精品解析： 北京市顺义区第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2025北京顺义一中高二（下）期中 数 学 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地到丁地共有的路线条是（ ） A. 8 B. 11 C. 14 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】按照甲地经乙地到丁地、甲地经丙地到丁地分类，结合分类加法、分步乘法计数原理即可得解. 【详解】如果由甲地经乙地到丁地，则有种不同的路线； 如果由甲地经丙地到丁地，则有种不同的路线； 因此，从甲地到丁地共有14种不同的路线. 故选：C 2. 等差数列中，则前9项和（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质以及求和公式求解即可得答案. 【详解】由等差数列的求和公式可得， 故选：D. 3. 在的展开式中，常数项是（ ） A. -30 B. -24 C. 24 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】令二项展开式中的系数为零计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为， 令， 所以常数项为. 故选：C 4. 盒子中有5个大小相同编号不同的小球，其中白球2个，黑球3个，从中随机取出2个，则至少有1个黑球的取球种数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出总的取法数，然后减去没有黑球的取法数，利用组合数求解出结果； 【详解】总的取法数减去没有黑球的取法数，即种， 所以至少有1个黑球的取球种数是9种. 故选：A 5. 设等比数列的公比，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的定义即可. 【详解】由题意可得. 故选：B 6. 已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可. 【详解】因为，所以， 求导得， 所以， 所以在点处的切线方程为， 即 故选：D. 7. 由0，1，2，3组成不重复的三位偶数的个数为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】通过个位数是0或2分类讨论即可. 【详解】若个位数为，则三位偶数的个数为， 若个位数为2，则三位偶数的个数为， 所以由0，1，2，3组成不重复的三位偶数的个数为， 故选：B 8. “”是函数“存在极大值和极小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求导后令，结合判别式和韦达定理分析可得. 【详解】，， 令，即， ，， 若，则函数有两个正根，即有两个变号零点， 此时函数存在极大值和极小值； 当时，方程无正根或仅有一个重根， 此时函数不可能同时存在极大值和极小值； 综上，“”是函数“存在极大值和极小值”的充分必要条件. 故选：C 9. 已知函数有下列四个结论： ①的递增区间是和； ②函数有三个零点； ③函数的图像关于中心对称； ④过点存在三条直线和的图像相切. 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求导后分析单调性可得①正确；利用极值数形结合可得②错误；利用可得③正确；设切点由导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式得到方程然后构造函数求导分析极值数形结合可得④正确. 【详解】对于①，， 令，解得或，所以的递增区间是和，故①正确； 对于②，由①可得极值点，，由函数图象可得 所以方程的解即与的交点，只有一个，故②错误. 对于③， ， 所以对称中心为，故③正确； 对于④，设切点为，则，， 所以切线方程为， 代入点可得， 整理可得， 令，则， 所以极值点为或2，且， 所以与有三个交点，即方程有三个根，所以过点存在三条直线和的图像相切，故④正确. 故选：C 10. 已知函数，数列满足，. 给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A. 若，则有4个不同的可能取值 B. 若，则 C. 对于任意，存在正整数，使得 D. 对于任意大于2的正整数，存在，使得 【答案】D 【解析】 【分析】对A，由已知得，若，分别对分类讨论即可判断；对B，若，求得即可判断；对C，当时，计算可判断；对D，，进而可得，可判断． 【详解】对于A，，所以， 若，当时，，解得． 当时，则，解得， 当时，则，解得； 当时，，解得， 当时，则，解得， 当时，则，解得（舍去）； 综上可得：可以取3个不同的值：7，，，故A错误； 对于B，，则数列是周期为5的数列， 若，因， 则，，， ，，故B错误； 对于C，当时，，，， 所以不存在正整数，，故C错误． 对于D，先考虑数列的周期性， 对于，则，， ，，，要使是周期数列， 则有，解得， 从而存在，使得数列是周期数列，周期为， 从而要使周期为，只需，即即可，故D正确． 故选：D 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知是等差数列，且，则的通项公式____. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式求解可得答案. 【详解】因为是等差数列，且， 所以，解得， 所以， 故答案为：. 12. 若，则_______；_______. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】赋值令可得；先令，再令，之后作差可得. 【详解】令可得； 令可得， 令可得， 两式相减可得. 故答案为：1；. 13. 三个数a=1.01，b=，c=从小到大排列的顺序是_________. 【答案】 【解析】 【分析】构造两个函数、，利用导数即可比较大小关系. 【详解】令，则， 当时，，则函数单调递增， 则， 即，所以； 令，则， 当时，，则函数单调递增， 则，所以，即， 故答案为：. 14. 现有5个医生站成一排，由于专业问题王医生和李医生必须相邻，张医生不和王医生相邻，则站队方式共有_________种；现要把五位医生分配到三个地方医院支援指导工作，每位医生去一个地方，每个医院至少有一名医生，但张医生不去甲地，则共有__________种分配方式. 【答案】 ①. 36 ②. 100 【解析】 【分析】利用捆绑法、插空法可得第一空答案；利用间接法、分类讨论可得第二空答案. 【详解】王医生和李医生必须相邻看作一个元素，有种方式， 将这个元素与除张医生外的医生排列，有种方式，此时产生4个空位， 因为张医生和王医生不相邻， 所以张医生只能插入到除了和王医生相邻的空位之外的3个空位中，有种方式， 根据分步乘法计数原理可得站队的总顶点方式共有种； 若五位医生分配到三个地方医院支援指导工作，每位医生去一个地方，每个医院至少有一名 医生，则每组人数可能为或，分配方式共有种， 假设只有张医生去甲地，则剩下4位医生分成两组分别去另外两地， 两组的人数分别为或，则有种方式， 假设张医生和另外一位医生去甲地，则剩下的3位医生分成两组分别去另外两地， 两组的人数分别为，则有种方式， 假设张医生和另外两位医生去甲地，则剩下的2位医生分成两组分别去另外两地， 两组的人数为，则有种方式， 则张医生去甲地共有种分配方式. 所以张医生不去甲地，则共有种分配方式 故答案为：①36；②. 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①存在实数a，使函数的值域是； ②存在实数a，使得有最小值； ③对任意实数a，至少存在两个零点； ④存在，有，使得； 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，结合指数函数的性质即可判断①；根据时，根据二次函数的性质，结合函数性质即可判断②，根据即可判断③，构造，利用导数求解函数的单调性即可判断④. 【详解】当时，当时，为开口向上的二次函数，， 故此时值域为的子集， 而时，，且当时，，故此时值域不可能为， 当时，当时， 为开口向下的二次函数，， 故此时的值域为的子集，而时，，故此时值域不可能为， 当时，值域为，不为， 因此值域不可能为，故①错误； 当时，当时，为开口向上的二次函数，， 故此时，当时，， 综上可得时，，故②正确， 当时，当时，，此时单调递减，此时只有一个零点， 当时，，此时无零点， 故当时，只有一个零点，故③错误， 当时，，若，则，所以， 令（），则， 故在上单调递增，故， 故当时，此时在上有实数根，因此存在，使得，④正确， 故答案为：②④ 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 三、解答题（本题共6个试题，总分85分） 16. 已知为等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）若各项均为正数的等比数列满足，，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式以及计算即可； （2）先根据条件得出等比数列的公比，再分别计算等比数列和等差数列的前项和，最后按照分组求和即可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则由题意可得， 则， 则数列的通项公式为； 【小问2详解】 设等比数列公比为， 由，，则， 因等比数列各项均为正数，则， 则数列的前项和为， 又因数列的前项和为， 则数列的前项和为. 17. 在的展开式中，二项式系数的和为32 （1）求的值； （2）求展开式中的含项的系数； （3）展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，如不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在常数项，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得二项式系数的和为，计算即可； （2）先根据二项式通项公式得，令，计算即可结果； （3）令再根据次数无零，解得不存在常数项. 【小问1详解】 由题意， 的展开式中，二项式系数的和为， 则有，所以. 【小问2详解】 因为在，所以. 令，解得. 所以含项的系数为： . 【小问3详解】 令，解得， 因为所以方程在的取值范围内无解. 因此，展开式中不存在常数项. 18. 设是各项为正数的数列的前项和，且满足________． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列前项和. 从①；②；③， 三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答． 【答案】（1）选择条件见解析， （2）. 【解析】 【分析】（1）选①，利用前项和与第项的关系求出通项公式；选②③，判定等比数列，再求出通项公式. （2）由（1）求出，进而求出，再利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 选择①，，当时，， 整理得，而，即， 因此数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. 选择②，依题意，，由，得数列是等比数列，设其公比为， 由，得，解得， 所以数列的通项公式为. 选择③，由，得数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，，则，， 所以. 19. 设函数，曲线在处的切线方程为． （1）求的值； （2）证明：当时， （3）若有三个零点，写出的范围（直接写出结果） 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到求解即可； （2）通过二次求导，确定函数单调性即可求证； （3）求导，确定导数为0的点，通过单调性，极值的正负，进而可求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 即， 所以 【小问2详解】 由（1）， 求导可到， 令，则， 易知当时，恒成立， 即在单调递增，又， 所以恒成立， 所以在单调递增，又， 所以，得证； 【小问3详解】 有三个零点， 需满足有两个变号零点， 令， 即， 构造函数，求导可得：， 易知当时，，此时在单调递增， 当时，，此时在单调递减， 在取得最小值， 且当时，，且， 当时，， 函数图像如下： 所以即有两根， 需满足，即， 设两根为，由图可知， 当时，，当，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 因为，所以极大值，极小值， 所以当，函数存在三个零点. 20. 已知函数，直线是曲线在点处的切线． （1）求函数的单调区间； （2）若存在经过点两条，求实数的取值范围； （3）当时，设点，，为与轴的交点，表示的面积．求的最小值． 【答案】（1）当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出导数，在定义域内通过讨论求得函数的单调区间； （2）由导数求出切线斜率得到切线方程，带点到直线方程得到方程，问题转化为在上有两个零点，通过导数讨论函数的单调性，得到函数的最小值，函数有两个零点，即函数最小值小于等于0，建立不等式后求得实数a的取值范围； （3）代入得到函数解析式，求导数得到切线斜率，然后得到切线方程，即得点坐标，然后得到三角形面积，利用导数求得三角面积最小值. 【小问1详解】 函数，定义域为， ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，若，，则在上单调递减， 若，，则在上单调递增， 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，， 曲线在点处的切线的方程为. 因为切线l经过点，所以，化简得， 令， 又存在经过点两条切线， 即在上有两个零点， ， 当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点， 当时，由，得， 当时，，则在上单调递减， 若，，则在上单调递增， 所以在时取得极小值，即最小值， 令，解得， 又当时，，当时，， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 当时，，， 则，， 直线l的方程为. 令，得，即， 又，， 所以. 令，，， 则当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值， 则， 所以当时，取得最小值. 21. 设正整数，对于数列，定义变换T，T将数列A变换成数列.已知数列满足.记 （1）若，写出数列 （2）若n为奇数且不是常数列，求证：对任意正整数,都不是常数列； （3）若时，对任意，都存在正整数，使得为常数列，则称这个正整数n为“好数”，试指出三个数中的“好数”. 【答案】（1）； （2）证明见解析 （3）6不是好数,是好数 【解析】 【分析】（1）由题意，直接写出答案； （2）利用反正法，假设存在常数列，并建立方程，可证矛盾；另法：分情况写出常数列的结果反推前一种变换的数列，可得矛盾； （3）首先证明，若，其中，则存在项的数列，使得对任意的正整数都不是常数列．其次证明：若，其中，对任意，都存在正整数是常数列． 【小问1详解】 由题意可得；. 【小问2详解】 证明：设，其中． 假设存在正整数，使得是常数列，由不是常数列， 不妨设不为常数列且为常数列， 记，则． 令 当时，因为，且，所以． 故． 此时为常数列，矛盾， 所以对任意的正整数，都不是常数列. 【小问3详解】 首先证明，若，其中， 则存在项的数列，使得对任意的正整数都不是常数列， 证明：构造项的数列，其中， 构造项的数列 对任意的正整数，设，则 由于不是常数列，故不是常数列， 因为，所以6不是好数； 其次证明：若，其中，对任意，都存在正整数是常数列， 证明：假设存在，其中，使得存在数列， 使得对任意的正整数都不是常数列，不妨设的最小值为， 情形一：，则，记，则为常数列，矛盾， 情形二：，对任意的数列，则 记， 定义数列，其中， 则， 则依此类推，对任意正整数，记， 存在正整数，使得为常数列，记，则数列均为常数列， 设，则的各项均为，即时，是常数列，矛盾， 所以当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列， 因为，所以是好数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京顺义一中高二（下）期中 数 学 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地到丁地共有的路线条是（ ） A. 8 B. 11 C. 14 D. 48 2. 等差数列中，则前9项和（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 3. 在的展开式中，常数项是（ ） A. -30 B. -24 C. 24 D. 30 4. 盒子中有5个大小相同编号不同的小球，其中白球2个，黑球3个，从中随机取出2个，则至少有1个黑球的取球种数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 5. 设等比数列的公比，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ） A B. C. D. 7. 由0，1，2，3组成不重复的三位偶数的个数为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 8. “”是函数“存在极大值和极小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数有下列四个结论： ①的递增区间是和； ②函数有三个零点； ③函数的图像关于中心对称； ④过点存在三条直线和的图像相切. 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知函数，数列满足，. 给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A. 若，则有4个不同的可能取值 B 若，则 C. 对于任意，存在正整数，使得 D. 对于任意大于2的正整数，存在，使得 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知是等差数列，且，则的通项公式____. 12. 若，则_______；_______. 13. 三个数a=1.01，b=，c=从小到大排列的顺序是_________. 14. 现有5个医生站成一排，由于专业问题王医生和李医生必须相邻，张医生不和王医生相邻，则站队方式共有_________种；现要把五位医生分配到三个地方医院支援指导工作，每位医生去一个地方，每个医院至少有一名医生，但张医生不去甲地，则共有__________种分配方式. 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①存在实数a，使函数的值域是； ②存在实数a，使得有最小值； ③对任意实数a，至少存两个零点； ④存，有，使得； 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题（本题共6个试题，总分85分） 16. 已知为等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）若各项均为正数的等比数列满足，，求的前项和． 17. 在的展开式中，二项式系数的和为32 （1）求的值； （2）求展开式中的含项的系数； （3）展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，如不存在，请说明理由． 18. 设是各项为正数的数列的前项和，且满足________． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列前项和. 从①；②；③， 三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答． 19. 设函数，曲线在处的切线方程为． （1）求的值； （2）证明：当时， （3）若有三个零点，写出的范围（直接写出结果） 20. 已知函数，直线是曲线在点处的切线． （1）求函数的单调区间； （2）若存在经过点两条，求实数的取值范围； （3）当时，设点，，为与轴的交点，表示的面积．求的最小值． 21. 设正整数，对于数列，定义变换T，T将数列A变换成数列.已知数列满足.记 （1）若，写出数列 （2）若n为奇数且不是常数列，求证：对任意正整数,都不是常数列； （3）若时，对任意，都存在正整数，使得为常数列，则称这个正整数n为“好数”，试指出三个数中的“好数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $