精品解析：江苏省徐州市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024-2025学年江苏省徐州市高二（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在[0，π]上的平均变化率为 A. 1 B. 2 C. π D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平均变化率的公式，计算出平均变化率. 【详解】平均变化率为. 故选：C 【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题. 2. 已知函数上一点，则在点P处切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导函数，把点的横坐标代入导函数即可求解． 【详解】由， 可得， 故在点P处切线的斜率为 故选：B 3. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率公式的变式公式和对立事件的概率计算，就可以求出结果. 【详解】因为，由对立事件概率计算公式可得：， 则， 故选：D. 4. 已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（ ） X 1 2 3 P n m A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分布列性质以及期望公式列方程组即可求解． 【详解】由分布列的性质可得，，所以， 又因为，所以，即； 联立方程，解得， 所以 故选：B 5. 甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率知识可解． 【详解】设事件“甲命中目标”，“至少命中一次”， 则，， 则已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为 故选：C 6. 已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设函数，结合导数与单调性关系先判断的单调性，然后判断奇偶性，即可求解． 【详解】设函数，则， 因为是上的奇函数，所， 所以是上的偶函数，， 因为当时，， 所以，即在上单调递减， 因此在上单调递增， 所以，， 当，原不等式可化为，即，解得， 当，原不等式可化为，即，解得， 综上所述，. 故选：D 7. 某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】先分组，分配的时候考虑甲的特殊情况，即可求解. 【详解】依题意，将5名学生分为1，2，2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法； 由于甲同学不去观看电影《哪吒2》，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法； 按照分步乘法原理，共有种方法． 故选：C 8. 以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，结合已知定义即可求解． 【详解】因为，， 所以，，， 若， 由，解得 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列函数的导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数公式表计算可得A正确，由于为常数，所以其导数为0，即B错误，根据乘法运算法则求导可知C错误，再由复合函数求导计算可得D正确. 【详解】易知，可得A正确； 又，即B错误； 易知，C错误； 显然，D正确． 故选：AD 10. 已知，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式定理，结合赋值法，逐项判断即可. 【详解】对于A，，其中，，解得，A正确； 对于B，项的系数为，B错误； 对于C，令，得，令，得， 因此，C正确； 对于D，令，得， 由选项C得，D正确. 故选：ACD 11. 数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（ ） A. 当时， B. C. 随机变量，当，都减小时，概率增大 D. 随机变量，当增大，减小时，概率保持不变 【答案】BD 【解析】 【分析】由定义即可判断A；根据结合正态曲线的对称性，可判断B；根据正态分布的准则可判断CD. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：根据正态曲线的对称性可得：，即，故B正确； 对于CD：根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值，即为图象的对称轴， 根据原则可知X数值分布在的概率是常数，故由可知，D正确，C错误． 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式求解. 【详解】因为随机变量， 所以，， 联立解得 故答案为： 13. 在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种． 【答案】260 【解析】 【分析】根据题意可分若A和C相同，B和D相同时，若种三种花，若种四种花，三种情况讨论即可． 【详解】解：现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同， 则四个区域最少两种花，最多4种花．所以分三类： 若A和C相同，B和D相同时，有种方法； 若种三种花，分A和C相同与不同两种情况，此时有种； 若种四种花，则有种， 则不同的种植方法有种． 故答案为：. 14. 若恒成立，则实数______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，则原式等价于，进而得到恒成立，再根据切线不等式得解． 【详解】因为恒成立，即恒成立， 即恒成立， 设，则恒成立， 又，则在上单调递增， 可得恒成立，即恒成立， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即恒成立（当且仅当时取等号）， 所以，解得 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中共有11项． （1）求展开式中含的项的系数；结果用数字作答 （2）求二项式系数最大的项． 【答案】（1）960； （2） 【解析】 【分析】（1）结合二项式定理通项计算，即可求解； （2）结合（1）的通项公式以及二项式系数的增减性，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 展开式的通项为， 令，解得， 故展开式中含的项的系数为； 【小问2详解】 由可得二项式系数最大的项为第六项， 即. 16. 结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答 （1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？ （2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ （3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 【答案】（1）81； （2）36； （3） 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理可解； （2）根据题意将4封信分成1，1，2三组，再分到3个信箱即可； （3）确定一组序号相同，而其余的全部不同均有2种情况，从而可解． 【小问1详解】 将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有种放法； 小问2详解】 将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信， 则将4封信分成1，1，2三组，有组，再分给三个信箱，有种放法； 【小问3详解】 将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中， 先确定一组序号相同有种情况，其余的全部不同均有2种情况，则共有种情况． 17. 已知函数 （1）若，求函数的单调区间和极值； （2）若存在，使得成立，求a取值范围． 【答案】（1）增区间为和，减区间为，极大值，极小值； （2） 【解析】 【分析】将代入函数解析式，利用导数判断其单调性和极值即可； 问题等价于存在，，设，利用导数求函数在上最大值，进而可得出答案． 【小问1详解】 若，则， 则， 令，可得或；令，可得， 所以该函数增区间为和，减区间为， 当时取得极大值，当时取得极小值； 【小问2详解】 因为存在，有成立， 所以存在，有成立，即存在， 因为，所以存在，， 设，其中，则， 因为，所以， 当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即， 故a的取值范围为 18. 11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少2分领先者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每一球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为10：10，且接下来轮到甲发球． （1）求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值； （2）求第一局比赛甲获胜的概率； （3）现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率． 【答案】（1）分布列见解析；均值为 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）依题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值，求出X的分布列和均值； （2）设第一局比赛甲获胜事件B，得到则，，，利用全概率公式求解，得出即可； （3）由（2）得，估计甲每局获胜的概率，根据五局三胜制的规则，得到比赛场数Y的所有可能取值为3，4，5，得到相应的概率，相加计算即可． 【小问1详解】 依题意知，X的所有可能取值为0，1，2； ，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P X的均值为； 【小问2详解】 设第一局比赛甲获胜为事件B，平局后每次再打两个球后甲新增的得分为Z， 则，，； 由知，，，， 由全概率公式得， ， 解得，即第一局比赛甲获胜的概率； 【小问3详解】 由（2）知，所以估计甲每局获胜的概率均为， 根据五局三胜制的规则，设甲获胜时的比赛总局数为Y， 因为每局的比赛结果相互独立，所以Y的所有可能取值为3，4，5， 所以，，； 所以该场比赛甲获胜的概率为 19. 若定义在上的函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． （1）求证：函数是函数的“控制函数”； （2）若函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； （3）若函数，函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出、，证明出，即可证得结论成立； （2）结合定义，构造函数，结合导数求出最小值即可得出实数的取值范围； （3）先证明充分性：若存在常数使得恒成立，结合偶函数定义计算即可得；再证明必要性：由题意可得，又，，可推导出，可得到，即可得证． 【小问1详解】 因为，，所以，，则， 故，即恒成立， 故函数是函数的“控制函数”. 【小问2详解】 因为，， 则，， 因为函数是函数的“控制函数”， 所以，对任意的，，则， 令， 则 ， 且， 故当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以， 若函数是函数的“控制函数”， 则实数的取值范围是. 【小问3详解】 充分性：若存在常数使得恒成立，则， 因为函数为偶函数，所以，则， 则为偶函数，即， 所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是函数的“控制函数”， 因此对任意的，， 又，，所以，，， 所以，即， 用代换可得，故， 综上可知，记，则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年江苏省徐州市高二（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在[0，π]上的平均变化率为 A. 1 B. 2 C. π D. 2. 已知函数上一点，则在点P处切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（ ） X 1 2 3 P n m A. B. C. D. 5. 甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 7. 某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 8. 以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列函数的导数运算正确的是（ ） A B. C. D. 10. 已知，其中，则（ ） A. B. C. D. 11. 数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（ ） A. 当时， B. C. 随机变量，当，都减小时，概率增大 D. 随机变量，当增大，减小时，概率保持不变 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 已知随机变量，若，，则______. 13. 在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种． 14. 若恒成立，则实数______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中共有11项． （1）求展开式中含的项的系数；结果用数字作答 （2）求二项式系数最大的项． 16. 结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答 （1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？ （2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ （3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 17. 已知函数 （1）若，求函数的单调区间和极值； （2）若存在，使得成立，求a的取值范围． 18. 11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少2分领先者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每一球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为10：10，且接下来轮到甲发球． （1）求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值； （2）求第一局比赛甲获胜的概率； （3）现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率． 19. 若定义在上函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． （1）求证：函数是函数的“控制函数”； （2）若函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； （3）若函数，函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$