精品解析：广东省清远市清城区清城中学教育集团 2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

清城中学教育集团2024-2025第二学期 八年级数学科期中评定测试 本试卷共7页，23小题，满分120分，考试用时120分钟 注意事项： 1．选择题答题时用2B铅笔，非选择题答题时必须要用黑色字迹的签字笔或钢笔． 2．不准使用涂改液． 一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是 （    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 在中，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了30度所对直角边是斜边的一半，根据得出，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵在中， ∴， 故选：B． 3. 如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题： ①如果，那么为中点； ②如果，那么． 对于这两个命题判断正确的是（ ） A. ①②都是真命题； B. ①是真命题，②是假命题； C. ①是假命题，②是真命题； D. ①②都是假命题． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，证明，得到，再证明，得到，进而得到垂直平分，判断①，反证法判断②． 【详解】解析：①三角形为等边三角形， ∴， ， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ， ∵，， ， ， 为中垂线上的点， ∵， ∴为中垂线上的点， ∴垂直平分， 为中点； 所以①为真命题； 假设与不平行，作，与交于点，作，则：，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴，即：，与矛盾， ∴假设不成立， ∴；故②为真命题． 故选A． 4. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的垂直平分线交于点D，垂足为点E，得到，继而得到，根据平分，，再根据三角形内角和定理解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线，等腰三角形的判定和性质，角的平分线，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，垂足为点E，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 5. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③．其中正确的结论有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，通过证明三角形全等来验证筝形的性质． 根据全等三角形的判定和性质逐个证明即可得到结果． 【详解】在和中 ， 故③正确； 在与中， ， ， 故①②正确， 综上①②③正确，正确的结论共3个， 故选：D． 6. 函数y=x+2的图象如图所示,当y>0时,x的值是（） A. x<-2 B. x>-2 C. x>2 D. x<2 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据函数y=x+2的图象进行解答即可． 【详解】解：由函数y=x+2的图象可知，当x＞-2时，函数图象在x轴上方，故当y＞0时，x的值是x＞-2,故选B． 【点睛】本题主要考查的是一次函数图象与不等式的关系，解决本题的关键是要熟练掌握利用一次函数图象解不等式． 7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解不等式的步骤，移项 、合并同类项 、系数化为一；解不等式2x+4≤6，得x≤1，再由x>−3，得到不等式组的解集， 再把不等式组的解集表示在数轴上即可．． 【详解】解：解不等式2x+4≤6，得：x≤1， ∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1， 故选A 【点睛】本题考查不等式组的解集问题，解题关键是根据不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥，≤”要用实心圆点表示；“＜，＞”要用空心圆点表示． 8. 若，则k的值是（ ） A. 10 B. C. D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式法则的应用，能正确根据法则进行计算是解此题的关键． 把等号右边利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应系数相等求解． 【详解】解： ∴， 解得：， 故选：B． 9. 如图所示，在和中，已知，，则的理由是（ ） A. SAS B. AAS C. HL D. ASA 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了直角三角形全等的判定．观察图形，根据已知条件在图形上的位置，题目给出了斜边及一角对应相等，又因为是公共边，符合，答案可得． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：C． 10. 如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先由勾股定理求出，则，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴ ， 故选：． 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 11. 若一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解题关键是根据等腰三角形的三线合一求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：，，； 则； 由勾股定理得，． 故答案为：8． 12. 如图，在中，，，，垂足为点，，垂足为点，，则四边形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆的有关概念等知识，连接，证明，则有，，再由直角三角形性质可得，然后通过勾股定理求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积是， 故答案为：． 13. 如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：15． 14. 如果关于x的不等式组的所有整数解的和是-7，则m的取值范围是_______________； 【答案】或2＜x≤3 【解析】 【分析】首先求得不等式组的解集，然后根据所有整数解的和是－7，即可求得最大的整数解，即可确定m的范围． 【详解】解： 解①得：x＞−5， 则不等式组的解集是：−5＜x＜m， 则大于−5的整数最小的是：−4. 设最大的是x. 则 (x＋4＋1)(−4＋x)＝−7， 解得：x＝2或−3 当x＝−3时，m的范围是：−3＜m⩽−2； 当x＝2时，m的范围是：2＜m⩽3. 故答案是：−3＜m⩽−2或2＜m⩽3. 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，临界数－ 2和－3的取舍是易错的地方，要借助数轴做出正确的取舍. 15. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，若平移距离为7，则阴影部分面积为________． 【答案】56 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键． 根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， ∵平移， ， ， 故答案为：56． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式： （1），并把它的解集在数轴上表示出来． （2）求不等式的正整数解． 【答案】（1），（2），不等式的正整数解为1，2，3． 【解析】 【分析】（1）不等式去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可； （2）求出不等式的解集，找出正整数解即可． 【详解】（1）去分母得：， 移项合并得：， 解得：， （2）去括号得：， 移项合并得：， 解得： 正整数解为1，2，3． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17. 已知如图，在中，，． （1）作的平分线，交于点；作的中点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，求证：． 【答案】（1） 如下图，点D、E即为所求作； （2） 证明：∵，平分， ， ， ∴， ∴， 在和中， ∴. 【解析】 【分析】本题考查的是作角平分线及线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质， （1）以B为圆心，任意长为半径画弧，交于F、N，再以F、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，交于D，射线就是的平分线；分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y画直线与交于点E，点E就是的中点； （2）首先根据角平分线的性质可得的度数，进而得到，根据等角对等边可得，再加上条件，即可利用证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，已知，，与交于点M．过点C作，过点B作，与交于点N． （1）求证：； （2）已知，求的长． 【答案】（1） 证明：在与中， ∵，，， ∴． （2）3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，即可作答． （2）先根据得出，再结合平行线的性质得，，则，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： 由（1）知． ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∴． 三、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上的点，连接，将绕点顺时针旋转至，．连接，直线交轴于点． （1）如图，当 时，求点坐标； （2）证明：； （3）如图，若，，，判断的形状并说明理由． 【答案】（1）； （2） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3） 为等边三角形，理由如下， 过作，交轴于点，则， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（）可知， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】（）由，则，证明，所以，故有，从而求出点即可； （）同（）理可证，则有，由，故有，所以，，然后通过等腰三角形的判定方法即可求证； （）过作，交轴于点，得，则，，，由勾股定理得，，又，，则，，然后证明，最后通过全等三角形的性质等腰三角形的判定方法即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴坐标为， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 20. 市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买，两种风景树共900棵．，两种树的相关信息如下表： 品种 项目 单价（元棵） 成活率 80 100 若购买种树棵，购树所需的总费用为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购树的总费用不超过82 000元，则购种树不少于多少棵？ （3）若希望这批树的成活率不低于，且使购树的总费用最低，应选购，两种树各多少棵？此时最低费用为多少？ 【答案】（1）y且为整数）；（2）购种树不少于400．（3）应购种树600棵，种树300棵，最低费用为78000元． 【解析】 【分析】（1）根据购树的总费用买种树的费用买种树的费用，化简后便可得出与的函数关系式； （2）根据（1）得到的关系式，然后将所求的条件代入其中，然后判断出购买种树的数量； （3）先用种树的成活的数量种树的成活的数量树的总量平均成活率来判断出的取值，然后根据函数的性质判断出最佳的方案． 【详解】解：（1） 且为整数）； （2）由题意得：， 解得：， 又因为计划购买，两种风景树共900棵， 所以， 即购种树不少于400． （3） 随的增大而减小． 当时，购树费用最低为（元． 当时，， 此时应购种树600棵，种树300棵，最低费用为78000元． 【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题．注意根据自变量的取值范围来判断所要求的解． 21. 如图，已知中，，为上一点，求证：．请将下面的证明过程补充完整，并在相应的括号内注明理由． 证明：如图，过点作于点，交于点． ，． 　　 ，（已知） 　　 又，　　， 　　 　　． 【答案】 ，等量代换，，，垂直定义． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及垂直定义可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及垂直定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E. (1)求证：BE＝CE； (2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系； (3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数． 【答案】 （1）证明：如图1中， ∵DB=DC，DE⊥BC， ∴CE=BE（等腰三角形底边上三线合一）． （2）结论：∠ABC-∠ACB=2∠ADE． 理由：如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M． ∵∠BAN=∠MAN，∠BAN+∠ABN=90°，∠MAN+∠AMN=90°， ∴∠ABN=∠AMN， ∵∠DOE=∠BON，∠DEO=∠BNO=90°， ∴∠EDA=∠CBM， ∴∠ABC-∠ACB=∠ABM+∠CBM-∠ACB=∠AMB+∠CBM-∠ACB=∠MCB+∠CBM+∠CBM-∠ACB=2∠CBN=2∠EDA． 故答案为∠ABC-∠ACB=2∠ADE （3）30° 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形底边上三线合一即可证明． （2）结论：∠ABC-∠ACB=2∠ADE．如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．证出∠ABN=∠AMN，再由角的和差求得． （3）如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．首先证明△DBN≌△DCM，推出∠BDN=∠CDM，推出∠CDB=∠MDN，由∠CAB+∠MDN=180°，推出∠CDB+∠CAB=180°， 利用（2）的结论求出∠ABC，∠CAB即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N． ∵∠DAN=∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB， ∴DM=DN， 在Rt△DBN和Rt△DCM中， ， ∴△DBN≌△DCM， ∴∠BDN=∠CDM， ∴∠CDB=∠MDN， ∵∠CAB+∠MDN=180°， ∴∠CDB+∠CAB=180°， ∵∠ACB=40°，∠ADE=20°，∠ABC-∠ACB=2∠ADE ∴∠ABC=80°， ∴∠CAB=180°-80°-40°=60°， ∴∠CDB=120°， ∴∠EDB=∠EDC=60°， ∴∠DCB=90°-∠EDC=30°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 23. 【课本内容】 如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边BC上的中线． 【尝试应用】 学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围． 反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题处理】 如图3，已知是中边上的中线，F是上的一点，交于点E，，求证：； 【拓展提升】 如图4，在等边中，点E是边上一定点，点D在边上，以为边作等边，连接．请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】 【尝试应用】证明：延长到，使，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ； 【问题处理】证明：延长至点，使，连接， 同（1）法可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【拓展提升】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握倍长中线法和截长补短法构造全等三角形是解题的关键： （1）利用证明，进而得到，三角形的三边关系求出的范围，进而求出的范围； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，结合，等边对等角，对顶角相等，得到，即可得证； （3）在上截取，证明，得到，再根据，等量代换即可得出结论． 【详解】解：尝试应用：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 问题处理：略 拓展提升：在上截取， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清城中学教育集团2024-2025第二学期 八年级数学科期中评定测试 本试卷共7页，23小题，满分120分，考试用时120分钟 注意事项： 1．选择题答题时用2B铅笔，非选择题答题时必须要用黑色字迹的签字笔或钢笔． 2．不准使用涂改液． 一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是 （    ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题： ①如果，那么为中点； ②如果，那么． 对于这两个命题判断正确的是（ ） A. ①②都是真命题； B. ①是真命题，②是假命题； C. ①是假命题，②是真命题； D. ①②都是假命题． 4. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③．其中正确的结论有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 函数y=x+2的图象如图所示,当y>0时,x的值是（） A. x<-2 B. x>-2 C. x>2 D. x<2 7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则k的值是（ ） A. 10 B. C. D. 14 9. 如图所示，在和中，已知，，则的理由是（ ） A. SAS B. AAS C. HL D. ASA 10. 如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 11. 若一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为_______． 12. 如图，在中，，，，垂足为点，，垂足为点，，则四边形的面积是______． 13. 如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是__________． 14. 如果关于x的不等式组的所有整数解的和是-7，则m的取值范围是_______________； 15. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，若平移距离为7，则阴影部分面积为________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式： （1），并把它的解集在数轴上表示出来． （2）求不等式的正整数解． 17. 已知如图，在中，，． （1）作的平分线，交于点；作的中点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，求证：． 18. 如图，已知，，与交于点M．过点C作，过点B作，与交于点N． （1）求证：； （2）已知，求的长． 三、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上的点，连接，将绕点顺时针旋转至，．连接，直线交轴于点． （1）如图，当 时，求点坐标； （2）证明：； （3）如图，若，，，判断的形状并说明理由． 20. 市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买，两种风景树共900棵．，两种树的相关信息如下表： 品种 项目 单价（元棵） 成活率 80 100 若购买种树棵，购树所需的总费用为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购树的总费用不超过82 000元，则购种树不少于多少棵？ （3）若希望这批树的成活率不低于，且使购树的总费用最低，应选购，两种树各多少棵？此时最低费用为多少？ 21. 如图，已知中，，为上一点，求证：．请将下面的证明过程补充完整，并在相应的括号内注明理由． 证明：如图，过点作于点，交于点． ，． 　　 ，（已知） 　　 又，　　， 　　 　　． 三、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E. (1)求证：BE＝CE； (2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系； (3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数． 23. 【课本内容】 如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边BC上的中线． 【尝试应用】 学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围． 反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题处理】 如图3，已知是中边上的中线，F是上的一点，交于点E，，求证：； 【拓展提升】 如图4，在等边中，点E是边上一定点，点D在边上，以为边作等边，连接．请直接写出，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $