精品解析：2025年广东省清远市连州市瑶安民族学校中考二模九年级数学试题

2025年广东省初中学业水平考试模拟卷（二） 数学 本试卷共4页、23小题，满分120分．考试用时120分钟． 说明：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或袋字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相似位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，无理数（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项即可作出判断． 【详解】解：A、-1是有理数，此选项错误； B、0是有理数，此选项错误； C、是有理数，此选项错误； D、是无理数，此选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． 2. 第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在巴黎举行，以下分别是“2008北京奥运会徽”“2020东京奥运会徽”“2024巴黎奥运会徽”“2028洛杉矶奥运会徽”，其中既是轴对称图形又中心对称图形的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，正确理解轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键，“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，“ 把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”．根据两类图形的定义即可得到结果． 【详解】解：因为四个图形都不是轴对称图形，也均不是中心对称图形， 所以四个图形中既是轴对称图形又中心对称图形的个数是0个． 故选：A． 3. 据中国国家铁路集团统计，2025年1月1日元旦期间，全国铁路发送旅客1150万人次，数据“1150万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：1150万， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方．根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 下列命题中，正确的是（　　） A. 垂线段最短 B. 平行四边形是轴对称图形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 平分弦的直径垂直于弦．且平分弦所对的两条弧 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查命题的判断，解题关键是准确记忆垂线段、平行四边形、矩形、圆相关的性质与定理来判断命题真假。 依据垂线段性质、平行四边形对称性、矩形对角线性质、圆中弦与直径的关系等知识，判断命题是否正确。 A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是一个基本的几何定理，该选项正确，故符合题意； B．平行四边形沿任何一条直线对折后，直线两侧的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形，该选项错误，故不符合题意； C．矩形的对角线相等，但一般情况下不互相垂直，菱形和正方形（特殊的矩形）的对角线才互相垂直，该选项错误，故不符合题意； D．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．当弦是直径时，任意一条直径都可以平分另一条直径，但不一定互相垂直，该选项错，故不符合题意； 故选：A． 6. 节能环保已成为人们的共识．小东家计划购买300度电，若平均每天用电度、则能使用天．下列说法正确的是（　　） A. 若减小，则也减小 B. 若减少100，则就增加100 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先理解题意得，再结合反比例函数的图象性质得若减小，则增大，当时，，当时，则，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵小东家计划购买300度电，若平均每天用电度、则能使用天． ∴， ∴ 若减小，则增大，故不符合题意； ∵， ∴不一定等于300，故B不符合题意； 当时，，故C不符合题意： 当时，，则，故D符合题意． 故选D． 7. 解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别算出每个不等式组的解集，再取它们公共部分的解集，然后再在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解：∵， ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如图所示． 故选A． 8. 北京时间2024年10月30日04时27分，在酒泉卫星发射中心发射神舟十九号载人飞船，执行此次飞行任务由蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员组成，其中航天员宋令东和王浩泽为首次执行飞行任务的“90后”．现从中随机采访一位飞行员，首次执行飞行任务的“90后”飞行员被选中的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据执行此次飞行任务由蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员组成，则其中首次执行飞行任务的“90后”飞行员共有2位，再结合概率公式列式，即可作答． 【详解】解：依题意，从中随机采访一位飞行员，共有3种等可能的结果，其中首次执行飞行任务的“90后”飞行员共有2位， ∴首次执行飞行任务的“90后”飞行员被选中的概率为． 故选B． 9. 如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键．先连接，利用切线的性质得出，由四边形是的内接四边形，得出，进一步即可得出的度数． 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ． ， 由四边形是的内接四边形，， 得 由， 得． 故选：C． 10. 如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间（s）之间的函数关系图象（为图象的最高点），则平行四边形的面积为（　　） A. 6 B. 12 C. D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，二次函数与几何图形综合问题，二次函数最值问题，由题意可知，设，则．过点作的延长线于点．由，得．计算的面积，根据函数最大值得到，由此得到的长度，过点作的延长线于点，求出，即可求出平行四边形的面积． 【详解】解：∵点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动， ∴， 设，则． 如图，过点作的延长线于点．由，得． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 在中， ， ∵， ∴ ， 化简，得， 由二次函数图象可知，， 解得，则． 如图，过点作的延长线于点． 在中，， ， ． 故选A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．此多项式有公因式，先提取公因式3，在利用平方差公式分解． 【详解】解：， 故答案为． 12. 数学课上，老师将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上当时，的度数为_____． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 由题意，得：，，利用平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】解由题意，得，， ， ， ． 故答案为：． 13. 实验课上，小华在研究苯和石墨的分子结构时，发现这两种物质的分子均为正多边形结构，且其内角和为，则这个正多边形的每个外角为_______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和以及外角，先根据正多边形的内角和公式列式计算得这个正多边形为六边形，再结合正多边形的每个外角都相等，以及外角和为进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 则， 解得 ∴这个正多边形为六边形， ∵正多边形的每个外角都相等， ∴这个正多边形每个外角为． 故答案为：． 14. 广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度约为______米． 【答案】600 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键．过点作于点，证明四边形为矩形，得出，米，设米，则米，证明为等腰直角三角形，设米，根据，得出，根据，解方程即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，米， 设米，则米， ，， ∴为等腰直角三角形， 米， ， ， ， 解得：， （米）． 15. 如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律变化问题，由已知坐标可得点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化，据此解答即可求解，由已知坐标找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，，，， ∴点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化， ∴点的横坐标为， ， ∴点的纵坐标为， 的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值、二次根式的化简，负指数幂、零指数幂的运算，及实数的混合运算．熟练掌握以上知识是解题的关键．先逐项进行开方，去绝对值，负指数幂、零指数幂的运算，再进行实数的加减运算即可． 【详解】解： ． 故答案. 17. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简分式，并求出其取值范围． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，分式化简，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合关于的方程有两个不相等的实数根，得出，进行化简计算，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，结合（1）的结论进行作答即可． 【小问1详解】 解： 关于的方程有两个不等的实数根， ， 解得． 【小问2详解】 解：原式． 由（1）得． ， 即． 18. 如图，已知直线． （1）在，所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（）的条件下，若与间的距离为4，点，，分别在，，上，且以为直角的等腰直角三角形，求的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先作出与的垂线，再作出夹在中间垂线段的垂直平分线即可； （）由与间的距离为，，，设，然后用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求作的直线； 【小问2详解】 解：如图，与间的距离为，，， 设， 则，解得， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图是1个一次性纸杯和7个整齐叠放成一摞的纸杯的示意图，纸杯的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的纸杯的总高度（单位：）随着纸杯的数量（单位：个）的变化规律．小亮经过测量得到与之间的对应数据如下表所示． 个 1 3 5 7 8 9 10 11 （1）依据测量的数据，写出与之间的函数解析式，并说明理由； （2）若整齐叠放成一摞的这种规格的纸杯的总高度不超过，则此时纸杯的数量最多为多少个？ 【答案】（1）；理由见解析 （2）30个 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，正确求出函数关系式是解题关键． （1）根据测量的数据可得纸杯数量每增加2个，纸杯总高度增加，则可得纸杯总高度是纸杯数量的一次函数，再利用待定系数法求解即可得； （2）根据纸杯的总高度不超过建立不等式，解不等式即可得． 【小问1详解】 解：依据测量的数据，发现如下规律：纸杯数量每增加2个，纸杯总高度增加， 则纸杯总高度是纸杯数量的一次函数． 设与之间的函数解析式为， 将点代入得：， 解得， 所以与之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得， 答：此时纸杯的数量最多为30个． 20. 梅州客家围屋作为闻名文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社准备了四样代表性的客家美食，随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图（不完整）如图所示． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽取的游客总人数为______，_______； （2）请补全条形统计图； （3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“梅菜扣肉”和“客家三酿”的概率． 【答案】（1）160；30 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考音了统计图． （1）根据该项所占的百分比该项人数总人数．两图给出了“客家三酿”的数据，代即可算出抽取的游客总人数，再用“梅菜扣肉”的人数除以抽取的游客总人数可得a的值； （2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出选到“客家娘酒”的人数，再补全条形图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选到“梅菜扣肉”和“客家三酿”的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：， 即本次抽取的游客总人数为160人， ， 即； 故答案为：30 【小问2详解】 解：选到“客家娘酒”的人数为人， 补全条形统计图，如下： 【小问3详解】 解：假设“盐焗鸡”，“梅菜扣肉”，“客家三酿”，“客家娘酒”对应为“A、B、C、D”，画树状图如图所示， 一共有12种等可能结果，其中选到“梅菜扣肉”和“客家三酿”的有2种， 所以选到“梅菜扣肉”和“客家三酿”的概率为． 21. 无规矩不成方圆．所有参与交通出行的行人或者驾驶人，都必须遵守国家制定的交通规则．现规定所有电动车、三轮车等，均需要“一盔一带”方能上路，所以头盔作为电动车是必不可少的．某店铺引进一批进价为元/个的头盔，如果以单价元出售，那么一个月内售出个，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨元，月销售量将相应减少个，设每个头盔涨价了元，每月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并计算每个头盔涨价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）若月销售利润恰好为元，且尽量减少库存，求每个头盔的售价． 【答案】（1），每个头盔涨价元时，每月的利润最大，最大利润为元 （2）元 【解析】 【分析】（）根据题意列出函数解析式，再把函数解析式转化为顶点式即可求解； （）把代入（）所得函数解析式求出的值，进而求出月销售量即可求解； 本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 即， ∵， ∴当时，有最大值， 即每个头盔涨价元时，每月的利润最大，最大利润为元； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 当时，月销售量为（个）； 当时，月销售量为（个）； ∵尽量减少库存， ，此时售价为（元）， 答：每个头盔售价为元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在实践课上，老师给每个制作小组发放一个彩色筝面和制作风筝的材料及工具．同学们认真观察后，组装了风筝的支架的骨架，粘贴了彩色筝面，制作出形色各异的精美风筝，其中老师选取了两位同学的风筝进行如下展示． 【模型建立】 （1）如图1，从风筝中抽象出“筝型支架”，，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，是上的两点，，连接与相交于点，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等： （1）利用证明，即可解答； （2）选择②为条件，①为结论：在取点E，使，连接，证明，可得，再由，继而证出，即可解答； 选择①为条件，②为结论：在取点E，使，连接，证明，可得，再由继而证出，即可解答； （3）连接，取的中点F，连接，易证，继而可得，得出，再根据相等的弧所对的弦相等，可得根据圆周角定理可得，从而得到，再由为的直径，可得，从而证明，即可解得． 【详解】（1）证明：在和中， ， ． ． （2）解：（方法一）选择②为条件，①为结论． 如图， 在上取点，使，连接． 平分． 在和中，， ． ． ， ， ． ． （方法二）选择①为条件，②为结论． 如图，在上取点，使，连接． 平分． 在和中， ． ， ， ， ， ． （3）证明：如图，连接，取的中点，连接． 为的直径， ． ． ， ， 又， ， ． ， ， ， ． 23. 【问题背景】 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后，得到的新抛物线经过点． 【构建联系】 （1）求平移后新抛物线的表达式； 【深入探究】 （2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点． ①若，求的值； ②若，记点在新抛物线上的对应点为，若为直角三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①或 ②或 【解析】 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把点，代入可得答案； （2）①如图，设，则，结合，从而可得答案； ②由，得到平移方式为：向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度．确定点在点的左侧．设，分为三种情况：当时，当时，当时，分别求出点的坐标． 【详解】解：（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把点，代入，得 解得 新抛物线的表达式为． （2）①如图1，设，则 ，解得或． ②， 平移方式为：向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度． 点在点的左侧． 设， 情况一：如图2，当时， 轴， ，即， 解得． 情况二：当时， 轴， ，即，无解． 情况三：如图3，当时，过点作于点． ． 又． ． ，即，解得， ． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年广东省初中学业水平考试模拟卷（二） 数学 本试卷共4页、23小题，满分120分．考试用时120分钟． 说明：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或袋字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相似位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，无理数为（ ） A. B. 0 C. D. 2. 第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在巴黎举行，以下分别是“2008北京奥运会徽”“2020东京奥运会徽”“2024巴黎奥运会徽”“2028洛杉矶奥运会徽”，其中既是轴对称图形又中心对称图形的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 据中国国家铁路集团统计，2025年1月1日元旦期间，全国铁路发送旅客1150万人次，数据“1150万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C D. 5. 下列命题中，正确的是（　　） A. 垂线段最短 B. 平行四边形是轴对称图形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 平分弦的直径垂直于弦．且平分弦所对的两条弧 6. 节能环保已成为人们的共识．小东家计划购买300度电，若平均每天用电度、则能使用天．下列说法正确的是（　　） A. 若减小，则也减小 B. 若减少100，则就增加100 C. 若，则 D. 若，则 7. 解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 北京时间2024年10月30日04时27分，在酒泉卫星发射中心发射神舟十九号载人飞船，执行此次飞行任务由蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员组成，其中航天员宋令东和王浩泽为首次执行飞行任务的“90后”．现从中随机采访一位飞行员，首次执行飞行任务的“90后”飞行员被选中的概率为（　　） A B. C. D. 9. 如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间（s）之间的函数关系图象（为图象的最高点），则平行四边形的面积为（　　） A 6 B. 12 C. D. 24 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：___________． 12. 数学课上，老师将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上当时，的度数为_____． 13. 实验课上，小华在研究苯和石墨的分子结构时，发现这两种物质的分子均为正多边形结构，且其内角和为，则这个正多边形的每个外角为_______． 14. 广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度约为______米． 15. 如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简分式，并求出其取值范围． 18. 如图，已知直线． （1）在，所在平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（）的条件下，若与间的距离为4，点，，分别在，，上，且以为直角的等腰直角三角形，求的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图是1个一次性纸杯和7个整齐叠放成一摞的纸杯的示意图，纸杯的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的纸杯的总高度（单位：）随着纸杯的数量（单位：个）的变化规律．小亮经过测量得到与之间的对应数据如下表所示． 个 1 3 5 7 8 9 10 11 （1）依据测量的数据，写出与之间的函数解析式，并说明理由； （2）若整齐叠放成一摞的这种规格的纸杯的总高度不超过，则此时纸杯的数量最多为多少个？ 20. 梅州客家围屋作为闻名文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社准备了四样代表性的客家美食，随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图（不完整）如图所示． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽取的游客总人数为______，_______； （2）请补全条形统计图； （3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“梅菜扣肉”和“客家三酿”的概率． 21. 无规矩不成方圆．所有参与交通出行的行人或者驾驶人，都必须遵守国家制定的交通规则．现规定所有电动车、三轮车等，均需要“一盔一带”方能上路，所以头盔作为电动车是必不可少的．某店铺引进一批进价为元/个的头盔，如果以单价元出售，那么一个月内售出个，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨元，月销售量将相应减少个，设每个头盔涨价了元，每月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并计算每个头盔涨价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）若月销售利润恰好为元，且尽量减少库存，求每个头盔的售价． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在实践课上，老师给每个制作小组发放一个彩色筝面和制作风筝的材料及工具．同学们认真观察后，组装了风筝的支架的骨架，粘贴了彩色筝面，制作出形色各异的精美风筝，其中老师选取了两位同学的风筝进行如下展示． 【模型建立】 （1）如图1，从风筝中抽象出“筝型支架”，，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 拓展提升】 （3）如图3，为的直径，是上的两点，，连接与相交于点，且，求证：． 23. 【问题背景】 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后，得到的新抛物线经过点． 【构建联系】 （1）求平移后新抛物线的表达式； 【深入探究】 （2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点． ①若，求的值； ②若，记点在新抛物线上的对应点为，若为直角三角形，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$