仍然成立． 10. 设，，，则三数，，中（ ） A. 都不大于－2 B. 都不小于－2 C. 至少有一个不大于－2 D. 至少有一个不小于－2 【答案】C 【解析】 【分析】首先把三个数相加，得到，由已知可知，，，可得，据此即可判定． 【详解】解：， ，，， ，，，当且仅当时，取等号 ， 当这三个数都大于-2时，这三个数的和一定大于-6，这与矛盾， 这三个数中至少有一个不大于-2， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用不等式取值及反证法，判定命题的真假，难度比较大． 二、填空题（每小题4分，共24分，在答题卡上相应题目的答题区域内作答） 11. 在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为_____． 【答案】7.7×10﹣4 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00077=7.7×10-4， 故答案为7.7×10-4． 【点睛】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据含乘方的分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 如图，平行四边形ABCD中，AE⊥CD于E，∠B=50°，则∠DAE= ______. 【答案】40°． 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等求∠D，由AE⊥CD，利用直角三角形两锐角互余求∠DAE． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠D=∠B=50°， 又∵AE⊥CD， ∴∠DAE=90°-∠D=40°． 故答案为40°． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，注意掌握平行四边形的两组对角分别相等，直角三角形的两锐角互余． 14. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式是解答本题的关键． 若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式等于零，建立关于的方程，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点为边上一点，且，点是的中点，点为的中点，则的长为______. 【答案】5 【解析】 【分析】过G作GM⊥AD，延长MG交BC于N，根据矩形性质可得四边形MNCD是矩形，MD=NC，MN=CD，根据EC=2BE可求出CE的长，由三角形中位线的性质可求出NG、NC的长，进而可得MG、AM的长，利用勾股定理求出AG的长即可. 【详解】过G作GM⊥AD，延长MG交BC于N， ∴四边形MNCD是矩形， ∴MD=NC，MN=CD， ∵EC=2BE，BC=6， ∴EC=4， ∵F为CD的中点，CD=AB=4， ∴CF=2， ∵G为EF中点，MN//CD， ∴NC=EC=2，NG=CF=1， ∴MG=MN-NG=4-1=3，AM=AD-MD=6-2=4， ∴AG===5. 故答案为5 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，三角形的中位线，平行于第三边，且等于第三边的一半；三角掌握相关性质是解题关键. 16. 如图，在正方形中，，点P是边上的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到，连接、，则周长的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作，交的延长线于点M，连接，并延长到点，使得，连接交于点N，当E与N重合时，最小，此时，利用勾股定理解答即可． 本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，一线三直角全等模型，线段的垂直平分线，勾股定理，线段和的最小值，熟练掌握一线三直角全等模型，线段的垂直平分线，勾股定理，线段和的最小值是解题的关键． 【详解】过点E作，交的延长线于点M， ∵正方形，线段绕点P顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线； 连接，并延长到点，使得， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线； 过点作，交的延长线于点R，交的延长线于点Q， ∵正方形， ∴，， ∴，四边形是矩形； ∴，，； ∴点R在线段的垂直平分线上， 故三点共线， ∴， ∴； 连接交于点N，当E与N重合时，最小，此时， ∴， 故周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共86分，在答题卡上相应题目的答题区域内作答） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程方法，是解题的关键． （1）先移项，然后用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 移项得：， 开平方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 18. 如图，在平行四边形中，，点E、F分别在边上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，熟知一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．先由平行四边形的性质得到，，再由得出，由，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后代值计算． 【详解】解： = = =， 把代入上式，得：原式＝． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，二次根式的运算，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握． 20. 如图，在中，平分，交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图： （1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图； （2）先由角平分线的定义得到，再由线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对角推出，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 平分， ， 的垂直平分线是， ，， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 21. 某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？ 【答案】（1）甲礼品100元，乙礼品60元；（2）5． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根据题意列不等式求解即可． 试题解析：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意得：，解得：x=60，经检验x=60是原方程的根，∴x+40=100． 答：甲礼品100元，乙礼品60元； （2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根据题意得：100m+60（30﹣m）≤2000，解得：m≤5． 答：最多可购买5个甲礼品． 考点：1．分式方程的应用；2．一元一次不等式的应用；3．最值问题． 22. 如图所示，将矩形ABCD沿对角线BD对折，使点C落在处，连接B交AD于点E，AB=4， BC=6. 求证： (1)AE=E； (2)△EBD面积. 【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质可得∠A=∠C=∠=90°，AB=DC=，然后证明△ABE≌△DE即可； （2）设DE=x，则BE=x，AE=6x，在Rt△ABE中，根据勾股定理列方程求出DE，然后根据三角形面积公式计算. 【详解】证明：(1)∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A=∠C=∠=90°，AB=DC=， 在△ABE和△DE中，， ∴△ABE≌△DE， ∴AE=E； (2)设DE=x，则BE=x， ∵AB=4，BC=6， ∴AE=6x， 在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2，即x2=42+(6x)2. 解得x=. ∴△EBD面积=4×=. 【点睛】本题考查的是矩形中的折叠问题，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质、勾股定理以及方程思想的应用，难度不大． 23. 已知关于的分式方程． （1）若，求分式方程的解； （2）若分式方程无解，求的值． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）将代入，分式方程去分母转化为整式方程，即可求出x的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到或或，即可求出 m的值． 【小问1详解】 解：去分母得 ， 解得 ， 经检验：是方程的解； 【小问2详解】 解：去分母得 ，即 ， 当时，即时，整式方程无解，符合题意； 当时，则 ∴或， ∴或， 综上所述，或或. 24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程 （2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值： （3）若关于x的方程是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】（1）是；计算见解析 （2）或 （3）221 【解析】 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值； 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：，， ∵，符合邻根方程的定义， ∴是邻根方程； 【小问2详解】 解：∵关于x的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ∴， ∴， 故或； 【小问3详解】 解：∵关于x的方程是邻根方程，设两个根分别为、， ∴， 由韦达定理：， ∴， ∴， ∴ ∴当时，， 答：t的最大值为221． 【点睛】本题主要考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． 25. 已知：正方形中，点P为线段上一个动点，过点B作交边于H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，把线段沿向上平移到位置，连接，分别交、、、于点M、E、F、N ①若E为中点，，，求的长； ②如图3，在上截取，连接，G为中点，连接，．若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 分析】（1）根据正方形性质证明，得出即可； （2）①先证明垂直平分，再根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，再根据勾股定理求出，则可得出结果； ②连接并延长到H，使得，连接，，证明，得出，，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，得出，证明也是等腰直角三角形，得出，根据勾股定理求出． 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，，， 正方形是轴对称图形，为对角线上一点， ，， ∵把线段沿向上平移到位置，， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴； ②连接并延长到H，使得，连接，，如图所示： ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关图形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泉州五中2024-2025学年下学期初二年期中考试 数学科试卷 全卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：（单项选择，每小题4分，共40分，在答题卡上相应题目的答题区域内作答） 1. 分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A B. C. D. 3. 计算7﹣1结果是（ ） A. 7 B. ﹣7 C. D. ﹣ 4. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，，，则AD的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 6. 活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 7. 如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，点F在DC的延长线上，连接AF交BC于点G，则∠FGC的度数为（　　） A. 67.5° B. 45° C. 60° D. 75° 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 4 9. 已知：，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 设，，，则三数，，中（ ） A. 都不大于－2 B. 都不小于－2 C. 至少有一个不大于－2 D. 至少有一个不小于－2 二、填空题（每小题4分，共24分，在答题卡上相应题目的答题区域内作答） 11. 在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为_____． 12. 计算：________． 13. 如图，平行四边形ABCD中，AE⊥CD于E，∠B=50°，则∠DAE= ______. 14. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 15. 如图，在矩形中，，，点为边上一点，且，点是的中点，点为的中点，则的长为______. 16. 如图，在正方形中，，点P是边上的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到，连接、，则周长的最小值为__________． 三、解答题（共86分，在答题卡上相应题目的答题区域内作答） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平行四边形中，，点E、F分别在边上，且．求证：四边形平行四边形． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，平分，交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）判断四边形形状，并说明理由． 21. 某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？ 22. 如图所示，将矩形ABCD沿对角线BD对折，使点C落在处，连接B交AD于点E，AB=4， BC=6. 求证： (1)AE=E； (2)△EBD面积. 23. 已知关于分式方程． （1）若，求分式方程的解； （2）若分式方程无解，求的值． 24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程 （2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值： （3）若关于x的方程是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 25. 已知：正方形中，点P为线段上一个动点，过点B作交边于H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，把线段沿向上平移到位置，连接，分别交、、、于点M、E、F、N ①若E为中点，，，求的长； ②如图3，在上截取，连接，G为中点，连接，．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$