广东省惠州市惠东县2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题

高一数学 第 1 页 共 4 页 惠东县 2023-2024 学年第二学期高一年级期中学业水平质量监测 数 学 2024.05 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知向量  1,2a    ，  1,0b   ，那么向量3b a   的坐标是（ ） A．  4,2 B．  4, 2  C．  4,2 D．  4, 2 2．复数 2 i 3i 1   在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在 ABC 中， 5, 6, 7AB BC AC   ，则 ABC 的面积是（ ） A． 15 3 2 B．6 6 C．12 D．12 6 4．如图所示的 ABC 中，点 D是线段 BC上靠近 B的三等分点，点 E是线段 AB的中点， 则 DE   （ ） A． 1 1 3 6 AB AC    B． 1 1 6 3 AB AC    C． 5 1 6 3 AB AC    D． 5 1 6 3 AB AC    5．记 ABC 的内角 A，B的对边分别为 a，b，则“ 2a b ”是“ sin sin 2A B ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已 知 8cmAB  ， 2cmCD  ，则该青铜器的体积为（ ） A． 387 2πcm B． 3 87 2π cm 4 C． 3 43 2π cm 2 D． 343 2πcm 高一数学 第 2 页 共 4 页 7．在 ABC 中， 22 sin 2 Ac c b  （a b c， ， 分别为角 A B C， ， 的对边），则 ABC 的形状是（ ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 8．如图， ABC 中， 4 C   ， 2AC  ， 6 2BC   .在 ABC 所在的平面内，有一个边长为 1的正 方形 ADEF 绕点A按逆时针方向旋转（不少于 1周），则 AE BD   的取值范围是（ ） A． 3,5 B． 4,6 C． 5,9 D． 3,4 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，有选错的得 0分，若只有 2 个正确选项，每选对一个得 3 分;若只有 3个正确选项，每选对一个得 2 分 9．设 z为复数（ i为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A．复数 3 2iz   的共轭复数的虚部为 2 B．若 2 Rz  ，则 Rz C．若  1 i 1 iz   ，则 1z  D．若 2 1 0z   ，则 iz  10．在 ABC 中，内角 , ,A B C所对的边分别为 π, , , , 2 3 a b c A b  ，则下列说法正确的是（ ） A．若 1c  ，则 1CA AB    B．当 Rt 时， AC t AB    最小值为 3 C．当 ABC 有两个解时， a的取值范围是 3,2 D．当 ABC 为锐角三角形时， a的取值范围是  3,2 3 高一数学 第 3 页 共 4 页 11．已知圆锥顶点为S，底面圆O的直径 AB长为2 2， 1SO  .若C为底面圆周上不同于A， B的任 意一点，则下列说法中正确的是（ ） A．圆锥 SO的侧面积为6 2π B． SAC 面积的最大值为 3 2 C．圆锥 SO的外接球的表面积为9π D．若圆锥的底面水平放置，且可从顶点向圆锥注水，当水的平面过 SO的中点时，则水的体积 为 7π 12 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分 12．方程 2 0( )x px k p   R 有一个根为1 2i ，求实数 k = 13．已知向量a  在向量b  方向上的投影向量为 2b  ，且 | | 3b   ，则   a b ．(结果用数值表示) 14． ABC 的内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，若3 cos 3 cos 5 sinb C c B a A  ，且 A为锐角，则当 2a bc 取得 最小值时， 2 a b c 的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题 13 分）已知向量 a  ，b  满足 1a   ， 4b   ，且 a  ，b  的夹角为 60. （1）求    2a b a b      ； （2）若    2a b a b      ，求实数的值. 16．（本小题 15 分）解答下列各题： （1）已知 z是复数， 3iz  为实数， 5i 2 i z    为纯虚数（i为虚数单位），求复数 z； （2）已知复数   21 i 3i 2i 1z m m     ，实数m为何值时，复数 z表示的点位于第四象限． 高一数学 第 4 页 共 4 页 17．（本小题 15 分）在 ABC 中，角A， B，C的对边分别为 a，b，c，已知  sin cosa B B c  ． (1)求A； (2)若 2c  ， 5a  ，D为BC的中点，求 AD． 18．（本小题 17 分）如图，四边形 ABCD 是圆柱底面的内接四边形，PA 是圆柱的母线，PA=3，AD=2AB=2， 120BAD  ，C是BD上的一个动点. (1)求圆柱的表面积 (2)求四棱锥P ABCD 的体积的最大值 19．（本小题 17 分） ABC 中，已知 2sin sin sinABC A C   ，点D在边 AC上， sin sinBD ABC BC C    . (1)证明：BD AC ； (2)若 1 2 3 3 BD BA BC     ，求 ABC 的余弦值.