精品解析：四川省广安市育才学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

新育才教育集团高中2024级2025年春质量检测（高中） 数学试题 本试卷分为单选题、多选题、填空题和解答题四部分.共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本题共8个小题，每题5分，共40分.） 1. 化简：（ ）． A. B. C. D. 2. 在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 不确定 3. 设与是两个不共线向量，且向量与共线，则= A. 0 B. C. －2 D. 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量、满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等腰梯形中，，点E为线段中点，点F为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 设P是所在平面内的一点，，则 A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，若，则的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 二、多项选择题（本题共3个小题，每题6分，共18分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 零向量与任意向量平行 B. 是向量的必要不充分条件 C. 向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上 D. 空间中任意两个向量，，则一定成立 10. 已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 11. 已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（ ） A. B. 直线过边的中点 C. D. 若，则 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分.） 12. 设点，，，若，则的值为_________. 13. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 14. 如图，在中，，，，，，若D，E，F三点共线，则的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 已知平面向量，， ，，且与的夹角为． （1）求和的值； （2）若与垂直，求λ的值． 16. 如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设． （1）试用基底，表示； （2）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线． 17. 已知函数的部分图象，如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域． 18. 单位向量，满足. （1）求与夹角的余弦值： （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 19. 在直角梯形ABCD中，已知，，，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点. （1）若，求的值； （2）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新育才教育集团高中2024级2025年春质量检测（高中） 数学试题 本试卷分为单选题、多选题、填空题和解答题四部分.共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本题共8个小题，每题5分，共40分.） 1. 化简：（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法则化简即可得答案. 【详解】因为. 故选：C 2. 在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】由相等向量，向量的减法运算求解即可. 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形， 又因为，即， 所以平行四边形ABCD是矩形. 故选：B. 3. 设与是两个不共线向量，且向量与共线，则= A. 0 B. C. －2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为与是两个不共线向量，所以向量不是零向量， 又因为向量与共线，所以存在唯一实数，使成立， 所以，， 所以，，故选B． 考点：共线向量． 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用完全平方公式、二倍角公式、同角三角函数平方关系及由三角函数值判断角的范围可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 故选：A. 5. 已知向量、满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设向量、的夹角为，由平面向量数量积的运算性质可得出，再利用投影向量的定义可求得结果. 【详解】设向量、的夹角为，因为，可得， 所以，在上的投影向量为. 故选：C. 6. 如图，等腰梯形中，，点E为线段中点，点F为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过将转化为与已知向量、相关的表达式，利用向量的线性运算规则，逐步将其他向量用、表示出来，进而得出的表达式. 【详解】根据向量加法的三角形法则，.  因为点为线段BC的中点，则. 同理可得.  已知，.由；， 又因为， 所以.  将，代入可得： 把，代入上式：  故选：B. 7. 设P是所在平面内的一点，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】移项得.故选B 8. 如图，在中，，，若，则的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】表达出，利用平面向量基本定理求出，即可求出的值. 【详解】由题意及图可得， ∵， ∴， ∵， ∴,． ∵， ∴，，解得：，，， 故选：C． 二、多项选择题（本题共3个小题，每题6分，共18分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 零向量与任意向量平行 B. 是向量的必要不充分条件 C. 向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上 D. 空间中任意两个向量，，则一定成立 【答案】AB 【解析】 【分析】根据零向量及向量共线的性质直接可判断AC选项，根据向量的定义可判断B选项，根据向量的数量积公式可判断D选项. 【详解】A选项：零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量都平行，A选项正确； B选项：向量是即有方向又有大小的量，若，与反向，不一定成立，若，则，故B选项正确； C选项：向量与向量是共线向量，则与方向相同或相反，点，，，可能在同一条直线上，也可能组成平行四边形，故C选项错误； D选项：由，，，所以与不一定相等，D选项错误； 故选：AB. 10. 已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基底的定义，逐项判断. 【详解】对于A，令，由不共线，得且，矛盾， 与不共线，A能； 对于B，，和共线，B不能； 对于C，令，由不共线，得且，矛盾， 和不共线，C能； 对于D，，由不共线，得且，矛盾，和不共线，D能. 故选：ACD 11. 已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（ ） A. B. 直线过边的中点 C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量间的线性关系及向量数量积的运算律化简求值判断A、D；若得到是△的重心，根据与不平行、相关三角形面积关系判断B、C. 【详解】，则，A正确； 若，则， 所以是△的重心， 直线过中点，而与不平行， 所以直线不过边的中点，B错误； 又，而，， 所以，C正确； 若，且， 所以， 而，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：注意向量之间的线性关系，结合向量数量积的运算律化简求值；根据重心的性质求三角形的面积关系. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分.） 12. 设点，，，若，则的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，根据，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】由，，，可得， 因为，可得，解得，所以. 故答案为：. 13. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，，，若D，E，F三点共线，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形由平面向量的基本定理可得，再利用基本不等式的乘“1”法可得答案. 【详解】由，得，即， ，E，F三点共线， ， ， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 已知平面向量，， ，，且与的夹角为． （1）求和的值； （2）若与垂直，求λ的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义求出，再利用向量数量积的运算律计算； （2）利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得. 【小问1详解】 ∵，，且与的夹角为， ∴, 故； 【小问2详解】 ∵与垂直， ∴， 即，解得：． 16. 如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设． （1）试用基底，表示； （2）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线． 【答案】（1）,；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由平面向量的线性运算法则即可用基底，表示； （2）由,得出，即可证明结论. 【详解】（1）由题可知：＝， （2）， 共线， 且有一公共点， ∴E，G，F三点共线． 17. 已知函数的部分图象，如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出A，由最小正周期求出，并确定． （2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域． 【小问1详解】 由图象可知函数的最大值为，最小正周期， 可得，，所以． 将代入，可得， 由，则，解得，所以． 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位后， 可得的图象， 再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象． 由，可得， 又函数在上单调递增，在单调递减， ， ， 函数在的值域． 18. 单位向量，满足. （1）求与夹角的余弦值： （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算法则求得，再由模长与数量积求得与夹角的余弦值； （2）由题意得且与不共线，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以，即，则， 则，即与夹角的余弦值. 【小问2详解】 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 当与共线时，有，即， 由（1）知与不共线，所以，解得， 所以当与不共线时，， 由，得， 即，解得， 所以且，即实数的取值范围为. 19. 在直角梯形ABCD中，已知，，，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点. （1）若，求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）由、，应用向量数量积的运算律及向量位置关系求即可. （2）令且，同（1）应用向量数量积的运算律得到关于的表示式，即可求值. 【小问1详解】 由图知：，， 所以， 所以， 又，，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知：， 令且，则，， 所以. 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $